九年級(jí)二次函數(shù)培優(yōu)競(jìng)賽試題及答案

二次函數(shù)1在如圖的直坐標(biāo)系，已知點(diǎn)A(2,0)B(0－將線(xiàn)段繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)叫D(zhuǎn)90°至AC．(1)點(diǎn)C的標(biāo)；1(2)拋物線(xiàn)－x＋ax經(jīng)過(guò)點(diǎn)4①求拋線(xiàn)的解析式②在拋線(xiàn)上是否存點(diǎn)點(diǎn)C除)△以AB為角邊的等腰角三角形存在，出所有的坐標(biāo)；不存在請(qǐng)說(shuō)明理由1

2如圖已知直線(xiàn)y=x+3與x交于點(diǎn)A與軸交于點(diǎn)B拋物線(xiàn)

+bx+c經(jīng)過(guò)、B點(diǎn)，與x軸于另一個(gè)點(diǎn)C對(duì)稱(chēng)軸與線(xiàn)于點(diǎn)拋物線(xiàn)點(diǎn)為（）求拋物線(xiàn)解析式（）在第三象內(nèi)，拋物線(xiàn)一點(diǎn)，以A、EF為頂點(diǎn)三角形積為3，求點(diǎn)坐標(biāo)；（）點(diǎn)P點(diǎn)發(fā)，沿對(duì)軸向下每秒1個(gè)單長(zhǎng)度的度勻速運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的間為t秒，t為何值時(shí)以PBC頂點(diǎn)的三形是直三角形？直接寫(xiě)所有符合條的t值．2

1.解析】試題分1）點(diǎn)C作CD直于軸，由段AB點(diǎn)A按時(shí)針?lè)叫D(zhuǎn)90°至AC，根據(jù)旋的旋轉(zhuǎn)到AB=AC且∠BAC為直角可得∠CAD互余，∠AOB為直，可得OAB與∠余，根據(jù)同的余相等可一對(duì)角相，再加上一直角相，利用ASA證明三角ACD與三角形等，根全等三角形對(duì)應(yīng)邊等可得，CD=OA，由A和B的坐及位置特點(diǎn)求及的，可得OD及的長(zhǎng)，根C在第四象限出C坐標(biāo)；（）①由已知拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C把第一求出C的標(biāo)代入拋物解析式列出關(guān)a的方程，出方程的解到a值，確出拋物線(xiàn)的析式；②假設(shè)在點(diǎn)P使△是以AB直角邊等腰直角三形分三種況考慮：（）直角頂點(diǎn)過(guò)A作直于AB，，過(guò)作PM垂于x軸，1111如圖所，根據(jù)一對(duì)頂角相，一對(duì)直角等，AB=AP，用AAS證明三1形與三角ACD全等，得AP與P的長(zhǎng)，再由為二象限的點(diǎn)得出1111此時(shí)坐標(biāo)，代拋物線(xiàn)析式中檢驗(yàn)足（當(dāng)B為角頂點(diǎn)過(guò)B作1BP直于且BP=BA，過(guò)PP垂直于y軸，如所示，理證明三角2222BP三角形AOB全等，得P與BN長(zhǎng)，由第三象的點(diǎn)，寫(xiě)出2222坐標(biāo)，入拋物線(xiàn)解式中檢滿(mǎn)足當(dāng)B為直角頂點(diǎn)，過(guò)作直3于且BP=BA，如圖所，過(guò)P作P垂直y軸，同理可明三角形PBH3333全等于角形，可得出H與BH的長(zhǎng)，由P為第四象限點(diǎn)，寫(xiě)出P坐333標(biāo)，代拋物線(xiàn)解析檢驗(yàn)，滿(mǎn)足，綜上得到所滿(mǎn)足題意的P坐標(biāo)．試題解1）作x，垂足D，∵AC∴∠∠CAD=90°，又∠AOB=90°∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠∠OBA，∠AOB=∠ADC=90°，∴△△又A（，0，（0﹣2，∴OA=CD=1，OB=AD=2，∴OD=OA+AD=3，C為四象限點(diǎn)，∴的坐標(biāo)為3，﹣；（）①∵拋物y=x2+ax+2過(guò)點(diǎn)且（，﹣∴把坐標(biāo)代得：﹣﹣+3a+2，得：a=，21則拋物的解析式為x2x+2；2②存在P，△ABP是以直角邊等腰直角三形，（）若以直角邊點(diǎn)A直角頂，3

112233112233則延長(zhǎng)點(diǎn)P得P，得到腰直角角形，過(guò)點(diǎn)Mx，11111如圖所，∵∠=∠CAD∠MA=∠CDA=90°，111∴△≌△，1∴AM=AD=2，PM=CD=1，11∴（﹣1，檢驗(yàn)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)x2+x+2；2（若以直角邊，直角頂點(diǎn)則過(guò)點(diǎn)B作BA且使得BP22得到等直角三角形過(guò)點(diǎn)P作PN⊥y，如圖222同理可△BPN△2∴，BN=OA=1，21∴（﹣﹣1經(jīng)檢驗(yàn)P（﹣2，﹣）也在拋線(xiàn)x2x+2上；2（若以直角邊點(diǎn)B為直角頂則過(guò)點(diǎn)作BA且使得33得到等直角三角形過(guò)點(diǎn)P作PH⊥y，如圖333同理可△BPH△3∴，BH=OA=1，31∴（2，﹣經(jīng)檢（，﹣）不在拋物x2+x+2上；2則符合件的點(diǎn)有P（﹣，1，（﹣，﹣）兩點(diǎn)．12考點(diǎn)：二次函數(shù)綜題的坐標(biāo)3.等腰直角角形．4

2.答案1）

2

-2x+3（

4，）（3當(dāng)為秒或秒或或秒時(shí)，P、、為頂點(diǎn)的角形直角三形【解析試題分）先由直解析式y(tǒng)=x+3，求它與x的交點(diǎn)A、與軸的交B的坐標(biāo)，將AB兩點(diǎn)的坐代入y=-x可求出物線(xiàn)的解析；

2

+bx+c運(yùn)用待定數(shù)法即（）設(shè)第三象內(nèi)的點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，

2

-2m+3，用配方求出物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，再設(shè)物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)與x交于點(diǎn)G連接，根據(jù)S=S+S-S=3列出關(guān)的程，解方程出的值，進(jìn)得出點(diǎn)FAEFAEG△AFG△EFG坐；（）設(shè)P點(diǎn)標(biāo)為（-1n．由BC兩點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用股定理求出

2

=10，再分三情況進(jìn)行討：①∠PBC=90°，先由股定理出PB

2

+BC

2

=PC

2

，據(jù)此列出關(guān)n的方程，求出n值，再算出的度，然后根時(shí)間=路程÷速度，可求出此時(shí)應(yīng)的t值；②∠BPC=90°同①可出對(duì)應(yīng)的值；③∠BCP=90°同①可求出應(yīng)的t值．試題解）∵與x軸交于點(diǎn)A與y交于點(diǎn)B，∴當(dāng)時(shí)，x=-3即A點(diǎn)坐標(biāo)為-3，當(dāng)，即B點(diǎn)坐標(biāo)（0，，將（，0，（0，3）代入

2

+bx+c，得c

，解得

c

，∴拋物的解析式為-2x+3（）如圖設(shè)第三限內(nèi)的點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，2-2m+3則m＜0，2-2m+3＜0．∵

2

-2x+3=-2

+4∴對(duì)稱(chēng)為直線(xiàn)x=-1，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，，設(shè)拋物的對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn)G，連接FG，則（，，AG=2．∵直線(xiàn)解析式，5

△AEF△AEG△AFG△EFG1△AEF△AEG△AFG△EFG1∴當(dāng)時(shí)y=-1+3=2，∴點(diǎn)坐標(biāo)為-1，．∵=S+S-S=×2×2+×2×m2+2m-3）-×2×-1-m）+3m，∴以E、為頂點(diǎn)的角形面積為3時(shí)m2+3m=3，解得：

21，（舍去2當(dāng)

時(shí)，-m

2

-2m+3=-m

2

-3m+m+3=-3+m+3=m=

，∴點(diǎn)坐標(biāo)為（

，；（）設(shè)坐標(biāo)為（-1，∵（0，3，10∴22+32=10．分三種況：①如圖，如∠PBC=90°那么

2

+BC

2

=PC

2

，即（

+（2

+10=（1+12

+n-02

，化簡(jiǎn)整得6n=16，解得，∴點(diǎn)坐標(biāo)為-1，∵頂點(diǎn)D坐標(biāo)為-14∴=，3∵點(diǎn)速度為秒1個(gè)單長(zhǎng)度，∴=；②如圖3，如果BPC=90°，么

2

+PC

2

=BC

2

，6

44即（

+（2

+（2

+（n-0）2

=10，化簡(jiǎn)整得n

2

-3n+2=0解得n=21∴點(diǎn)坐標(biāo)為-1，）或（-1，∵頂點(diǎn)D坐標(biāo)為-1∴PD=4-2=2PD=4-1=3∵點(diǎn)速度為秒1個(gè)單長(zhǎng)度，∴=2=323③如圖4，如果