2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末高效復(fù)習(xí)課1第一章空間向量與立體幾何典型例題講解Word版含解析

1第一章空間向量與立體幾何典型例題講解目錄一、基本概念回歸二、重點(diǎn)例題（高頻考點(diǎn)）高頻考點(diǎn)一：空間向量的基底高頻考點(diǎn)二：用基底表示向量高頻考點(diǎn)三：空間向量平行與垂直高頻考點(diǎn)四：空間向量模的計(jì)算高頻考點(diǎn)五：空間向量夾角的計(jì)算高頻考點(diǎn)六：空間向量的投影高頻考點(diǎn)七：利用空間向量求距離角度1：利用空間向量求點(diǎn)線距角度2：利用空間向量求點(diǎn)面距高頻考點(diǎn)八：利用向量方法求角角度1：利用向量方法求兩異面直線所成角角度2：利用向量方法求線面角角度3：利用向量方法求二面角高頻考點(diǎn)九：利用空間向量解決探索性問(wèn)題角度1：直線與平面所成角探索性問(wèn)題角度2：平面與平面所成角探索性問(wèn)題一、基本概念回歸知識(shí)回顧1：空間向量的數(shù)乘運(yùn)算1.1、定義：與平面向量一樣，實(shí)數(shù)與空間向量的乘積仍然是一個(gè)向量，稱(chēng)為向量的數(shù)乘運(yùn)算．1.2：數(shù)乘向量與向量的關(guān)系的范圍的方向的模與向量的方向相同，其方向是任意的知識(shí)回顧2：共線向量與共面向量2.1、共線（平行）向量的定義：若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，若與是共線向量，則記為．2.2、共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使．2.3拓展：對(duì)于直線外任意點(diǎn)，空間中三點(diǎn)共線的充要條件是，其中2.4、共面向量定義：平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量．2.5共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使2.6拓展對(duì)于空間任意一點(diǎn)，四點(diǎn)共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．知識(shí)回顧3：空間向量的數(shù)量積定義：已知兩個(gè)非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作；即．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.知識(shí)回顧4：兩個(gè)向量的平行與垂直平行（）垂直（）（均非零向量）知識(shí)回顧5：向量長(zhǎng)度的坐標(biāo)計(jì)算公式若，則，即知識(shí)回顧6：兩個(gè)向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式設(shè)，則知識(shí)回顧7：用向量法求空間角7.1、用向量運(yùn)算求兩條直線所成角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點(diǎn)，a，b所成的角為，則①②.7.2、用向量運(yùn)算求直線與平面所成角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有①②.（注意此公式中最后的形式是：）7.3、用向量運(yùn)算求平面與平面的夾角如圖，若于A，于B，平面PAB交于E，則∠AEB為二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若分別為面，的法向量①②根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；若二面角為銳二面角（取正），則；若二面角為頓二面角（取負(fù)），則；二、重點(diǎn)例題（高頻考點(diǎn)）高頻考點(diǎn)一：空間向量的基底1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知是空間的一組基底，則下列向量中能與，構(gòu)成一組基底的是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，，，所以由空間向量共面基本定理可知，，均與，共面，不能構(gòu)成一組基底，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.故選：C．2．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知，，是不共面的三個(gè)向量，下列能構(gòu)成一組基的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【詳解】A.因?yàn)?，則三個(gè)向量共面，所以三個(gè)向量不能構(gòu)成一組基底；B.因?yàn)?，則三個(gè)向量共面，所以三個(gè)向量不能構(gòu)成一組基底；C.假設(shè)，，共面，則必存在x，y，有，因?yàn)?，，是不共面，則，不成立，則三個(gè)向量不共面，所以三個(gè)向量能構(gòu)成一組基底；D.因?yàn)?，則三個(gè)向量共面，所以三個(gè)向量不能構(gòu)成一組基底；故選：C3．（多選）（2022·山東·聊城二中高二開(kāi)學(xué)考試）已知是空間的一個(gè)基底，若，則錯(cuò)誤的是（）A．是空間的一組基底 B．是空間的一組基底C．是空間的一組基底 D．與中的任何一個(gè)都不能構(gòu)成空間的一組基底【答案】ABD【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，，所以共面，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以共面，故錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，假設(shè)，即，得，這與是空間的一個(gè)基底矛盾，故是空間的一組基底，正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD4．（多選）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若向量{，，}構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（）A．，，2 B．，，C．，， D．2，，【答案】ABD【詳解】解：對(duì)于A：由于向量{，，}構(gòu)成空間的一個(gè)基底，且滿足，故A正確；對(duì)于B：由于，故B正確；對(duì)于C：由于，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由于，故D正確．故選：ABD．高頻考點(diǎn)二：用基底表示向量1．（2022·遼寧營(yíng)口·高二開(kāi)學(xué)考試）如圖，在四面體中，，，，為的重心，為的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)闉榈闹匦?，所?為的中點(diǎn)，所以.故選：C.2．（2022·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，，，，點(diǎn)在上，且，則等于（）A． B．C．- D．【答案】B【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P在A1C上，且A1P：PC=2：3，所以所以故選：B.3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體，中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】易知，，，，，，所以.故選：D4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在正三棱柱中，M為的重心，若，，，則______．（用、、表示）【答案】【詳解】由M為的重心可得為中點(diǎn)，，則.故答案為：.高頻考點(diǎn)三：空間向量平行與垂直1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，且，則（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【詳解】，，則，由，可得，解之得故選：B2．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知，，若，則m的值為（）A．－2 B．2 C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，解得，故選：C.3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知向量，，且與互相垂直，則的值是（）A．－1 B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，，所以，，因?yàn)榕c互相垂直，所以，解得，故選：D4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，，則下列結(jié)論正確的是（）A．， B．，C．， D．以上都不對(duì)【答案】C【詳解】由題意知：，，故，.故選：C.5．（2022·山東省鄆城第一中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知向量，若，則實(shí)數(shù)________．【答案】【詳解】因?yàn)橄蛄?，且，所以，解得?故答案為：.6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間三點(diǎn)、、，設(shè)，．(1)若向量與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值；(2)若向量與共線，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)或(2)或（1）解：由已知可得，，所以，，，由題意可知，即，解得或.（2）解：，，由題意，設(shè)，所以，，解得或.因此，.7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，．(1)求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】(1)25(2)或（1）因?yàn)?，，故，，故?），，，因?yàn)?，故，即，故，即，故或高頻考點(diǎn)四：空間向量模的計(jì)算1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，則（）A． B．40 C．6 D．36【答案】C【詳解】由題設(shè)，則.故選：C2．（2022·福建泉州·高二期末）在棱長(zhǎng)均為1的平行六面體中，，則（）A． B．3 C． D．6【答案】C【詳解】設(shè)，，，由已知，得，，，，所以，所以.故選：C3．（2022·福建·泉州師范學(xué)院附屬鵬峰中學(xué)高二階段練習(xí)）向量，，，且，，則______.【答案】【詳解】因，，而，則有，解得，即又，且，則有，解得，即，于是得，，所以.故答案為：4．（2022·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，三棱錐各棱的棱長(zhǎng)是1，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，則的最小值為（）A． B． C． D．1【答案】B【詳解】根據(jù)題意，在中，，所以所以==則時(shí)，取得最小值，則的最小值為.故選：B5．（2022·湖北·武漢市第十九中學(xué)高二期末）已知、是空間內(nèi)兩個(gè)單位向量，且，如果空間向量滿足，且，，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)、，的最小值為_(kāi)_____．【答案】【詳解】因?yàn)?、是空間內(nèi)兩個(gè)單位向量，且，所以，，因?yàn)?，則，不妨設(shè)，，設(shè)，則，，解得，則，因?yàn)?，可得，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)、，的最小值為.故答案為：.6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知長(zhǎng)方體，，，在上取一點(diǎn)M，在上取一點(diǎn)N，使得直線平面，則線段MN的最小值為_(kāi)_______.【答案】【詳解】如圖，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，即，又，，，設(shè)，，則，，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，即的長(zhǎng)度的最小值為．故答案為：．高頻考點(diǎn)五：空間向量夾角的計(jì)算1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，則（）A． B． C．0 D．1【答案】B【詳解】解：，，.故選：B.2．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若向量，且與的夾角余弦值為，則實(shí)數(shù)等于（）A．0 B．－ C．0或－ D．0或【答案】C【詳解】由題知，即，解得或.故選：C3．（2022·河北石家莊·一模）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代張蒼、耿壽昌所撰寫(xiě)的一部數(shù)學(xué)專(zhuān)著，是《算經(jīng)十書(shū)》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右，是當(dāng)時(shí)世界上最簡(jiǎn)練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)著，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.在《九章算術(shù)》，將底面是直角三角形的直三棱柱稱(chēng)為“塹堵”.已知在“塹堵”中，，，動(dòng)點(diǎn)在“塹堵”的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且，則的最大值為（）.A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可知三棱柱為直三棱柱，且，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，如下圖所示：因?yàn)?，則，由于動(dòng)點(diǎn)在“塹堵”的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，則存在實(shí)數(shù)使得，又，所以，所以，又，所以，化簡(jiǎn)可得，即，又，又，所以，,所以，又，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以的最大值為.故選：B.4．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知，，且與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是______．【答案】【詳解】解：因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以且不共線，由，可得，解得：，故答案為：5．（2022·四川·閬中中學(xué)高二階段練習(xí)（理））若向量若與的夾角為銳角，則的范圍為_(kāi)________.【答案】【詳解】因?yàn)橄蛄咳襞c的夾角為銳角，所以，且、不同向共線.只需滿足，解得：或.所以的范圍為.故答案為：.6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，若與的夾角為120°，則實(shí)數(shù)______．【答案】【詳解】，，，，，，，，，，，，，，，與的夾角為，，解得．故答案為：7．（2022·福建寧德·高二期中）已知空間三點(diǎn)，，，則與的夾角的大小是______．【答案】##【詳解】因?yàn)?，，所以所以，所以因?yàn)?，所以故答案為：高頻考點(diǎn)六：空間向量的投影1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是______．【答案】【詳解】向量在向量上的投影向量是故答案為：.2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)，，，，則向量在向量方向上的投影向量為_(kāi)_____．【答案】【詳解】解：，，，，，，所以，，所以在方向上的投影向量為；故答案為：3．（2022·湖北十堰·高一階段練習(xí)）已知點(diǎn)，與同向單位向量為，則向量在方向上的投影向量為_(kāi)__________.【答案】##【詳解】解：由已知得，故在上的投影向量為.故答案為：或4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，滿足，，且.則在上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)________.【答案】【詳解】?jī)蛇吰椒交?jiǎn)得：，①因?yàn)?，所以，又，代入①得：，解得：，所以在上的投影向量坐?biāo)為.故答案為：5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知空間三點(diǎn)A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，則在上的投影向量的模是______.【答案】【詳解】由題，，故在上的投影向量的模故答案為：.6．（2022·遼寧營(yíng)口·高二開(kāi)學(xué)考試）已知，，.(1)求；(2)求在上投影的數(shù)量.【答案】(1)(2)（1）因?yàn)?，，，所以?因?yàn)椋?，，所以，?（2）因?yàn)?，，所?因?yàn)?，所以在上投影的?shù)量為.高頻考點(diǎn)七：利用空間向量求距離角度1：利用空間向量求點(diǎn)線距1．（2022·河南·中牟縣第三高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，點(diǎn)F，G分別是AB，CC1的中點(diǎn)，則點(diǎn)D1到直線GF的距離為_(kāi)_______．【答案】【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)到直線的距離：．點(diǎn)到直線的距離為．故答案為：．2．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）為矩形所在平面外一點(diǎn)，平面，若已知，，，則點(diǎn)到的距離為_(kāi)_．【答案】##【詳解】方法一矩形中，，，，過(guò)作，交于，連結(jié)，平面，平面，，又，，平面，∵平面，，即是點(diǎn)到的距離，，，，點(diǎn)到的距離為．方法二∵平面，平面，∴，∵∴三線兩兩垂直，∴以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，，點(diǎn)到的距離為故答案為：3．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線的方向向量為，點(diǎn)在上，則點(diǎn)到的距離為_(kāi)______.【答案】【詳解】根據(jù)題意，得，，，；又點(diǎn)到直線l的距離為．故答案為：4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則到直線的距離為_(kāi)_________．【答案】【詳解】依題意得，則到直線的距離為故答案為：5．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，若為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_____．【答案】【詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，連接，由題意得，，，，∴，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，∴點(diǎn)到平面的距離．故答案為：6．（2022·云南·羅平縣第一中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_________.【答案】【詳解】由題意知：所以則點(diǎn)到平面的距離，故答案為：.角度2：利用空間向量求點(diǎn)面距1．（2022·湖南懷化·高二開(kāi)學(xué)考試）在四棱錐中，，，，則該四棱錐的高為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得，，則..設(shè)與平面所成的角為：則.故到平面的距離為，即四棱錐的高為.故選：D.2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）正方體的棱長(zhǎng)為1，E?F分別為?CD的中點(diǎn)，求點(diǎn)F到平面的距離.【答案】【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以和所在的直線分別為軸、軸和軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則????，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，可得，所以，又由，所以點(diǎn)F到平面的距離.故答案為：.3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，平面ABCD，且，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，求點(diǎn)D到平面PEF的距離．【答案】.【詳解】依題意，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，射線分別為軸非負(fù)半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，則，設(shè)平面PEF的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以點(diǎn)D到平面PEF的距離．高頻考點(diǎn)八：利用向量方法求角角度1：利用向量方法求兩異面直線所成角1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，則異面直線OB與AC所成的角是（）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B【詳解】∵，，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴，又異面直線所成角的取值范圍∴異面直線OB與AC所成的角為60°．故選：B2．（2022·福建省福州第一中學(xué)高一期末）如圖，三棱錐中，，，，分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值等于（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可得，，由可得則異面直線與所成角的余弦值為故選：C3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在正四棱柱中，若，，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)_____．【答案】【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，，，，所以，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，故答案為：.4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，M為線段的中點(diǎn)，N為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與MN所成角的正弦值的最小值為_(kāi)_______．【答案】【詳解】以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，0，，，,則，因?yàn)闉榫€段上的動(dòng)點(diǎn)，所以不妨設(shè)，則得，，，所以，則因?yàn)?，，所以，進(jìn)而所以，，故當(dāng)最大值時(shí)，最小，且最小值為所以直線與直線所成角正弦值的最小值為．故答案為:.5．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知空間四邊形各邊及對(duì)角線長(zhǎng)都相等，分別為的中點(diǎn)，求與夾角余弦值．【答案】【詳解】設(shè)，且各長(zhǎng)度均為，則，因?yàn)?，，且，，所以，所?與所成角的余弦值為.6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，D為的中點(diǎn)．(1)求證平面；(2)若E為的中點(diǎn)，求AE與所成的角．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)（1）∵在三棱柱，平面ABC，∴平面ABC，∴，又∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，故AB，BC，兩兩垂直，如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA所在直線為x軸，BC所在直線為y軸，所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系B－xyz．設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得．∵，∴，又平面，則平面.得證.（2）若為的中點(diǎn)，則，，，由，可得，則AE與所成的角為．7．（2022·河北·青龍滿族自治縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）如圖，正四棱錐中，，，為棱上的動(dòng)點(diǎn)．(1)若為棱的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若滿足，求異面直線與所成角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).（1）連接交于點(diǎn),連接,因?yàn)樗睦忮F為正四棱錐，所以四邊形為正方形，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以,因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）因?yàn)樗睦忮F為正四棱錐,所以為頂點(diǎn)在底面的射影，所以平面，且,,故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，因?yàn)?，，則,因?yàn)樯系狞c(diǎn)滿足，所以,設(shè)，則，所以所以，所以設(shè)異面直線與所成角為，則所以異面直線與所成角的余弦值為.8．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，O為中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求異面直線與OD所成角的大?。敬鸢浮?1)證明見(jiàn)解析(2)(1)如圖，以D為原點(diǎn)，射線DA、DC、分別為x、y、z軸的正向，建立空間直角坐標(biāo)系，則有，，,故，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得，令，則，，所以．又，從而，即．∵不在平面內(nèi)，所以平面．(2)直線與OD的一個(gè)方向向量為，，得，又設(shè)異面直線與OD所成角為，則，故，所以異面直線與OD所成角的大小為．角度2：利用向量方法求線面角1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，D是的中點(diǎn)，則直線AD與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】取AC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz．設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為2，則，，所以．，，設(shè)為平面的法向量，由，得，故，令，得．設(shè)直線AD與平面所成的角為，則，所以直線AD與平面所成角的正弦值為．故選：A2．（2022·四川·成都七中高二期中（理））如圖，在正方體中，直線和平面所成角的正弦值是____；【答案】##【詳解】設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).設(shè)直線和平面所成角為，則.故選：3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面是矩形，平面，若，，為的中點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為_(kāi)_____．【答案】【詳解】因?yàn)槭蔷匦?，所以，又因?yàn)槠矫?，平?，平面，所以，以為軸，為軸為軸建立如圖所示空間坐標(biāo)系：所以，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，所以，，，設(shè)平面的法向量，則，令解得，所以與平面所成角的正弦值，故答案為：.4．（2022·江蘇·馬壩高中高二期中）在正方體中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)在線段（不與重合）上，直線與平面所成的角為，則的最大值是__________.【答案】【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)第，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，設(shè)，，設(shè)平面的法向量為，，所以有，，因?yàn)?，所以時(shí)，有最大值，最大值為，故答案為：5．（2022·福建·三明市第二中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P，Q分別是線段，上的點(diǎn)，滿足平面，則與平面所成角的范圍是__________．【答案】【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，易得不重合，設(shè)，其中，且，所以，所以，，因?yàn)槠矫妫?，可得，所以，，因?yàn)槠矫?，所以的一個(gè)法向量為，設(shè)與平面所成的角為，則，當(dāng)，可得，因?yàn)?，所以?dāng)，可得，因?yàn)?，所以，所以與平面所成的角的范圍是為.故答案為：6．（2022·廣東·金山中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面正方形，平面底面，平面底面，，分別是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).（1）如圖，取中點(diǎn)，連接分別是的中點(diǎn)，，又分別是的中點(diǎn)，，面面，面，同理，分別是的中點(diǎn)，∴，面，面∴面，又，面面面面面，平面，（2）面面，面面，面內(nèi)存在過(guò)直線，所以面；面面，面面，面內(nèi)存在過(guò)直線；所以面；又都過(guò)面，由過(guò)一點(diǎn)有且僅有一條直線與平面垂直，故為同一條直線，面面，即為直線，故面，如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，得，，，設(shè)面的法向量為，可得，令，得，故，故與面所成角的正弦值為．7．（2022·吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形，，點(diǎn)D為棱上動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），平面與棱交于點(diǎn)E．(1)求證；(2)若平面平面，，，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)（1），且平面，平面，平面，又平面，且平面平面，；（2）連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，，在菱形中，，是等邊三角形，又為中點(diǎn)，，平面平面，平面平面，平面，且，平面，平面，，又，，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，令，則，，故，又，設(shè)與平面所成角為，，所以直線與平面所成角的正弦值為.8．（2022·湖北武漢·高三開(kāi)學(xué)考試）如圖，在圖1的等腰直角三角形中，，邊上的點(diǎn)滿足，將三角形沿翻折至三角形處，得到圖2中的四棱錐，且二面角的大小為.(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)榈妊苯侨切沃?，，所以，在四棱錐中，.所以為二面角的平面角，即.又，所以，滿足.即，又，且，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）由，且，平面，故平面，則有.又，所以，即兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則有：..設(shè)平面的法向量.，令，得.設(shè)所求角的大小為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.9．（2022·福建省福州第一中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，且，，沿將四邊形折成四邊形，使點(diǎn)在平面上的射影H在直線上．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).（1），平面，平面．平面，由，同理可得平面，又，平面平面，平面，平面；（2）如圖所示，過(guò)作，過(guò)作平面，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．在平面上的射影在直線上，設(shè)，，3，，且，；，解得；；，，且，5，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即解得，令，得，得到平面的法向量為，0，；又，5，，，2，，，，，直線與平面所成角的正弦值為，．10．（2022·安徽·合肥市第十中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，點(diǎn)是的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)（1）在直三棱柱中，平面，平面，所以，又因?yàn)椋?，，則，所以，又，平面，平面，所以平面，平面，所以.（2）以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，故，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，設(shè)與平面所成角為，則，即與平面所成角的正弦值為.角度3：利用向量方法求二面角1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AD，E為側(cè)棱DD1上一點(diǎn)，若直線BD1平面AEC，則二面角E-AC-B的正切值為（）A． B．- C． D．-【答案】B【詳解】解：連接BD交AC于點(diǎn)F，連接EF，由題意可知，BD1∥EF，因?yàn)镕為BD的中點(diǎn)，所以E為DD1的中點(diǎn)，又AC⊥平面BDD1B1，則∠EFD為二面角E﹣AC﹣D的平面角，設(shè)AD＝a，則ED＝a，DF＝，在Rt△EFD中，sin∠EFD＝，又二面角E﹣AC﹣B與二面角E﹣AC﹣D互補(bǔ)，所以二面角E﹣AC﹣B的正切值為．故選：.2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知正三棱柱的棱長(zhǎng)均為，是側(cè)棱的中點(diǎn)，則平面與平面的夾角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以垂直于的直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，因?yàn)槭歉骼忾L(zhǎng)均等于的正三棱柱，是側(cè)棱的中點(diǎn)，所以，故，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，故，又平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．故選：B．3．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中，二面角的正切值為（）A． B．2 C． D．【答案】D【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，易求得平面的一個(gè)法向量為，平面ACD的一個(gè)法向量為，所以，且二面角是銳二面角，所以正弦值為：，正切值為：．故選：D4．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)??分別在空間直角坐標(biāo)系的三條坐標(biāo)軸上，，，，設(shè)二面角的大小為，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則即取又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，所以故選：B5．（2022·全國(guó)·高二）如圖，在四棱錐中，平面，，，，為的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為_(kāi)_________．【答案】【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，直線與平面所成角為，，故答案為：.6．（2022·福建省漳州第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，.記平面與平面的交線為.(1)證明：；(2)求平面與平面所成的角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)（1）因?yàn)?，平面，平面，所以平?又平面，平面平面，所以.（2）因?yàn)椋?，又，所以，又，所以，所以，又，，平面，平面，所以平?取，中點(diǎn)分別為，，連接，，，則，所以平面，又平面，所以.又因?yàn)?，所?如圖，以為原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸的正方向，并均以1為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，.設(shè)是平面的法向量，則，即，取，得，，則.又是平面的一個(gè)法向量，所以，即平面與平面所成的角的正弦值為.7．（2022·遼寧朝陽(yáng)·高三階段練習(xí)）如圖，在多面體中，平面，四邊形是平行四邊形.為的中點(diǎn).(1)證明:平面.(2)若是棱上一點(diǎn)，且，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).（1）因?yàn)槠矫?，平面，則，而，，平面，于是得平面，因，且為的中點(diǎn)，即有，又，因此四邊形是平行四邊形，則，所以平面．（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，顯然平面的法向量為，則，又二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為．8．（2022·河南·商丘市第一高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（理））如圖，三棱柱中，，交于點(diǎn)O，AO⊥平面.(1)求證：；(2)若，且直線AB與平面所成角為60°，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)（1）證明：∵AO⊥平面，平面，∴，∵，，∴，∴四邊形為菱形，∴，又，平面，平面，∴平面，∵平面，∴.（2）令，在等腰中，，∴OB＝1，，.∵AO⊥平面，∴∠ABO為直線AB與平面所成的角，∴∠ABO＝60°，∴，由（1）得OB，，OA兩兩垂直，所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，，OA所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，∴.令y＝1，，z＝1得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，∴，令y＝1，，z＝－1，解得，設(shè)二面角大小為，∵為銳角，∴.∴二面角的余弦值為.9．（2022·河北·元氏縣第四中學(xué)高二期末）如圖，四棱錐中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E為PC中點(diǎn)．(1)求證：DE⊥平面PCB；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)（1）證明:PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又∵正方形ABCD中，CDBC，PDCD＝D，∴BC⊥平面PCD，又∵DE平面PCD，∴BC⊥DE，∵PD＝CD，E是PC的中點(diǎn)，DEPC，PCBC＝C，且面，面∴DE⊥平面PCB（2）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意知：則，設(shè)平面BDE的法向量為，則，令，得到，又，則，且AC⊥平面PDB，∴平面PDB的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，所以二面角的余弦值為．高頻考點(diǎn)九：利用空間向量解決探索性問(wèn)題角度1：直線與平面所成角探索性問(wèn)題1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，是中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（）．A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，，則，以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．則，故，，又，則，所以．在正方體中，可知體對(duì)角線平面，所以是平面的一個(gè)法向量，所以．所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)或1時(shí)，取得最小值．所以.故選：A．2．（2022·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高二階段練習(xí)（理））在長(zhǎng)方體中，，，O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，若直線OP與平面所成的角為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】以D為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示則，，，，，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為則，令，得所以，由于，，，，，，由于，所以故選：D3．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P在線段（P不與B重合）上，直線與平面所成的角為，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】以D為原點(diǎn)，分別以，，為x，y，z軸，建立坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則平面的法向量為，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：B4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在五面體ABCDE中，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，平面，，且．設(shè)CE與平面ABE所成的角為，，若，則k的最大值為（）A． B．1 C． D．【答案】C【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，取AB的中點(diǎn)M，則，連接CM，則，又平面，因?yàn)槠矫鍭BC，所以，又因?yàn)椋?，則平面ABE的一個(gè)法向量為．由題意知，又由，可得：，結(jié)合可得：，所以k的最大值為.故選：C．5．（2022·湖南懷化·高二開(kāi)學(xué)考試）如圖，在幾何體中，平面平面，.四邊形為矩形.在四邊形中，，，.(1)點(diǎn)在線段上，且，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)點(diǎn)在線段上，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.【答案】(1)存在實(shí)數(shù)，使得，且的值為(2)（1）解：因?yàn)樗倪呅螢榫匦危?因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面不妨設(shè)，則.以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過(guò)D與AB平行的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，所以，.因?yàn)?，所以，解?故存在實(shí)數(shù)，使得，且的值為（2）解：設(shè)平面的法向量，則，即，不妨取，則.設(shè)，，則，.直線與平面所成的角為，則.…令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以.故直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.6．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，∠∠，，，，分別為線段，上的點(diǎn)(不在端點(diǎn))．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，是否存在，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的長(zhǎng)，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】存在，【詳解】平面，∠，則兩兩垂直以P為原點(diǎn)，分別以為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系則，，，假設(shè)存在存在，使得直線與平面所成角的正弦值為，設(shè)，，則，解得，，，，則，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，直線與平面所成角的正弦值為，，整理，得，解之得或（舍），存在使得直線與平面所成角的正弦值為．由，可得，即7．（2022·北京市十一學(xué)校高三階段練習(xí)）圖1是直角梯形，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，并且，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖2.(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得到平面的距離為？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)存在點(diǎn)且為的中點(diǎn)；.（1）證明：如圖所示：在圖1中連接AC，交BE于O，因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為2的菱形，并且，所以，且，在圖2中，相交直線均與BE垂直，所以是二面角的平面角，因?yàn)?，則，所以平面平面；（2）由（1）分別以為x，y，z建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，因?yàn)榈狡矫娴木嚯x為，所以，解得，則，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，所以直線與平面所成角的正弦值為：.8．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐，底面ABCD為直角梯形，，，，E為AD的中點(diǎn)，過(guò)BE作平面，分別交側(cè)棱PC，PD于M，N兩點(diǎn)，且.(1)求證：平面平面ABCD.(2)若，是否存在平面，使得直線PB與平面所成角的正弦值為？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，理由見(jiàn)解析(1)證明：因?yàn)?，E為AD的中點(diǎn)，，即，，所以四邊形BCDE是平行四邊形，所以.因?yàn)槠矫鍼CD，平面PCD，所以平面PCD.又平面，平面平面，所以.又，所以.又，，所以平面PAD.又平面ABCD，所以平面平面ABCD.(2)連接PE，因?yàn)椋詾檎切?又因?yàn)镋為AD的中點(diǎn)，所以.又平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，所以平面ABCD.如圖，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA，EB，EP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，.設(shè)，則，.設(shè)平面BMNE的法向量為，則，即，不妨令，則，所以平面BMNE的一個(gè)法向量為.設(shè)直線PB與平面BMNE所成角為β，則，解得或（舍去），即當(dāng)時(shí)，直線PB與平面BMNE所成角的正弦值為.所以存在平面，使得直線PB與平面所成角的正弦值為.角度2：平面與平面所成角探索性問(wèn)題1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則平面與平面所成的銳二面角正切的最小值是（）A．B．C． D．【答案】B【詳解】以A為原點(diǎn)，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、、、其中.則,.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，不妨設(shè)x=-1，則，顯然是面的一個(gè)法向量.設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則，要使平面與平面所成的銳二面角正切的最小，只需平面與平面所成的銳二面角最小，只需平面與平面所成的銳二面角余弦最大.所以當(dāng)時(shí)，最小，最大.此時(shí)，所以.故選：B2．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）如圖所示，三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面與側(cè)面都是以為斜邊的等腰直角三角形，為線段的中點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，若平面與平面所成銳二面角的平面角為，則的最大值為_(kāi)________.【答案】【詳解】底面與側(cè)面都是以為斜邊的等腰直角三角形，則≌，∴，設(shè)，則，∵為的中點(diǎn)，則，∴，即，以為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)，，，則，而，，∴、、，∴，∴、、、，設(shè)面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，設(shè)面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，面與面所成銳二面角的平面角為，則，當(dāng)時(shí)，即的最大值為.故答案為：.3．（2022·山西·高三階段練習(xí)）四棱錐中，四邊形為梯形，其中，，，平面平面．(1)證明：；(2)若，且與平面所成角的正弦值為，點(diǎn)在線段上且滿足，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).（1）由題設(shè)，△為等邊三角形，則，又四邊形為梯形，，則，在△中，，即，面面，面面，面，則面，又面，故.（2）若為中點(diǎn)，，則，面面，面面，面，則面，連接，則，且面，故，綜上，，兩兩垂直，構(gòu)建以為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，若且，則，而面的一個(gè)法向量為，，所以，可得，故，所以，，，若是面的一個(gè)法向量，則，取，若是面的一個(gè)法向量，則，取，所以，由圖知：銳二面角的余弦值.4．（2022·河北·衡水市第十四中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N，Q分別為CC1，BC，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段A1B1上運(yùn)動(dòng)，且.(1)證明：無(wú)論λ取何值，總有AM⊥平面PNQ；(2)是否存在點(diǎn)P，使得平面PMN與平面ABC的夾角為60°？若存在，試確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在點(diǎn)P，A1P（1）證明：如圖所示：連接A1Q.因?yàn)锳A1=AC=1，M，Q分別是CC1，AC的中點(diǎn)，所以RtAA1Q≌RtCAM，所以∠MAC=∠QA1A，所以∠MAC+∠AQA1=∠QA1A+∠AQA1=90°，所以AM⊥A1Q.因?yàn)镹，Q分別是BC，AC的中點(diǎn)，所以NQAB.又AB⊥AC，所以NQ⊥AC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，所以NQ⊥AA1.又AC∩AA1=A，AC，AA1?平面ACC1A1，所以NQ⊥平面ACC1A1，所以NQ⊥AM.由NQAB和ABA1B1可得NQA1B1，所以N，Q，A1，P四點(diǎn)共面，所以A1Q?平面PNQ.因?yàn)镹Q∩A1Q=Q，NQ，A1Q?平面PNQ，所以AM⊥平面PNQ，所以無(wú)論λ取何值，總有AM⊥平面PNQ.（2）存在點(diǎn)P，當(dāng)時(shí)，平面PMN與平面ABC的夾角為60°.理由如下：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC，AA1所在直線分別為x軸?y軸?z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，由，可得點(diǎn)P（λ，0，1），所以.設(shè)是平面PMN的一個(gè)法向量，則，即，解得，令x=3，則y=1+2λ，z=2-2λ，所以=（3，1+2λ，2-2λ）是平面