常微分方程 奇解與包絡

關于常微分方程奇解與包絡第一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一2.4

奇解包絡和奇解克萊羅方程（ClairantEquation）本節(jié)要求：1了解奇解的意義；2掌握求奇解的方法。主要內(nèi)容第二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一利用通解和特解可以構造解：從圖形可以看到，有無數(shù)條積分曲線過初始點。解：容易看到y(tǒng)=0是解，并且滿足給定的初始條件例1得通解由第三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一第四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一xy第五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一定義2.3

如果方程存在某一解，在它所對應的積分曲線上每點處，解的唯一性都被破壞，則稱此解為微分方程的奇解。奇解對應的積分曲線稱為奇積分曲線

第六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一一包絡和奇解的定義曲線族的包絡：是指這樣的曲線，它本身并不包含在曲線族中，但過這條曲線上的每一點，有曲線族中的一條曲線與其在此點相切。奇解：在有些微分方程中，存在一條特殊的積分曲線，它并不屬于這個方程的積分曲線族，但在這條特殊的積分曲線上的每一點處，都有積分曲線族中的一條曲線與其在此點相切。這條特殊的積分曲線所對應的解稱為方程的奇解。注：奇解上每一點都有方程的另一解存在。第七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一第八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一例單參數(shù)曲線族R是常數(shù)，c是參數(shù)。xyo顯然，是曲線族的包絡。一般的曲線族并不一定有包絡，如同心圓族，平行線族等都是沒有包絡的。第九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一注:并不是每個曲線族都有包絡.例如:單參數(shù)曲線族:(其中c為參數(shù))表示一族同心圓.

如圖從圖形可見,此曲線族沒有包絡.第十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一

二、不存在奇解的判別法假設方程(1.9)的右端函數(shù)在區(qū)域上有定義，如果在D上連續(xù)且在D上有界(或連續(xù))，那么由本章定理2.2，方程的任一解是唯一的，從而在D內(nèi)一定不存在奇解。有定義的區(qū)域D內(nèi)成立，那么奇解只能存在于不滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域上.進一步如果再能表明在這樣的區(qū)域上不存在方程的解，那么我們也可以斷定該方程無奇解。

如果存在唯一性定理條件不是在整個第十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一第十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一定理2.6方程(1.9)的積分曲線族(C)的包絡線L是(1.9)的奇積分曲線。證明：應用定理2.1積分曲線與線素場的關系的充要條件第十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一三求奇解（包絡線）的方法C-判別曲線法

P-判別曲線法設一階方程的通積分為1C-判別曲線法結論：通積分作為曲線族的包絡線（奇解）包含在下列方程組消去C

而得到的曲線中。第十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一設由能確定出曲線為則對參數(shù)C求導數(shù)從而得到恒等式第十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一當至少有一個不為零時有或這表明曲線L在其上每一點(x(C),y(C))處均與曲線族中對應于C的曲線相切。注意：

C-判別曲線中除了包絡外，還有其他曲線，尚需檢驗。第十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一例1

求直線族的包絡，這里是參數(shù)，p

是常數(shù)。解：對參數(shù)求導數(shù)聯(lián)立相加，得，經(jīng)檢驗，其是所求包絡線。xyop第十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一例2

求直線族的包絡，這里c

是參數(shù)。解：對參數(shù)c

求導數(shù)聯(lián)立得從得到從得到因此，C-判別曲線中包括了兩條曲線，易檢驗，是所求包絡線。第十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一xyo第十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一2p-判別曲線結論：方程的奇解包含在下列方程組消去p

而得到的曲線中。注意：

p-判別曲線中除了包絡外，還有其他曲線，尚需檢驗。第二十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一例3

求方程的奇解。解：從消去

p，得到p-判別曲線經(jīng)檢驗，它們是方程的奇解。因為易求得原方程的通解為而是方程的解，且正好是通解的包絡。第二十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一例4

求方程的奇解。解：從消去

p，得到p-判別曲線經(jīng)檢驗，不是方程的解，故此方程沒有奇解。注意：

以上兩種方法，只提供求奇解的途徑，所得p-判別曲線和C-判別曲線是不是奇解，必需進行檢驗。第二十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一

3克萊羅方程形式其中是

p的連續(xù)函數(shù)。解法通解奇解第二十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一結果:Clairaut方程的通解是一直線族,此直線族的包絡或是Clairaut方程的奇積分曲線,所對應的解是奇解.第二十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一例5

求解方程解：這是克萊羅方程，因而其通解為消去

c，得到奇解從第二十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一xyO如圖:此方程的通解是直線族:而奇解是通解的包絡:第二十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一例6求一曲線，使在其上每一點的切線截割坐標軸而成的直角三角形的面積都等于2。解設要求的曲線為過曲線任上一點的切線方程為其與坐標軸的交點為切線截割坐標軸而成的直角三角形的面積為第二十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一這是克萊羅方程，因而其通解為消去

c，得到奇解從這是等腰雙曲線，顯然它就是滿足要求的曲線。第二十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一直線族及其包絡線第二十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一第三十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一利用Maple可以得到這個方程的解曲線如下:注意:y=3x和y=-3x是非常特殊的解,其它解與這兩條直線相切.restart:with(plots):forjfrom-5to-1doplot(j*x^2/2+9/2/j,x=-3..3,y=-10..10):y[j]:=%:enddo:forjfrom1to5doplot(j*x^2/2+9/2/j,x=-3..3,y=-10..10):y[j]:=%:enddo:plot(3*x,x=-3..3,y=-10..10,color=black):yy:=%:plot(-3*x,x=-3..3,y=-10..10,color=black):yyy:=%:display(y[1],y[2],y[3],y[4],y[5],y[-1],y[-2],y[-3],y[-4],y[-5],yy,yyy);第三十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期一本節(jié)要點：

1.奇解的定義。

2.不存在奇解的判別方法。

（1）全平面上解唯一（2）不滿足解唯一的區(qū)域上沒有方程的解

3.求奇解的包絡線求法。

滿足C—判別式。

在非蛻化條件下，從C—