雙曲線的漸近線和共軛雙曲線

關(guān)于雙曲線的漸近線和共軛雙曲線第一頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日標準方程X2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)y2/a2-x2/b2=1(a>0、b>0)

幾何圖形

范圍

x≥a或x≤-a

y≥a或y≤-a

對稱性

中心對稱，軸對稱中心對稱，軸對稱

頂點A1(-a,0),A2(a,0)

A1(0,-a),A2(0,a)a、b、c的含義a（實半軸長）c（半焦距）b（虛半軸長）a2=c2-b2a（實半軸長）c（半焦距長）b（虛半軸長）a2=c2-b2

離心率e焦距與實軸長的比e=c/ae>1焦距與實軸長的比e=c/ae>1通徑、通徑長過焦點垂直于實軸的弦2b2/a過焦點垂直于實軸的弦2b2/ayF2B1A2A1B20xF1X=aX=-ayxoA2A1B1B2F1F2第二頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日

橢圓

雙曲線標準方程x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)x2/a2-y2/b2=1(a>0、b>0)

幾何圖形

范圍|x|≤a、|y|≤bx≥a或x≤-a對稱性中心對稱，軸對稱

中心對稱，軸對稱頂點A1(-a,0),A2(a,0)B1(0-b),B2(0,b)A1(-a,0)、A2(a,0)a,b,c的含義a2=b2+c2c2=a2+b2離心率e定義0<e<1e>1通徑、通徑長2b2/a2b2/aB2B1yxA2A10F1F2yF2B1A2A1B20xF1X=aX=-a第三頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日問題1：根據(jù)方程畫出下列雙曲線的圖形xyOxyO22567.rar第四頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日yB2A1A2B1

xObaM

NQ(由雙曲線的對稱性知，我們只需證明第一象限的部分即可)下面我們證明雙曲線上的點在沿曲線向遠處運動時，雙曲線與直線逐漸靠攏。方案2：考查同橫坐標的兩點間的距離方案1：考查點到直線的距離第五頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日XMYOQN（x,y)(x,Y)第六頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日1、雙曲線漸近線：yB2A1A2B1

xObayB2A1A2B1

xOba雙曲線漸近線的斜率的絕對值越大,雙曲線的開口越開闊。第七頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日A1A2B1B2abcx0y幾何意義解釋說明：(1)漸近線是雙曲線特有的幾何性質(zhì)，它決定著雙曲線開口的開闊程度。(2)兩條漸近線的交點是雙曲線的中心。(3)以四條直線x=±a和y=±b(或x=±b和y=±a）圍成的矩形的對角線所在直線就是漸近線。(4)兩條漸近線相交所成的角叫夾角（含雙曲線的部分）：2種求解方式。第八頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日問題1：根據(jù)方程畫出下列雙曲線的圖形yox第九頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日2、等軸雙曲線xy漸近線離心率a,b,c的關(guān)系方程yox第十頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日問題2：求下列雙曲線的漸近線：結(jié)論1：把雙曲線方程中的常數(shù)項1改為0，就得到了它的漸近線方程。推廣到一般：雙曲線A2x2-B2y2=1的漸近線方程為：Ax±By=0第十一頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日結(jié)論2：如果已知雙曲線的漸近線方程為：Ax±By=0，去求雙曲線方程，我們可以采用待定系數(shù)法設(shè)出雙曲線方程為：A2x2-B2y2=λ（λ≠0）其中λ為待定的系數(shù)，再根據(jù)題目中的一個條件，求出λ，方程得到求解。若λ>0,則雙曲線焦點在x軸上，若λ<0，則雙曲線焦點在y軸上。結(jié)論3:雙曲線與有共同的漸近線。****求雙曲線的漸近線方程的方法：定義法和方程法。第十二頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日求下列雙曲線的方程：例3、求與雙曲線有共同漸近線且一個焦點為（0，10）的雙曲線的標準方程。例2、已知中心在原點，焦點在坐標軸的雙曲線的漸近線方程為，且實軸長為6，求此雙曲線的標準方程。變式：已知中心在原點，焦點在坐標軸的雙曲線的漸近線方程為，求此雙曲線的離心率。第十三頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日3、共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸,實軸為虛軸的雙曲線叫原雙曲線的共軛雙曲線,則(1)雙曲線的共軛雙曲線方程即把雙曲線方程中的常數(shù)項1改為-1就得到了它的共軛雙曲線方程。(2)雙曲線和它的共軛雙曲線有共同的漸近線;(3)雙曲線和它的共軛雙曲線的四個焦點共圓.第十四頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日焦點方程漸近線離心率實軸、虛軸焦點在x軸上焦點在y軸上實軸長=2a、虛軸長=2b實軸長=2b、虛軸長=2a共軛雙曲線的焦點共圓xy第十五頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日證明:(1)設(shè)已知雙曲線的方程是:則它的共軛雙曲線方程是:漸近線為：漸近線為:可化為：故雙曲線和它的共軛雙曲線有共同的漸近線(2)設(shè)已知雙曲線的焦點為F(c,0),F(-c,0)它的共軛雙曲線的焦點為F1(0,c),F2(0,-c),∵∴c=c'所以四個焦點F1,F2,F3,F4在同一個圓問:有相同漸近線的雙曲線方程一定是共軛雙曲線嗎？第十六頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日1、求雙曲線的共軛雙曲線的頂點和焦點坐標及漸近線和準線方程。2、求與橢圓有共同的焦點，且與橢圓相交，一個交點的縱坐標為4的雙曲線方程。3、已知雙曲線與橢圓共焦點，它的一條漸近線方程為，求雙曲線的方程。說明：1、漸近線為的雙曲線方程可表示為2、橢圓與雙曲線有相同的焦點坐標。第十七頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日焦點在x軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)

雙曲線標準方程：雙曲線性質(zhì)：1、范圍：x≥a或x≤-a2、對稱性：關(guān)于x軸，y軸，原點對稱。3、頂點：A1（-a，0），A2（a，0）4、軸：實軸A1A2

虛軸B1B25、漸近線方程：6、離心率：yB2A1A2B1

xOba7、通徑：小結(jié)第十八頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日焦點在y軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)

雙曲線標準方程：雙曲線性質(zhì)：1、范圍：y≥a或y≤-a2、對稱性：關(guān)于x軸，y軸，原