名師教案 高中數(shù)學(xué)人教B版 必修 第一冊(cè) 函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系

第三章函數(shù)3.2函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)本節(jié)課要學(xué)的是方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)，其中包括函數(shù)零點(diǎn)的概念以及函數(shù)零點(diǎn)的判定，由于學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，本節(jié)課的內(nèi)容就是在此基礎(chǔ)上的推廣.【教學(xué)目標(biāo)】1、函數(shù)零點(diǎn)的概念2、二次函數(shù)的零點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)方程、不等式解集之間的關(guān)系3、函數(shù)零點(diǎn)存在定理4.二分法【核心素養(yǎng)】1.數(shù)學(xué)抽象：理解函數(shù)零點(diǎn)的概念以及函數(shù)零點(diǎn)與方程的關(guān)系2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：會(huì)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)3.直觀想象：結(jié)合二次函數(shù)的圖像，會(huì)判斷一元二次方程根的存在性及一元二次不等式的解法4.邏輯推理：了解二分法是求定理近似解的方法，會(huì)用二分法求一個(gè)函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)近似值【教學(xué)重點(diǎn)】1、了解函數(shù)（結(jié)合二次函數(shù)）零點(diǎn)的概念；2、理解函數(shù)零點(diǎn)與方程的根以及函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的關(guān)系；3、掌握零點(diǎn)存在性定理的運(yùn)用.【教學(xué)難點(diǎn)】1、掌握零點(diǎn)存在性定理的運(yùn)用，是指會(huì)利用零點(diǎn)存在性定理判定在哪個(gè)區(qū)間存在零在本節(jié)課的教學(xué)中，準(zhǔn)備使用《幾何畫板》。因?yàn)槭褂谩稁缀萎嫲濉?，可以把抽象?wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀形象具體的問(wèn)題，便于學(xué)生理解。函數(shù)的零點(diǎn)【嘗試與發(fā)現(xiàn)】已知函數(shù)f（x）=x-1，我們知道，這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)?，而且可以求出，方程f（x）=0的解集為，不等式f（x）>0的解集為，不等式f（x）<0的解集為在下圖中作出函數(shù)f（x）=x-1的圖像，總結(jié)上述方程、不等式的解集與函數(shù)定義城、函數(shù)圖像之間的關(guān)系.由嘗試與發(fā)現(xiàn)中的例子可以看出，根據(jù)函數(shù)值的符號(hào)能夠把函數(shù)的定義域分為幾個(gè)不相交的集合。具體來(lái)說(shuō)，假設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若A={x∈D|f（x）<0}，B={x∈D|f（x）=0}，C={x∈D|f（x）>0}，顯然，A，B，C兩兩的交集都為空集，且D=A∪B∪C.一般地，如果函數(shù)y=f（x）在實(shí)數(shù)a處的函數(shù)值等于零，即f（a）=0，則稱a為函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn).上述集合B就是函數(shù)所有零點(diǎn)組成的集合。不難看出，a是函數(shù)f（x）零點(diǎn)的充分必要條件是，（a，0）是函數(shù)圖像與x軸的公共點(diǎn)。因此，由函數(shù)的圖像可以方便地看出函數(shù)值等于0的方程的解集，以及函數(shù)值與0相對(duì)大小比較的不等式的解集.【典型例題】例1如下圖所示是函數(shù)y=f（x）的圖像，分別寫出f（x）=0，f（x）>0，f（x）≤0的解集.解由圖可知，f（x）=0的解集為{一5，一3，一1，2，4，6}.f（x）>0的解集為（一5，-3）∪（2，4）∪（4，6）.f（x）≤0的解集為依照零點(diǎn)的定義可知，求函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上就是要解方程f（x）=0，而且只要得到了這個(gè)方程的解集，就可以知道函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)等，就能得到類似f（x）>0等不等式的解集.二、二次函數(shù)的零點(diǎn)及其與對(duì)應(yīng)方程、不等式解集之間的關(guān)系我們已經(jīng)知道怎樣求解一元二次方程，而且也知道二次函數(shù)的圖像是拋物線，因此可以借助二次函數(shù)的圖像得到一元二次不等式的解集.【典型例題】例2利用函數(shù)求下列不等式的解集：（1）x2-x-6<0；（2）x2-x-6≥0.解設(shè)f（x）=x2-x-6，令f（x）=0，得x2-x-6=0，即(x-3)(x+2)=0，從而x=3或x=-2.因此3和-2都是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，從而f（x）的圖像與x軸相交于（3，0）和（-2，0），又因?yàn)楹瘮?shù)圖像是開(kāi)口向上的拋物線，所以可以作出函數(shù)圖像示意圖如下圖所示.由圖可知：（1）所求解集為（-2，3）；（2）所求解集為（-∞，-2]∪[3，+∞）.例3利用函數(shù)求下列不等式的解集：-x2-2x-3≥0；-x2-2x-3<0.解設(shè)f（x）=-x2-2x-3，令f（x）=0，得x2+2x+3=0，即(x+1)2=-2，該方程無(wú)解。因此函數(shù)f（x）無(wú)零點(diǎn)，從而f（x）的圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，又因?yàn)楹瘮?shù)圖像是開(kāi)口向下的拋物線，所以可以作出函數(shù)圖像示意圖如下圖所示。由圖可知：（1）所求解集為?；（2）所求解集為R例4利用函數(shù)求下列不等式的解集：（1）x2-4x+4>0；（2）x2-4x+4≤0.解設(shè)f（x）=x2-4x+4，令f（x）=0，得x2-4x+4=0，即(x-2)2=0，從而x=2.因此函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為2，從而f（x）的圖像與x軸相交于（2，0），又因?yàn)楹瘮?shù)圖像是開(kāi)口向上的拋物線，因此可知：（1）所求解集為（-∞，2）∪（2，+∞）；（2）所求解集為{2}.一般地，由一元二次方程解集的情況可知，對(duì)于二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）：（1）當(dāng)Δ=b2-4ac>0時(shí)，方程ax2+bx+c=0的解集中有兩個(gè)元素x1，x2，且x1，x2是f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，f（x）的圖像與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)（x1，0），（x2，0）；（2）當(dāng)Δ=b2-4ac=0時(shí)，方程ax2+bx+c=0的解集中只有一個(gè)元素xo，且xo是f（x）唯一的零點(diǎn)，f（x）的圖像與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）當(dāng)Δ=b2-4ac=0<0時(shí)，方程ax2+bx+c=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，此時(shí)f（x）無(wú)零點(diǎn)，f（x）的圖像與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)。更進(jìn)一步，可以由二次函數(shù)的圖像得到對(duì)應(yīng)的不等式的解集，有關(guān)內(nèi)容留作練習(xí)。例5求函數(shù)f（x）=（x+2）（x+1）（x-1）的零點(diǎn)，并作出函數(shù)圖像的示意圖，寫出不等式f（x）>0和f（x）≤0的解集。解函數(shù)零點(diǎn)為一2，-1，1.函數(shù)的定義域被這三個(gè)點(diǎn)分成了四部分，每一部分函數(shù)值的符號(hào)如下由此可以畫出函數(shù)圖像的示意圖如下圖所示。由圖可知f（x）>0的解集為（-2，-1）∪（1，+oo）；f（x）≤0的解集為（-∞，-2]∪[-1，1].三、零點(diǎn)的存在性及其近似值的求法【嘗試與發(fā)現(xiàn)】關(guān)于x的一元關(guān)于x的一元一次方程kx+b=0（k≠0）的求根公式為一次函數(shù)、二次函數(shù)的零點(diǎn)是否存在，并不難判別，這是因?yàn)橐辉淮畏匠?、一元二次方程?shí)數(shù)解的情況，都可以根據(jù)它們的系數(shù)判別出來(lái)，而且有實(shí)數(shù)根的時(shí)候，都能夠?qū)懗銮蟾?。但是，?duì)于次數(shù)大于或等于3的多項(xiàng)式函數(shù)（例如f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a≠0），以及其他表達(dá)式更復(fù)雜的函數(shù)來(lái)說(shuō)，判斷零點(diǎn)是否存在以及求零點(diǎn)，都不是容易的事（事實(shí)上，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)證明：次數(shù)大于4的多項(xiàng)式方程，不存在求根公式）.因此，我們有必要探討什么情況下一個(gè)函數(shù)一定存在零點(diǎn).【嘗試與發(fā)現(xiàn)】如如下圖所示，已知A，B都是函數(shù)y=f（x）圖像上的點(diǎn)，而且函數(shù)圖像是連接A，B兩點(diǎn)的連續(xù)不斷的線，畫出3種y=f（x）的可能的圖像.判斷f（x）是否一定存在零點(diǎn)，總結(jié)出一般規(guī)律?？梢钥闯?，嘗試與發(fā)現(xiàn)中的函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）中一定存在零點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的，并且f（a）f（b）<0（即在區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)），則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）中至少有一個(gè)零點(diǎn)，即?xo∈（a，b），f（xo）=0.一般地，解析式是多項(xiàng)式的函數(shù)的圖像都是連續(xù)不斷的.需要注意的是，反比例函數(shù)的圖像不是連續(xù)不斷的.例6求證：函數(shù)f（x）=x3-2x+2至少有一個(gè)零點(diǎn).證明因?yàn)閒（0）=2>0，f（-2）=-8+4+2=-2<0，所以f（-2）f（0）<0，因此?xo∈（-2，0），f（xo）=0，即結(jié)論成立。例6中的函數(shù)在區(qū)間（-2，0）中存在零點(diǎn)xo，但是不難看出，求出xo的精確值并不容易，那么，能不能想辦法得到這個(gè)零點(diǎn)的近似值呢？比如，能否求出一個(gè)x1，使得|x1-x0|<？如果在區(qū)間（一2，0）中任取一個(gè)數(shù)作為x如果在區(qū)間（一2，0）中任取一個(gè)數(shù)作為xo的近似值，那么誤差小于多少？如果取區(qū)間（一2，0）的中點(diǎn)作為xo的近似值，那么誤差小于多少？怎樣才能不斷縮小誤差？如果在區(qū)間（一2，0）中任取一個(gè)數(shù)作為xo的近似值，誤差小于2；如果取區(qū)間（一2，0）的中點(diǎn)作為x。的近似值，誤差小于1.一般地，求x。的近似值，可以通過(guò)計(jì)算區(qū)間中點(diǎn)函數(shù)值，從而不斷縮小零點(diǎn)所在的區(qū)間來(lái)實(shí)現(xiàn)，具體計(jì)算過(guò)程可用如下表格表示.其中第2行的區(qū)間是（-2，-1），這是因?yàn)閒（-2）f（-1）<0，其他區(qū)間都是用類似方式得到的.最后一行的函數(shù)值沒(méi)有計(jì)算，是因?yàn)椴还躼o∈（-2，]，還是xo∈[，），我們都可以將要看成xo的近似值，而且誤差小于當(dāng)然，按照類似的方式繼續(xù)算下去，可以得到精確度更高的近似值上述這種求函數(shù)零點(diǎn)近似值的方法稱為二分法。在函數(shù)零點(diǎn)存在定理的條件滿足時(shí)（即f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的，且f（a）f（b）<0），給定近似的精度ε，用二分法求零點(diǎn)xo的近似值x1，使得|x1-xo|<ε的一般步驟如下：例7已知函數(shù)f（x）=x2+ax+1有兩個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間（-1，1）上是單調(diào)的，且在該區(qū)間中有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖像是開(kāi)口朝上的拋