2017-2018學(xué)年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1全冊(cè)講學(xué)案

2017-2018學(xué)年蘇教版高中數(shù)學(xué)

選修1-1講學(xué)案

目錄

第一章1.1命題及其關(guān)系

第一章1.2簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

第一章1.3全稱(chēng)量詞與存在量詞

第二章2.1圓錐曲線

第二章2.2橢圓

第二章2.3雙曲線

第二章2.4拋物線

第二章2.5圓錐曲線的共同性質(zhì)

第三章3.1導(dǎo)數(shù)的概念

第三章3.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

第三章3.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

第三章3.4導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

高考九大高頻考點(diǎn)例析

2017-2018學(xué)年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1講學(xué)案

1.1命題及其關(guān)系

1.1.1四種命題

抽象問(wèn)題情境化，新知無(wú)師自通［對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P2

廠I命題的概念

觀察下列語(yǔ)句的特點(diǎn):

(1)這幅畫(huà)真漂亮！

(2)求證小是無(wú)理數(shù)；

(3)菱形是平行四邊形嗎？

(4)等腰三角形的兩底角相等;

(5)x>2012；

(6)若V=20122,則X=2O12.

問(wèn)題：在這些語(yǔ)句中哪些能判斷出真假，哪些不能判斷出真假.

提示：(1)(2)(3)(5)不能判斷真假；(4)(6)能判斷真假.

I.能夠判斷其微的語(yǔ)句叫做命題.

人罰［真命題：判斷為真的命題.

2.命題［假命題：判斷為暇的命題.

四種命題及其關(guān)系

觀察下列四個(gè)命題:

1

2017-2018學(xué)年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1講學(xué)案

(1)若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形相似；

(2)若兩個(gè)三角形相似，則這兩個(gè)三角形全等；

(3)若兩個(gè)三角形不全等，則這兩個(gè)三角形不相似；

(4)若兩個(gè)三角形不相似，則這兩個(gè)三角形不全等.

問(wèn)題：命題(1)與命題(2)、(3)、(4)的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？

提示：命題(1)的條件是命題(2)的結(jié)論，且命題(1)的結(jié)論是命題(2)的條件.

對(duì)于命題(1)和(3).其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論

的否定；

對(duì)于命題(1)和(4).其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件

的否定.

1.四種命題的概念

(1)如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論是另一個(gè)命題的結(jié)迨和條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆

命題.

(2)如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定,那么這

兩個(gè)命題叫做互否命題.

(3)如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定,那么這

兩個(gè)命題叫做互為逆否命題.

2.命題的四種形式

原命題：若p,則g逆命題：若。，貝

否命題：若非小則非逆否命題：若非4,則非〃.

3.四種命題之間的關(guān)系

//〃//入門(mén)答料，〃〃/

觀察下列命題，回答后面的問(wèn)題：

(1)如果兩個(gè)三角形全等，那么它們的面積相等;

(2)如果兩個(gè)三角形的面積相等，那么它們?nèi)?

2

2017-2018學(xué)年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1講學(xué)案

(3)如果兩個(gè)三角形不全等，那么它們的面積不相等；

(4)如果兩個(gè)三角形面積不相等，那么它們不全等.

問(wèn)題1：若把命題(1)看作原命題，這四個(gè)命題之間有什么關(guān)系？

提示：⑴與⑵、(3)與(4)為互逆關(guān)系：(1)與(3)、(2)與(4)為互否關(guān)系；⑴與⑷、(2)與(3)

為互為逆否關(guān)系.

問(wèn)題2：判斷四個(gè)命題的真假.

提不:：命題(1)(4)是真命題；命題(2)(3)是假命題.

〃〃,新知由解八勿/

1.四種命題的真假性

原命題逆命題否命題逆否命題

真真M真

真假假真

假真假

假假假假

2.四種命題的真假性之間的關(guān)系

(1)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性.

(2)兩個(gè)命題互為逆命題或否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系.

［歸納.升華.領(lǐng)悟1-------------------------------->

1.原命題是相對(duì)其他三種命題而言的.事實(shí)上，可以把任意一個(gè)命題看成原命題，來(lái)

研究它的其他形式的命題.

2.當(dāng)一個(gè)命題有大前提而要寫(xiě)出其他三種命題時(shí)，大前提仍作大前提.

3.若兩個(gè)命題互為逆否命題，則它們有相同的真假性，即它們同真同假.所以，當(dāng)一

個(gè)命題的真假不易判斷時(shí)，可以通過(guò)對(duì)其逆否命題的真假的判斷來(lái)判斷原命題的真假.

高頻考點(diǎn)題組化，名師一點(diǎn)就通I時(shí)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P3］

命題的概念及其判斷

［例1］判斷下列語(yǔ)句是否為命題？若是命題，則判斷其真假:

(1卜區(qū)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)；

(2*—3x+2=O；

3

2017-2018學(xué)年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1講學(xué)案

(3)垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？

(4)一個(gè)等比數(shù)列的公比大于1時(shí)，該數(shù)列為遞增數(shù)列；

(5)當(dāng)x=4時(shí),2x+l>0；

(6)把門(mén)關(guān)上.

［思路點(diǎn)撥］首先判斷是不是命題，如果是，然后再判斷它是真命題還是假命題.

［精解詳析］(1)能判斷真假，是命題，是假命題.

(2)不是命題，因?yàn)檎Z(yǔ)句中含有變量x,在沒(méi)給變量x賺值前，無(wú)法判斷語(yǔ)句的真假(這

種語(yǔ)句叫“開(kāi)語(yǔ)句”).

(3)不能判斷真假，不是命題.

(4)是命題，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的首項(xiàng)勾<0,公比q>l時(shí)，該數(shù)列是遞減數(shù)列，因此是一個(gè)假

命題.

(5)能判斷真假，是命題，是真命題.

(6)因?yàn)闆](méi)有作出判斷，所以不是命題.

［一點(diǎn)通］

(1)判斷一個(gè)語(yǔ)句是不是命題，關(guān)鍵是看能不能判斷真假.

(2)判定一個(gè)命題是真命題時(shí)，一般需要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理論證，論證要有推理依據(jù)，有

時(shí)應(yīng)綜合各種情況作出正確的判斷：而判定一個(gè)命題為假命題時(shí)，只需舉出一個(gè)反例即可.

/////^俎,集鈍“〃/

1.下列語(yǔ)句：

(1)2+2也是有理數(shù)；

(2)1+1>2；

◎疔00是個(gè)大數(shù)；

(4)968能被11整除;

(5)非典型性肺炎是怎樣傳播的？

其中是命題的是.

解析：(1)能判斷真假，是命題，是假命題；

(2)能判斷真假，是命題，是假命題；

(3)不能判斷真假，不是命題；

(4)是命題，是真命題；

(5)不能判斷真假，不是命題.

答案：⑴、(2),(4)

2.判斷下列命題的真假：

(1)函數(shù)jusin'x-cos與的最小正周期是兀；

(2)斜率相等的兩條直線平行;

4

2017-2018學(xué)年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1講學(xué)案

2

(3)不等式|3x—2|>4的解集是(-8,--)U(2,+°°)；

(4)平行于同一平面的兩條直線平行.

解：(l)y=sin，-cosS^siEx-COS2JC=-cos2x,顯然其最小正周期為it,故(1)為真命

題.

(2)斜率相等的兩條直線有可能平行，也有可能重合，故(2)是假命題.

(3)由|3萬(wàn)一2|>4得，3》一2>4或3》一2<一4,

.*.x>2或x<—

2

，|3x-2|>4的解集是(一8,--)U(2,+8).

故(3)為真命題.

(4)平行于同一平面的兩條直線可能平行，可能相交，可能異面，故(4)為假命題.

am四種命題及其真假判斷

［例2］分別寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷其真假：

(1)若實(shí)數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,則一=農(nóng)；

(2)函數(shù)y=log,Ma>0且在(0,+8)上是減函數(shù)時(shí)，log〃2<0.

［思路點(diǎn)撥］先分清所給命題的條件和結(jié)論，再按要求寫(xiě)出逆命題、否命題和逆否命題，

并做出真假判斷.

［精解詳析］

(1)原命題可以寫(xiě)成：若實(shí)數(shù)a,b,c成等比數(shù)列，則為真命題.

逆命題：若實(shí)數(shù)a,b,c滿足反="c,則小b,c成等比數(shù)列，為假命題.

否命題：若實(shí)數(shù)a,b,c不成等比數(shù)列，則/Wqc,為假命題.

逆否命題：若實(shí)數(shù)a,b,c,滿足/#四，則a,b,c不成等比數(shù)列，為真命題

(2)原命題可以寫(xiě)成：若函數(shù)y=log,/(a>0且aWl)在(0,+8)上是減函數(shù)，則log“2<0,

為真命題.

逆命題：若log“2<0,則函數(shù)y=log,/3>0且aWl)在(0,+8)上是減函數(shù)，為真命題.

否命題：若函數(shù)y=log?x(a>0且aWl)在(0,+8)上不是減函數(shù)，則log“220,為真命

題.

逆否命題：若1O&220,則函數(shù)y=logoMa>0且aWl)在(0,+8)上不是減函數(shù)，為真

命題.

［一點(diǎn)通］

(1)四種命題進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)應(yīng)首先找出原命題的條件和結(jié)論，然后利用四種命題的^念直

5

2017-2018學(xué)年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1講學(xué)案

接轉(zhuǎn)化即可.

(2)對(duì)于命題的真假判斷，當(dāng)直接判斷有難度時(shí)，可以通過(guò)判斷它的逆否命題的真假來(lái)

判斷.

俎?泰利-^

3.把下列命題改寫(xiě)成“若p,則q”的形式，并判斷命題的真假：

(1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等；

(2)當(dāng)x=2或x=4時(shí)，X2—6x+8=0；

(3)已知x、y為正整數(shù)，當(dāng)y=x+l時(shí)，y=3,x=2.

解：(1)原命題可改寫(xiě)成：若一個(gè)三角形是等腰三角形，則兩個(gè)底角相等，真命題.

(2)原命題可改寫(xiě)成：若x=2或x=4,則F—6x+8=0,真命題.

(3)原命題可改寫(xiě)成：已知x、y為正整數(shù)，若)=x+l,則)，=3,x=2.假命題.

4.寫(xiě)出下列原命題的其他三種命題，并分別判斷其真假：

(1)在△ABC中,若a>b,則NA>NB；

(2)正偶數(shù)不是質(zhì)數(shù)；

(3)若xWA則xd(AUB).

解：(1)原命題：在△ABC中，若則NA>N8,真命題；

逆命題：在AABC中，若NA>NB,則a>b,真命題：

否命題：在△ABC中，若aWb,則NAWNB,真命題；

逆否命題：在△ABC中，若N4WNB,則aWb,真命題.

(2)原命題：若一個(gè)數(shù)是正偶數(shù)，則它一定不是質(zhì)數(shù)，假命題，例如2;

逆命題：若一個(gè)數(shù)不是質(zhì)數(shù)，則它一定是正偶數(shù)，假命題，例如9;

否命題：若一個(gè)數(shù)不是正偶數(shù)，則它一定是質(zhì)數(shù)，假命題，例如9;

逆否命題：若一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)，則它一定不是正偶數(shù)，假命題，例如2.

(3)原命題：若xGA,則xG(AU8),真命題；

逆命題：若xe(AU8),則XGA,假命題；

否命題：若xiA,則依(AUB),假命題；

逆否命題：若遇(AU8),則也，真命題.

Exa四種命題的綜合應(yīng)用

［例3］證明：已知函數(shù)是(一8,+8)上的增函數(shù)，a,feGR,若貝〃)+_/(%)//(一

?)+/(—&),則

［思路點(diǎn)撥］根據(jù)原命題與逆否命題的等價(jià)性，先證逆否命題即可.

［精解詳析］法一：原命題的逆否命題為“已知函數(shù)式X)是(-8,+8)上的增函數(shù)，“，

6

2017-2018學(xué)年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1講學(xué)案

6GR,若“+XO,則4/+大方）勺（一a）+八一份.”

證明如下：

若a+h<0,貝！］a<~b,h<~a.

又：犬x）在（-8,+8）上是增函數(shù)，

即原命題的逆否命題為真命題.

原命題為真命題.

法二：假設(shè)°+反0,貝!］6,b<-a.

又:/U）在（一8,十8）上是增函數(shù)，

二五。）勺（一切，犬公勺（一a）.

.?._/3）+1切勺（一0+八一份.

這與已知條件人。）+八刀刃（一。）+.大一力相矛盾.

因此假設(shè)不成立，故a+620.

［一點(diǎn)通］

由于原命題與它的逆否命題具有相同的真假性，所以在直接證明某一個(gè)命題為真命題有

困難時(shí)，可以通過(guò)證明它的逆否命題為真命題來(lái)間接地證明原命題為真命題.

題做條例

5.已知c>0,設(shè)p：函數(shù)y=（/在R上單調(diào)遞減，q：不等式x+|x-2c|>l的解集為R,

如果°和q有且僅有一個(gè)正確，求c的取值范圍.

解：函數(shù)y=c*在R上單調(diào)遞減oOccvl.

記P={ci0<c<l}

不等式x+|x—2c|>l的解集為RO函數(shù)）=x+|x—2d在R上恒大于1.

\lx~2c,x22c,

Vx+|x—2c|=i

［2c,x<2c,

二函數(shù)y=x+|x-2c|在R上的最小值為2c.

...不等式x+|x-2c|>l的解集為RO2O1OO；.

記2=卜1

如果p正確，且q不正確，

借助數(shù)軸得0<c、W

如果p不正確，且q正確，

借助數(shù)軸得cel.

7

2017-2018學(xué)年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1講學(xué)案

...C的取值范圍為(0,1U［l,+°°).

6.證明：若J—4/一2〃+lW0,貝ija#2〃+l.

證明："若/一4/-2“+1片0,貝UaW26+l”的逆否命題為"若〃=2匕+1,則廿一4后

-2°+1=0”.

'：a=2b+\,

：.a2-4tr-2a+1=(2b+1猿一4戶(hù)一2(26+1)+1

=4/+1+4b-4b2~4b~2+1

=0.

.,.命題“若(j=26+l,則k-4b2一2a+1-0"為真命題.

由原命題與逆否命題具有相同的真假性可知，結(jié)論正確.

［方法?規(guī)律?小結(jié)］'

1.寫(xiě)四種命題時(shí)，可以按下列步驟進(jìn)行：

(1)找出原命題的條件p和結(jié)論4；

(2)寫(xiě)出條件p的否定非p和結(jié)論q的否定非q；

(3)按照四種命題的概念寫(xiě)出所有命題.

2.判斷命題的真假時(shí)，可以根據(jù)互為逆否的命題的真假性相同來(lái)判斷，這也是反證法

的理論基礎(chǔ).

課下訓(xùn)練經(jīng)典化.貴在觸類(lèi)旁通［對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(一)］

1.給出下列語(yǔ)句：①空集是任何集合的真子集：②三角函數(shù)是周期函數(shù)嗎？③一個(gè)數(shù)

不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；④老師寫(xiě)的粉筆字真漂亮?、萑魓GR,則f+4x+5>0.其中為命題的

序號(hào)是,為真命題的序號(hào)是.

解析：①是命題，且是假命題，因?yàn)榭占侨魏畏强占系恼孀蛹?；②該語(yǔ)句是疑問(wèn)句，

不是命題；③是命題，且是假命題，因?yàn)閿?shù)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)；④該語(yǔ)句是感嘆句，

不是命題；⑤是命題，因?yàn)閒+4x+5=(x+2)2+l>()恒成立，所以是真命題.

答案：①③⑤⑤

2.設(shè)。“是向量，命題“若。=—4則⑷=|例"的逆命題是.

答案：若⑷=|臼，則Q=~5

3.命題“對(duì)于正數(shù)m若〃>1,則lg〃>0”及其逆命題、否命題、逆否命題四個(gè)命題中

真命題的個(gè)數(shù)為.

解析：逆命題：對(duì)于正數(shù)〃，若則4>1.

否命題：對(duì)于正數(shù)〃，若aWl,則IgaWO.

8

2017-2018學(xué)年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1?1講學(xué)案

逆否命題：對(duì)于正數(shù)若lgaWO,則aWl.

根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)可知都是真命題.

答案：4

4.命題“若a=：,則tana=1”的逆否命題是.

解析：將條件與結(jié)論分別否定，再交換即可.

答案:若tana#1,則a#/

5.給出下列命題：①“若f+Jxo,則x,>不全為零”的否命題；②“若｛斯｝既是等

差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則斯=a“+i(/iGN*)”的逆命題;③“若用>1,則不等式』+等+

〃》0的解集為R”的逆否命題.

其中所有真命題的序號(hào)是.

解析：①的否命題為“若/+/=(),則x,y全為零”是真命題；②的逆命題為“數(shù)列

｛斯｝中，若％=a“+i("eN*),則數(shù)列｛%｝既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列”是假命題，如

0,0,0.......;對(duì)于③當(dāng)〃?>1時(shí)，/=4-4〃?<0恒成立，f+2x+，〃>0的解集為R是真命題.因

此逆否命題是真命題.

答案：①③

6.把下列命題寫(xiě)成“若p,則的形式，并判斷真假.

(1)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；

(2)當(dāng)？一2%—3=0時(shí)，》=-3或x=l；

(3)a<0時(shí)，函數(shù)y=ax+Z>的值隨x值的增大而增大.

解：(1)若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則它的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，是真命題.

(2)若/一2%—3=0,則x=-3或x=l,是假命題.

(3)若。<0,則函數(shù)y=ar+b的值隨著x值的增大而增大，是假命題.

7.證明：若"/+/=2,則0i+"W2.

證明：將"若，/+初=2,則山+〃W2”視為原命題，則它的逆否命題為“若，"+〃>2,

則W+〃2K2”.

由于》7+〃>2,則ni2+n2^^(m+?)2>^X22=2,

所以W+”2#2.

故原命題的逆否命題為真命題，從而原命題也為真命題.

8.判斷下列命題的真假，并寫(xiě)出它們的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假.

(1)若四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，則該四邊形是圓的內(nèi)接四邊形：

(2)若在二次函數(shù)>=0?+瓜+。中，b2-4ac<0,則該函數(shù)圖像與x軸有交點(diǎn).

解：(1)該命題為真.

9

2017-2018學(xué)年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1講學(xué)案

逆命題：若四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，則四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，為真.

否命題：若四邊形的對(duì)角不互補(bǔ)，則該四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形，為真.

逆否命題：若四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形，則四邊形的對(duì)角不互補(bǔ)，為真.

⑵該命題為假.

逆命題：若二次函數(shù)丁=/+云+。的圖像與x軸有交點(diǎn)，則反―4〃c<0,為假.

否命題：若二次函數(shù)y=〃K2+bx+c中b2—4qc20,則函數(shù)圖像與無(wú)軸無(wú)交點(diǎn)，為假.

逆否命題：若二次函數(shù)y二加+法+^^.的圖像與不軸無(wú)交點(diǎn)，則從一4qc20,為假.

1.1.2充分條件和必要條件

抽象問(wèn)題情境化，新知無(wú)師自通對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)已

充分條件和必要條件

^入門(mén)備料7〃

如圖：p：開(kāi)關(guān)A閉合，q：燈泡B亮.-----一軟

B

問(wèn)題1：p與q有什么關(guān)系？」卜（_________

提示：命題p成立，命題q一定成立.

P：兩三角形相似，<?：對(duì)應(yīng)角相等.

問(wèn)題2：p與q有什么關(guān)系？

提示：命題p成立，命題q一定成立.

〃〃/，新知?解7〃〃

一般地，如果曰，那么稱(chēng)p是q的充分條件，q是p的必要條件.

充要條件

入門(mén)在料.，〃

已知P：整數(shù)尤是6的倍數(shù)；

q：整數(shù)x是2和3的倍數(shù).

問(wèn)題1：“若p,則是真命題嗎？

提示：是.

問(wèn)題2：“若q,則p”是真命題嗎？

提示：是.

10

2017-2018學(xué)年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1講學(xué)案

問(wèn)題3：p是q的什么條件？

提示：充要條件.

〃〃〃新知a*〃/〃

1.如果"今外且q0p,那么稱(chēng)“是〃的充分必要條件.簡(jiǎn)稱(chēng)p是q的充要條件，記作

p0q.

2.如果p今q,且40/p,那么稱(chēng)〃是〃的充分不必要條件.

3.如果p今/q,且q今p,那么稱(chēng)〃是q的必要不充分條件.

4.如果p=>/q,且q今/p,那么稱(chēng)〃是“的既不充分又不必要條件.

［歸納.升華.領(lǐng)悟］------------------------'

原命題“若p,則,逆命題為“若q,則p"，則p與q的關(guān)系有以下四種情形:

原命題逆命題p、q的關(guān)系

p是q的充分不必要條件

真假

q是〃的必要不充分條件

p是q的必要不充分條件

假真

4是〃的充分不必要條件

真真p與q互為充要條件

〃是q的既不充分也不必要條件

假假

q是〃的既不充分也不必要條件

高頻考點(diǎn)題組化，名師一點(diǎn)就通I對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P6］

充分條件和必要條件的判斷

［例1］對(duì)于二次函數(shù)yU)="x2+bx+c(a/0),下列結(jié)論正確的是

①/=/一4"20是函數(shù)/U)有零點(diǎn)的充要條件；

②/=戶(hù)一4"c=0是函數(shù)_/U)有零點(diǎn)的充分條件；

③/=/-4">0是函數(shù)式的有零點(diǎn)的必要條件；

④/=從一4農(nóng)<0是函數(shù)式x)沒(méi)有零點(diǎn)的充要條件.

［思路點(diǎn)撥］逐一分析/,根據(jù)二次函數(shù)與/的關(guān)系，判斷結(jié)論是否正確.

［精解詳析］

11

2017-2018學(xué)年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1講學(xué)案

①是正確的，因?yàn)?〃c20o方程加+芯+。=0(<320)有實(shí)根0段)=爾+次+。

有零點(diǎn)；

②是正確的，因?yàn)?=反-4ac=00方程以2+笈+，=0(a70)有實(shí)根，因此函數(shù)見(jiàn)0=

nV+法+c(〃W0)有零點(diǎn)，但是次外=/+瓜+以4/0)有零點(diǎn)時(shí)，有可能/>0；

③是錯(cuò)誤的，因?yàn)楹瘮?shù)段)=a?+bx+c(a#0)有零點(diǎn)時(shí)，方程辦2+bx+c=0(aW0)有實(shí)

根，但未必有/=/一4°<?>0,也有可能/=0；

④是正確的，因/=/—4acy0<=>方程0%2+法+。=0(4—0)無(wú)實(shí)根o函數(shù)/(x)=a?+bx

+c(aro)無(wú)零點(diǎn).

［答案］①②④

［一點(diǎn)通］充分、必要條件判斷的常用方法：

(1)定義法：分清條件和結(jié)論，利用定義判斷.

(2)等價(jià)法：將不易判斷的命題轉(zhuǎn)化為它的等價(jià)命題判斷.

/期.做翥料”〃/

1.從“今”、“今/”與“o”中選出適當(dāng)?shù)姆?hào)填空：

(l)x>lx>0；

(2)a>h/能；

(3)a2+b2=laba=b；

(4)Aq0A=0.

解析：(1)由于命題“若第>1,則心>0”為真命題，則x>l=x>0;

(2)由于命題“若4知，則/>從"為假命題，貝今/〃2>戶(hù)；

(3)由于命題“若a2+b2=2ab,則“=6”為真命題，且逆命題也為真命題，故a2+b2

=2abOa=l>;

(4)由于命題“若A￡。，則A=0”為真命題，且逆命題也為真命題，故AG0OA=0.

答案：(1)今(2)今/(3)0(4)0

2.(福建高考改編)已知集合4={1,a},8={1,2,3},則“。=3”是“AWB”的

條件.

解析：因?yàn)锳={1,a},8={1,2,3},若a=3,則4={1,3},所以A=B;若AUB,則

a=2或a=3,所以AGBn/a=3,所以“。=3”是“AUB”的充分不必要條件.

答案：充分不必要

3.指出下列各題中。是q的什么條件(在“充分不必要條件”“必要不充分條件”、“充

要條件”、“既不充分又不必要條件”中選一個(gè)作答)：

(l)p：x—3=0,q：(x—2)(x—3)=0；

(2)p：兩個(gè)三角形相似，q：兩個(gè)三角形全等：

(3)p：cob,q：a+c>b+c；

12

2017-2018學(xué)年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1講學(xué)案

(4)〃：a>h,q：ac>hc.

解：(l)x-3=0^>(x-2)(x-3)=0,但伏一2)。-3)=00/工一3=0,故〃是夕的充分不必

要條件.

(2)兩個(gè)三角形相似=>/兩個(gè)三角形全等，但兩個(gè)三角形全等今兩個(gè)三角形相似，故p

是q的必要不充分條件.

(3)a>h^a+c>h+c,且a+c>h+c=>a>bf故〃是夕的充要條件.

(4)a>b0/ac>bc,且ac>bc0/〃>/?,故〃是q的既不充分又不必要條件.

充分條件、必要條件的應(yīng)用

［例2］已知p：2x2—3x—2^0,q：f—2(〃-1)工+4(4—2)20,若p是g的充分不必要

條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

［思路點(diǎn)撥］先利用不等式的解法確定命題p、q成立的條件，再根據(jù)〃是q的充分不

必要條件確定。的不等式組，求得。的范圍.

［精解詳析］令M={x|2f—3x—220}

={x|(2x+l)(x-2)^0}

={x\x^一；或x》2},

N={小2—2(〃-l)x+〃(a—2)20}

=――〃)［x—(a—2)］20}

={x|xW〃-2或

由已知〃今夕且夕今/p,得MN.

1f1

〃一22―彳，a—2>一不

.?/2或J2

、a<2,

33

用，<2.

3

即所求。的取值范圍是g,2］.

［一點(diǎn)通］根據(jù)充分條件或必要條件求參數(shù)范圍：

⑴記集合M={Xp(x)},N={x|q(x)}:

(2)若p是q的充分不必要條件，則MN,

若p是q的必要不充分條件，則NM,

若p是q的充要條件，則M=N;

13

2017-2018學(xué)年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1講學(xué)案

(3)根據(jù)集合的關(guān)系列不等式(組);

(4)求參數(shù)范圍.

〃?&做架鈍”

3-m3+

4.已知p：關(guān)于無(wú)的不等式=,q：x(x—3)<0,若p是q的充分不必要條件,

求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

3-TH3+相

解：記4=x2<x<2~

B={小。-3)<0}={x|0<r<3},

若p是q的充分不必要條件，則AB.

注意到8={川0a<3}W。，分兩種情況討論：

3—m3+m

(1)若A=0,即一2一2~2~,求得〃zW0,此時(shí)AB,符合題意;

3-tn3+

(2)若AW。，即〈F-，求得加>0,

要使AB,應(yīng)有03+〃?解得0<"?<3.

2<3,

</n>0

綜上可得，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(一8,3).

5.已知條件p：x2+x—6=0,條件q：〃a+1=0,且9是〃的充分不必要條件，求相

的值.

解：由題意得p:A={x|x=-3或x=2},

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，p=B=。,

當(dāng)mW0時(shí)，P:B={MX=-

??力是p的充分不必要條件，：.BA.

易知772=0適合題意.

當(dāng)一(=-3或一,=2,即加=g或〃?=—3時(shí)，也適合題意.

.\m的值為一g或g或0.

￡￡3求充要條件

［例3］已知數(shù)列{斯}的前〃項(xiàng)和S〃=p〃+q(pWO,p#l),求數(shù)列{%}是等比數(shù)列的充

14

2017-2018學(xué)年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1講學(xué)案

要條件.

［思路點(diǎn)撥］根據(jù)數(shù)列的前〃項(xiàng)和S〃與數(shù)列通項(xiàng)斯的關(guān)系，先求出數(shù)列的通項(xiàng)根

據(jù)數(shù)列｛〃〃｝為等比數(shù)列，探求q所滿足的條件，同時(shí)要注意充分性的證明.

［精解詳析］a］=S］=p+q.

當(dāng)〃時(shí)，=n

22an—Sn-Sn-\p*(/?—1),

.‘wo,pWi,?"p'Li(p_i)-p，

若&｝為等比數(shù)列，則?=^^p,

以1

?p(p—l)

.?~^~二P'

?.?pWO,:?p_1=p~\~q,

???4=-1..??｛〃“｝為等比數(shù)列的必要條件是q=-L

下面證明q=T是｛斯｝為等比數(shù)列的充分條件.

當(dāng)g=-1時(shí)，S〃=p"—l(pW0,pWl),

9

??ci\—S\—p-1；

當(dāng)〃時(shí)，==nn1=n1

22anSn—Sn-1p—pp(P—1)，

：?%=(p—l)p"i(pW0,pWl),

加一w

n2為常數(shù),

an-\(p-\)pP

：.q=-\時(shí)，數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列.即數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列的充要條件為4=-1.

［一點(diǎn)通］求充要條件一般有兩種方法：

(1)等價(jià)轉(zhuǎn)化法.將原命題進(jìn)行等價(jià)變形或轉(zhuǎn)化，直至獲得其成立的充要條件，求解的

過(guò)程同時(shí)也是證明的過(guò)程，因?yàn)榍蠼獾倪^(guò)程的每一步都是等價(jià)的，所以不需要將充分性和必

要性分開(kāi)來(lái)證.

(2)非等價(jià)轉(zhuǎn)化法.先尋找必要條件，即將求充要條件的對(duì)象視為結(jié)論，尋找使之成立

的條件；再證明此條件是該對(duì)象的充分條件，即從充分性和必要性?xún)煞矫嬲f(shuō)明.

〃〃?題fl,條例一“Z

6.使函數(shù)人x)=|x-a|在區(qū)間［1,+8)上為增函數(shù)的充分不必要條件為.

解析：由函數(shù)y(x)=|x—的圖像知，函數(shù)y(x)=|x—在區(qū)間［1,+8)上為增函數(shù)的充

要條件為所以使“函數(shù)人x)=k—a|在區(qū)間［1,+8)上為增函數(shù)”的充分不必要條件

即求使ZW1”成立的充分不必要條件，即填寫(xiě)形如aWp,且P<1即可，故答案不唯一，

可填“<0.

答案：“W0

7.設(shè)“dN*,一元二次方程*2—4x+〃=0有整數(shù)根的充要條件是〃=.

15

2017-2018學(xué)年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1講學(xué)案

解析：由于方程都是正整數(shù)解，由判別式“16—4〃20"得，逐個(gè)分析，當(dāng)

〃=1、2時(shí)，方程沒(méi)有整數(shù)解：而當(dāng)"=3時(shí)，方程有正整數(shù)解1、3:當(dāng)〃=4時(shí)，方程有正

整數(shù)解2.

答案:3或4

［方法.規(guī)律.小結(jié)］-------------------------

1.關(guān)于充分條件、必要條件、充要條件以及既不充分又不必要條件的關(guān)系有如下四種

情形：

(1)若pq,則p是q的充分不必要條件；

(2)若qp,則p是q的必要不充分條件；

(3)若p=q,則p是q的充分必要條件，既充要條件；

(4)若p%,且q°p,則p是g的既不充分又不必要條件.

2.根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，往往運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化

的思想，利用互為逆否命題的等價(jià)性來(lái)解決.

課下訓(xùn)練經(jīng)典化，貴在觸類(lèi)旁通【對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(二)］

1.(安徽高考改編)“(2x-l)x=0”是“x=0”的條件.

解析：由(2x—l)x=0可得或x=0,因?yàn)?x=￡或x=0"是"x=0"的必要不充分

條件，所以“(2x-l)x=0”是“x=0”的必要不充分條件.

答案：必要不充分

2.已知直線l\：x+ay+6=0和為：3—2)x+3y+2a=0,則/I〃6的充要條件是“=

解析：由1義3一°X(a—2)=0,得a=3或-1,而a=3時(shí)，兩條直線重合，所以a=

答案：一1

3.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,c,給出下列命題：

①“a=b”是％。=加”的充要條件；

②％是“於＞廬的充分條件.

③、＜5”是“〃＜3”的必要條件；

④“。+5是無(wú)理數(shù)”是“。是無(wú)理數(shù)”的充要條件.

其中真命題的序號(hào)為.

解析：①是ac=6c的充分不必要條件，故①錯(cuò)，②。＞匕是標(biāo)＞/的既不充分也

不必要條件，故②錯(cuò).③④正確.

16

2017-2018學(xué)年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1講學(xué)案

答案：③④

4.（北京高考改編）“8=?！笔恰扒€》=411（2%+0）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)”的條件.

解析：由sin3=0可得（p=kn（kGZ）,此為曲線y=sin（2九+卬）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的充要條件，

故"（p=R”是“曲線y=sin（2x+9）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)”的充分不必要條件.

答案：充分不必要

5.若p：x（x—3）<0是q：2x—3<m的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

..3+m

斛析：p:0<x<3,q:x<-2-，

3|

若P是4的充分不必要條件，則―2—"^'3,即"?23.

答案：[3,+°°）

6.求證：一元二次方程公2+笈+。=0有一正根和一負(fù)根的充要條件是勿〈（）.

證明：（1）必要性：因?yàn)榉匠蘟f+云+。=0有一正根和一負(fù)根，所以/=/—4〃c>0,不必

=-<O（X],12為方程的兩根），所以。。<0.

（2）充分性：由ac<0可推得/=反一4<?00及X|X2=/0（x”M為方程的兩根）.所以方程

/+—+。=0有兩個(gè)相異實(shí)根，且兩根異號(hào)，即方程af+bx+cn。有一正根和一負(fù)根.

綜上所述，一元二次方程cue+fer+c=O有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0.

7.求直線/：or—y+b=O經(jīng)過(guò)兩直線東級(jí)一2y一3=0和83x-5y+1=0交點(diǎn)的充

要條件.

[2x—2y-3=0,17H

解：由3-i—n得交點(diǎn)P（￥，%

[3x—5y+l=0,-今

若直線/:以一），+6=0經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,

1711

則aX——^-+h=0..\\7a+4b=11.

設(shè)“，b滿足17。+46=11,則J4，

代入方程cix—y+b=Of得以一y+“一^'=0,

整理，得（>一￡）_〃口_，）=0.

.??直線/:以一y+6=0恒過(guò)點(diǎn)（?，?），此點(diǎn)即為八與，2的交點(diǎn).

綜上，直線/:or—y+6=0經(jīng)過(guò)兩直線:2x—2y—3=0和6：3x—5y+l=0交點(diǎn)的

充要條件為17^+4/?=11.

8.已知p：—6Wx—4W6,q：x2—2x+1—tn2^0（tn>0）,若夕是p的充分不必要條件,

求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

17

2017-2018學(xué)年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1講學(xué)案

解：p：—6Wx—4W60-2WxW10.

q：x2—2x+1一)?2?00|\—Q—(1+m)]W0(〃?>0)c1—mWxW1+〃7("z>0).

因?yàn)閝是〃的充分不必要條件.

即{x|l-mWxWl+m}{x|-2WxW10},如圖，

-2l~m1+m10

“一加2—2,J1—〃2>—2,

故有彳?

〔1+?。?0,[1+〃?W10,

解得

又加＞0,所以實(shí)數(shù)機(jī)的范圍為{刑0＜"?W3}.

18

2017-2018學(xué)年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1講學(xué)案

國(guó)-0邏輯聯(lián)結(jié)詞

入n本科

如圖所示，有三種電路圖.

問(wèn)題1：甲圖中，什么情況下燈亮？

提示：開(kāi)關(guān)〃閉合且q閉合.

問(wèn)題2：乙圖中，什么情況下燈亮？

提示：開(kāi)關(guān)p閉合或夕閉合.

問(wèn)題3：丙圖中，什么情況下燈不亮？

提示：開(kāi)關(guān)p不閉合時(shí).

//////自解

這里的“或”“旦”“韭”稱(chēng)為邏輯聯(lián)結(jié)詞.

□3H含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題

〃〃〃入門(mén)本算，〃〃

如知識(shí)點(diǎn)一中的圖，若開(kāi)關(guān)p、q的閉合與斷開(kāi)分別對(duì)應(yīng)命題p、q的真與假，則燈亮與

不亮分別對(duì)應(yīng)著pAq、pVq、㈱p的真與假.

問(wèn)題1：什么情況下，。八《為真？

提不：當(dāng)p真，q真時(shí).

問(wèn)題2：什么情況下，pVq為假?

提不：當(dāng)p假，q假時(shí).

問(wèn)題3：什么情況下，㈱p為真？

提示：當(dāng)p假時(shí).

/////%匈解‘/〃/

1.一般地，通常用小寫(xiě)拉丁字母p,小r表示命題，用聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”

19

2017-2018學(xué)年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1講學(xué)案

把p,q聯(lián)結(jié)起來(lái)，就得到新命題,“p或/、“p且""、“非p”.

“P或記作“心”；

“P且q”記作“也立”；

“非P”記作“一〃”.

2.一般地，"p或/'、"p且/'、“非p”形式的命題的真假性可以用下面表格分

別表示：

(1)命題0且4的真假性：

Pqp且q

真真真

真假微

假真微

假假假

(2)命題p或q的真假性:

Pqp或4

真真真

假真

真假

假假暇

(3)p與p的真假性:

三糠P

［歸納.升華.領(lǐng)悟1-------------------------------------'

命題“pAq”的真假，概括為同真為真，有假為假；命題“pVq”的真假，概括為同假

為假，有真為真；命題p與“^夕”的真假相反.

第一課時(shí)“且”“或”“非”

高頻考點(diǎn)題組化,名師一點(diǎn)就通I對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P81

20

2017-2018學(xué)年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1講學(xué)案

ZZ分析命題的結(jié)構(gòu)

［例1］指出下列命題分別由“P且4”“P或q”“非P”中的哪種形式構(gòu)成，并寫(xiě)出

其中的命題p,q：

(1)兩個(gè)角是45。的三角形是等腰直角三角形；

(2)方程f-3=0沒(méi)有有理根；

(3)如果冷，<0,則點(diǎn)P(x,y)的位置在第二或第三象限.

［思路點(diǎn)撥］根據(jù)命題的含義，確定邏輯聯(lián)結(jié)詞，分解出命題p和/

［精解詳析］(l)"p且的形式；其中小兩個(gè)角是45。的三角形是等腰三角形；q：

兩個(gè)角是45。的三角形是直角三角形；

(2)“非p”的形式；p：方程￥—3=0有有理根；

(3)“p或q”的形