九年級二次函數(shù)培優(yōu)競賽試題及答案

二次函數(shù)1在如圖的直坐標系，已知點A(2,0)B(0－將線段繞點按逆時針方旋轉(zhuǎn)90°至AC．(1)點C的標；1(2)拋物線－x＋ax經(jīng)過點4①求拋線的解析式②在拋線上是否存點點C除)△以AB為角邊的等腰角三角形存在，出所有的坐標；不存在請說明理由1

2如圖已知直線y=x+3與x交于點A與軸交于點B拋物線

+bx+c經(jīng)過、B點，與x軸于另一個點C對稱軸與線于點拋物線點為（）求拋物線解析式（）在第三象內(nèi)，拋物線一點，以A、EF為頂點三角形積為3，求點坐標；（）點P點發(fā)，沿對軸向下每秒1個單長度的度勻速運動設運動的間為t秒，t為何值時以PBC頂點的三形是直三角形？直接寫所有符合條的t值．2

1.解析】試題分1）點C作CD直于軸，由段AB點A按時針方旋轉(zhuǎn)90°至AC，根據(jù)旋的旋轉(zhuǎn)到AB=AC且∠BAC為直角可得∠CAD互余，∠AOB為直，可得OAB與∠余，根據(jù)同的余相等可一對角相，再加上一直角相，利用ASA證明三角ACD與三角形等，根全等三角形對應邊等可得，CD=OA，由A和B的坐及位置特點求及的，可得OD及的長，根C在第四象限出C坐標；（）①由已知拋物線過點C把第一求出C的標代入拋物解析式列出關(guān)a的方程，出方程的解到a值，確出拋物線的析式；②假設在點P使△是以AB直角邊等腰直角三形分三種況考慮：（）直角頂點過A作直于AB，，過作PM垂于x軸，1111如圖所，根據(jù)一對頂角相，一對直角等，AB=AP，用AAS證明三1形與三角ACD全等，得AP與P的長，再由為二象限的點得出1111此時坐標，代拋物線析式中檢驗足（當B為角頂點過B作1BP直于且BP=BA，過PP垂直于y軸，如所示，理證明三角2222BP三角形AOB全等，得P與BN長，由第三象的點，寫出2222坐標，入拋物線解式中檢滿足當B為直角頂點，過作直3于且BP=BA，如圖所，過P作P垂直y軸，同理可明三角形PBH3333全等于角形，可得出H與BH的長，由P為第四象限點，寫出P坐333標，代拋物線解析檢驗，滿足，綜上得到所滿足題意的P坐標．試題解1）作x，垂足D，∵AC∴∠∠CAD=90°，又∠AOB=90°∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠∠OBA，∠AOB=∠ADC=90°，∴△△又A（，0，（0﹣2，∴OA=CD=1，OB=AD=2，∴OD=OA+AD=3，C為四象限點，∴的坐標為3，﹣；（）①∵拋物y=x2+ax+2過點且（，﹣∴把坐標代得：﹣﹣+3a+2，得：a=，21則拋物的解析式為x2x+2；2②存在P，△ABP是以直角邊等腰直角三形，（）若以直角邊點A直角頂，3

112233112233則延長點P得P，得到腰直角角形，過點Mx，11111如圖所，∵∠=∠CAD∠MA=∠CDA=90°，111∴△≌△，1∴AM=AD=2，PM=CD=1，11∴（﹣1，檢驗點P在拋物線x2+x+2；2（若以直角邊，直角頂點則過點B作BA且使得BP22得到等直角三角形過點P作PN⊥y，如圖222同理可△BPN△2∴，BN=OA=1，21∴（﹣﹣1經(jīng)檢驗P（﹣2，﹣）也在拋線x2x+2上；2（若以直角邊點B為直角頂則過點作BA且使得33得到等直角三角形過點P作PH⊥y，如圖333同理可△BPH△3∴，BH=OA=1，31∴（2，﹣經(jīng)檢（，﹣）不在拋物x2+x+2上；2則符合件的點有P（﹣，1，（﹣，﹣）兩點．12考點：二次函數(shù)綜題的坐標3.等腰直角角形．4

2.答案1）

2

-2x+3（

4，）（3當為秒或秒或或秒時，P、、為頂點的角形直角三形【解析試題分）先由直解析式y(tǒng)=x+3，求它與x的交點A、與軸的交B的坐標，將AB兩點的坐代入y=-x可求出物線的解析；

2

+bx+c運用待定數(shù)法即（）設第三象內(nèi)的點F的坐標為（m，

2

-2m+3，用配方求出物線的對稱軸頂點D的坐標，再設物線的對稱與x交于點G連接，根據(jù)S=S+S-S=3列出關(guān)的程，解方程出的值，進得出點FAEFAEG△AFG△EFG坐；（）設P點標為（-1n．由BC兩點坐標，運用股定理求出

2

=10，再分三情況進行討：①∠PBC=90°，先由股定理出PB

2

+BC

2

=PC

2

，據(jù)此列出關(guān)n的方程，求出n值，再算出的度，然后根時間=路程÷速度，可求出此時應的t值；②∠BPC=90°同①可出對應的值；③∠BCP=90°同①可求出應的t值．試題解）∵與x軸交于點A與y交于點B，∴當時，x=-3即A點坐標為-3，當，即B點坐標（0，，將（，0，（0，3）代入

2

+bx+c，得c

，解得

c

，∴拋物的解析式為-2x+3（）如圖設第三限內(nèi)的點F的坐標為（m，2-2m+3則m＜0，2-2m+3＜0．∵

2

-2x+3=-2

+4∴對稱為直線x=-1，點D的坐標為（-1，，設拋物的對稱軸與軸交于點G，連接FG，則（，，AG=2．∵直線解析式，5

△AEF△AEG△AFG△EFG1△AEF△AEG△AFG△EFG1∴當時y=-1+3=2，∴點坐標為-1，．∵=S+S-S=×2×2+×2×m2+2m-3）-×2×-1-m）+3m，∴以E、為頂點的角形面積為3時m2+3m=3，解得：

21，（舍去2當

時，-m

2

-2m+3=-m

2

-3m+m+3=-3+m+3=m=

，∴點坐標為（

，；（）設坐標為（-1，∵（0，3，10∴22+32=10．分三種況：①如圖，如∠PBC=90°那么

2

+BC

2

=PC

2

，即（

+（2

+10=（1+12

+n-02

，化簡整得6n=16，解得，∴點坐標為-1，∵頂點D坐標為-14∴=，3∵點速度為秒1個單長度，∴=；②如圖3，如果BPC=90°，么

2

+PC

2

=BC

2

，6

44即（

+（2

+（2

+（n-0）2

=10，化簡整得n

2

-3n+2=0解得n=21∴點坐標為-1，）或（-1，∵頂點D坐標為-1∴PD=4-2=2PD=4-1=3∵點速度為秒1個單長度，∴=2=323③如圖4，如果