2023屆高三寒假數(shù)學(xué)二輪微專題45講13.爪型三角形及應(yīng)用

高三二輪微專題：爪型三角形及應(yīng)用如圖所示中，從其中一個頂點出發(fā)引一條射線與所在直線交于點，這樣，就得到一個爪字型的三角形，由于線段的引入，結(jié)合正余弦定理，會產(chǎn)生很多有趣的結(jié)論和問題.因此以爪型三角形為背景的問題是高考或者?？贾械某？碱}型.爪型三角形的基本幾何特征:.其他幾何性質(zhì)會隨著線段不同特點而定.為中線：平面向量來相伴當(dāng)為中線時，借助平面向量有：，這樣我們就可以借助向量運算及正余弦定理實現(xiàn)解題.=1\*Arabic1例1．已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且，，為邊上的中線，若，則的面積為（）A．B．C．D．解析：，故.練習(xí)1.在中，角、、所對的邊為、、，且滿足.（1）求角的大??；（2）若為的中點，且，求的最大值.解：（1）由正弦定理及得，由知，則，化簡得，.又，因此，.（2）由，又為的中點，則，等式兩邊平方得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此，的面積最大值為.二.為高線：道不盡的特殊值.為高線時，圖中就會出現(xiàn)兩個直角三角形，那我們就可以在這兩個直角三角形中大膽的使用直角三角形的正弦，余弦，正切定義，使用特數(shù)值，順利求解題目.例2．（2016年全國3卷）在中，，BC邊上的高等于,則A．B．C．D．解析：直角三角形中，取，再由題意，，故，最后由余弦定理可得：.練習(xí)2.中，是邊上的高，，則（）A.B.C.D.解析：選A.三.為角平分線：角平分線定理如圖，可設(shè)，這樣可得.另一方面，設(shè)的高為，則，聯(lián)立上面兩式可得：，即角平分線性質(zhì)定理.例3.（2015全國2卷）中，是上的點，平分，面積是面積的2倍．(1)求；(例2.（2015全國2卷）中，是上的點，平分，面積是面積的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的長．解析：（1）有角平分線定理可得.（2）利用爪型三角形角度之間的關(guān)系.（1），，∵，，∴．由正弦定理可知.（2）∵，，∴．設(shè)，則，在△與△中，由余弦定理可知，，，∵，∴，∴，解得，即．練習(xí)3.已知雙曲線的兩條漸近線分別為直線，，經(jīng)過右焦點且垂直于的直線分別交，于兩點，且，則該雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．選A四．一般情形：可借助平面向量實現(xiàn).且.例4．（2018全國1卷）在△中，為邊上的中線，為的中點，則A．B．C．D．解析：選A.小結(jié)：本節(jié)圍繞高考或者?？贾谐Ｒ姷囊活惾切危鹤π腿切握归_.如圖，由于的具體特征不同，我們依次可以得到中線，角平分線，高線所對應(yīng)的一些常見的解題手段和思路，應(yīng)用過程中，要善于結(jié)合正余弦定理，內(nèi)角關(guān)系，平面向量準(zhǔn)確解題，希望通過本節(jié)課，能夠在今后所出現(xiàn)的爪型三角形解題中豐富解題手段，提高解題能力.練習(xí)題1．在中，，則BC邊上的中線AD的長為A．1B．C．2D．2.中，是邊上的高，，則（）A.B.C.D.3.已知雙曲線的兩條漸近線分別為直線，，經(jīng)過右焦點且垂直于的直線分別交，于兩點，且，則該雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．4．（2018全國1卷）在△中，為邊上的中線，為的中點，則A．B．C．D．5．如圖，在中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為A．B．C．D．6．（2018全國3卷）設(shè),是雙曲線（）的左、右焦點，是坐標(biāo)原點．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為A．B．C．D．7．在中，角、、所對的邊分別為、、，且滿足.（1）求角的大?。唬?）若為的中點，且，求的最大值.8．如圖，在中，，，點D在線段BC上．(1)當(dāng)時，求的值；(2)若AD是的平分線，，求的面積．1．A【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)向量的運算法則，可得，所以，故選A.【點睛】該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認(rèn)真對待每一步運算.2．B【詳解】分析：由雙曲線性質(zhì)得到，然后在和在中利用余弦定理可得．詳解：由題可知在中，在中,故選B.點睛：本題主要考查雙曲線的相關(guān)知識，考查了雙曲線的離心率和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．3．A【分析】由已知條件，令，，則在△中結(jié)合余弦定理可知，根據(jù)三角形面積公式即可求最大值【詳解】由題意，可得如下示意圖令，，又，即有∴由余弦定理知：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立∴有∴故選：A【點睛】本題考查了正余弦定理，利用向量的知識判斷線段的長度及比例關(guān)系，再由余弦定理并應(yīng)用基本不等式求三角形兩邊之積的范圍，進而結(jié)合三角形面積公式求最值4．A【分析】在和中，由余弦定理，化簡可得；在中，由余弦定理可知，由此可得，由此即可求出的周長.【詳解】在和中，由余弦定理，可知∴在中，由余弦定理可知∴∴所以的周長為.故選：A.【點睛】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中等題.5．D【分析】由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：，即可．【詳解】由余弦定理可得：．

在中，由余弦定理可得：，故選D．【點睛】本題主要考查了余弦定理，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．在解與三角形有關(guān)的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù).解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說,當(dāng)條件中同時出現(xiàn)及、時，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進行解答.6．D【分析】由向量共線定理可得，結(jié)合基本不等式即可求出的最小值.【詳解】如圖可知x，y均為正，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，則的最小值為9.故選:D.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.7．A【解析】因為，所以；因為是直線上的一點，所以設(shè),則，即，則；故選A.8．C【分析】首先由三點共線得到，然后，即可計算出答案.【詳解】因為，所以因為三點共線，所以，即因為，所以所以故選：C【點睛】三點共線，若，則9．（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理邊角互化思想得出，再利用兩角差的余弦公式可得出的值，結(jié)合角的范圍可得出角的大??；（2）由中線向量得出，將等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運算律和定義，并結(jié)合基本不等式得出的最大值，再利用三角形的面積公式可得出面積的最大值.【詳解】（1）由正弦定理及得，由知，則，化簡得，.又，因此，；（2）如下圖，由，又為的中點，則，等式兩邊平方得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此，的面積最大值為.【點睛】本題考查正弦定理邊角互化思想的應(yīng)用，同時也考查了三角形的中線問題以及三角形面積的最值問題，對于三角形的中線計算，可以利用中線向量進行計算，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.10．（1）；（2）.【分析】（1）先根據(jù)正弦定理完成角化邊，然后利用余弦定理求解出的值；（2）先根據(jù)已知條件表示出，再利用基本不等式求解出的范圍，從而可求解出的最大值.【詳解】（1）因為，所以，所以且，所以，所以；（2）因為，所以，又因為，所以，所以（取等號時），所以，所以（取等號時），所以的最大值為.【點睛】本題考查解三角形的綜合應(yīng)用，其中涉及到正弦定理完成邊化角以及利用余弦定理求解最值，對學(xué)生的轉(zhuǎn)化與計算能力要求較高，難度一般.注意：使用基本不等式時要說明取等號的條件.11．(1)(2)或．【分析】（1）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，利用正弦定理可求，由已知利