平面問題的極坐標(biāo)解答

關(guān)于平面問題的極坐標(biāo)解答彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答1第一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)2第四章

平面問題的極坐標(biāo)解答本章要點(diǎn)彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)要點(diǎn)：（1）極坐標(biāo)中平面問題的基本方程：——平衡方程、幾何方程、物理方程、相容方程、邊界條件。（2）極坐標(biāo)中平面問題的求解方法及應(yīng)用應(yīng)用：圓盤、圓環(huán)、厚壁圓筒、楔形體、半無限平面體等的應(yīng)力與變形分析。第二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)3一、極坐標(biāo)中的平衡微分方程二、極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程三、極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程四、應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式五、軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移六、圓環(huán)或圓筒受均布壓力七、壓力隧洞八、圓孔的孔邊應(yīng)力集中九、半平面體在邊界上受集中力十、半平面體在邊界上受分布力彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第四章

平面問題的極坐標(biāo)解答內(nèi)容提要第三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答4極坐標(biāo)中的微元體xyOPABC體力：應(yīng)力：PA面PB面BC面極坐標(biāo)中的平衡微分方程一AC面r、θ的正面上，與坐標(biāo)方向一致時(shí)為正；r、θ的負(fù)面上，與坐標(biāo)方向相反時(shí)為正。應(yīng)力正向規(guī)定：第四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答5考慮微元體平衡（取厚度為1）：xyOPABC極坐標(biāo)中的平衡微分方程一展開，兩邊并除以第五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答6兩邊同除以，并略去高階小量：極坐標(biāo)中的平衡微分方程一xyOPABC第六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答7——剪應(yīng)力互等定理于是，極坐標(biāo)下的平衡方程為：（4－1）兩方程三個(gè)未知量，是一次超靜定問題，須應(yīng)用幾何學(xué)和物理學(xué)方面的條件才能求解。極坐標(biāo)中的平衡微分方程一xyOPABC方程說明：第七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)8一、極坐標(biāo)中的平衡微分方程二、極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程三、極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程四、應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式五、軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移六、圓環(huán)或圓筒受均布壓力七、壓力隧洞八、圓孔的孔邊應(yīng)力集中九、半平面體在邊界上受集中力十、半平面體在邊界上受分布力彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第四章

平面問題的極坐標(biāo)解答內(nèi)容提要第八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答91.幾何方程xyOPAB(1)只有徑向變形，無環(huán)向變形。徑向線段PA的相對伸長：（a）徑向線段PA的轉(zhuǎn)角：（b）線段PB的相對伸長：（c）極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程二環(huán)向線段PB的轉(zhuǎn)角：（d）第九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答10徑向線段PA的相對伸長：（a）徑向線段PA的轉(zhuǎn)角：（b）環(huán)向線段PB的相對伸長：（c）環(huán)向線段PB的轉(zhuǎn)角：（d）剪應(yīng)變?yōu)椋海╡）xyOPAB極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程二第十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答11yxOPBA(2)只有環(huán)向變形，無徑向變形。徑向線段PA的相對伸長：（f）徑向線段PA的轉(zhuǎn)角：（g）環(huán)向線段PB的相對伸長：（h）（i）環(huán)向線段PB的轉(zhuǎn)角：剪應(yīng)變?yōu)椋海╦）極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程二第十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答12(3)總應(yīng)變（4－2）——極坐標(biāo)下的幾何方程極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程二第十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答132.物理方程平面應(yīng)力情形：平面應(yīng)變情形：（4－3）（4－4）極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程二第十三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)14一、極坐標(biāo)中的平衡微分方程二、極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程三、極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程四、應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式五、軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移六、圓環(huán)或圓筒受均布壓力七、壓力隧洞八、圓孔的孔邊應(yīng)力集中九、半平面體在邊界上受集中力十、半平面體在邊界上受分布力彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第四章

平面問題的極坐標(biāo)解答內(nèi)容提要第十四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答15xyOrPxy（1）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)間的關(guān)系（2）應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)關(guān)系極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程三第十五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答16(a)(b)極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程三第十六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答17(c)xyOrPxy由直角坐標(biāo)下應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力的關(guān)系：極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程三第十七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答18（3）極坐標(biāo)中的相容方程(a)(b)將式(a)與(b)相加極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程三第十八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答19極坐標(biāo)下的Laplace微分算子：極坐標(biāo)下的相容方程為：（4－6）說明：方程（4－6）為常體力情形的相容方程。極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程三第十九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)20一、極坐標(biāo)中的平衡微分方程二、極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程三、極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程四、應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式五、軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移六、圓環(huán)或圓筒受均布壓力七、壓力隧洞八、圓孔的孔邊應(yīng)力集中九、半平面體在邊界上受集中力十、半平面體在邊界上受分布力彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第四章

平面問題的極坐標(biāo)解答內(nèi)容提要第二十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答21

設(shè)已知極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量、、。試求直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量、、。在彈性體中取微小三角板A，各邊上的應(yīng)力如圖所示。三角板的厚度取為一個(gè)單位。令bc邊的長度為ds，則ab邊及ac邊的長度分別為及。應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式四在一定的應(yīng)力狀態(tài)下，如果已知極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量，就可以利用簡單的關(guān)系式求得直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量。反之，如果已知直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量，也可以利用簡單的關(guān)系式求得極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量。第二十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答22另取微小三角板B應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式四剪應(yīng)力互等第二十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答23(1)用極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量表示直角坐標(biāo)下的應(yīng)力分量(2)用直角坐標(biāo)下的應(yīng)力分量表示極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式四綜上，得出應(yīng)力分量由極坐標(biāo)向直角坐標(biāo)的變換式為：第二十三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)24一、極坐標(biāo)中的平衡微分方程二、極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程三、極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程四、應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式五、軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移六、圓環(huán)或圓筒受均布壓力七、壓力隧洞八、圓孔的孔邊應(yīng)力集中九、半平面體在邊界上受集中力十、半平面體在邊界上受分布力彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第四章

平面問題的極坐標(biāo)解答內(nèi)容提要第二十四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答25求解方法：——逆解法1.軸對稱問題應(yīng)力分量與相容方程（2）應(yīng)力分量（3）相容方程2.相容方程的求解將相容方程表示為：軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移五（1）應(yīng)力函數(shù)－極坐標(biāo)平面內(nèi)僅為r的函數(shù)第二十五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答26軸對稱問題拉普拉斯算子代入相容方程成為為四階常微分方程，其全部通解只有4項(xiàng)。積分得軸對稱應(yīng)力函數(shù)通解：（A、B、C、D

為待定常數(shù)）3.應(yīng)力分量將應(yīng)力函數(shù)通解代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得軸對稱應(yīng)力的一般性解答軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移五第二十六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答274.位移分量對于平面應(yīng)力問題，將應(yīng)力分量代入物理方程，得相應(yīng)的形變分量(a)由式（a）的第一式積分，得軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移五第二十七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答28將式（b）代入式（a）中第二式，得將上式積分，得:將式（b）、（c）代入式（a）中第三式，得或?qū)懗桑海╞）——是任意的待定函數(shù)（c）——是r

任意函數(shù)要使該式成立，兩邊須為同一常數(shù)。軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移五第二十八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答29（d）（e）式中F為常數(shù)。對（d）積分有：（f）其中H為常數(shù)。對式（e）兩邊求導(dǎo)其解為：（g）（h）將式（f）（g）

（h）代入式（b）（c），得（4-12）軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移五第二十九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)30一、極坐標(biāo)中的平衡微分方程二、極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程三、極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程四、應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式五、軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移六、圓環(huán)或圓筒受均布壓力七、壓力隧洞八、圓孔的孔邊應(yīng)力集中九、半平面體在邊界上受集中力十、半平面體在邊界上受分布力彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第四章

平面問題的極坐標(biāo)解答內(nèi)容提要第三十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答31已知：求：圓環(huán)應(yīng)力分布。確定應(yīng)力分量的表達(dá)式：（4－11）邊界條件：（a）將式（a）代入應(yīng)力分量，有：（b）圓環(huán)或圓筒受均布壓力六第三十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答32式(b)中有三個(gè)未知常數(shù)，二個(gè)方程無法完全確定。對于多連體問題，位移須滿足位移單值條件。位移多值項(xiàng)要使單值，須有：B=0，由式（b）得將其代回應(yīng)力分量式，有：圓環(huán)或圓筒受均布壓力六第三十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答33（4-13）（1）若：(二向等壓情況)（2）若：（壓應(yīng)力）（拉應(yīng)力）圓環(huán)或圓筒受均布壓力六第三十三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答34——具有圓形孔道的無限大彈性體。（3）若：（壓應(yīng)力）（壓應(yīng)力）（4）若：圓環(huán)或圓筒受均布壓力六第三十四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)35一、極坐標(biāo)中的平衡微分方程二、極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程三、極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程四、應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式五、軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移六、圓環(huán)或圓筒受均布壓力七、壓力隧洞八、圓孔的孔邊應(yīng)力集中九、半平面體在邊界上受集中力十、半平面體在邊界上受分布力彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第四章

平面問題的極坐標(biāo)解答內(nèi)容提要第三十五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答36問題：厚壁圓筒埋在無限大彈性體內(nèi)，受內(nèi)壓q作用，求圓筒的應(yīng)力。1.分析與以前相比較，相當(dāng)于兩個(gè)軸對稱問題：(a)受內(nèi)外壓力作用的厚壁圓筒；(b)僅受內(nèi)壓作用的無限大彈性體。確定外壓p的兩個(gè)條件：徑向變形連續(xù)：徑向應(yīng)力連續(xù)：壓力隧洞七第三十六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答372.求解(1)圓筒的應(yīng)力與邊界條件應(yīng)力：（a）邊界條件：(2)無限大彈性體的應(yīng)力與邊界條件應(yīng)力：（b）邊界條件：將式（a）、（b）代入相應(yīng)的邊界條件，得到如下方程：壓力隧洞七第三十七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答384個(gè)方程不能解5個(gè)未知量，需由位移連續(xù)條件確定。(c)(d)由軸對稱應(yīng)力狀態(tài)下對應(yīng)的位移分量公式，平面應(yīng)變問題的圓筒和無限大彈性體的徑向位移為：壓力隧洞七第三十八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答39利用：(e)要使對任意的成立，須有(f)0壓力隧洞七第三十九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答40(g)其中：式（g）與式（c）（d）聯(lián)立求解（4-16）(c)(d)圓筒及無限大彈性體應(yīng)力分量式(f)壓力隧洞七第四十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答41討論：（1）完全接觸壓力隧洞問題為最簡單的接觸問題（面接觸）。接觸面間既不互相脫離，也不互相滑動。接觸條件為應(yīng)力：（2）非完全接觸（光滑接觸）接觸條件：當(dāng)n<1時(shí)，應(yīng)力分布如圖所示。位移：應(yīng)力：位移：壓力隧洞七第四十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)42一、極坐標(biāo)中的平衡微分方程二、極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程三、極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程四、應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式五、軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移六、圓環(huán)或圓筒受均布壓力七、壓力隧洞八、圓孔的孔邊應(yīng)力集中九、半平面體在邊界上受集中力十、半平面體在邊界上受分布力彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第四章

平面問題的極坐標(biāo)解答內(nèi)容提要第四十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答431.孔邊應(yīng)力集中概念

由于彈性體中存在小孔，使得孔邊的應(yīng)力遠(yuǎn)大于無孔時(shí)的應(yīng)力，也遠(yuǎn)大于距孔稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力，稱為孔邊的應(yīng)力集中。應(yīng)力集中系數(shù)：與孔的形狀有關(guān)，是局部現(xiàn)象；與孔的大小幾乎無關(guān)。（圓孔為最小，其它形狀較大）2.孔邊應(yīng)力集中問題的求解（1）問題

帶有圓孔的無限大板（B>>a），圓孔半徑為a，在無限遠(yuǎn)處受有均勻拉應(yīng)力q作用。求：孔邊附近的應(yīng)力。圓孔的孔邊應(yīng)力集中八第四十三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答44AOxybAArA原問題轉(zhuǎn)化為：無限大圓板中間開有一圓孔的新問題。b（2）問題的求解

問題分析坐標(biāo)系：就外邊界（直線），宜用直角坐標(biāo)；就內(nèi)邊界（圓孔），宜用極坐標(biāo)。

取一半徑為r=b(b>>a），在其上取一點(diǎn)A的應(yīng)力，有：由應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式：圓孔的孔邊應(yīng)力集中八第四十四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答45新問題的邊界條件可表示為：xyba內(nèi)邊界外邊界（a）問題1（b）ba將外邊界條件（a）分解為兩部分：（c）ba問題2圓孔的孔邊應(yīng)力集中八第四十五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答46

問題1的解：內(nèi)邊界外邊界（b

該問題為軸對稱問題，其解為

當(dāng)b>>a時(shí)，有（d）問題1ba圓孔的孔邊應(yīng)力集中八第四十六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答47

問題2的解：（非軸對稱問題）內(nèi)邊界外邊界（c）

由邊界條件（c），可假設(shè)：為r的某一函數(shù)乘以；為r的某一函數(shù)乘以。

又由極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量表達(dá)式：

可假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：ba問題2

將其代入相容方程：圓孔的孔邊應(yīng)力集中八第四十七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答48

該方程的特征方程：特征根為：方程的解為：圓孔的孔邊應(yīng)力集中八第四十八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答49

相應(yīng)的應(yīng)力分量：

對上述應(yīng)力分量應(yīng)用邊界條件（c）,有內(nèi)邊界外邊界（c）

（e）ba問題2圓孔的孔邊應(yīng)力集中八第四十九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答50ba問題2代入應(yīng)力分量式（e）,有

（f）圓孔的孔邊應(yīng)力集中八第五十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答51將問題1和問題2的解相加,得全解：討論：（1）沿孔邊，r=a，環(huán)向正應(yīng)力：Ab——齊爾西（G.Kirsch）解3q2qq0－q90°60°45°30°0°（2）沿y軸，θ=90°，環(huán)向正應(yīng)力：1.04q1.07q1.22q3q4a3a2aar圓孔的孔邊應(yīng)力集中八第五十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答52（3）沿x軸，θ=0°，環(huán)向正應(yīng)力：圓孔的孔邊應(yīng)力集中八第五十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答53（4）若矩形薄板（或長柱）受雙向拉應(yīng)力q1、q2作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2疊加后的應(yīng)力：圓孔的孔邊應(yīng)力集中八第五十三頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)54一、極坐標(biāo)中的平衡微分方程二、極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程三、極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程四、應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式五、軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移六、圓環(huán)或圓筒受均布壓力七、壓力隧洞八、圓孔的孔邊應(yīng)力集中九、半平面體在邊界上受集中力十、半平面體在邊界上受分布力彈性力學(xué)簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)第四章

平面問題的極坐標(biāo)解答內(nèi)容提要第五十四頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答55xyOP1.楔頂受有集中力P作用

楔形體頂角為α，下端為無限長（單位厚度），頂端受有集中力P

，與中心線的夾角為β，求：（1）應(yīng)力函數(shù)的確定因次分析法：半平面體在邊界上受集中力九由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量間的微分關(guān)系，可推斷：

（a）將其代入相容方程，以確定函數(shù)第五十五頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答56——4階常系數(shù)齊次的常微分方程通解：其中A，B，C，D為積分常數(shù)。將其代入前面的應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式：xy

（4-20）（對應(yīng)于無應(yīng)力狀態(tài)）xyOP半平面體在邊界上受集中力九第五十六頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答57（2）應(yīng)力分量的確定xyOP邊界條件：——自然滿足ab

（b）任取一圓弧，其上的應(yīng)力應(yīng)與楔頂?shù)牧平衡。將式（b）代入，有：半平面體在邊界上受集中力九第五十七頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答58積分得：代入式（b）

（4-21）——密切爾（J.H.Michell）解答xyOPab半平面體在邊界上受集中力九第五十八頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答59兩種特殊情況：P（1）（2）兩種情況下的應(yīng)力分布：應(yīng)力對稱分布應(yīng)力反對稱分布PxyOabxyOab半平面體在邊界上受集中力九第五十九頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答60(1)應(yīng)力分量由楔形體受集中力的情形，可以得到——極坐標(biāo)表示的應(yīng)力分量利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的應(yīng)力轉(zhuǎn)換式（4-8），可求得PxyO無限大半平面體在邊界法線方向受集中力作用2.半平面邊界受法向集中力作用或?qū)⑵涓臑橹苯亲鴺?biāo)表示

（4-23）半平面體在邊界上受集中力九第六十頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答61(2)位移分量直角坐標(biāo)表示的應(yīng)力分量假定為平面應(yīng)力情形，其極坐標(biāo)形式的物理方程為PxyO將式代入

（4-24）半平面體在邊界上受集中力九第六十一頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答62由幾何方程(a)(b)(c)積分式（a）(d)式（d）代入式（b）積分上式(e)半平面體在邊界上受集中力九第六十二頁，共七十頁，編輯于2023年，星期一彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)解答63將式（d）(e)代入