小學(xué)奧數(shù)知識(shí)體系-數(shù)論模塊知識(shí)匯總

數(shù)模一.位值理

定中同一個(gè)數(shù)字“，由于它所在位置不同，所表示的數(shù)值也不同．也就是說(shuō)，每一個(gè)數(shù)字除了有自身的一個(gè)值外，還有一位置值，該上的數(shù)字該的計(jì)數(shù)單位表示如5寫在個(gè)位上表個(gè)1就是5在十位上表，也就是，種把數(shù)字和位結(jié)合起來(lái)表示數(shù)的原則，稱為寫數(shù)的位值原理．?dāng)?shù)學(xué)表達(dá)式：

abcd1000100注意：計(jì)數(shù)單位的找法：該位后面有幾位，計(jì)數(shù)單位就“1后面積個(gè)0；②計(jì)數(shù)單位還可以寫成次方的形式，如222

拆方

逐拆（全分將每一位都拆開，拆成該位上的數(shù)×該位的計(jì)數(shù)單位，然后相加．如：12345100001000分拆（體分將一個(gè)多位數(shù)分成幾段去拆開，把每一段當(dāng)成一個(gè)整體，進(jìn)行拆分．如：345【例1】有個(gè)不同的數(shù)字們組成6個(gè)同的三位數(shù)這6個(gè)位數(shù)的和是，那么這數(shù)字分別為多少？【例2】一車進(jìn)入高速公路時(shí)入口處里程碑上是一個(gè)兩位數(shù)汽車勻速行駛一小時(shí)后看到里程碑上的數(shù)是原來(lái)兩位數(shù)字交換后的數(shù)一小時(shí)后看到里程碑上的數(shù)是入口處兩個(gè)數(shù)字中間多一個(gè)0的位數(shù)請(qǐng)問(wèn)再行多少小時(shí)可看到里程碑上的是前面這個(gè)三位數(shù)首末兩個(gè)數(shù)字交換所得的三位數(shù)？

二.進(jìn)位、“逢進(jìn)”、逢n進(jìn)一①n進(jìn)，數(shù)字n；②進(jìn)制越小，數(shù)的規(guī)模越大；、“n進(jìn)制轉(zhuǎn)化“十進(jìn)”：方法：用位值原理展開例1234

、十進(jìn)”轉(zhuǎn)化“n進(jìn)”方法n連去除這數(shù)商為0把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。記憶口訣：除取余，倒寫余數(shù)例：）；）、進(jìn)制的判斷和應(yīng)用：方法：第一步，和10比較第二步，因數(shù)判斷。例：125×125=16324，請(qǐng)問(wèn)是幾進(jìn)制的？解：125×125=15625，16324，所以n小于進(jìn)。，3×7=21，所以為進(jìn)制。例（abc）=（79三.整除

尾5看末一位25看末兩位：看末位和：看末四位和9看各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和長(zhǎng)族999、9999個(gè)開始，每?jī)晌弧⑷?、四一，看每段?shù)字之和；11：從個(gè)位開始兩位一段，看每段數(shù)字之和；證明：已知，9999……，偶數(shù)位純9數(shù)能被整；100)差

abcdabcdabcdabcd

、、：從個(gè)位開始每三位一段，看【奇段偶段和】證明：已知

1001

abcdeab1000）11：奇位—偶位和證明：已知1、1001，，間的個(gè)數(shù)為偶數(shù)的10必被整），，…，偶數(shù)位純9數(shù)能被11整；1000c)截倍：若一個(gè)整數(shù)的末三位與3倍前面的隔出數(shù)的差能17整，則這個(gè)數(shù)能被17整除。171003abcd1000cdeab1003ab）：若一個(gè)整數(shù)的末三位與7倍前面的隔出數(shù)的差能19整，則這個(gè)數(shù)能被19整除。191000cde1007）割法：個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，減去個(gè)位數(shù)的2倍，如果差是倍數(shù)，則原數(shù)能被整除果太大或心算易看出是否7的倍數(shù)需要繼續(xù)上截尾、相減、驗(yàn)差」的過(guò)程，直到能清楚判斷為止。證明：已知21能除且|2則2abcdabcabc

；

11：的數(shù)檢驗(yàn)法也可用上述檢查7的割尾法」處理！過(guò)程唯一不同的是：倍數(shù)不是而是！證明：已知11被11整除abcdabcabc）：個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，加上個(gè)位數(shù)的倍，如果和是的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。如果和太大或心算不易看出否的數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相加、驗(yàn)差」的過(guò)程，直到能清楚判斷為止。

abcdabcdabcdabcdabcdabcd

證明：已知39能整且|4則；4abc）：若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，減去個(gè)位數(shù)的倍如果差是的倍數(shù)則原數(shù)能被17整如果差太大或心算不易看出是否的倍數(shù)需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相減、驗(yàn)差」的過(guò)程，直到能清楚判斷為止。證明：51能整且17|5則17|；abcdabc：位數(shù)字截去，再?gòu)挠嘞碌臄?shù)中，加上個(gè)位數(shù)的倍，如果差是的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。如果差太大或心算不易看出否的數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相加、驗(yàn)差」的過(guò)程，直到能清楚判斷為止。證明：19能整且19|2則19|；2abcdabcabc注意①在差系中，是當(dāng)奇數(shù)段減不過(guò)偶數(shù)段時(shí)，可以用偶數(shù)段減去奇數(shù)段，但若是求余數(shù)，只能用奇數(shù)段減去偶數(shù)段，不夠減時(shí)需要補(bǔ)數(shù)，除以幾就補(bǔ)幾的倍數(shù)，補(bǔ)到夠減為止。②沒有整除特征的數(shù)可以拆成兩個(gè)甚至幾個(gè)有整除特征的數(shù)，如能被整拆成能同時(shí)被和4整。2012□12□211四.質(zhì)數(shù)合數(shù)、質(zhì)數(shù)合的念質(zhì)數(shù)：只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)．合數(shù)：除了1和它本身，還有別的因數(shù)注意！0和1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)、以內(nèi)質(zhì)（記以的質(zhì)數(shù)個(gè)、3、、、、13、17、、、37、43、5359、61、、73、79、83、89；巧記：按段個(gè)數(shù)分布“4422322321”、質(zhì)數(shù)斷：K斷法

mmmn50*50>199350、質(zhì)數(shù)星

：唯一的偶質(zhì)數(shù)；【例】如果a、b

均為質(zhì)數(shù)，且

ab

，那么a

________．【例已

、Q均質(zhì)數(shù)并且32003則P．

：唯一能被整的質(zhì)數(shù)；【例】一個(gè)兩位數(shù)，數(shù)字和是質(zhì)數(shù)．而且，這個(gè)兩位數(shù)分別乘以，，之后，得到的數(shù)的數(shù)字和都仍為質(zhì)數(shù)．滿足條件的兩位數(shù)________．：唯一個(gè)位是5的數(shù)；【例】已知n、6、n84、都質(zhì)數(shù)，那么________．和997：最小的和最大的三位質(zhì)數(shù)；和：最小的和最大的四位質(zhì)數(shù)；、分解因

分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)合數(shù)寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式解因往是數(shù)題目突口因這可幫我分?jǐn)?shù)的征【例】12，中2、3都做12的因數(shù)，其中后一個(gè)式叫做分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，在求一個(gè)數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)和因數(shù)的和的時(shí)候都要用到這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)式．注意！標(biāo)準(zhǔn)式的要求）質(zhì)數(shù)從小到大排列）相同質(zhì)數(shù)寫成次方的形式．分解質(zhì)因數(shù)的方法方一直拆瞪法例如：210105235257方二短法第一步：從最小的質(zhì)數(shù)開始試除，直到商為質(zhì)數(shù)；第二步：除數(shù)與商連乘；唯一分解定理：任一個(gè)大于1的然數(shù)都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，并且這種表示是唯一的．、分解因的用

分解成連續(xù)（特殊）因數(shù)：先分解再組合．【例】四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積是421200，那，其中最大的那個(gè)數(shù)_______．等積分組：①分解；②統(tǒng)計(jì)；③分配【例】把40444563、65、、99這8數(shù)平分成兩組，使每組四個(gè)數(shù)的乘積相等．積末尾個(gè)數(shù)判斷：“和的合．【例式

的計(jì)算結(jié)果的末尾有幾個(gè)連續(xù)的零？從到30的尾有幾個(gè)連續(xù)的零已知算式

的計(jì)算結(jié)果末五

尾恰好有100個(gè)連續(xù)的零，那么n的小值是多少？最大值是多少？因數(shù)與倍、概念如果

a

、

、

都是整數(shù)，且a

，則

a

是

的倍數(shù)，

和

a

的因數(shù)．、公因與大因

公因數(shù)：幾個(gè)數(shù)公共的因數(shù)．最大公因數(shù)：公因數(shù)中最大的一個(gè)，一般將a

和的大公因數(shù)記為（

，）

公因數(shù)與最大公因數(shù)的關(guān)系個(gè)數(shù)的全部公因數(shù)就是最大公因數(shù)的因考點(diǎn)：找公因數(shù)）如果（a，）=1，則稱a與互．互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)不一定非得是質(zhì)數(shù)，兩個(gè)合數(shù)也有可能互質(zhì)，例如和．、公倍與小倍

公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公共的倍數(shù)．

最小公倍數(shù)：公倍數(shù)中最小的一個(gè)，一般將

a

和的小公倍數(shù)記為[

a

，]

公倍數(shù)與最小公倍數(shù)的關(guān)系：兩個(gè)數(shù)的所有公倍數(shù)是最小公倍數(shù)的倍數(shù)：找公倍數(shù)）、最大因與小倍的求

分解質(zhì)因數(shù)法：將所有數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，并根據(jù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果寫出：最大公因數(shù)—寫出共同質(zhì)因數(shù)次方取較?。阌形乙灿凶钚」稊?shù)—寫出所有質(zhì)因數(shù)次方取較大（大家好才是真的好【例】求2436的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)．【解析】將、、48分質(zhì)因數(shù)：

，36

，

，所以（24，，48）

，，，48]

=144

短除法短除法實(shí)際來(lái)源于分解因數(shù)法分解質(zhì)因數(shù)的短除法進(jìn)行合并短除過(guò)程中尋找需要的質(zhì)因數(shù)需要對(duì)兩個(gè)數(shù)和多個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的求法進(jìn)行區(qū)分．①兩個(gè)數(shù)的短除法從因數(shù)除到商互質(zhì)為止，最大公因乘左邊小公倍乘拐彎．【例】用短除法求和1的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)．【解析】最大公因數(shù)左邊乘

最小公倍數(shù)拐彎乘（，18）=2[12，2②多個(gè)數(shù)的短除法最大公因數(shù)：從公因數(shù)除起，到所有數(shù)最大公因數(shù)1為，最大公因乘左邊．【例】用短除法求，，27的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)【解析】最大公因：左邊乘

由于，8，9除之外沒有其他公因數(shù)，所以18，，）=3，考慮到最小公倍數(shù)必須除到兩兩互質(zhì)為之，所以必須繼續(xù)進(jìn)行短除：62

最小公倍：拐彎乘最小公倍數(shù)：從公因數(shù)除起，到兩兩互質(zhì)為止，最小公倍乘拐彎．[18，2427]=3×3×2×4×3=216注多個(gè)數(shù)求最小公倍數(shù)時(shí)如某個(gè)數(shù)不是除數(shù)的倍數(shù)接移下來(lái)比如上式中6，，9除以38不是3倍數(shù)，直接移下來(lái)除以2不是的倍數(shù)，直接移下來(lái)．

輾轉(zhuǎn)相除法大的數(shù)除以小的數(shù)，小的數(shù)再與余數(shù)相除，直到余數(shù)為，此時(shí)的除數(shù)就是最大公因數(shù)（適用于較大的數(shù)）1411

2...7311...51

7311...68013...17

1411=17特殊數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)求法①若是b倍數(shù)，則（，b）=b，[，b

；②若

、互，則（a

，），[

，b]=a；

常的質(zhì)：續(xù)自數(shù)連兩數(shù)質(zhì)為大分?jǐn)?shù)求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法子同反【例】（年西工大附入學(xué)）青蛙與小白兔進(jìn)行跳躍比賽，每秒中都跳一次，1青蛙每次跳2，小白兔每次跳，整點(diǎn)開始，每隔2米在地面上畫一個(gè)白色標(biāo)記先上白色標(biāo)記誰(shuí)就了本次比賽一個(gè)贏了本次比賽后另一個(gè)跳了多少分米？、短除型對(duì)于兩個(gè)自然數(shù)B，如果最大公因數(shù)是

，則可列出短除模型

m

其中，a，與b互，從短除模型中存在以下關(guān)系：（1Ama，B，

B

,

mab（2A（3:，為

與b互，所以a:b是A:的最簡(jiǎn)整數(shù)比、因數(shù)數(shù)因和題

求因數(shù)個(gè)數(shù)：①分解質(zhì)因數(shù)；②指數(shù)（耳朵）加1再乘；【63×34

4+12+12+160-15=453×4×=364+1

求因數(shù)和：①分解質(zhì)因數(shù)；②每個(gè)質(zhì)因數(shù)“0次累加到最高次，和連乘；【例題】求300的有因數(shù)之和【解析解因數(shù)

因從0次加到最高次

；質(zhì)因數(shù)從累加到最高次

質(zhì)因數(shù)累加到最高次：5

．因數(shù)和：))．、因數(shù)倒和=、因數(shù)定理（和因數(shù)個(gè)數(shù)有關(guān)）因數(shù)個(gè)數(shù)因數(shù)積個(gè)本身、完平方數(shù)????

完全平方數(shù)的個(gè)位：、、4、、6、在兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的完全平方數(shù)之間無(wú)完全平方數(shù)，如36和49之偶指奇因：次方為偶數(shù)，因數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)如果一個(gè)完全平方數(shù)是偶數(shù)，那一定是的倍數(shù)六.余數(shù)題

帶問(wèn)（余法帶除如果a是整數(shù)，是數(shù)（有

r當(dāng)r時(shí)我們稱a能整除；當(dāng)r時(shí)，我們a不被整，r為a除b的數(shù)，q為a除的．特注（1）（余不可大除（）帶除算中已三個(gè)量就以出四量常見題型）知三求一）二求二；【例】完成下列填空

【解析】；8【例】有兩個(gè)自然數(shù)相除，商是7余數(shù)是，已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和為，則被除數(shù)是多少？【解析除為x

么根據(jù)帶余除法被除數(shù)除數(shù)商余數(shù)得被除數(shù)為7x，由被除數(shù)除數(shù)商余數(shù)之為53“列方程得53解方程即可．【例】?jī)蓚€(gè)數(shù)相除，商是，余數(shù)是5如果兩個(gè)數(shù)相加，和是69那么這兩個(gè)數(shù)分

別是________．【解析】同上，列方程得：7x，方程即可．余的質(zhì)余數(shù)具有可加性：b的除以c的余數(shù)，等于a、分除以c的數(shù)之和（或這個(gè)和除以c的余數(shù)余數(shù)具有可減性：a與的除的余數(shù)，等于a、分除以c的余數(shù)之差（或的余數(shù)加除數(shù)減的數(shù)余數(shù)具有可乘性：的積以c的數(shù)，等于、b別除以c的數(shù)之積（或這個(gè)積除以的數(shù)常見題型：利用余數(shù)的性質(zhì)快速就余數(shù)【例】將假分?jǐn)?shù)

50

化成帶分?jǐn)?shù)后，真分?jǐn)?shù)部分是多少？【解析】、、、53、除以余數(shù)分別為、、3、45、，因此50除以7的余數(shù)等于以的余數(shù)．2.同余問(wèn)題求除數(shù)（1如果兩個(gè)整數(shù)a和被然數(shù)m除相同的余數(shù)，那么稱a，b對(duì)m同余，設(shè)a，么m()．例：5除、11得的余數(shù)相同，那么5(41．常見題型：求除數(shù)．【例】某個(gè)大于1的數(shù)除41，11得的余數(shù)相同，那么這個(gè)整數(shù)可能是幾？【解析】設(shè)除數(shù)為，m(41，m是30的數(shù)，又因?yàn)閙所以m的可能取值為：2、、、、、、30【例某大于1的數(shù)除53113到的余數(shù)相同那么這個(gè)整數(shù)可是幾？【解析設(shè)除數(shù)為則m(5317)且53)即是和60的因數(shù)又為m，以的可能取值為、、4、．（2如果余數(shù)不相同，則轉(zhuǎn)化成余數(shù)相同．【例】某個(gè)整數(shù)除余5，除余，那么這個(gè)整數(shù)可能是幾？【解析】轉(zhuǎn)化成余數(shù)同為2即除43，除65余，或轉(zhuǎn)化成整除問(wèn)題，即42余0，除余0，(42,63)，數(shù)是21的因數(shù)．注意到除數(shù)得大于5，因此除數(shù)為213.剩余問(wèn)題求被除）

2152413……““1

整除