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課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì):5.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象,包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的畫(huà)法.2.內(nèi)容解析正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是一類(lèi)基本初等函數(shù),作為函數(shù)的下位知識(shí),對(duì)于它們的研究基本遵從函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究思路,可以類(lèi)比、對(duì)比指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等展開(kāi)研究:繪制函數(shù)圖象—觀察圖象、發(fā)現(xiàn)性質(zhì)—證明性質(zhì).首先是關(guān)于正弦函數(shù)的圖象,繪制一個(gè)新函數(shù)圖象的基本方法是描點(diǎn)法,如果能多描出一些點(diǎn),那么就可以使繪制的圖象更精確.但是正弦函數(shù)在內(nèi),如何實(shí)現(xiàn)繪制的精確度呢?這是先要解決的問(wèn)題.為此,先解決精準(zhǔn)繪制某一個(gè)點(diǎn),的問(wèn)題,此處關(guān)鍵是要理解橫坐標(biāo)的意義,其本質(zhì)在于對(duì)三角函數(shù)定義的理解:根據(jù)正弦函數(shù)的定義可知,在單位圓中,點(diǎn)的橫坐標(biāo)的本質(zhì)是以為始邊,以為終邊的角,因此,,如圖1所示.過(guò)點(diǎn)作x軸,垂足為,則線段的長(zhǎng)即為,于是對(duì)于任意一個(gè)橫坐標(biāo),其縱坐標(biāo)可以用幾何方法精準(zhǔn)描出.CC圖1精準(zhǔn)繪制一個(gè)點(diǎn)的問(wèn)題解決之后,即可用相同的方法描出其他的點(diǎn),進(jìn)而描出正弦函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象,并通過(guò)平移描出正弦函數(shù)的圖象.這個(gè)過(guò)程充分體現(xiàn)了從特殊到一般的研究方法.在此基礎(chǔ)上,通過(guò)平移變換,畫(huà)出余弦函數(shù)圖象.基于以上分析,確定本課時(shí)的教學(xué)重點(diǎn):正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)(1)經(jīng)歷繪制正弦函數(shù)圖象的過(guò)程,掌握描點(diǎn)法,掌握繪制正弦函數(shù)圖象的“五點(diǎn)法”.(2)經(jīng)歷繪制余弦函數(shù)圖象的過(guò)程,理解其中運(yùn)用的圖象變換的思想.2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是:(1)學(xué)生能先根據(jù)正弦函數(shù)的定義繪制一個(gè)點(diǎn),再繪制正弦函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象,最后通過(guò)平移得到正弦函數(shù)的圖象;能說(shuō)出正弦函數(shù)圖象的特點(diǎn),并能用五點(diǎn)法繪制正弦函數(shù)的圖象.(2)學(xué)生能用圖象變換的方法,由正弦函數(shù)的圖象繪制余弦函數(shù)的圖象,并能就一個(gè)具體的點(diǎn)清晰地解釋圖象的變換方式及原因:能用“五點(diǎn)法”繪制余弦函數(shù)的圖象.三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析學(xué)生之前擁有豐富的繪制函數(shù)圖象的經(jīng)驗(yàn),但是利用定義的幾何意義繪制函數(shù)圖象是第一次,因此在思維習(xí)慣上存在障礙,教學(xué)時(shí)要給予充分的引導(dǎo),特別強(qiáng)調(diào)要準(zhǔn)確地繪制出兩函數(shù)的圖象這一要求,讓學(xué)生感受到這種做法的困難,然后從三角函數(shù)的定義上分析點(diǎn)的坐標(biāo)的幾何意義,讓學(xué)生真正理解.繪制函數(shù)任意一點(diǎn)的操作存在困難.為此,可以先選定一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo),然后用“手工細(xì)線纏繞”的方法找到?。赫乙桓鶝](méi)有彈性的細(xì)線,在x軸上量出橫坐標(biāo)的長(zhǎng)度,然后將長(zhǎng)度為的細(xì)線以為起點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蚶p繞在單位圓上,細(xì)線的末端就是,于是圖象上的點(diǎn)隨之確定.本課時(shí)的教學(xué)難點(diǎn)是:掌握準(zhǔn)確繪制函數(shù)圖象一個(gè)點(diǎn)的方法,并由此繪制出正弦函數(shù)的圖象.四、教學(xué)支持條件分析繪制正弦函數(shù)圖象的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地繪制圖象上的一個(gè)點(diǎn),為此可讓學(xué)生用“手工細(xì)線纏繞”的方法,使用自制教具完成.也可以利用信息技術(shù)完成.后續(xù)讓學(xué)生描出其他的點(diǎn),并連線描出正弦函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí),同樣可以利用信息技術(shù)完成.五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)(一)規(guī)劃研究方案,形成研究思路問(wèn)題1:三角函數(shù)是我們學(xué)習(xí)的一類(lèi)新的基本初等函數(shù),按照函數(shù)研究的方法,學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義之后,接下來(lái)應(yīng)該研究什么問(wèn)題?怎樣研究?追問(wèn):(1)研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的思路是怎樣的?(2)繪制一個(gè)新函數(shù)圖象的基本方法是什么?(3)根據(jù)三角函數(shù)的定義,需要繪制正弦函數(shù)在整個(gè)定義域上的函數(shù)圖象嗎?選擇哪一個(gè)區(qū)間即可?師生活動(dòng):教師提出問(wèn)題,學(xué)生回憶函數(shù)研究的路線圖,師生共同交流、規(guī)劃,完善方案預(yù)設(shè)的答案如下.研究的線路圖:函數(shù)的定義—函數(shù)的圖象—函數(shù)的性質(zhì).繪制一個(gè)新函數(shù)圖象的基本方法是描點(diǎn)法.對(duì)于三角函數(shù),單位圓上任意一點(diǎn)在圓周上旋轉(zhuǎn)一周又回到原來(lái)的位置,這一特性已經(jīng)用公式一:表示,據(jù)此,可以簡(jiǎn)化對(duì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究過(guò)程,比如可以先畫(huà)函數(shù),的圖象,再畫(huà)正弦函數(shù),的圖象.設(shè)計(jì)意圖:規(guī)劃研究方案,構(gòu)建本課時(shí)的研究路徑,以便從整體上掌握整個(gè)課時(shí)的學(xué)習(xí)進(jìn)程,形成整體觀念.(二)正弦函數(shù)的圖象問(wèn)題2:繪制函數(shù)的圖象,首先需要準(zhǔn)確繪制其上一點(diǎn).對(duì)于正弦函數(shù),在上任取一個(gè)值,如何借助單位圓確定正弦函數(shù)值,并畫(huà)出點(diǎn)?追問(wèn)(1):根據(jù)正弦函數(shù)的定義思考,一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)在單位圓上表示哪個(gè)幾何量?的幾何意義又是什么?師生活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生,根據(jù)定義分析確定,對(duì)應(yīng)的幾何量.追問(wèn)(2):根據(jù)上述分析,如何具體地作出點(diǎn)?師生活動(dòng):學(xué)生思考后,通過(guò)提前準(zhǔn)備的工具嘗試?yán)L制這個(gè)點(diǎn).具體的操作:方法1:“手工細(xì)線纏繞”法(具體操作辦法見(jiàn)“教學(xué)問(wèn)題診斷分析”).方法2:利用信息技術(shù).設(shè)計(jì)意圖:教師引導(dǎo)學(xué)生剖析一個(gè)點(diǎn)的畫(huà)法,深化對(duì)正弦函數(shù)定義的理解.通過(guò)分析點(diǎn)的坐標(biāo)的幾何意義,準(zhǔn)確描點(diǎn).問(wèn)題3:我們已經(jīng)學(xué)會(huì)繪制正弦函數(shù)圖象上的某一個(gè)點(diǎn),類(lèi)比指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的畫(huà)法,接下來(lái),如何畫(huà)出函數(shù),的圖象?你能想到什么辦法?師生活動(dòng):學(xué)生給出設(shè)想,選擇一種或者多種適合的方法實(shí)施.預(yù)設(shè)的答案:方案1:在區(qū)間內(nèi)任取一些橫坐標(biāo)的值,按照上述方法逐一繪制,再用光滑的曲線連接.方案2:為方便操作,可以在區(qū)間內(nèi)取等分點(diǎn),按照上述方法逐一繪制,再用光滑的曲線連接.追問(wèn):這兩種繪制方法的異同是什么?(兩種方法本質(zhì)相同,在信息技術(shù)條件支持下都容易實(shí)現(xiàn),在手工操作的條件下,用方案2比較可行).師生活動(dòng):學(xué)生用方案2繪制函數(shù)圖象,教師借助信息技術(shù),用方案1繪制函數(shù)圖象.設(shè)計(jì)意圖:確定畫(huà)出一個(gè)周期內(nèi)正弦函數(shù)圖象的方法并實(shí)施,同時(shí)體會(huì)信息技術(shù)給數(shù)學(xué)研究帶來(lái)的便捷.問(wèn)題4:根據(jù)函數(shù),的圖象,你能想象正弦函數(shù),的圖象嗎?依據(jù)是什么?畫(huà)出該函數(shù)的圖象.師生活動(dòng):學(xué)生畫(huà)圖,教師予以指導(dǎo).預(yù)設(shè)的答案:根據(jù)公式一,可知函數(shù),,且的圖象與,的圖象形狀完全一致.因此將函數(shù),的圖象不斷向左、向右平移(每次移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度),就可以得到正弦函數(shù),的圖象,如圖2所示.圖2教師指出,正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線,是一條“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線.設(shè)計(jì)意圖:繪制函數(shù),的圖象,并培養(yǎng)說(shuō)理的習(xí)慣.問(wèn)題5:如何畫(huà)出函數(shù),圖象的簡(jiǎn)圖?追問(wèn):在確定正弦函數(shù)的圖象形狀時(shí),應(yīng)抓住哪些關(guān)鍵點(diǎn)?師生活動(dòng):教師提出問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生觀察圖2,并說(shuō)出他們的想法.預(yù)設(shè)的答案:觀察圖2,在函數(shù),的圖象上,五個(gè)點(diǎn),,,,在確定圖象形狀時(shí)起關(guān)鍵作用.因此只要描出這五個(gè)點(diǎn),按照正弦函數(shù)圖象的走勢(shì),并用光滑的曲線將之連接就可以畫(huà)出函數(shù)的簡(jiǎn)圖,稱(chēng)為“五點(diǎn)法”設(shè)計(jì)意圖:觀察函數(shù)圖象,概括其特征,獲得“五點(diǎn)法”畫(huà)圖的簡(jiǎn)便畫(huà)法.(三)余弦函數(shù)的圖象問(wèn)題6:如何畫(huà)出余弦函數(shù)的圖象?師生活動(dòng):學(xué)生可能會(huì)類(lèi)比正弦函數(shù)圖象的畫(huà)法,提出用類(lèi)似的方法畫(huà)余弦函數(shù)的圖象,對(duì)此教師應(yīng)予以肯定,并進(jìn)一步提出追問(wèn)的問(wèn)題.追問(wèn)(1):由三角函數(shù)的定義可知,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是一對(duì)密切相關(guān)的函數(shù).誘導(dǎo)公式表明,余弦函數(shù)和正弦函數(shù)可以互化.相應(yīng)地,能否通過(guò)對(duì)正弦函數(shù)圖象進(jìn)行變換得到余弦函數(shù)的圖象?師生活動(dòng):學(xué)生先用排除法觀察誘導(dǎo)公式,選擇簡(jiǎn)潔的公式,作為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系研究的依據(jù),教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)比較進(jìn)行選擇.從數(shù)的角度看,可以選擇關(guān)系.記,則.因此函數(shù)的圖象,可以看作將函數(shù)的圖象上的點(diǎn)向左平移個(gè)單位得到.追問(wèn)(2):你能在兩個(gè)函數(shù)圖象上選擇一對(duì)具體的點(diǎn),解釋這種平移變換嗎?師生活動(dòng):這是教學(xué)的難點(diǎn),教師要首先進(jìn)行示范.教師可以先選擇一個(gè)具體的點(diǎn),進(jìn)行分析,然后上升到對(duì)一般點(diǎn)的分析,得到圖象之后還可以再利用圖象進(jìn)行驗(yàn)證.預(yù)設(shè)的答案:設(shè)是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn),則有.令,則,即在函數(shù)圖象上有對(duì)應(yīng)點(diǎn).比較兩個(gè)點(diǎn):與.因?yàn)椋矗渣c(diǎn)可以看做是點(diǎn)向左平移個(gè)單位得到的,只要將函數(shù)圖象上的點(diǎn)向左平移個(gè)單位可得到函數(shù)的圖象,如圖3所示:圖3教師指出,余弦函數(shù),的圖象叫做余弦曲線.它是與正弦曲線具有相同形狀的“波浪形”曲線.設(shè)計(jì)意圖:利用誘導(dǎo)公式,通過(guò)圖象變換,由正弦函數(shù)的圖象獲得余弦函數(shù)圖象;增強(qiáng)對(duì)兩個(gè)函數(shù)圖象之間的聯(lián)系性的認(rèn)識(shí).問(wèn)題7:類(lèi)似于用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)圖象,如何作出余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖?追問(wèn):余弦函數(shù)在區(qū)間上相應(yīng)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是哪些?請(qǐng)將它們的坐標(biāo)填入下表,然后作出,的簡(jiǎn)圖.x設(shè)計(jì)意圖:觀察余弦函數(shù)圖象,掌握其特征,獲得“五點(diǎn)法”.(四)例題例1畫(huà)出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖:(1),;(2),.師生活動(dòng):學(xué)生先獨(dú)立完成,然后就解題思路和結(jié)果進(jìn)行展示交流,教師點(diǎn)評(píng)并給出規(guī)范的解答.解:(1)按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表:x00101012101描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來(lái)(圖4):圖4(2)按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表:x01010110101圖5設(shè)計(jì)意圖:鞏固學(xué)生對(duì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象特征的掌握,熟練“五點(diǎn)法”畫(huà)圖,掌握畫(huà)圖的基本技能.通過(guò)分析圖象變換,深化對(duì)函數(shù)圖象關(guān)系的理解,并為后續(xù)的學(xué)習(xí)作好鋪墊.練:在同一直角坐標(biāo)系中,畫(huà)出函數(shù),,的圖象.通過(guò)觀察兩條曲線,說(shuō)明他們的異同.解:可以用“五點(diǎn)法”畫(huà)出它們的圖象,還可以用信息技術(shù)畫(huà)出它們的圖象.兩條曲線形狀相同,位置不同,例如函數(shù),的圖象,可以通過(guò)函數(shù),的圖象向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度而得到.練:用五點(diǎn)法分別畫(huà)下列函數(shù)在上的圖象:(1);(2).解:(1)按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表:x0101001010圖6(2)按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表:x0101013212圖7練:函數(shù),的圖象與直線(為常數(shù))的交點(diǎn)可能有().(A)0個(gè)(B)1個(gè)(C)2個(gè)(D)3個(gè)(E)4個(gè)分析:先畫(huà)出函數(shù),的圖象,分情況討論取不同范圍的值時(shí),交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況.解:畫(huà)出函數(shù),的圖象,如下圖.結(jié)合圖象,討論取不同范圍的值時(shí),交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況:(結(jié)合動(dòng)圖)當(dāng)或時(shí),與圖象無(wú)交點(diǎn);當(dāng)或時(shí),與圖象有1個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí),與圖象有2個(gè)交點(diǎn).所以,選ABC.(五)課堂小結(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,回答下面的問(wèn)題:(1)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象
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