《數(shù)學歸納法》示范課教案【高中數(shù)學蘇教版教學設計】

第四章數(shù)列《數(shù)學歸納法》教學設計教學目標教學目標1.了解數(shù)學歸納法的原理；2.能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的命題．教學重難點教學重難點重點：數(shù)學歸納法證明的原理及基本步驟．難點：基本步驟的第二步推演過程．教學過程教學過程一.情境引入問題1：什么時候需要應用數(shù)學歸納法？答案：（1）問題的結(jié)論與自然數(shù)n相關(guān)；

（2）對于某一類自然數(shù)命題成立；（例如命題在連續(xù)自然數(shù)或所有偶數(shù)或奇數(shù)等范圍成立）

（3）不能直接利用推理證明（或者直接證明不太好敘述）的情況下，利用數(shù)學歸納法．例如，要證明對任意的正整數(shù)n，等式n?1n+2=n2+n?2恒成立，可以直接利用多項式的乘法法則，左邊展開，合并同類項，就能得到右邊二、新知探究想一想：下面這道題在應用數(shù)學歸納法證明的過程中，有沒有錯誤？求證：12+2證明：假設當n=kk∈N?時，等式成立，即12+22+32答案：證法有錯誤．問題2：這道題需要證明n=1的情況嗎？答案：這道題需要證明n=1的情況．這個證法只有第二步，而缺少了第一步，沒有證明n=1的情況．第一步是后面遞推的出發(fā)點，沒有它，遞推就成為無源之水．所以，我們應該先考慮當n=1時該式是否成立．當n=1時，該式的左邊=12=1，而右邊=16×1×追問1：上述證法如果加上證明n=1的情況，還有錯誤嗎？答案：有錯誤，這個證法當n=k+1時，有12+22+32+?+k+12=k+1k+1+12k+1+16，直接把k給成k+1追問2：如何修改上述證法？答案：首先要明確目標：我們是假設n=k時該式成立，并以此為條件證明n=k+1時該式也成立，從而證明命題的成立具有遞推性．所以，12+22+32+?+k+12=k+1k+1+12k+1+16這個式子是需要我們證明的，是我們的目標．那該怎么證明呢？我們一定要用上假設．既然假設當n=k時該式成立，那么12+22問題3：怎樣正確地使用數(shù)學歸納法？答案：首先，一定不要忘了驗證第一步，我們稱這一步為歸納奠基，它為后續(xù)的證明奠定了基礎(chǔ)，是必不可少的．其次，我們的第二步是在第一步基礎(chǔ)上證明命題的成立具有遞推性，這實際上是以邏輯的推理代替了無限的驗證過程．假設P（k）為真，要用上假設，以此為已知條件，證明P（k+1）也為真，要明確“用上假設，遞推才真”．三、應用舉例例1設n∈N?，(1)當n=1，2，3，4時，計算f(2)你對fn分析：首先將n=1，2，3，4帶入fn計算數(shù)值，然后根據(jù)數(shù)值猜想解：(1)當n=1時，f1當n=2時，f2當n=3時，f3當n=4時，f1(2)猜想：當n∈N?時，下面用數(shù)學歸納法證明這個猜想．①當n=1時，f1②假設當n=k時命題成立，即fk能被8整除，那么，當n=k+1f=5這里，5k和3k?1均為奇數(shù)，它們的和5k+3k?1必為偶數(shù)，從而45k+3這樣，我們就通過“觀察——歸納——猜想——證明”的過程解決了這一問題．例２：在平面上畫n條直線，且任何2條直線都相交，其中任何3條直線不共點．問：這n條直線將平面分成多少個部分？解：記n條直線把平面分成rn個部分，我們通過n=1，2，3，4，5，畫出圖形觀察rn從圖中可以看出，r1r2r3r4r5由此猜想rn接下來用數(shù)學歸納法證明這個猜想．（1）當n=1，2時，結(jié)論均成立．（2）假設當n=k時結(jié)論成立，即rk那么，當n=k+1時，第k+1條直線與前面的k條直線都相交，有k個交點，這k個交點將這條直線分成k+1段，且每一段將原有的平面部分分成兩個部分，所以rk+1結(jié)論也成立．根據(jù)（1）和（2）可知，對任何n∈N?，都有即r四、課堂練習１．用數(shù)學歸納法證明：1+２．求凸n邊形對角線的條數(shù)f(n)．參考答案：１.思路點撥：分別確定當n＝1，n＝k，n＝k＋1時不等式的左邊的值，找到它們之間的關(guān)系，運用數(shù)學歸納法證題．證明：（1）當n＝1時，1+1（2）假設當n＝k（n∈N?）時，不等式成立，即則當n＝k＋1時，1+1即當n＝k＋1時，不等式成立．由（1）和（2）可知，不等式對任意n∈N２．猜想：fn證明：（1）當n=3時，f3（2）假設當n＝k（n≥3）時猜想成立，即k＝kk?32．則當n＝k+1時，考察k+①k邊形A1A2?Ak中原有的對角線都是k+1②在Ak+1與A1，A2，?，Ak連接的k條線段中，除Ak+1A1，Ak+1綜合（１）（２）可知，對任何nn≥3五、課堂小結(jié)通過本節(jié)課，你有哪些收獲？答案：這節(jié)課學習了數(shù)學歸納法的應用，回答了“什么時候需要應用數(shù)學歸納法”和“怎樣正確地應用數(shù)學歸納法”這兩個問題.數(shù)學歸納法是一種特殊的數(shù)學演繹證明方法，用于證