演示文稿零件的變形及強(qiáng)計算

演示文稿零件的變形及強(qiáng)度計算當(dāng)前1頁，總共76頁。（優(yōu)選）零件的變形及強(qiáng)度計算當(dāng)前2頁，總共76頁。零件的變形及強(qiáng)度計算零件的拉伸和壓縮零件的剪切和擠壓圓軸的扭轉(zhuǎn)直梁的彎曲零件組合變形的強(qiáng)度計算交變應(yīng)力作用下零件的疲勞強(qiáng)度當(dāng)前3頁，總共76頁。學(xué)習(xí)任務(wù)１.明確材料力學(xué)的基本任務(wù)，理解構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性的力學(xué)意義。２.理解內(nèi)力的概念，能熟練利用截面法求解內(nèi)力。３.理解應(yīng)力、變形和應(yīng)變的概念。４.能熟練地計算軸力，作軸力圖。

5.理解零件強(qiáng)度條件，并能夠熟練解決強(qiáng)度校核、設(shè)計截面和確定許可載荷問題

當(dāng)前4頁，總共76頁。變形分析的基本知識一、變形固體及其基本假設(shè)

任何物體受載荷（外力）作用后其內(nèi)部質(zhì)點都將產(chǎn)生相對運動，從而導(dǎo)致物體的形狀和尺寸發(fā)生變化，稱為變形。例如，橡皮筋在兩端受拉后就發(fā)生伸長變形；工廠車間中吊車梁在吊車工作時，梁軸線由直變彎，發(fā)生彎曲變形。在外力的作用下會產(chǎn)生變形的物體可統(tǒng)稱為變形固體。變形固體在外力的作用下會產(chǎn)生兩種不同的變形：當(dāng)外力消除后，變形也會隨著消失，這種變形稱為彈性變形；外力消除后，變形不能完全消除并且具有殘留的變形，稱為塑性變形。當(dāng)前5頁，總共76頁。

當(dāng)物體的外力在一定的范圍時，塑性變形很小，可以把構(gòu)件當(dāng)作只發(fā)生彈性變形的理想彈性變形體。假設(shè)彈性體內(nèi)連續(xù)不斷地充滿著物質(zhì)，各點處的材料性質(zhì)完全相同，且各方向上的性質(zhì)都相同。這就是變形固體的基本假設(shè)。即本單元研究的對象為構(gòu)件是均勻連續(xù)的、各向同性的理想彈性體，限于小變形的范圍內(nèi)。當(dāng)前6頁，總共76頁。二、變形的基本形式

桿件在各種不同方式的外力作用下產(chǎn)生不同形式的變形。變形的基本形式有四種：

軸向拉伸（壓縮）變形剪切（擠壓）變形扭轉(zhuǎn)變形彎曲變形

其它復(fù)雜的變形都可以看成是這幾種基本變形的組合。

當(dāng)前7頁，總共76頁。零件變形過大時，會喪失工作精度、引起噪聲、降低使用壽命，甚至發(fā)生破壞。

為了保證機(jī)械設(shè)備在載荷作用下能安全可靠地工作，必須要求每個構(gòu)件具有足夠的承受載荷的能力，簡稱承載能力。

構(gòu)件的承載能力分為：

強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性當(dāng)前8頁，總共76頁。一、強(qiáng)度構(gòu)件抵抗破壞的能力。構(gòu)件在外力作用下不破壞必須具有足夠的強(qiáng)度，例如房屋大梁、機(jī)器中的傳動軸不能斷裂，壓力容器不能爆破等。強(qiáng)度要求是對構(gòu)件的最基本要求。二、剛度

構(gòu)件抵抗變形的能力。在某些情況下，構(gòu)件雖有足夠的強(qiáng)度，但若受力后變形過大，即剛度不夠，也會影響正常工作。例如機(jī)床主軸變形過大，將影響加工精度；吊車梁變形過大，吊車行駛時會產(chǎn)生較大振動，使行駛不平穩(wěn)，有時還會產(chǎn)生“爬坡”現(xiàn)象，需要更大的驅(qū)動力。因此對這類構(gòu)件要保證有足夠的剛度。當(dāng)前9頁，總共76頁。三、穩(wěn)定性

構(gòu)件受載后保持原有平衡狀態(tài)的能力。例如千斤頂?shù)穆輻U，內(nèi)燃機(jī)的連桿等。本單元主要研究構(gòu)件在載荷（外力）作用下的變形、受力與破壞的規(guī)律，在保證構(gòu)件既安全適用又盡可能經(jīng)濟(jì)合理的前提下，為構(gòu)件選擇合適的材料、確定合理的截面形狀和尺寸提供必要的基礎(chǔ)知識和實用的計算方法。當(dāng)前10頁，總共76頁。

工程上經(jīng)常遇到承受拉伸或壓縮的零件。如圖a所示的起重機(jī)吊架中的拉桿AB（拉伸），圖b所示的建筑物中的支柱（壓縮）。

受力零件的共同特點是：外力的作用線與零件的軸線重合，零件的變形是沿軸線方向伸長或縮短。

第一節(jié)零件的拉伸和壓縮

一、拉伸和壓縮的概念當(dāng)前11頁，總共76頁。二、軸向拉伸和壓縮時的內(nèi)力構(gòu)件上的載荷和約束力統(tǒng)稱為外力。零件受到外力作用時，由于內(nèi)部各質(zhì)點之間的相對位置的變化，材料內(nèi)部會產(chǎn)生一種附加內(nèi)力，力圖使各質(zhì)點恢復(fù)其原來位置。附加內(nèi)力的大小隨外力的增加而增加，當(dāng)附加內(nèi)力增加到一定限度時，零件就會破壞。因此，在研究零件承受載荷的能力時，需要討論附加內(nèi)力。后面的討論中所述的內(nèi)力，都是指這種附加內(nèi)力。當(dāng)前12頁，總共76頁。1．截面法截面法是用以確定零件內(nèi)力的常用方法。通過取截面，使零件內(nèi)力顯示出來以便確定其數(shù)值的方法。如圖a所示的桿在外力Fp的作用下處于平衡狀態(tài)，力Fp的作用線與桿的軸線重合，求截面m—m上的內(nèi)力。取左段為研究對象用假象平面在m—m處將桿截開，分成左右兩段，根據(jù)作用力與反作用力定理,和大小相等、方向相反。當(dāng)前13頁，總共76頁。一截為二。即在欲求內(nèi)力處，假想用一截面將零件一截為二；棄一留一。即選其中一部分為研究對象并畫受力圖（包括外力和內(nèi)力）；列式求解。即列研究對象的靜力平衡方程，并求解內(nèi)力。

綜上所述，用截面法求內(nèi)力的步驟為：當(dāng)前14頁，總共76頁。與桿軸線重合的內(nèi)力又稱為軸力。軸力的符號規(guī)定如下：軸力的方向與所在截面的外法線方向一致時，軸力為正；反之為負(fù)。由此可知，拉桿的軸力為正，壓桿的軸力為負(fù)。2．軸力為了形象直觀地表明各截面軸力的變化情況，通常將其繪制成軸力圖。作法是：以桿的左端為坐標(biāo)原點，取平行于軸線的χ軸為橫坐標(biāo)軸，其值表示各橫截面位置，取垂直于χ軸的FN為縱坐標(biāo)軸，其值表示對應(yīng)截面的軸力值，正值畫在χ軸上方，負(fù)值畫在χ軸下方。當(dāng)前15頁，總共76頁。例1

試計算如圖a所示等直桿的軸力，并畫出軸力圖。解：

（1）求約束反力取全桿為研究對象，作受力圖，如圖b所示。根據(jù)平衡方程：則得當(dāng)前16頁，總共76頁。（2）分段計算軸力按外力作用位置，將桿分成三段，并在每段內(nèi)任意取一個截面，用截面法計算截面上的軸力，如圖c所示AB段得BC段得計算結(jié)果為正值，表明圖示N1的方向正確，AB段受拉伸。計算結(jié)果為負(fù)值，表明圖示N2的方向相反，BC段受壓縮。當(dāng)前17頁，總共76頁。CD段得計算結(jié)果為負(fù)值，表明圖示N3的方向相反，AB段受壓縮。軸力圖不僅顯示了軸力隨截面位置的變化情況和最大軸力所在截面的位置，而且還明顯地表示了桿件各段是受拉還是受壓。（3）繪制軸力圖正軸力畫在x軸上方，負(fù)軸力畫在x軸下方，如圖d所示當(dāng)前18頁，總共76頁。

桿件是否破壞，不取決于整個截面上的內(nèi)力大小，而取決于單位面積上所分布的內(nèi)力大小。單位面積上的內(nèi)力稱為應(yīng)力，它所反映的是內(nèi)力在截面上的分布集度。其單位為帕斯卡（Pa），工程上常用兆帕（MPa）。1Pa=1N/m2，1Mpa=106Pa。三、拉伸和壓縮時的應(yīng)力當(dāng)前19頁，總共76頁。通過觀察拉桿的變形情況來推測內(nèi)力的分布情況取一等直桿，在其側(cè)面上劃兩條垂直于軸線的直線ab、cd，如圖a所示。并在桿的兩端加一對軸向拉力FP，使其產(chǎn)生拉伸變形。當(dāng)前20頁，總共76頁。如將桿件設(shè)想為由無數(shù)縱向纖維所組成，由此推想它們的受力是相同的，在橫截面上各點的內(nèi)力是均勻分布的，橫截面上各點的應(yīng)力也是相等的。若以FN表示內(nèi)力（N），A表示橫截面積（mm2），則應(yīng)力σ(MPa)的大小為

這就是拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力計算公式。σ

的方向與FN一致，即垂直于橫截面。垂直于橫截面的應(yīng)力，稱為正應(yīng)力，都用

表示。和軸力的符號規(guī)定一樣，規(guī)定拉應(yīng)力為正；壓應(yīng)力為負(fù)。

當(dāng)前21頁，總共76頁。桿件在受軸向拉伸時，軸向尺寸伸長，橫向尺寸縮小。受軸向壓縮時，軸向尺寸縮短，橫向尺寸增大。設(shè)等直桿的原長為l，橫向尺寸為b。變形后，長為l1，橫向尺寸為b1，如圖所示。四、拉伸和壓縮時的變形1．變形與應(yīng)變當(dāng)前22頁，總共76頁。桿件的軸向變形量為橫向變形量為Δl稱為軸向絕對變形，Δb稱為橫向絕對變形。拉伸時，Δl為正，Δb為負(fù)；壓縮時，Δl為負(fù)，Δb為正。絕對變形與桿件的原有尺寸有關(guān)，為消除原長度的影響，通常用單位長度的變形來表示桿件變形的程度，即

ε，ε’分別稱為軸向線應(yīng)變和橫向線應(yīng)變。顯然，二者的符號總是相反的，它們是無量綱量。

當(dāng)前23頁，總共76頁。上式是虎克定律的又一表達(dá)形式，即虎克定律可以表述為：當(dāng)應(yīng)力不超過某一極限時，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。2．虎克定律實驗表明，軸向拉伸或壓縮的桿件，當(dāng)應(yīng)力不超過某一限度時，軸線變形Δl與軸向載荷FN及桿長l成正比，與桿的橫截面面積成反比。這一關(guān)系稱為虎克定律，即引進(jìn)比例常數(shù)E，則有比例常數(shù)E稱為彈性模量，其值隨材料不同而異。EA乘積越大，零件變形越小，EA稱為抗拉（壓）剛度。則有σ

=Eε當(dāng)前24頁，總共76頁。

在應(yīng)力作用下，零件的變形和破壞還與零件材料的力學(xué)性能有關(guān)。力學(xué)性能是指材料在外力作用下表現(xiàn)出來的變形和破壞方面的特性。金屬材料在拉伸和壓縮時的力學(xué)性能通常由拉伸試驗測定。

把一定尺寸和形狀的金屬試樣（圖a）裝在拉伸試驗機(jī)上，然后對試樣逐漸施加拉伸載荷，直至把試樣拉斷為止（圖b）。五、零件拉伸與壓縮時的強(qiáng)度計算（一）極限應(yīng)力當(dāng)前25頁，總共76頁。根據(jù)拉伸過程中試樣承受的應(yīng)力σ和產(chǎn)生的應(yīng)變ε

之間的關(guān)系，可以繪出該金屬的σ—

ε

曲線。當(dāng)前26頁，總共76頁。通過對低碳鋼的

曲線分析可知，試樣在拉伸過程中經(jīng)歷了彈性變形（oab段）、塑性變形（bcde段）和斷裂（e點）三個階段。彈性變形階段，試樣的變形與應(yīng)力始終呈線性關(guān)系。應(yīng)力σp稱為比例極限。圖中直線oa的斜率就是材料的彈性模量E。

塑性變形階段，試樣產(chǎn)生的變形是不可恢復(fù)的永久變形。該階段又分屈服階段（bc-塑性變形迅速增加）、強(qiáng)化階段（cd-材料恢復(fù)抵抗能力）和頸縮階段（de-試樣局部出現(xiàn)頸縮）。應(yīng)力σs稱為屈服點，當(dāng)零件實際應(yīng)力達(dá)到屈服點時，將會引起顯著的塑性變形。應(yīng)力σb稱為抗拉強(qiáng)度，當(dāng)零件實際應(yīng)力達(dá)到抗拉強(qiáng)度應(yīng)力值時，將會出現(xiàn)破壞。上述比例極限

、屈服點

和抗拉強(qiáng)度

分別是材料處于彈性比例變形時和塑性變形、斷裂前能承受的最大應(yīng)力，稱為極限應(yīng)力。當(dāng)前27頁，總共76頁。零件由于變形和破壞而失去正常工作的能力，稱為失效。零件在失效前，允許材料承受的最大應(yīng)力稱為許用應(yīng)力，常用[σ]表示。為了確保零件的安全可靠，需有一定的強(qiáng)度儲備，為此用極限應(yīng)力除以一個大于1的系數(shù)（安全系數(shù)）所得商作為材料的許用應(yīng)力[σ]。（二）許用應(yīng)力對于塑性材料，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到屈服點時，零件將發(fā)生顯著的塑性變形而失效?？紤]到其拉壓時的屈服點相同，故拉、壓許用應(yīng)力同為

式中，nS是塑性材料的屈服安全系數(shù)。

對于脆性材料，在無明顯塑性變形下即出現(xiàn)斷裂而失效（如鑄鐵）?？紤]到其拉伸與壓縮時的強(qiáng)度極限值一般不同，故有

式中，nb是脆性材料的斷裂安全系數(shù)；[σl]和

[σy]分別是拉伸許用應(yīng)力和壓縮許用應(yīng)力；σbl和σby分別是材料的抗拉強(qiáng)度和抗壓強(qiáng)度。當(dāng)前28頁，總共76頁。根據(jù)強(qiáng)度條件式，可以解決三類問題：

強(qiáng)度校核：已知零件的尺寸、所承受的載荷以及材料的許用應(yīng)力。

設(shè)計截面：已知零件所承受的載荷和材料的許用應(yīng)力。

確定許可載荷：已知零件的尺寸及材料的許用應(yīng)力。（三）強(qiáng)度條件為了保證零件有足夠的強(qiáng)度，就必須使其最大工作應(yīng)力σmax不超過材料的許用應(yīng)力[σ]。即

上式稱為拉（壓）強(qiáng)度條件式，是拉（壓）零件強(qiáng)度計算的依據(jù)。式中，F(xiàn)N是危險截面上的軸力；A是危險截面面積。當(dāng)前29頁，總共76頁。例2某車間自制一臺簡易吊車（圖a）。已知在鉸接點B處吊起重物最大為FP=20kN，桿AB與BC均用圓鋼制作，且dBC=20mm，材料的許用應(yīng)力[σ]=58Mpa。試校核BC桿的強(qiáng)度，并確定AB桿的直徑dAB（不計桿自重）。當(dāng)前30頁，總共76頁。解由受力分析可知，AB桿和BC桿分別為軸向受拉和軸向受壓的二力桿，受力圖如圖b所示。（1）確定AB、BC兩桿的軸力用截面法在圖a上按m-n截面取研究對象，其受力圖如圖c所示，可得列平衡方程求解：當(dāng)前31頁，總共76頁。（2）校核BC桿強(qiáng)度故BC桿滿足強(qiáng)度要求。（3）確定AB桿直徑其中所以取當(dāng)前32頁，總共76頁。Seeyounexttime!當(dāng)前33頁，總共76頁。第二節(jié)零件的剪切和擠壓當(dāng)前34頁，總共76頁。一、剪切和擠壓的概念

工程實際中常用的一些連接件，例如螺栓、螺釘、鉚釘、銷釘、鍵、剪板機(jī)中的板材、木榫接頭、焊接接頭等，在外力作用下將主要產(chǎn)生剪切變形和擠壓變形。

用鉚釘連接兩塊鋼板如圖a所示，鉚釘受到鋼板傳遞來的兩個橫向力F（垂直于零件軸線方向作用的力）的作用如圖b所示。實例一當(dāng)前35頁，總共76頁。

用鍵連接軸和軸上的傳動件（如齒輪、皮帶輪等）如圖a所示，使軸和傳動件不發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，以傳遞扭矩。鍵的受力如圖b

實例二當(dāng)前36頁，總共76頁。如圖b所示，在外力FP的作用下，截面發(fā)生相對錯動的變形稱為剪切變形。產(chǎn)生相對錯動的截面m—m稱為剪切面，剪切變形是零件的一種基本變形。剪切變形的受力特點是作用在零件兩側(cè)面的外力大小相等、方向相反、作用線相距很近。

螺栓除受剪切作用外，還在螺栓圓柱形表面和鋼板圓孔表面相互壓緊（圖d），這種局部受壓的現(xiàn)象稱為擠壓。作用在擠壓面上的壓力叫擠壓力，承受擠壓作用的表面叫擠壓面，在接觸處產(chǎn)生的變形稱為擠壓變形。如果擠壓變形過大，會使聯(lián)接松動，影響機(jī)器正常工作，甚至造成擠壓破壞。當(dāng)前37頁，總共76頁。

應(yīng)用截面法假想地沿剪切面m—m將螺栓分為兩段，任取一段為研究對象，如圖c所示。由平衡條件可知，剪切面上必有一個與該外力FP等值、反向的內(nèi)力，該內(nèi)力稱為剪力，常用符號FQ表示。

二、剪切和擠壓的實用計算（一）剪切強(qiáng)度實用計算當(dāng)前38頁，總共76頁。

剪力FQ形成與剪切面相切的工作應(yīng)力稱為切應(yīng)力，用符號τ表示。切應(yīng)力分布規(guī)律比較復(fù)雜，工程上常采用以實際經(jīng)驗為基礎(chǔ)的實用計算法來確定。即假設(shè)切應(yīng)力是均勻地分布在剪切面上的，切應(yīng)力的計算公式為

式中，F(xiàn)Q是剪切面上的剪力；A是剪切面的面積。

為了保證零件安全可靠地工作，其強(qiáng)度條件為

式中，

為材料的許用切應(yīng)力實驗表明，許用切應(yīng)力與許用拉應(yīng)力之間有如下關(guān)系：

塑性材料

[τ]=（0.6~0.8）

[σ]

脆性材料

[τ]=（0.8~1.0）

[σ]

當(dāng)前39頁，總共76頁。(二)擠壓強(qiáng)度實用計算

如圖d所示為了計算簡化，假定擠壓應(yīng)力是均勻分布在擠壓面的。由此，擠壓強(qiáng)度的條件為

式中，σjy為擠壓應(yīng)力，

Pjy為擠壓力；

Ajy為擠壓計算面積，

[σjy]是材料的許用擠壓應(yīng)力，可查設(shè)計手冊而得。對于鋼材，有

[σjy]=（1.7~2.0）[σ]

如果兩個相互接觸零件的材料不同，應(yīng)對許用擠壓應(yīng)力低者進(jìn)行擠壓強(qiáng)度計算。

當(dāng)前40頁，總共76頁。若接觸面為半圓柱面，如螺栓、鉚釘、銷等，其擠壓面面積為半圓柱面的正投影面面積，如圖c所示

d為螺栓或鉚釘?shù)闹睆剑?/p>

t為螺栓或鉚釘與孔的接觸長度。擠壓面面積的計算，要根據(jù)實際接觸的情況而定。擠壓面為平面，則擠壓面面積就是接觸面面積，如圖a所示的鍵聯(lián)接，其擠壓面面積為當(dāng)前41頁，總共76頁。

例3如圖a所示的鉚接件，主鋼板通過上下兩塊蓋板對接。鉚釘與鋼板的材料相同，[σ]=160Mpa，

[τ]=140Mpa，

[σjy]=320Mpa，鉚釘直徑d=16mm，主板厚度t1=20mm，蓋板厚度t2=12mm，寬度b=140mm。在P=240kN作用下，試校核該鉚接件的強(qiáng)度。

解鉚接件的強(qiáng)度計算中，通常需要考慮三種可能的破壞形式：鉚釘被剪斷；鉚釘或鋼板的鉚釘孔壁被擠壓壞；被鉚釘孔削弱后的鋼板被拉斷。下面一一校核。當(dāng)前42頁，總共76頁。（1）校核鉚釘?shù)募羟袕?qiáng)度外力P由五個鉚釘共同承擔(dān)，通常假定平均分擔(dān)。因此每個鉚釘受力P/5，而每個鉚釘有兩個受剪面，故（2）校核鉚釘?shù)臄D壓強(qiáng)度因主板厚度小于兩蓋板厚度之和，而主板鉚釘孔壁所受的擠壓力等于兩蓋板鉚釘孔壁所受的擠壓力之和，故應(yīng)校核鉚釘與主板之間的擠壓強(qiáng)度，即當(dāng)前43頁，總共76頁。（2）校核鋼板的拉伸強(qiáng)度主板厚度小于兩蓋板厚度之和，故只需校核主板的拉伸強(qiáng)度即可。主板受力如圖b所示。校核Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ截面的強(qiáng)度：對于Ⅰ-Ⅰ截面：對于Ⅱ-Ⅱ截面：由以上校核可知，整個鉚接件的強(qiáng)度是足夠的。當(dāng)前44頁，總共76頁。第三節(jié)圓軸的扭轉(zhuǎn)當(dāng)前45頁，總共76頁。

一、扭轉(zhuǎn)的概念

如圖所示的汽車轉(zhuǎn)向軸和傳動系統(tǒng)的傳動軸AB，工作時，軸的兩端都受到轉(zhuǎn)向相反的一對力偶作用而產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，軸上任意兩截面皆繞軸線產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)動。扭轉(zhuǎn)零件的受力特點是(圖c)：零件兩端受到一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面與軸線垂直的力偶作用。

當(dāng)前46頁，總共76頁。二、圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的內(nèi)力——扭矩

如圖a所示，一圓軸AB在一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反的外力偶矩Me作用下產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，并處于平衡狀態(tài)。取左段為研究對象，如圖b所示。由平衡關(guān)系可知，扭轉(zhuǎn)時橫截面上內(nèi)力合成的結(jié)果必定是一個力偶，其內(nèi)力偶矩稱為扭矩或轉(zhuǎn)矩，用符號T表示。由平衡條件

T-Me=0

T=Me

當(dāng)前47頁，總共76頁。

為使從左右兩段所求得的扭矩正負(fù)號相同，通常采用右手螺旋法則來規(guī)定扭矩的正負(fù)號。如圖a所示，如果以右手四指表示扭矩的轉(zhuǎn)向，則拇指的指向離開截面時的扭矩為正；反之為負(fù)（圖b）。

為了形象地表示各截面扭矩的大小和正負(fù)，常需畫出扭矩隨截面位置變化的圖像，這種圖像稱為扭矩圖（前圖d）。

當(dāng)前48頁，總共76頁。例2－4圖a所示的傳動軸，轉(zhuǎn)速n=200r/min，功率由A輪輸入，B、C輪輸出，已知PA=40kW，PB=25kW，PC=15kW。要求：①畫出傳動軸的扭矩圖；②確定最大扭矩Tmax的值；③設(shè)將A輪與B輪的位置對調(diào)，試分析扭矩圖是否變化？最大扭矩Ｔmax值為多少？兩種不同的載荷分布形式，哪一種更為合理？

當(dāng)前49頁，總共76頁。三、圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力

（一）圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上應(yīng)力分布規(guī)律

如圖a所示，在圓軸表面上畫出圓周線和縱向線，形成矩形網(wǎng)格。在扭轉(zhuǎn)小變形的情況下（圖b），可以觀察到下列現(xiàn)象：

1）各圓周線均繞軸線相對地旋轉(zhuǎn)了一個角度，但形狀、大小及相鄰兩圓周線之間的距離均未改變；

2）所有縱向線都傾斜了一微小角度

，表面上的矩形網(wǎng)格變成了菱形。

當(dāng)前50頁，總共76頁。

根據(jù)上述現(xiàn)象，可以推出這樣的假設(shè)：圓軸扭轉(zhuǎn)時，各橫截面像剛性平面一樣地繞軸線轉(zhuǎn)動。各橫截面仍保持為平面，其形狀、大小都不變，各截面間的距離保持不變。

利用變形的幾何關(guān)系分析應(yīng)變的分布規(guī)律。

上式說明，橫截面上任意點的剪應(yīng)變

與該點到圓心的距離

成正比。

當(dāng)前51頁，總共76頁。

根據(jù)剪切虎克定律，橫截面上距圓心為

的任意點處的剪應(yīng)力

，與該點處的剪應(yīng)變

成正比，即

上式表明，橫截面上各點剪應(yīng)力的大小與該點到圓心的距離成正比，圓心處的剪應(yīng)力為零，軸周邊的剪應(yīng)力最大，在半徑為

的同一圓周上剪應(yīng)力相等。圓軸橫截面上剪應(yīng)力沿半徑的分布規(guī)律如圖所示。當(dāng)前52頁，總共76頁。（二）扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力的計算

橫截面上距圓心為

的剪應(yīng)力

的計算公式為

當(dāng)ρ=R時，

此時由式（2-15）可得

令

，則上式可寫成

式中，

WP是僅與截面尺寸有關(guān)的幾何量，稱為抗扭截面系數(shù)。

當(dāng)前53頁，總共76頁。對于實心圓軸（圖a），有

對于

的空心圓軸（圖b），有

當(dāng)前54頁，總共76頁。四、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度和剛度計算

（一）強(qiáng)度計算

為了保證圓軸能安全地工作，應(yīng)限制軸上危險截面的最大工作應(yīng)力不超過材料的許用剪應(yīng)力，即圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件為

式中

與

分別為危險截面上的扭矩和抗扭截面系數(shù)。

當(dāng)前55頁，總共76頁。（二）剛度計算

1．圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形

圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形是以兩個橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角

來度量。

直徑圓軸兩截面間的扭轉(zhuǎn)角計算公式為

GIp稱為扭轉(zhuǎn)剛度。

工程上常常采用單位長度的扭轉(zhuǎn)角

來衡量扭轉(zhuǎn)變形的程度，即

其單位為弧度/米（rad/m）。

當(dāng)前56頁，總共76頁。2．剛度條件

為了保證軸的剛度，通常規(guī)定單位長度扭轉(zhuǎn)角的最大值

不超過軸單位長度的許用扭轉(zhuǎn)角

。即

工程上，

的單位習(xí)慣上用度/米（°/m）表示。故用1rad=180°/π代入上式換算成度，得

的數(shù)值可從有關(guān)手冊中查得。一般情況下，可大致按下列數(shù)據(jù)取用：

精密機(jī)器的軸

[θ]=（0.25~0.5）°/m

一般傳動軸

[θ]=（0.5~1.0）°/m1

要求不高的軸

[θ]=（1.0~2.5）°/m

當(dāng)前57頁，總共76頁。例2-5

一汽車傳動軸由無縫鋼管制成，外徑D=90mm，內(nèi)徑

d=85mm，許用剪應(yīng)力[τ]=60Mpa，傳遞的最大力偶矩T=1.5kNm，

[θ]=2°/m，G=80GPa。試校核其強(qiáng)度和剛度；若保持扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度或扭轉(zhuǎn)剛度不變，將傳動軸改為同材料的實心軸，試分別確定其直徑；并分別求出空心軸和實心軸的重量比值。

當(dāng)前58頁，總共76頁。

第四節(jié)直梁的彎曲

當(dāng)前59頁，總共76頁。一、直梁平面彎曲的概念

直桿類零件（圖a、b、c），其受力變形特點是：外力垂直于桿件的軸線，使桿的軸線變形后成曲線，這種形式的變形稱為彎曲變形。以彎曲變形為主的桿件習(xí)慣上稱為梁。

當(dāng)前60頁，總共76頁。

當(dāng)作用在梁上的所有載荷都在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時，則彎曲變形后的軸線也將是位于這個對稱面內(nèi)的一條平面曲線，這種彎曲稱為平面彎曲。

當(dāng)前61頁，總共76頁。二、梁的計算簡圖

作用在梁上的載荷通?？梢院喕癁橄铝腥N類型：

集中力

集中力偶

分布載荷

經(jīng)過簡化，梁有三種典型形式：

1．簡支梁

梁的一端為固定鉸鏈支座，另一端為活動鉸鏈支座。如圖f所示。

2．外伸梁

外伸梁的支座與簡支梁完全一樣，所不同的是梁的一端或兩端伸出支座以外，如圖d所示。

懸臂梁一端固定，另一端自由的梁，如圖e所示。

以上三種梁的未知約束反力最多只有三個，應(yīng)用靜力平衡條件就可以確定。

當(dāng)前62頁，總共76頁。三、梁橫截面上的內(nèi)力——剪力和彎矩

梁如圖a所示AB，用截面沿n—n將梁分為左、右兩段(圖b、c)。若以左段為研究對象，由于外力FA有使左段上移和順時針轉(zhuǎn)動的作用，因此，在橫截面n—n上必有垂直向下的內(nèi)力FQ和逆時針轉(zhuǎn)動的內(nèi)力偶矩M與之平衡，如圖b所示。

當(dāng)前63頁，總共76頁。

由靜力平衡方程即可求出FQ與M之值

上面分析可知，AB梁發(fā)生彎曲變形時，橫截面上的內(nèi)力由兩部分組成：作用線切于截面、通過截面形心并在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的力FQ和位于縱向?qū)ΨQ面的力偶M，它們分別稱為剪力和彎矩。

當(dāng)前64頁，總共76頁。

工程中，對于一般的梁(跨度與橫截面高度之比l／h>5)，彎矩起著主要的作用，而剪力則是次要因素，在強(qiáng)度計算中可以忽略。因此，下面僅討論有關(guān)彎矩的一些問題。

彎矩符號規(guī)定：梁變形后，若凹面向上，截面上的彎矩為正；反之，若凹面向下，截面上的彎矩為負(fù)，如圖2-26所示。

當(dāng)前65頁，總共76頁。

彎矩的計算有以下的規(guī)律：若取梁的左段為研究對象，橫截面上的彎矩的大小等于此截面左邊梁上所有外力(包括力偶)對截面形心力矩的代數(shù)和，外力矩為順時針時，截面上的彎矩為正，反之為負(fù)。若取梁的右段為研究對象，方法類似。

有了上述規(guī)律后，在實際運算中不必用假想截面將截面截開，再用平衡方程去求彎矩，而可直接利用上述規(guī)律求出任意截面上彎矩的值及其轉(zhuǎn)向。

當(dāng)前66頁，總共76頁。四、彎矩圖

為了形象地表示彎矩沿梁長的變化情況，常需畫出梁各截面彎矩的變化規(guī)律的圖像，這種圖像稱為彎矩圖。

例2-6

簡支梁如圖所示。在跨度內(nèi)某一點受集中力的作用，試作此梁的彎矩圖。

當(dāng)前67頁，總共76頁。五、彎矩圖的作圖規(guī)律

由以上例題可以總結(jié)出彎矩圖與載荷之間的幾點普遍規(guī)律：

1)在兩集中力之間的梁段上，彎矩圖為斜直線。

2)在集中力作用處，彎矩圖出現(xiàn)折角。

3)在均布載荷作用的梁段上，彎矩圖為拋物線。

4)在集中力偶作用處，其左右兩截面上的彎矩值發(fā)生突變，突變值等于集中力偶矩之值

。

利用以上規(guī)律，不僅可以檢查彎矩圖形狀的正確性，而且無需列出彎矩方程式，只需直接求出幾個點的彎矩值，即可畫出彎矩圖。

當(dāng)前68頁，總共76頁。例2-9

試作簡支梁(圖a)受集中力F