平面點(diǎn)集與多元函數(shù)

關(guān)于平面點(diǎn)集與多元函數(shù)第一頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)第二頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一一、平面點(diǎn)集坐標(biāo)平面上滿(mǎn)足某種條件

的點(diǎn)的集合，稱(chēng)為平面點(diǎn)集，并記作

常見(jiàn)平面點(diǎn)集全平面和半平面第三頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一1.鄰域:

以點(diǎn)X0=(x0,y0)為中心,以為半徑的圓內(nèi)部點(diǎn)的全體稱(chēng)為X0的鄰域.即記?(X0,)=U(X0,){X0

},稱(chēng)為

X0的去心鄰域.如圖特殊的平面點(diǎn)集第四頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一X0X0U(X0,)?(X0,)當(dāng)不關(guān)心鄰域半徑時(shí),簡(jiǎn)記為U(X0

)和?(X0).第五頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一空心方鄰域與集方鄰域圓鄰域內(nèi)有方鄰域，方鄰域內(nèi)有圓鄰域的區(qū)別第六頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一2.

內(nèi)點(diǎn):設(shè)E是一平面點(diǎn)集,X0=(x0,y0)E,若存在鄰域U(X0,)E,則稱(chēng)X0為E

的內(nèi)點(diǎn).E的全體內(nèi)點(diǎn)所成集合稱(chēng)為E的內(nèi)部,記為D={(x,y)|x2+y2

1}如圖第七頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一xyox2+y2=111D易知,圓內(nèi)部的每一點(diǎn)都是D的內(nèi)點(diǎn).但圓周上的點(diǎn)不是D的內(nèi)點(diǎn).第八頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一x+y=0xy0如圖D又如z=ln(x+y)的定義域D={(x,y)|x+y>0}易見(jiàn),直線(xiàn)上方每一點(diǎn)都是D的內(nèi)點(diǎn).但直線(xiàn)上的點(diǎn)不是D的內(nèi)點(diǎn).第九頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一若存在點(diǎn)的某鄰域使得則稱(chēng)是集合的外點(diǎn)第十頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一3.邊界點(diǎn):設(shè)E是一平面點(diǎn)集,X0=(x0,y0)是平面上一個(gè)點(diǎn).若X0的任何鄰域U(X0,)內(nèi)既有屬于E的點(diǎn),又有不屬于E的點(diǎn),則稱(chēng)X0為E

的邊界點(diǎn).E

的全體邊界點(diǎn)所成集合稱(chēng)為E

的邊界.記作E.如,例1中定義域D

的邊界是直線(xiàn)x+y=0上點(diǎn)的全體.例2中定義域D

的邊界是單位圓周x2+y2=1上的點(diǎn)的全體.如圖第十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一xyo11x2+y2=1Dx+y=0xyoDE的邊界點(diǎn)可以是E中的點(diǎn),也可以不是E中的點(diǎn).第十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一4.開(kāi)集

設(shè)E是一平面點(diǎn)集,若E

中每一點(diǎn)都是E的內(nèi)點(diǎn).即E

intE,則稱(chēng)E

是一個(gè)開(kāi)集.由于總有intE

E,因此,E

intE

E

=intE故也可說(shuō),比如,例1中D是開(kāi)集,(D

=intD

),而例2中D不是開(kāi)集.規(guī)定,,R2為開(kāi)集.若E=intE,則稱(chēng)E是一個(gè)開(kāi)集.第十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一xyoE又比如,E如圖若E不包含邊界,則E為開(kāi)集.若E包含邊界,則E不是開(kāi)集.第十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一結(jié)論:

非空平面點(diǎn)集E為開(kāi)集的充要條件是E中每一點(diǎn)都不是E的邊界點(diǎn).即E不含有E的邊界點(diǎn).證:必要性.

設(shè)E

為開(kāi)集,XE,由開(kāi)集定義知X為E的內(nèi)點(diǎn).故X不是E

的邊界點(diǎn).第十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一充分性.

若E中每一點(diǎn)都不是E的邊界點(diǎn).要證E為開(kāi)集.XE,由于X不是E的邊界點(diǎn).故必存在X的一個(gè)鄰域U(X,),在這個(gè)鄰域U(X,)內(nèi)或者全是E中的點(diǎn).或者全都不是E中的點(diǎn),兩者必居其一.由于XE,故后一情形不會(huì)發(fā)生.因此,U(X,)內(nèi)必全是E中的點(diǎn).故XintE,即,E

intE

,所以E是開(kāi)集.第十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一5.連通集

設(shè)E是一非空平面點(diǎn)集,若X,YE.都可用完全含于E的折線(xiàn)將它們連接起來(lái),則稱(chēng)E為連通集.如圖XYE連通YXE不連通第十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一從幾何上看,所謂E是連通集,是指E是連成一片的.E中的點(diǎn)都可用折線(xiàn)連接.例1,2中的D都是連通集.如圖x+y=0xyoxyo11x2+y2=1第十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一6.開(kāi)區(qū)域(開(kāi)域)設(shè)E是一平面點(diǎn)集.比如,例1中D是開(kāi)區(qū)域.如圖.

E從幾何上看,開(kāi)區(qū)域是連成一片的,不包括邊界的平面點(diǎn)集.若E是連通的非空開(kāi)集,則稱(chēng)E是開(kāi)區(qū)域.第十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一7.閉區(qū)域(閉域)若E是開(kāi)域,記稱(chēng)為閉區(qū)域.如圖.

E易見(jiàn),例2中的D是閉區(qū)域.從幾何上看,閉區(qū)域是連成一片的.包括邊界的平面點(diǎn)集.(本書(shū)把)開(kāi)區(qū)域和閉區(qū)域都叫作區(qū)域.第二十頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一易見(jiàn),例1中D是無(wú)界集,它是無(wú)界開(kāi)區(qū)域,而例2中D是有界集,它是有界閉區(qū)域.若存在r>0,使EU(O,r),則稱(chēng)E為有界集.否則稱(chēng)E為無(wú)界集.8.設(shè)第二十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一9.聚點(diǎn).設(shè)E是平面點(diǎn)集,X0是平面上一個(gè)點(diǎn).若X0的任一鄰域內(nèi)總有無(wú)限多個(gè)點(diǎn)屬于E.則稱(chēng)X0是E

的一個(gè)聚點(diǎn).從幾何上看,所謂X0是E的聚點(diǎn)是指在X0的附近聚集了無(wú)限多個(gè)E中的點(diǎn).即,在X0的任意近傍都有無(wú)限多個(gè)E中的點(diǎn).第二十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一X0如圖第二十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一1.聚點(diǎn)定義也可敘述為:若X0的任一鄰域內(nèi)至少含有E中一個(gè)異于

X0的點(diǎn).則稱(chēng)X0為E的一個(gè)聚點(diǎn).(自證).2.E的聚點(diǎn)X0可能屬于E,也可能不屬于E.3.E的內(nèi)點(diǎn)一定是E的聚點(diǎn).第二十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一4.若E是開(kāi)區(qū)域.則E中每一點(diǎn)都是E的聚點(diǎn).即,區(qū)域中的任一點(diǎn)都是該區(qū)域的聚點(diǎn).一般,集合E的邊界點(diǎn)不一定是E的聚點(diǎn).但若E是開(kāi)集,則E的邊界點(diǎn)一定是E的聚點(diǎn),自證.第二十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一定義若存在使得則稱(chēng)點(diǎn)是的孤立點(diǎn).

孤立點(diǎn)必為界點(diǎn).第二十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一鄰域,內(nèi)點(diǎn),邊界點(diǎn),開(kāi)集,連通,有界,開(kāi)區(qū)域,閉區(qū)域,聚點(diǎn)這些概念都可毫無(wú)困難地推廣到三維空間R3中去,且有類(lèi)似的幾何意義.它們還可推廣到4維以上的空間中去,但不再有幾何意義.第二十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一（3）點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E．例如,(0,0)

是聚點(diǎn)但不屬于集合．例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合．（1）內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；說(shuō)明：（2）邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；例如，(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)．第二十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一點(diǎn)集的直徑兩點(diǎn)的距離（或）

并有三角不等式第二十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一同時(shí)也有如下三角形不等式，即對(duì)上任何三點(diǎn)和都有例2證明：對(duì)任何恒為閉集

證明設(shè)為的任一聚點(diǎn)，要證.由聚點(diǎn)的定義，對(duì)任給，存在

第三十頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一.又是的界點(diǎn)，所以對(duì)任意，由于上既有的點(diǎn)，又有非的點(diǎn)，于是上既有的點(diǎn)，又有非的點(diǎn)，由的任意性，推知是的界點(diǎn)，即，這就證明了為閉集.

第三十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一二

中的完備性定理

1點(diǎn)列的極限

設(shè)為平面點(diǎn)列，為一固定，存在正整數(shù)，使時(shí)，有,則稱(chēng)點(diǎn)列收斂于點(diǎn),記作或

點(diǎn).若對(duì)任給的正數(shù)得當(dāng)?shù)谌?yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一設(shè)則同樣的，當(dāng)以表示點(diǎn)與的距離時(shí)，也就等價(jià)于

第三十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一2柯西收斂準(zhǔn)則

定理16.1

（柯西準(zhǔn)則）平面點(diǎn)列收斂的充要條件是：對(duì)任意，存在,當(dāng)時(shí)，對(duì)一切正整數(shù),都有

第三十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一定理16.2(閉域套定理)設(shè)是1)

2)

則存在唯一點(diǎn)

3閉域套定理中的閉域列，滿(mǎn)足：第三十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一4聚點(diǎn)原理

定理16.3（聚點(diǎn)原理）設(shè)為有界在中至少有一個(gè)聚點(diǎn).無(wú)限點(diǎn)集，則推論：有界無(wú)限點(diǎn)列必存在收斂子列

第三十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一5有限覆蓋定理

定理16.4（有限覆蓋定理）設(shè)為有界閉域，為一開(kāi)域族，它們覆蓋（即），則在中必存在有限個(gè)開(kāi)域，它們同樣覆蓋（即）

三二元函數(shù)的定義第三十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一第三十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一類(lèi)似地可定義三元及三元以上函數(shù)．點(diǎn)集D---定義域，---值域.x、y

---自變量，z---因變量.函數(shù)的兩個(gè)要素:定義域、對(duì)應(yīng)法則.第三十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一與一元函數(shù)相類(lèi)似，對(duì)于定義域約定：定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切點(diǎn)集.例1求的定義域．解所求定義域?yàn)榈谒氖?yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一

二元函數(shù)的圖形（如下頁(yè)圖）第四十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.第四十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一例如,圖形如右圖.例如,左圖球面.單值分支:第四十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，編輯于2023年，星期一例6

是定義在上的函數(shù)，值域是全體非負(fù)整數(shù)

若二元函數(shù)的值域是有界集，則稱(chēng)該函數(shù)為有界函數(shù)；若值域是無(wú)界集，則稱(chēng)該函數(shù)為無(wú)界函