一次函數(shù)與圖形變換（3種類型） 八年級數(shù)學上冊高分突破 （含答案）

一次函數(shù)與圖形變換（3種類型）考點1：一次函數(shù)與平移變換考點2：一次函數(shù)與軸對稱變換直線兩直線平行?兩直線相交?兩直線重合?兩直線垂直?考點3：一次函數(shù)與旋轉變換直線的對稱規(guī)律（1）直線y=kx+b關于x軸對稱得到直線y=-kx-b（2）直線y=kx+b關于y軸對稱得到直線y=-kx+b（3）直線y=kx+b關于原點對稱得到直線y=kx-b【考點1：一次函數(shù)與平移變換】【典例1】（2021秋?無錫期末）將一次函數(shù)y＝2x﹣4的圖象向上平移3個單位長度，平移后函數(shù)經過點（）A．（2，5） B．（2，4） C．（2，3） D．（2，0）【答案】C【解答】解：將一次函數(shù)y＝2x﹣4的圖象向上平移3個單位長度，相應的函數(shù)是y＝2x﹣4+3＝2x﹣1，當x＝2時，y＝2×2﹣1＝3，∴平移后函數(shù)經過點（2，3），故選：C．【變式1-1】（2021秋?長豐縣期末）將一次函數(shù)y＝kx+2的圖象向下平移3個單位長度后經過點（﹣2，1），則k的值為（）A．﹣1 B．2 C．1 D．﹣2【答案】A【解答】解：將一次函數(shù)y＝kx+2的圖象向下平移3個單位長度后得到y(tǒng)＝kx+2﹣3＝kx﹣1，∵平移后的函數(shù)圖象經過點（﹣2，1），∴1＝﹣2k﹣1，解得k＝﹣1，故選：A．【變式1-2】（2021春?東城區(qū)期末）在平面直角坐標系xOy中，將直線y＝2x+1向上平移2個單位長度后，所得的直線的解析式為（）A．y＝2x﹣1 B．y＝2x+2 C．y＝2x+3 D．y＝2x﹣2【答案】C【解答】解：由題意得：平移后的解析式為：y＝2x+1+2，即y＝2x+3．故選：C．【典例2】（2021秋?濱湖區(qū)期末）在平面直角坐標系中，把直線y＝﹣3x+4沿x軸向右平移2個單位長度后，得到直線的函數(shù)表達式為（）A．y＝﹣3x+6 B．y＝﹣3x+2 C．y＝﹣3x+10 D．y＝﹣3x﹣2【答案】C【解答】解：把直線y＝﹣3x+4沿x軸向右平移2個單位長度后，得到直線的函數(shù)表達式為：y＝﹣3（x﹣2）+4，即y＝﹣3x+10，故選：C．【變式2】（2021秋?福田區(qū)校級期末）在平面直角坐標系中，把直線y＝﹣2x+3沿x軸向右平移兩個單位長度后．得到直線的函數(shù)關系式為（）A．y＝﹣2x+5 B．y＝﹣2x﹣5 C．y＝﹣2x+1 D．y＝﹣2x+7【答案】D【解答】解：把直線y＝﹣2x+3沿x軸向右平移兩個單位長度后．得到直線的函數(shù)關系式為：y＝﹣2（x﹣2）+3，即y＝﹣2x+7，故選：D【考點2：一次函數(shù)與軸對稱變換】【典例3】（2021春?東昌府區(qū)期末）在直角坐標系中，已知A，B是x軸上的兩點，且A（6，0），AB＝10，點M是y軸上一點，連接BM，將△ABM沿過A，M的直線AM折疊，點B恰好落在y軸的點B′處．（1）求直線AB′的函數(shù)表達式；（2）求直線AM的函數(shù)表達式．【答案】（1）y＝﹣x+8或y＝x﹣8(2)y＝﹣x+3或y＝x﹣3．【解答】解：（1）∵A（6，0），AB＝10，∴OA＝6，AB′＝10，∵AB′2＝AO2+B′O2∴OB′＝8，∴B′（0，±8），設直線AB′的解析式為y＝kx±8，把A（6，0）代入得，0＝6k±8，∴k＝﹣或，∴直線AB′的函數(shù)表達式為y＝﹣x+8或y＝x﹣8；（2）在△MOB中，設OM＝a，則MB＝OB′﹣MO＝8﹣a，∵AB＝10，OA＝6，∴OB＝4，∴OB2＝MB2﹣MO2即16＝（8﹣a）2﹣a2，∴a＝3，M（0，±3），設直線MA的解析式為y＝kx+b，∴或，解得：或，∴直線AM的解析式為：y＝﹣x+3或y＝x﹣3．【變式3】（2021春?會昌縣期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于點A、點B，點D在y軸的負半軸上，若將△DAB沿直線AD折疊，點B恰好落在x軸正半軸上的點C處．（1）求AB的長；（2）求點C和點D的坐標；（3）y軸上是否存在一點P，使得S△PAB＝S△OCD？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）5（2）D（0，﹣6）（3）（0，12）或（0，﹣4）．【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4，∴B（0，4）．∴OB＝4令y＝0得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，∴A（3，0）．∴OA＝3．在Rt△OAB中，AB＝＝5．（2）∵AC＝AB＝5，∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，∴C（8，0）．設OD＝x，則CD＝DB＝x+4．在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，∴D（0，﹣6）．（3）存在，理由如下：∵S△PAB＝S△OCD，∴S△PAB＝××6×8＝12．∵點P在y軸上，S△PAB＝12，∴BP?OA＝12，即×3BP＝12，解得：BP＝8，∴P點的坐標為（0，12）或（0，﹣4）．【考點3：一次函數(shù)與旋轉變換】【典例4】（2020秋?蘇州期末）如圖，一次函數(shù)y＝2x+b的圖象經過點M（1，3），且與x軸，y軸分別交于A，B兩點．（1）填空：b＝；（2）將該直線繞點A順時針旋轉45°至直線l，過點B作BC⊥AB交直線l于點C，求點C的坐標及直線l的函數(shù)表達式．【答案】（1）1（2）y＝x+．【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝2x+b的圖象經過點M（1，3），∴3＝2+b，解得b＝1，故答案為1；（2）∵一次函數(shù)y＝2x+1的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點．∴A（﹣，0），B（0，1），∴OA＝，OB＝1，作CD⊥y軸于D，∵∠BAC＝45°，BC⊥AB，∴∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∵∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBD，∴∠BAO＝∠CBD，在△AOB和△BDC中，，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴BD＝OA＝，CD＝OB＝1，∴OD＝OB﹣BD＝，∴C（1，），設直線l的解析式為y＝mx+n，把A（﹣，0），C（1，）代入得，解得，∴直線l的解析式為y＝x+．【變式4】（宿遷期末）如圖，一次函數(shù)y＝（m+1）x+4的圖象與x軸的負半軸相交于點A，與y軸相交于點B，且△OAB面積為4．（1）則m＝，點A的坐標為（，）．（2）過點B作直線BP與x軸的正半軸相交于點P，且OP＝4OA，求直線BP的解析式；（3）將一次函數(shù)y＝（m+1）x+4的圖象繞點B順時針旋轉45°，求旋轉后的對應的函數(shù)表達式．【答案】（1）1；﹣2，0；（2）y＝﹣x+4；（3）y＝x+4【解答】解：（1）由一次函數(shù)y＝（m+1）x+4，令x＝0，則y＝4，∴B（0，4），∴OB＝4，∵S△OAB＝4，∴×OA×OB＝4，解得OA＝2，∴A（﹣2，0），把點A（﹣2，0）代入y＝（m+1）x+4，得m＝1，故答案為：1；﹣2，0；（2）∵OP＝4OA，OA＝2，∴P（8，0），設直線BP的解析式為y＝kx+b，將（8，0），（0，4）代入得，解得k＝﹣，b＝4，∴直線BP的解析式為y＝﹣x+4；（3）設直線AB繞點B順時針旋轉45°得到直線BE，如圖，過點A作AF⊥AB交BE于點F，作FH⊥x軸于H．則∠AHF＝∠BOA＝90°，AF＝BA，∠FAH＝∠ABO，∴△AOB≌△FHA（AAS），∴FH＝AO＝2，AH＝BO＝4，∴HO＝6，∴F（﹣6，2），設直線BE的解析式為y＝mx+n，則把點F和點B的坐標代入，可得，解得，∴直線BE的解析式為y＝x+4．【典例5】（2020秋?盱眙縣期末）在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+4交x軸，y軸分別于點A，點B，將△AOB繞坐標原點逆時針旋轉90°得到△COD，直線CD交直線AB于點E，如圖1：（1）求：直線CD的函數(shù)關系式；（2）如圖2，連接OE，過點O作OF⊥OE交直線CD于點F，如圖2，①求證：∠OEF＝45°；②求：點F的坐標；（3）若點P是直線DC上一點，點Q是x軸上一點（點Q不與點O重合），當△DPQ和△DOC全等時，直接寫出點P的坐標．【答案】（1）y＝x+3(2)①略②F（﹣，）（3）（﹣，﹣）、（﹣8，﹣3）、（﹣，）；【解答】解：（1）∵直線y＝﹣x+4交x軸，y軸分別于點A，點B，∴A（3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∵△AOB繞坐標原點逆時針旋轉90°得到△COD，∴△AOB≌△COD，∴CO＝OA＝3，OD＝OB＝4，∴C（0，3），D（﹣4，0），設直線CD的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴直線CD的解析式為y＝x+3；（2）①由（1）知，△AOB≌△COD，∴OB＝OD，∠ABO＝∠CDO，∵OF⊥OE，∠COF+∠COE＝90°，∵∠COE+∠DOF＝90°，∴∠BOE＝∠DOF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF，∴OE＝OF，∵∠EOF＝90°，∴△EOF是等腰直角三角形，∴∠OEF＝45°；②）如圖2，∵直線AB的解析式為y＝﹣x+4①，由（1）知，直線CD的解析式為y＝x+3②；聯(lián)立①②得，E（，），過點F作FG⊥OD．過點E作EH⊥OB，由①知，△BOE≌△DOF，∴∠BOE＝∠DOF，OE＝OF在△OHE和△OGF中，，∴△OHE≌△OGF，∴OG＝OH＝，F(xiàn)G＝EH＝∴F（﹣，），（3）如圖1，①∠DP'Q'＝90°，∵△P'Q'D≌△OCD，∴DP'＝OD＝4，∵∠CDO＝∠P'DQ'，∴cos∠P'DQ'＝，sin∠P'DQ'＝，作P'H⊥x軸，則DH＝DP'?cos∠PDQ＝，P'H＝DP'?cos∠PDQ＝，∴OH＝OD+DH＝∴點P'坐標（﹣，﹣）；②∠DQP＝90°，∵△PQD≌△COD，（SAS）∴DQ＝OD＝4，PQ＝3，∴點P坐標（﹣8，﹣3）；③∠DP''Q''＝90°，∵△P''Q''D≌△OCD，（SAS）∴DP''＝OD＝4，P''Q''＝OC＝3，∴P''G＝DP''?sin∠CDO＝，DG＝DP''?cos∠CDO＝，∴OG＝，∴點P坐標（﹣，）；即：△DPQ和△DOC全等時，點P的坐標為（﹣，﹣）、（﹣8，﹣3）、（﹣，）；【變式5】（2018?莆田一模）規(guī)定：在平面直角坐標系內，某直線l1繞原點O順時針旋轉90°，得到的直線l2稱為l1的“旋轉垂線”．（I）求出直線y＝﹣x+2的“旋轉垂線”的解析式；（II）若直線y＝k1x+1（k1≠0）的“旋轉垂線”為直線y＝k2x+b．求證：k1?k2＝﹣1．【答案】（1）y＝x﹣2（2）略【解答】解：（I）直線y＝﹣x+2經過點（2，0）和（0，2），則這兩點繞原點O順時針旋轉90°，得到的對應點為（0，﹣2）和（2，0），設直線y＝﹣x+2的“旋轉垂線”的解析式為y＝kx+b，把（0，﹣2）和（2，0），代入y＝kx+b，可得，解得，∴直線y＝﹣x+2的“旋轉垂線”的解析式為y＝x﹣2；（II）證明：直線y＝k1x+1（k1≠0）經過點（﹣，0）和（0，1），則這兩點繞原點O順時針旋轉90°，得到的對應點為（0，）和（1，0），把（0，）和（1，0），代入y＝k2x+b，可得，∴，∴k1k2＝﹣1．1．（2020?天津二模）若一次函數(shù)y＝kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）的圖象與直線y＝﹣2x平行，且過點（2，﹣1），則一次函數(shù)的解析式為．【答案】y＝﹣2x+3【解答】解：因為一次函數(shù)y＝kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）的圖象與直線y＝﹣2x平行，所以k＝﹣2，則一次函數(shù)解析式可設為y＝﹣2x+b．又因為一次函數(shù)過點（2，﹣1），代入y＝﹣2x+b得，﹣1＝﹣2×2+b，解得，b＝3．所以一次函數(shù)解析式為：y＝﹣2x+3．故答案為：y＝﹣2x+3．2．（2021秋?富川縣期末）將直線y＝3x﹣2平移后，得到直線y＝3x+4，則原直線（）A．沿y軸向上平移了6個單位 B．沿y軸向下平移了6個單位 C．沿x軸向左平移了6個單位 D．沿x軸向右平移了6個單位【答案】A【解答】解：將直線y＝3x﹣2沿y軸向上平移了6個單位后，得到直線y＝3x+4，∴故選：A．3．（2021春?碑林區(qū)校級期中）如圖，一次函數(shù)y＝2x+b經過M（1，3），它的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點．（1）求△AOB的面積．（2）將該直線繞點A順時針旋轉45°至直線l，過點B作BC⊥AB交直線l于點C，求點C的坐標及直線l的函數(shù)表達式．【答案】（1）（2）y＝x+．【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝2x+b的圖象經過點M（1，3），∴3＝2+b，解得b＝1，∴y＝2x+1，令y＝0，則x＝﹣；令x＝0，則y＝1，∴A（﹣，0），B（0，1），∴OA＝，OB＝1∴△AOB的面積＝＝；（2）作CD⊥y軸于D，∵∠BAC＝45°，BC⊥AB，∴∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∵∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBD，∴∠BAO＝∠CBD，在△AOB和△BDC中，，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴BD＝OA＝，CD＝OB＝1，∴OD＝OB﹣BD＝，∴C（1，），設直線l的解析式為y＝mx+n，把A（﹣，0），C（1，）代入得，解得，∴直線l的解析式為y＝x+．4．（2021秋?無錫期末）如圖1，點A的坐標為（4，0），點B為y軸正半軸上一個動點，將點A繞著點B順時針旋轉90°到C的位置．（1）若點C的橫坐標為：﹣2，求直線AB的函數(shù)表達式；（2）如圖2，若x軸恰好平分∠BAC，BC與x軸相交于點E，過點C作CD⊥AE于點D，試探究AE與CD的數(shù)量關系；（3）如圖3，將點O繞著點B逆時針旋轉90°到點D，連接DC，在點B的運動過程中，CD與y軸相交于點F，則線段BF的長度是否改變？若不變，求出BF的長度，若改變，請說明理由．【答案】（1）y＝x+2（2）AE＝2CD（3）BF＝FG＝BG＝2【解答】解：（1）過點C作CG⊥y軸于點G，則∠BGC＝∠AOB＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∵∠CBG+∠ABO＝90°，∴∠BAO＝∠CBG，∵A（4，0），點C的橫坐標為﹣2，∴OA＝4，CG＝2，由旋轉可知：BA＝BC，在△ABO和△BCG中，，∴△ABO≌△BCG（AAS），∴BG＝OA＝4，OB＝CG＝2，∴B（0，2），設直線AB的解析式為y＝kx+b，把A（4，0），B（0，2）代入，得：，解得：，∴直線AB的解析式為y＝x+2；（2）如圖2，延長CD與AB交于點H，∴∠CBH＝90°，∵CD⊥x軸，∴∠BCH+∠H＝90°，∵∠HAD+∠H＝90°，∴∠BCH＝∠HAD，由旋轉可知：BA＝BC，在△CHB和△AEB中，，∴△CHB≌△AEB（ASA），∴AE＝CH，∵x軸平分∠BAC，CD⊥x軸，∴CD＝DH，∴CH＝2CD，∴AE＝2CD；（3）線段BF的長度不改變．如圖3，過點C作CG⊥y軸于點G，由（1）知：△ABO≌△BCG，∴OB＝CG，BG＝OA＝4，∵將點O繞著點B逆時針旋轉90°到點D，∴∠DBF＝∠CGF＝90°，DB＝OB，∴DB＝CG，在△DBF和△CGF中，，∴△DB