第七章狹義相對論原理和相對論電動力學(xué)

§1電磁學(xué)和相對論原理第七章

狹義相對論的原理和相對論電動力學(xué)當(dāng)前1頁，總共92頁。1§7-1.1伽利略變換和麥克斯韋方程的矛盾伽利略的相對性原理一切慣性系是等價的。力學(xué)規(guī)律在動系和靜系中是等價的，即力學(xué)規(guī)律的協(xié)變性。特點：時空分離。時間均勻流逝。低速現(xiàn)象。慣性坐標(biāo)系的伽利略變換：當(dāng)前2頁，總共92頁。2§7-1.1伽利略變換和麥克斯韋方程的矛盾伽利略變換和麥克斯韋方程的矛盾達(dá)朗貝爾方程：應(yīng)用伽利略變換后為可得出，麥克斯韋方程只在某個慣性系成立，在其他慣性系不成立。當(dāng)前3頁，總共92頁。3麥?zhǔn)戏匠?，可得到波動方程，得到電磁波在真空以c速度傳播。舊時空觀：物質(zhì)相對某一參考系速度為c，對另一參考系，其速度不可能沿各個方向都為c.→電磁波只在某特定參考系中傳播速度為c.即麥?zhǔn)戏匠讨辉谀程厥獾膮⒖枷党闪嶒灲Y(jié)論：真空中的光速對任何慣性系都等于c.§7-1.1伽利略變換和麥克斯韋方程的矛盾當(dāng)前4頁，總共92頁。4舊電磁波理論（機(jī)械論）：電磁波在彈性‘以太’中傳播。電磁波沿任何方向傳播速度為c,只在特定參考系中（‘以太’）。如果光速沿各個方向存在差異，可確定地球相對‘以太’的運(yùn)動。邁克爾孫-莫來（Michelson-morley)實驗：測量光速沿各個方向的差異TM1M2MS地球繞太陽速度約30Km/s,地球相對‘以太’相同數(shù)量級運(yùn)動。(v/c)2≈10-8§7-1.2邁克爾孫-莫來（Michelson-morley)實驗設(shè)地球相對于‘以太’，絕對運(yùn)動速度v,沿MM1方向?！鷥芍酚泄獬滩?，目鏡中將出現(xiàn)干涉效應(yīng)。否定了特殊參考系的存在，即光速不依賴于觀察者所在的參考系裝置轉(zhuǎn)90°觀察條紋移動個數(shù)當(dāng)前5頁，總共92頁。5§7-1.3相對論的實驗基礎(chǔ)1。否定絕對參照系麥克爾遜-莫雷實驗以太漂移實驗1963（利用穆斯堡爾效應(yīng)1958，即射線的無反沖發(fā)射、吸收）2。運(yùn)動光源光速的測定介子衰變產(chǎn)生的光子速率的測定1964當(dāng)前6頁，總共92頁。6光速不依賴于光源相對觀察者的運(yùn)動:高速粒子運(yùn)動。0介子：高能質(zhì)子與質(zhì)子碰撞產(chǎn)生的不穩(wěn)定粒子。質(zhì)量為電子的264.12倍，壽命0.87×10-16s,衰變?yōu)閮蓚€光子：高速0介子（0.9975c），沿其運(yùn)動方向發(fā)出的光子的光速測為（2.9977±0.0004）×108m/s,同于靜止光源的光速。其他實驗:橫向多普勒效應(yīng)實驗,證實運(yùn)動始終延緩攜帶時鐘環(huán)球飛行試驗,證實運(yùn)動始終延緩(1970)當(dāng)前7頁，總共92頁。7§7-1.3愛因斯坦（Einstein）相對論基本假設(shè)（1）相對性原理：所有慣性系都是等價的。物理規(guī)律對所有慣性系都可表為相同形式。（2）光速不變性原理：真空中光速對任何參考系沿任一方向都為c,與光源速度無關(guān)。當(dāng)前8頁，總共92頁。8§7-1.4間隔不變性物質(zhì)運(yùn)動可看為一連串的事件的發(fā)展過程：一個事件用坐標(biāo)（x,y,z,t)表示。慣性系是線性系(慣性系本身要求)：從一個慣性系到另一個慣性系的坐標(biāo)變換是線性的。光速不變對時空變換的限制：例子：事件一：零時刻O點發(fā)射光，事件二：某時刻P點接收坐標(biāo)（0,0,0,0)(x,y,z,t)’坐標(biāo)（0,0,0,0)(x’,y’,z’,t’)光速不變:即：兩事件以光速傳播信號聯(lián)系。當(dāng)前9頁，總共92頁。9兩事件不以光速傳播信號聯(lián)系，前兩式不一定為零。因線性變換，可把上式x’,y’,z’,t’式劃為x,y,z,t式，加入因子A：A只決定于兩參照系的相對運(yùn)動速度的絕對值（因空間中無特定方向）。兩參照系等價，因而也有：由變換連續(xù)性：取A=1§7-1.4間隔不變性當(dāng)前10頁，總共92頁。10事件的間隔S2:第一事件(0,0,0,0),第二事件(x,y,z,t)坐標(biāo)中，事件的間隔：‘坐標(biāo)中，事件的間隔：間隔的不變性：一般情況：第一事件(x1,y1,z1,t1)，第二事件(x2,y2,z2,t2)事件的間隔S2：間隔是時空統(tǒng)一的概念?！?-1.4間隔不變性當(dāng)前11頁，總共92頁。11例：‘相對沿x軸以速度v運(yùn)動。在‘上有靜止光源S和反射鏡M,相距z0’。從S發(fā)出沿z’軸的閃光，經(jīng)M回到S。求兩參考系上觀察的閃光發(fā)出、接收時間和間隔。MS‘MS1S2v

t解：在‘上觀察：發(fā)出到接收的時間Z0’發(fā)出、接收同地點：間隔：§7-1.4間隔不變性當(dāng)前12頁，總共92頁。12在上觀察：在發(fā)出到接收的時間t內(nèi),光源移動x=vt光傳播路程：因而：間隔：間隔相等，時間不同?！?-1.4間隔不變性當(dāng)前13頁，總共92頁。13§7-2Lorentztransform當(dāng)前14頁，總共92頁。14§7-2Lorentztransform相對論時空坐標(biāo)變換：由變換的線性，間隔不變性簡單情況，x軸、x’軸沿‘相對運(yùn)動方向。y,z不變,有：慣性系等價:變換是線性間隔不變性、線性代入間隔不變性：x、x’軸正向同，取a11>0;t、t’正向同,取a22>0當(dāng)前15頁，總共92頁。15比較系數(shù)：以‘相對運(yùn)動速度表示系數(shù)：O’點：在中觀察，坐標(biāo)x=vt;在‘中觀察，坐標(biāo)x’=0因得解得：§7-2Lorentztransform當(dāng)前16頁，總共92頁。16相對論時空坐標(biāo)變換：‘相對以速度v沿x軸運(yùn)動§7-2Lorentztransform當(dāng)前17頁，總共92頁。17反變換，相同形式，速度由v變?yōu)?v:相對’以速度-v沿x軸運(yùn)動(‘相對以速度v運(yùn)動)§7-2Lorentztransform當(dāng)前18頁，總共92頁。18’OO’vP1P2P例：閃光從O點發(fā)出。在上觀察，1秒后同時被P1,P2接收?！鄬τ谶\(yùn)動速度0.8c。求，P1,P2接收到訊號時在‘的時刻和位置。解：P1受到訊號時，在的時空坐標(biāo)為(c,0,0,1)P1受到訊號時，在’的時空坐標(biāo)為(c/3,0,0,1/3).在’上測得沿x’上的光速x’/t’=c?！?-2Lorentztransform

當(dāng)前19頁，總共92頁。19P2受到訊號時，在的時空坐標(biāo)為(-c,0,0,1)，可得，在’的時空坐標(biāo)為(-3c,0,0,3).在’上測得沿x’上的光速x’/t’=c。在和‘上觀察P1,P2接收到訊號兩事件，時間差別、空間距離、間隔：相對論的時間、距離是相對的，同時性是相對的，兩事件的間隔是絕對的§7-2Lorentztransform

當(dāng)前20頁，總共92頁。20§3物理量的協(xié)變性當(dāng)前21頁，總共92頁。21§7-3物理量的協(xié)變性四維空間yy’x’xo平面上坐標(biāo)架的轉(zhuǎn)動ＯＰ具有不變性不變量先看二維空間的轉(zhuǎn)動一、四維空間及四維空間的張量正交變換空間是各向同性的，物理規(guī)律的數(shù)學(xué)形式應(yīng)與空間坐標(biāo)軸取向無關(guān)。坐標(biāo)轉(zhuǎn)動情況：當(dāng)前22頁，總共92頁。22§7-3物理量的協(xié)變性轉(zhuǎn)動是正交變換正交條件三維空間的定點轉(zhuǎn)動正交變換:為顯性變換,其為正交變換的充要條件:的長度不變,即對任意向量;在任意正交基下的矩陣為正交矩陣.即AT=A-1引入可推當(dāng)前23頁，總共92頁。23轉(zhuǎn)置矩陣：A=aij

A

T=aji逆矩陣：AA-1=I正交矩陣滿足：AT=A-1正交矩陣之乘積仍為正交矩陣正交矩陣可逆，逆矩陣仍正交矩陣正交矩陣A之det(A)=±1I單位矩陣當(dāng)前24頁，總共92頁。24標(biāo)量(tensorofrankzero)當(dāng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)動時不變矢量(tensorsofrankone)當(dāng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)動時，具有矢量變換關(guān)系：張量(tensorofranktwo)張量變換關(guān)系：物理量按空間變換性質(zhì)的分類§7-3物理量的協(xié)變性當(dāng)前25頁，總共92頁。25算符：在中為在’中為矢量算符達(dá)朗貝爾算符：標(biāo)量算符當(dāng)前26頁，總共92頁。26Scalarvector例如§7-3物理量的協(xié)變性兩矢量的標(biāo)積指標(biāo)i重復(fù)并從1到3求和，稱為指標(biāo)收縮。指標(biāo)收縮后，沒有剩下自由指標(biāo)，因此是一個標(biāo)量。張量與矢量的積，上式具有矢量的變化關(guān)系，是一矢量。左邊，指標(biāo)對j收縮后剩下i，因此是一個矢量。當(dāng)前27頁，總共92頁。27二.物理規(guī)律的不變性參考系變化下，方程的每一項都具有相同的變換規(guī)律，則該規(guī)律是協(xié)變的，方程形式不變。若有方程在Σ系成立說明方程在Σ’系也成立§7-3物理量的協(xié)變性當(dāng)前28頁，總共92頁。28三.、相對性原理的四維表述1.光速不變和間隔不變性§7-3物理量的協(xié)變性當(dāng)前29頁，總共92頁。29引入洛侖茲四維空間且定義有間隔不變2.洛侖茲變換的四維形式四維空間的轉(zhuǎn)動間隔不變寫為§7-3物理量的協(xié)變性希臘字母角標(biāo)表4維當(dāng)前30頁，總共92頁。30得洛侖茲變換矩陣是四維變換矩陣由洛侖茲變換和矢量變換關(guān)系§7-3物理量的協(xié)變性當(dāng)前31頁，總共92頁。31洛侖茲變換是正交變換當(dāng)前32頁，總共92頁。32知道靜止系中的物理量,可以由變換關(guān)系,由洛侖茲變換矩陣得到運(yùn)動系中的物理量.因為洛侖茲變換矩陣是四維的,所以需要構(gòu)成四維物理量.要知道物理規(guī)律是否是協(xié)變的,只需要判斷方程兩端的物理量是否滿足相同的變換關(guān)系.因此須首先將物理量構(gòu)成四維量,從而得到四維量的方程,然后判斷方程是否是協(xié)變的.§7-3物理量的協(xié)變性當(dāng)前33頁，總共92頁。334D-vector4D-tensor3.洛侖茲變換下的四維協(xié)變量

Covariantvector§7-3物理量的協(xié)變性當(dāng)前34頁，總共92頁。34§7-3物理量的協(xié)變性4D速度洛侖茲標(biāo)量間隔固有時：物體靜止坐標(biāo)中，兩事件時間間隔當(dāng)前35頁，總共92頁。35相對論的多普勒效應(yīng)相位是不變量不隨參考系變化（如=0是波峰，仍有’=0是波峰）四維波矢量四維矢量往往是通過不變量引入的變換關(guān)系為四.四維協(xié)變量和協(xié)變方程當(dāng)前36頁，總共92頁。364維波矢相位不隨參考系變化，是一個不變量4維波矢當(dāng)前37頁，總共92頁。37應(yīng)用洛侖茲變換矩陣得波矢的變換式當(dāng)前38頁，總共92頁。38xkDopplershift

多普勒效應(yīng)設(shè)k與x成角：光行差公式光傳播方向改變代入前頁表達(dá)式可得當(dāng)前39頁，總共92頁。39討論１運(yùn)動光源經(jīng)典（=1）多普勒公式’為光源靜止參考系，0為靜止光源輻射頻率沿運(yùn)動方向觀察也有多普勒效應(yīng);頻率增減取決于cos符號當(dāng)前40頁，總共92頁。40TransverseDopplershift橫向多普勒效應(yīng)是時間延緩效應(yīng)２垂直于光源運(yùn)動方向，觀察到的輻射頻率小于靜止光源輻射頻率。紅移當(dāng)前41頁，總共92頁。41§7-4電動力學(xué)規(guī)律的協(xié)變性當(dāng)前42頁，總共92頁。42§7-4電動力學(xué)規(guī)律的協(xié)變性一.四維電流密度和電荷守恒定律電荷密度隨觀察者改變帶電粒子電量與其運(yùn)動速度無關(guān)，即電量Ｑ是一個洛侖茲標(biāo)量粒子靜止時，電荷密度０，體積元dV0粒子以速度u運(yùn)動時，體元有洛侖茲收縮（因長度縮短）：當(dāng)前43頁，總共92頁。434維電流密度(由電荷守恒定律引入）定義§7-4電動力學(xué)規(guī)律的協(xié)變性當(dāng)前44頁，總共92頁。44電荷守恒定律的四維形式Thisisacovariantequation電荷守恒定律是不變式.§7-4電動力學(xué)規(guī)律的協(xié)變性當(dāng)前45頁，總共92頁。45二.四維勢矢量和波動方程

達(dá)朗貝爾方程§7-4電動力學(xué)規(guī)律的協(xié)變性當(dāng)前46頁，總共92頁。46達(dá)朗貝爾方程是協(xié)變的達(dá)朗貝爾算符是一個標(biāo)量算符，具有不變性洛侖茲規(guī)范§7-4電動力學(xué)規(guī)律的協(xié)變性若則當(dāng)前47頁，總共92頁。47由洛侖茲變換可得勢的變換式討論：矢勢和標(biāo)勢是相對的§7-4電動力學(xué)規(guī)律的協(xié)變性當(dāng)前48頁，總共92頁。48例.設(shè)Σ系中有一沿x方向勻速運(yùn)動的點電荷,求它的電磁勢.利用四維勢矢量的變換求解。設(shè)Σ’系中,電荷靜止用反變換式當(dāng)前49頁，總共92頁。49將坐標(biāo)換成Σ系的得Σ系中電磁勢即以速度v運(yùn)動的電荷的電磁勢當(dāng)前50頁，總共92頁。50電磁場張量

§7-4電動力學(xué)規(guī)律的協(xié)變性當(dāng)前51頁，總共92頁。51定義一個反對稱張量電磁場張量§7-4電動力學(xué)規(guī)律的協(xié)變性由前頁B、E與A關(guān)系當(dāng)前52頁，總共92頁。52麥克斯韋方程的協(xié)變性這兩個方程都是協(xié)變的當(dāng)前53頁，總共92頁。53當(dāng)前54頁，總共92頁。54特殊洛侖茲變換的電磁場反變換式只需改變速度的符號由當(dāng)前55頁，總共92頁。55或者寫成矢量式當(dāng)前56頁，總共92頁。56例題p162求以勻速Ｖ運(yùn)動的帶電粒子的電磁場．當(dāng)前57頁，總共92頁。57當(dāng)前58頁，總共92頁。58將所有量用Σ的量表示當(dāng)前59頁，總共92頁。59當(dāng)前60頁，總共92頁。60低速情況下，電場和磁場都和穩(wěn)恒場一樣當(dāng)前61頁，總共92頁。61方向上磁場也有向垂直于速度方向集中的趨向當(dāng)前62頁，總共92頁。62能流密度因為E沿經(jīng)向,B垂直于經(jīng)向和x決定的平面,所以S不沿經(jīng)向,而是沿點電荷為中心的圓弧,這表明沒有輻射.事實上,勻速運(yùn)動的電荷沒有輻射,否則會與牛頓第一定律矛盾.切倫科夫輻射:真空中,勻速運(yùn)動帶電粒子不產(chǎn)生輻射場;在介質(zhì)中,帶電粒子勻速運(yùn)動,介質(zhì)內(nèi)產(chǎn)生誘導(dǎo)電流,誘導(dǎo)電流激發(fā)次波,帶電粒子速度超過介質(zhì)內(nèi)光速時,次波與原來粒子的電磁場互相干涉,可以形成輻射場,稱切倫科夫輻射當(dāng)前63頁，總共92頁。63四.電磁場的四維動量能量張量

和能量與動量守恒洛侖茲力公式構(gòu)成四維形式則四維力為其中W為功率密度當(dāng)前64頁，總共92頁。64對帶電粒子,所受電磁四維力為其中當(dāng)前65頁，總共92頁。65能量守恒定律和動量守恒定律的四維形式能量守恒動量守恒合為當(dāng)前66頁，總共92頁。66當(dāng)前67頁，總共92頁。67§7-4invariabilityofelectrodynamics§7-4.1fourdimensioncurrentdensityvector帶電粒子電量與其運(yùn)動速度無關(guān)，即電量Ｑ是一個洛侖茲標(biāo)量粒子靜止時，電荷密度０，體積元dV0粒子以速度u運(yùn)動時，體元有洛侖茲收縮（因長度縮短）：當(dāng)前68頁，總共92頁。68因Ｑ不變，電荷密度增大：粒子以速度u運(yùn)動時，其電流密度：引入第四分量：電流密度四維矢量：對應(yīng)的四維空間矢量：電流密度、電荷密度合為四維矢量腳標(biāo)：拉丁字母（i,j,k）表三維1-3；希臘字母（）表1-4。四維速度：§7-4.1fourdimensioncurrentdensityvector當(dāng)前69頁，總共92頁。69電荷守恒定律：用四維形式表達(dá)為：左邊是洛侖茲標(biāo)量。對任意慣性系成立。如果方程的每一項屬于同類協(xié)變量（洛侖茲標(biāo)量、四維矢量），變換參考系時，按相同方式，結(jié)果是保持方程形式不變。，愛因斯坦約定§7-4.1fourdimensioncurrentdensityvector當(dāng)前70頁，總共92頁。70§7-4.2fourdimensionvector麥?zhǔn)戏匠逃脛荼硎荆哼_(dá)朗貝爾方程洛侖茲規(guī)范條件當(dāng)前71頁，總共92頁。71§6-5.2fourdimensionvector引用微分算符，洛侖茲標(biāo)量算符：□前式可表為：□□J與構(gòu)成四維矢量，把A與合為四維矢量：當(dāng)前72頁，總共92頁。72§6-5.2fourdimensionvector矢勢方程、標(biāo)勢方程合為：□兩邊相同的四維矢量，在不同參考系具有協(xié)變性洛侖茲規(guī)范條件可表為：仍具有協(xié)變性當(dāng)前73頁，總共92頁。73§6-5.3EMfieldtensor用勢來表示場：分量寫為：當(dāng)前74頁，總共92頁。74§6-5.3EMfieldtensor引入反對稱張量：由上頁，分量表達(dá)式，電磁場構(gòu)成一四維張量當(dāng)前75頁，總共92頁。75§6-5.3EMfieldtensor一對麥?zhǔn)戏匠蹋汉蠈憺椋豪旱谝环至縅u=J1從四維張量