高三數(shù)學(xué)研討會解題思路資料1

高三數(shù)學(xué)研討會解題思路資料1第一頁，共67頁。四、指導(dǎo)教師相約（1）研究科學(xué)破除迷信（2）研究真題找到題根（4）通融教材厚書變薄

（3）研究例題提煉思想（5）坦誠為師認(rèn)生為友第二頁，共67頁。

有人一意“追新追名”，結(jié)果卻追上了“怪物”！

有些備考“專家”，為市場利益所驅(qū)動，經(jīng)常制造怪物.

怪物可用來開心，但在科學(xué)高考看來，它是“異類”.（1）研究科學(xué)破除迷信備考中的迷信是“崇名”：名人、名言、名校、名卷等等。別忘了自己就是名師！科學(xué)的對立面是迷信.高考備考要科學(xué)不要迷信！教師相約第三頁，共67頁?！绢}目】

已知函數(shù)求f(0)的值.是“新題”還是“怪物”【學(xué)生解法】令則函數(shù)化為f(u)=1+u2“標(biāo)準(zhǔn)解答”

因?yàn)椤?，所以函數(shù)值f(0)不存在.所以f(0)=1【點(diǎn)評】

哭笑不得吧！這種“復(fù)合函數(shù)”會考嗎？教師相約第四頁，共67頁。是“詳解”還是“笨法”

不知道是為了張揚(yáng)細(xì)節(jié)，還是為了多賺稿費(fèi)，有的解答詳盡萬分，以至“詳盡過頭”！

以下就是多種笨法中的一種，如今還掛上多種名牌在市場上流通，被許多考生迷信為“精品”！教師相約

所謂過頭，就是這些解答“因詳至偽”、“因詳至笨”！

數(shù)學(xué)的精華就是簡化！”繁法”多為“煩法”或“反法”

。

如08年2卷第15題，本是一道一望而答的填空題，卻有為其寫出了千字文以上的解答，不厭其詳?shù)亟榻B了多種笨法的操作過程。第五頁，共67頁。笨法之一解A、B兩點(diǎn)【考題】

已知F是拋物線C∶y2=4x

的焦點(diǎn)，A、B是C上的兩個(gè)點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M（2，2），則△ABF的面積等于（）

【詳法】依題意設(shè)點(diǎn)

，

則有

，由此得y1y2=0，解得y1=0且y2=4，從而解得AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，0）和（4，4）。

教師相約解得【質(zhì)疑】

想干什么？一道填空題，值得這樣搞嗎？第六頁，共67頁。笨法之二認(rèn)AB為底【考題】

已知F是拋物線C∶y2=4x

的焦點(diǎn)，A、B是C上的兩個(gè)點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M（2，2），則△ABF的面積等于（）

【詳法】依題意設(shè)點(diǎn)

，

則有

，由此得y1y2=0，解得y1=0且y2=4，直線AB的方程是x－y=0，點(diǎn)F（1，0）到直線AB的距離等于

，

，

所以△ABF的面積等于

教師相約第七頁，共67頁。小題看圖一望而答【考題】

已知F是拋物線C∶y2=4x

的焦點(diǎn)，A、B是C上的兩個(gè)點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M（2，2），則△ABF的面積等于（）

【圖解】從方程到圖形，易知拋物線y2=4x上半部有兩個(gè)整點(diǎn)A（0，0）和B（4，4），圖右.

看圖可知，△ABF的面積為2.線段AB的中點(diǎn)為M（2，2）.教師相約第八頁，共67頁。說清“是”同時(shí)說清“不”負(fù)責(zé)的老師，在告訴考生哪些要考的同時(shí)，還要說清哪些不考.不負(fù)責(zé)的老師則是：所有的這些都重要，都可能考！其實(shí)，按考綱的要求，已經(jīng)有許多舊的東西聲明不考了：（1）二元以上的平均不等式；（2）用萬能置換公式進(jìn)行三角變換；（3）沒有提示垂足的異面直線間的距離；（4）二次曲線劃分平面區(qū)域；（5）值域與定義域“不傳遞”的復(fù)合函數(shù).如此等等.教師相約第九頁，共67頁。高考復(fù)習(xí)防止四貪（1）貪多。必然混入歧枝，偏離學(xué)科主干。（2）貪高。必然忽視基礎(chǔ)，偏離考生實(shí)際。（3）貪快。必然陷入過場，造成消化不良。（4）貪新。必然陷入形式，防礙深入內(nèi)涵。貪多的反面是求精，貪高的反面是求準(zhǔn)，貪快的反面是求穩(wěn)，貪新的反面是求實(shí)。教師相約：精、準(zhǔn)、穩(wěn)、實(shí)。教師相約第十頁，共67頁。（2）研究真題找到題根說一千道一萬高考不過一張卷病急切忌亂投醫(yī)研究真題最合算教師相約第十一頁，共67頁。研究真題是研究備考的捷徑，另取他題，多走歧途.真題——考點(diǎn)準(zhǔn)而信度好；真題——方向明而內(nèi)容精；真題——成本低而效益高.因?yàn)槿藗儗φ骖}多有“前期投入”，在根基上建樹易出成果，比“另起爐灶”省力.人們關(guān)心的是：真題能夠創(chuàng)新嗎？回答是肯定的：所有的考題都是“溫故知新”的結(jié)果！真題——

成本低而效益高教師相約第十二頁，共67頁。全國1卷第10題研究題根【考題】若直線通過即是：若

ax+by=1，x2+y2=1,則

a2+b2≥1教師相約第十三頁，共67頁。研究第10題

找到題根【尋根】

第10題的題根有如下形式：【認(rèn)知】

這是一個(gè)已知兩個(gè)等式,求證一個(gè)不等式的問題.

已知ax+by=1，x2+y2=1，求證a2+b2≥1.

這是一個(gè)已知兩個(gè)等式,求另個(gè)式子的值域問題.

這是一個(gè)相等與不等互相鏈接的問題.【見根】

代數(shù)題根：第一型二元二次組有解的1條件。

幾何題根：直線與圓有公共點(diǎn)的條件。教師相約第十四頁，共67頁。代數(shù)尋根找到方程【題根】

已知ax+by=1，x2+y2=1，求證a2+b2≥1.【視角】

視二等式為方程組，研究方程組有解的條件.【解法】

由x2+y2=1，ax+by=1消去y.得關(guān)于x的一元二次方程：由根的判別式得:教師相約【追根】

二次方程組的判別式，其根在二次方程的判別式中.第十五頁，共67頁。【題根】

已知ax+by=1，x2+y2=1，求證a2+b2≥1.【視角】

看作由等式向不等式的轉(zhuǎn)換，用平均不等式放縮.【解法】

由ax+by=1兩邊平方,得:教師相約題根轉(zhuǎn)向溝通不等式第十六頁，共67頁。幾何尋根找到圖形【題根】

已知ax+by=1，x2+y2=1，求證a2+b2≥1.【視角】

視方程為軌跡圖形，求圖形有公共點(diǎn)的條件.【解法】

視方程ax+by=1為直線，x2+y2=1為圓.

直線到圓心的距離小于圓的半徑1.

原方程組有解，對應(yīng)到解析幾何中，則條件變?yōu)椋航處熛嗉s【根脈】

題根根脈并不多，除了代數(shù)是幾何！第十七頁，共67頁。【題根】

已知ax+by=1，x2+y2=1，求證a2+b2≥1.【視角】

視ax+by=1為和角展開式，x2+y2=1為同角平方式.【解法】

由x2+y2=1，令x=cosα,y=sinα.

代入直線方程得：acosα+bsinα=1教師相約題根轉(zhuǎn)向鏈接三角第十八頁，共67頁?！绢}根】

已知ax+by=1，x2+y2=1，求證a2+b2≥1.【視角】視

ax+by=1為數(shù)量積，x2+y2=1為向量長度的平方.【解法】

視

ax+by=1為向量OM(x,y)與ON(a,b)的數(shù)量積.

則有

ax+by=(a,b)(x,y)=|OM||ON|cosθ=1.

故有

a2+b2≥1.

即是

教師相約題根轉(zhuǎn)向鏈接向量

【見智見仁】題根順著視角走，圖者見圖數(shù)見數(shù)；

視角旋轉(zhuǎn)三百六，處處留心看入口。第十九頁，共67頁。視角變換

題根延伸

視角ax+by=1x2+y2=1a2+b2≥1.

解幾軌跡直線軌跡圓有公共點(diǎn)

三角和角展開式三角平方式振輻范圍

向量向量數(shù)量積單位向量長度范圍

不等式兩積的和平方和平均放縮

方程一次方程二次方程有公共解教師相約第二十頁，共67頁。

一個(gè)題根一片林

題有根根伸本

根本發(fā)展成森林

孤株斷木不成體

單抓獨(dú)撞太孤鱗

抓一根得一片枝枝蔓蔓題題新教師相約要題多少有多少莫向題海枉費(fèi)神第二十一頁，共67頁?！驹}】已知圓的方程為x2+y2=4，圓O與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動點(diǎn)P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，求的取值范圍.借助真題設(shè)計(jì)新題【說明】用多種方法，可以求得本題的答案為(–2，0).

研究如何借助原題的題根，進(jìn)行條件更換，設(shè)計(jì)出在款式一新、情景一新、要求一新、難度不同的新題.教師相約既然一個(gè)題根可以發(fā)展成一片森林，那么利用真題的題根編寫新題，則是一件左右逢源、林中選秀的有趣之事！第二十二頁，共67頁。【原題】已知圓的方程為x2+y2=4，圓O與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動點(diǎn)P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，求的取值范圍.答案為(–2，0).【尋根】已知|OP|<2，|OP|2=|PA||PB|，求PA

·

PB

的取值范圍.【研究】如何借助原題的題根，進(jìn)行條件更換，設(shè)計(jì)出款式新、情景新、要求新、難度不同的新題.教師相約【說明】高考命題，說到底，是在進(jìn)行這種“真新變換”.找到真題研究變換第二十三頁，共67頁。已知圓的方程為x2+y2=4，圓O與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動點(diǎn)P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，求的取值范圍.答案(–2，0).【變題1】（變更點(diǎn)P的位置）（1）動點(diǎn)P由“圓內(nèi)”變到“圓外”，答案由(-2，0)變到(0，∞)，題目難度持平；（3）點(diǎn)P由“圓內(nèi)”變到“兩圓x2+y2=1，x2+y2=4之間”，則難度提高.（2）點(diǎn)P由“圓內(nèi)”變到“平面”，答案為(-2，∞)，難度降低；教師相約變更條件難度不同第二十四頁，共67頁。已知圓的方程為x2+y2=4，圓O與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動點(diǎn)P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，求的取值范圍.答案(–2，0).【變題2】（變更點(diǎn)P的軌跡）（1）條件|PA|、|PO|、|PB|成“等比數(shù)列”變?yōu)槌伞暗炔顢?shù)列”，則P點(diǎn)的軌跡由“雙曲線”變?yōu)椤爸本€”.——題目變難.（2）條件|PA|、|PO|、|PB|成“等比數(shù)列”變?yōu)椤皘PA|2+|PB|2為常數(shù)”，則P點(diǎn)的軌跡變?yōu)椤皥A”.——題目變易.教師相約變更題設(shè)題目不同第二十五頁，共67頁。已知圓的方程為x2+y2=4，圓O與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動點(diǎn)P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，求的取值范圍.答案(–2，0).【變題3】（變更設(shè)問全是新題）（1）求動點(diǎn)P的軌跡方程：題目變易；（2）求動點(diǎn)P的軌跡圖形截得圓的弧長：題目持平；（3）求動點(diǎn)P的軌跡圖形與圓交點(diǎn)處的切線方程：題目的綜合度變大.題目變難.教師相約變更設(shè)問目標(biāo)不同第二十六頁，共67頁。已知圓的方程為x2+y2=4，圓O與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動點(diǎn)P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，求的取值范圍.答案為(–2，0).【變題4】（變更載體全是新題）（1）將題(Ⅰ)中的“圓x2+y2=4”變?yōu)椤皰佄锞€x2=4y”，AB為拋物線的通徑，點(diǎn)P在通徑左邊的弓形內(nèi)，新題與原題持平；（2）將題(Ⅰ)中的“圓x2+y2=4”變?yōu)椤皺E圓x2+4y2=4”，AB為橢圓的一條弦.新題(Ⅱ)可隨弦AB的位置不同而改變難度.教師相約變更載體情景不同第二十七頁，共67頁。（3）研究例題提煉思想命題人也要在課本中說出依據(jù)：知識依據(jù)、方法依據(jù)、思想依據(jù).上新課講例題，按知識點(diǎn)就題講題；復(fù)習(xí)課講例題，按邏輯鏈歸納方法；一輪備考復(fù)習(xí)例題，除了系統(tǒng)知識外、注意力應(yīng)轉(zhuǎn)到歸納方法、提升思想。課本尋根：“義根”在定義中，“理根”在公理、定理上，而“題根”則在例題、習(xí)題之中！教師相約第二十八頁，共67頁。{}{a，},{b，

}{a，b，}由2到3從列舉到遞推【解析】

先拿來集合{a,b}的所有子集，排成左下方的三角陣

在后一個(gè)三角陣的每個(gè)集合中，依次添上第三個(gè)元素c，得一個(gè)新的三角陣.這兩個(gè)三角陣中“元素”的集合便是{a,b,c}子集集合.c{}{a},{a，b}

將左邊的三角陣復(fù)制成另一個(gè)相同三角陣（如右）.【思考】

這是一個(gè)關(guān)于“3”的問題，拿“2”來解決.ccc教師相約

【問題】

寫出集合{a,b,c}的所有子集.第二十九頁，共67頁。{}{a},,{c}{a,b},{a,c},{b,c}{a,b,c}將新的三角陣“下移”一行，與原三角陣錯(cuò)位相并，即得H3={a,b,c}的三階子集三角陣：

依次可得到H4={a,b,c,d}的（四階三角陣）子集。{}{a,},{b,},{c,}{a,b,

},{a,c,},{b,c,

}{a,b,c,}dddddddd由3到4遞推法連續(xù)

遞推法，就是“添1法”，或稱“添1合1法”

。教師相約第三十頁，共67頁。k跨1步就是

k+1

由2到3、由3到4，都是1步之跨.教師相約1步雖小，但我們一直走去，可以到達(dá)天邊！這就是“遞推法”的力量所在！

由1開始，由任何已知的k，都能把它推向k+1.

因此，由1到n的問題可靠遞推解決.第三十一頁，共67頁。1分為2

兩分法起家劃分，到底將事物分成幾類？在子集擴(kuò)展的遞推過程中給出了“兩分法”.分類思想、分類法，是分析事物的基本思想方法，由此產(chǎn)生了“劃分法”.兩分法的重要性，在于這種方法把事物分成“互斥互補(bǔ)”的兩部分：從整體到部分是一分為二，從部分到整體是合二而一.教師相約請記住，H3={a,b,c}的子集分兩類，含c的4個(gè)，不含c的也是4個(gè)。第三十二頁，共67頁。分層劃分樹干圖啟蒙集合H3={a,b,c}的子集形成，可分三步，實(shí)為三層：第1步考查元素a，分“無和有”兩種情況；第2步考查b，也分有、無兩種情況；第3步，還是“有、無”兩種情況.分步就是分層，將各層的可能數(shù)相乘，就是所有的子集個(gè)數(shù).樹干圖是分層劃分的“數(shù)形結(jié)合”，用它來分析集合問題，可達(dá)到防重、防漏的效果.教師相約第三十三頁，共67頁。H3={a,b,c}的子集形成，按“三層兩分”不同情況的組合用圖線連接起來，得到如下的樹干圖.三層劃分樹干圖的典型教師相約第三十四頁，共67頁。樹干圖與邏輯分類事物的分類就是兩分法，“三分法”在邏輯上“不存在”.所謂的“三分法”是兩分法分層分類的“局部形式”.【例題】5人站隊(duì)，甲不站頭，乙不站尾，求站法總數(shù).【說明】“三分法”導(dǎo)致錯(cuò)誤如下.5人站隊(duì)分三類：錯(cuò)因：三分法不是“互補(bǔ)”式的邏輯劃分，加法原理無效.（1）甲在頭4?。唬?）乙在尾4??；（3）甲不頭，乙不尾設(shè)作x.x=5!-2×4!=72.教師相約第三十五頁，共67頁。樹干圖解分類組合第一層按甲劃分：（1）甲在頭，（2）甲不頭；第二層按乙劃分：（1）乙在尾，（2）乙不尾.得樹干圖如下：5！甲在頭乙在尾：3！乙不尾：3·3！甲不頭乙在尾：3·3！乙不尾：x由加法原理，得方程3！+3·3！+3·3！+x=5!解得x=78教師相約第三十六頁，共67頁。所謂組合即是抽出子集教師相約

組合，即從集合中抽出子集.

寫出n元集合Hn={x1，x2,…，xn-1，xn}的子集（集合）。

就是從n個(gè)元素依次取出r個(gè)元素的（子集）組合數(shù).就是中的r依次從0取到n時(shí)所形成的子集個(gè)數(shù)數(shù)列.

組合的一切性質(zhì)，都深深地扎根于集合的子集之中.

實(shí)際上是從n元集合Hn中分別取出0個(gè)元素、1個(gè)元素、2個(gè)元素、…、n-1個(gè)元素，n個(gè)元素分別作成的“組合”第三十七頁，共67頁?？辞?+1認(rèn)知乘法公式教師相約

空集合的子集數(shù)是11元集合的子集數(shù)是1+12元集合的子集數(shù)是（1+1）

·

（1+1）=1+2+13元集合的子集數(shù)是（1+2+1）

·

（1+1）=1+3+3+14元集合的子集數(shù)是（1+3+3+1）

·

（1+1）=1+4+6+4+1……這就是二項(xiàng)式展開式的系數(shù)式.第三十八頁，共67頁。1+1迭起金字塔堆成

空集合的子集只1個(gè)，作金字塔頂；楊輝三角實(shí)為子集三角陣的“立體本”。教師相約1元集合的子集有2個(gè)，作塔的1層；2元集合的子集有22個(gè)，作塔的2層；3元集合的子集有23個(gè)，作塔的3層；…………4元集合的子集有24個(gè)，作塔的4層；5元集合的子集有25個(gè)，作塔的5層；n元集合的子集有2n個(gè)，作塔的n層。第三十九頁，共67頁。由“肩扛兩數(shù)”的性質(zhì)，得到組合數(shù)的加法公式組合加法就是子集迭加法教師相約按子集形成，組合數(shù)是n元集合中含r個(gè)元素的子集個(gè)數(shù)。全部變?yōu)楹瑀個(gè)元的子集。它由n-1元集合（上一行）中兩部分子集合成：一是該集合中含r個(gè)元素的子集個(gè)數(shù)；二是該集合中含r-1個(gè)元素的子集個(gè)數(shù)，在這些含r-1個(gè)元子集中，依次添上第r個(gè)元素后，則

含第r個(gè)元素的有個(gè)；不含第r個(gè)元素的有個(gè)。用兩分法的觀點(diǎn)看組合數(shù)加法，則是：將一分為二，111CCC---+=rnrnrn第四十頁，共67頁?；卮鹗牵合胱叨噙h(yuǎn)，就能多遠(yuǎn)！學(xué)生對排列組合、概率統(tǒng)計(jì)感到抽象，說到底是對“子集變換”這條根沒有鏈接上去！子集引路還能走多遠(yuǎn)教師相約因?yàn)閿?shù)學(xué)研究的對象就是集合及其元素，這些對象的變換，說到底就是集合的子集變換！以下，我們以楊輝三角為“中轉(zhuǎn)站”，看看如何把“子集變換”引向數(shù)列？引向高考壓軸題？為此，我們先看一段楊輝三角的“雜技表演”！計(jì)數(shù)問題，實(shí)為子集的量化問題。第四十一頁，共67頁。（1）組合加法雜技表演，一桿通頂：抓一個(gè)，拋一個(gè)！反映到圖中是“一肩扛兩數(shù)”：10=4+6（2）組合加法的推廣加法推廣看門道：數(shù)列求和：1+2+3+4=10看楊輝三角表演頂桿雜技教師相約第四十二頁，共67頁。第1斜列：1、1、1、1、……、1；楊輝三角看數(shù)列求和教師相約發(fā)現(xiàn)：下一斜列的通項(xiàng)公式恰為上一斜列的求和公式。發(fā)現(xiàn)：等差數(shù)列及其高階等差數(shù)列的基本公式全在楊輝手中！第2斜列：1、2、3、4、……、；第3斜列：1、3、6、10、……、；第4斜列：1、4、10、20、……、；如的求和公式是第四十三頁，共67頁。【觀察】

豎看楊輝三角，得等比數(shù)列bn=2n-1等比求和再請楊輝教師相約每下一行數(shù)，都是上面各行數(shù)的和再加1.b1+b2++bn+1=bn+1

得求和公式Sn=2n-1冪數(shù)列的求和公式Sn=2n–1是等比數(shù)列求和的根基，試看：第四十四頁，共67頁。［考題］

設(shè){an}是集合{2t+2s|0≤s<t，s，t∈Z}中所有的數(shù)從小到大排成的數(shù)列.a1=3,a2=5,a3=6,…,

a6=12,…,

（1）寫出這個(gè)三角形第四行、第五行的各數(shù).（2）a100在這個(gè)三角形的第幾行、第幾列？（3）求a100.教師相約子集計(jì)數(shù)爬上高考壓軸題將數(shù)列各項(xiàng)排成如下的三角形表：

35691012………………第四十五頁，共67頁。［考題］設(shè){an}是集合{2t+2s|0≤s<t，s，t∈Z}中所有的數(shù)從小到大排成的數(shù)列.a1=3,a2=5,a3=6,…,a6=12,…,排成如下三角形（1）第四行、第五行？（2、3

）a100？教師相約集合壓軸題難在哪里35691012………………對當(dāng)年的這道第22題（壓軸），能得分者甚少，有的根本就看不懂題意，至今人們還有余恐.其實(shí)，那是一道集合的2元子集組合問題，或說是一道“兩個(gè)冪數(shù)列的求和問題”.第四十六頁，共67頁。

3

56910

12教師相約請來?xiàng)钶x一點(diǎn)即破將左三角形的1、2兩行相加，得右三角形的第1斜列第1個(gè)數(shù)3；將左三角形的1、3兩行相加，得右三角形的第1斜列第2個(gè)數(shù)5；將左三角形的1、4兩行相加，得右三角形的第1斜列第3個(gè)數(shù)9；將左三角形的1、5兩行相加，得右三角形的第1斜列第4個(gè)數(shù)17；

17

33

……2n+1

18

34

20

36

24

40

48

第四十七頁，共67頁。例1之歌交響之音例1提煉三種法：列舉遞推兩分法。

加法乘法兩原理。例1講明兩大理，排組概率與統(tǒng)計(jì)。二項(xiàng)式與組合式。例1介紹兩種式，例1鏈接三種題，例1展開一張圖，楊輝三角一攬收

楊輝三角埋多深，研究例1這條根！教師相約楊輝三角看數(shù)列，斜看等差豎看比。

誰把例1弄個(gè)透，高中數(shù)學(xué)好漫游！第四十八頁，共67頁。（4）通融教材厚書變薄講代數(shù)講幾何數(shù)形結(jié)合歸一個(gè)初中課高中課弟弟如今成哥哥高考復(fù)習(xí)講整合沉重教材要變薄教師相約第四十九頁，共67頁。通融教材的幾個(gè)方面（1）函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式（2）解幾、立幾與平幾（3）函數(shù)圖像與方程圖形

（4）三角、向量與復(fù)數(shù)（5）集合、計(jì)數(shù)與概率（6）高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)教師相約以下就初、高中數(shù)學(xué)的打通舉例第五十頁，共67頁。初中高中首先打通【性質(zhì)】它們的性質(zhì)相似：共軛虛數(shù)的和與積是實(shí)數(shù)，共軛無理數(shù)的和與積是有理數(shù).【打通】在ax2+bx+c=0的求根公式中，它們有緣相遇.【意義】打通后，一元二次方程求根問題不僅美滿，而且簡捷.【共軛】高中有共軛虛數(shù)：a±bi，初中有共軛無理數(shù)：a±前者，△≥0時(shí)，有后者，△<0時(shí)，有教師相約一元二次方程的根有：（1）成對性，（2）合成性.第五十一頁，共67頁。不套公式一望而答【題目】口答以下一元二次方程的根：【簡化】一元二次方程

x2-2px+q=0.【點(diǎn)評】提高速度——短武器，必須鋒利！（2）△<0時(shí)，x1,2=p±（1）△≥0時(shí)，x1,2=p±（1）y2-4y-4=0（2）y2-2y+3=0（3）y2+10y+1=0教師相約第五十二頁，共67頁。方差公式與等比求和【方差公式】1-q2=(1-q)(1+q)1-q3=(1-q)(1+q+q2)【點(diǎn)評】初中生說，推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式其實(shí)很簡單，是高中生把它搞復(fù)雜了！得得【等比求和】由

1-qn

=(1-q)(1+q+q2++qn-1)1-qn=(1-q)(1+q+q2+

+qn-1)教師相約第五十三頁，共67頁。等差求和與面積公式【例題】求自然數(shù)列中，從100到200的各數(shù)之和.

【解法1】

即求S200與S99的差【點(diǎn)評】解法2的成功，在于把等差數(shù)列求和公式與梯形面積公式的打通！其中，【解法2】按梯形面積公式有所以.教師相約第五十四頁，共67頁。【打通】

二次函數(shù)x2–px+q有實(shí)根的充要條件是根的判別式△≥0成立，即p2≥4q.令p=x1+x2，q=x1x2，則有初中方程與高中不等式(x1+x2)2≥4x1x2【結(jié)論】

平均不等式A≥G是判別不等式△≥0的特例.它們不是兄弟關(guān)系，而是母子關(guān)系！當(dāng)x1，x2>0時(shí)，則有教師相約第五十五頁，共67頁。（1）一元二次方程ax2+bx+c=0有實(shí)數(shù)根的條件是b2-4ac≥0（2）二元二次（圓）方程x2+y2+2Dx+2Ey+F=0

有軌跡的條件是D2+E2≥F判別式與條件不等式（3）二元一次方程ax+by+c=0有圖形的條件是a2+b2>0.【說明】方程（組）有解，或方程有圖形的條件，落實(shí)到一個(gè)（多元）不等式，它們都是根的判別式的發(fā)展。（4）直線ax+by=1與圓x2+y2=1有公共點(diǎn)的條件是

a2+b2≥1教師相約第五十六頁，共67頁。右邊得加點(diǎn)什么？不等式的配平與恒等式的傾斜【思考】要把不等式(x1+x2)2≥4x1x2配平成等式【說明】不等式由恒等式傾斜而得，恒等式由不等式配平而成.上例的轉(zhuǎn)換籌碼就是不負(fù)數(shù)(x1-x2)2≥

0不難發(fā)現(xiàn)，要加的東西是(x1-x2)2加上即得(x1+

x2)2=(x1

-

x2)2+4x1x2放縮法，就是不等式與恒等式添減轉(zhuǎn)換籌碼的過程.教師相約第五十七頁，共67頁。連等與放縮【說明】初中的“比例性質(zhì)”可帶進(jìn)高中的“分式的放大性”！后者縮小成前者：教師相約【連等】分式有基本