春季期固體物理第一

關(guān)于春季期固體物理第一第一頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一1.1.1一些晶體結(jié)構(gòu)的實(shí)例

簡(jiǎn)單立方晶體結(jié)構(gòu)（sc）(sc：simplecubic)原子晶體結(jié)構(gòu)—晶體中原子的具體排列形式1.1晶格及其周期性第二頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一體心立方晶體結(jié)構(gòu)（bcc）(bcc:body-centeredcubic)第三頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一

面心立方晶體結(jié)構(gòu)、六角密堆積結(jié)構(gòu)

A、密堆積結(jié)構(gòu)

將原子看成同種等大剛性球，在同一平面上，一個(gè)球最多與六個(gè)球相切，形成密排面，密排面按最緊密方式疊起來(lái)形成的三維結(jié)構(gòu)稱為密堆積。AAAAAAAAAAAAAA密排面第四頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一密排面按ABC\ABC\ABC…排列，B、立方密堆積——面心立方晶體結(jié)構(gòu)（fcc）（fcc:face-centeredcubic)第五頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一C、六角密堆積結(jié)構(gòu)（hcp)密排面按AB\AB\AB…堆積，B層原子與A層原子取向相差180度BAA

(hcp：hexagonalclose-packed)第六頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一

金剛石結(jié)構(gòu)

對(duì)角線金剛石結(jié)構(gòu)可以看成是體對(duì)角線上原子構(gòu)成的面心立方晶格與頂角、面心原子構(gòu)成的面心立方晶格沿立方體對(duì)角線相互移動(dòng)1/4對(duì)角線長(zhǎng)度套構(gòu)形成。立方體8個(gè)頂角各有一個(gè)原子，立方體6個(gè)面的面心各有一個(gè)原子，立方體4條對(duì)角線上各有一個(gè)原子面心頂角第七頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一

閃鋅礦（ZineBlende)結(jié)構(gòu)（立方硫化鋅結(jié)構(gòu)）ZnS1/4體對(duì)角線原子體對(duì)角線上離子面心立方與頂角、面心離子面心立方沿體對(duì)角線相互移動(dòng)1/4對(duì)角線長(zhǎng)套構(gòu)而成。第八頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一

纖鋅礦（六方硫化鋅）型結(jié)構(gòu)六方硫離子和六方鋅離子沿六方軸C移動(dòng)3C/8長(zhǎng)度套構(gòu)形成AB六方軸Ⅱ族鋅離子Ⅵ族硫離子第九頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一

氯化鈉(sodiumchloride)晶體結(jié)構(gòu)Na+Cl-

Na+和Cl-各自構(gòu)成面心立方格子沿立方邊長(zhǎng)方向相互移動(dòng)半個(gè)邊長(zhǎng)套構(gòu)形成。第十頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一

氯化銫(cesiumchloride)晶體結(jié)構(gòu)

Cs+和Cl-各自構(gòu)成簡(jiǎn)立方晶格，沿體對(duì)角線相互移動(dòng)1/2對(duì)角線長(zhǎng)套構(gòu)而成。Cs+Cl-第十一頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一

鈣鈦礦(calsiumtitanate)（ABO3）晶體結(jié)構(gòu)

A離子在立方頂角，B離子在立方體心(氧八面體中心），O1、OⅡ、OⅢ分別在立方面心，A、B、O1、OⅡ、OⅢ各自組成簡(jiǎn)單立方格子套構(gòu)而成。AO1BOⅢOⅡ氧八面體第十二頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一（1）基元—構(gòu)成實(shí)際晶體的一個(gè)最小重復(fù)結(jié)構(gòu)單元Na+Cl-基元為一對(duì)鈉離子-氯離子基元為一個(gè)大分子1.1.2晶體結(jié)構(gòu)及周期性(平移對(duì)稱性）的描述第十三頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一分子分子基元（2）格點(diǎn)—用幾何點(diǎn)代表基元，該幾何點(diǎn)稱為格點(diǎn)格點(diǎn)格點(diǎn)基元第十四頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一（3）點(diǎn)陣（空間點(diǎn)陣、正格子、晶格）晶體結(jié)構(gòu)=點(diǎn)陣+基元格點(diǎn)的集合稱為點(diǎn)陣。（4）基矢(basisvector）、晶格周期性（平移對(duì)稱性）以一個(gè)格點(diǎn)為起點(diǎn)，以三個(gè)獨(dú)立方向上的最近鄰三個(gè)格點(diǎn)為終點(diǎn)所形成的不共面矢量，稱為基矢。

晶體由基元（格點(diǎn)）沿空間基矢方向重復(fù)堆積而成的性質(zhì)稱為晶格周期性（平移對(duì)稱性）。

基矢選擇不是唯一的。第十五頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一（5）晶格平移矢量(positionvectors)

基矢確定后，一個(gè)點(diǎn)陣可以用一個(gè)矢量表示，稱為晶格平移矢量。晶格只對(duì)離散值的平移具有對(duì)稱性，稱為破缺的平移對(duì)稱性。例、第十六頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一點(diǎn)陣空間密度分布的函數(shù)表示，（6）點(diǎn)陣空間密度函數(shù)

點(diǎn)陣空間密度函數(shù)是晶格平移矢量的周期函數(shù)，第十七頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一以一個(gè)格點(diǎn)為頂點(diǎn)，以某一方向上相鄰格點(diǎn)的距離為該方向的周期，以三個(gè)不同方向的周期為邊長(zhǎng)，構(gòu)成的最小體積平行六面體。原胞是晶體結(jié)構(gòu)的最小體積重復(fù)單元，可以平行、無(wú)交疊、無(wú)空隙地堆積成整個(gè)晶體。（7）原胞(元胞、固體物理學(xué)原胞)例、第十八頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一有8個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)原胞含一個(gè)格點(diǎn)；體積原胞的性質(zhì)不同原胞中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的性質(zhì)相同（平移對(duì)稱性）；原胞選擇不是唯一的，但不同原胞的體積相同；第十九頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一例、第一種基矢第二種基矢第三種基矢第二十頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一（8）晶胞（單胞、晶體學(xué)原胞）

以一格點(diǎn)為原點(diǎn)，以晶體三個(gè)不共面對(duì)稱軸（晶軸）為坐標(biāo)軸，坐標(biāo)軸上原點(diǎn)到相鄰格點(diǎn)距離為邊長(zhǎng)，構(gòu)成的平行六面體稱為晶胞，稱為晶胞基矢。體心立方晶胞面心立方晶胞簡(jiǎn)單立方晶胞例、

第二十一頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一晶胞邊長(zhǎng)稱為晶格常數(shù)；晶胞不一定是最小周期重復(fù)體積單元，體積是原胞的整數(shù)倍；格點(diǎn)可能在晶胞非頂點(diǎn)位置；反映晶體的宏觀對(duì)稱性；晶胞不能按平移矢量無(wú)交迭填滿整個(gè)空間，因而不能完全反映點(diǎn)陣平移對(duì)稱性；晶胞的性質(zhì)第二十二頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一以一格點(diǎn)為中心，作該點(diǎn)與最鄰近格點(diǎn)連線的中垂面，中垂面圍成的多面體稱為WS原胞。WS原胞含一個(gè)格點(diǎn)，體積與原胞體積相等。WS原胞避免基矢選擇，既反映晶體平移對(duì)稱性又反映晶體宏觀對(duì)稱性。（9）威格納-賽茲原胞（WS原胞、對(duì)稱化原胞）例、面心立方的WS原胞一個(gè)二維點(diǎn)陣的WS原胞第二十三頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一（10）配位數(shù)(coordinationnumber)晶體中一個(gè)原子周圍最鄰近原子個(gè)數(shù)稱為配位數(shù)。

晶體最大配位數(shù)為12，晶體可能配位數(shù)12，8，6，4，3，2。配位數(shù)6配位數(shù)8配位數(shù)12配位數(shù)4第二十四頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一（11）致密度(packingfactor）晶胞中原子的最大體積與晶胞體積的比值例、金剛石晶胞含8個(gè)原子，設(shè)原子為球形，半徑，頂角原子球心與1/4對(duì)角線長(zhǎng)度處原子球心等于1/4晶胞對(duì)角線長(zhǎng)，第二十五頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一（12）布拉菲格子復(fù)式格子體心立方晶格簡(jiǎn)單立方晶格以原子為晶格格點(diǎn)，晶體結(jié)構(gòu)分為布拉菲格子（簡(jiǎn)單格子）和復(fù)式格子。布拉菲格子全同原子構(gòu)成的晶體結(jié)構(gòu)稱為布拉菲晶格子。例、第二十六頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一底心立方晶格面心立方晶格底心立方晶格原子的全同性第二十七頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一復(fù)式格子(complexcrystallattice)

不同原子構(gòu)成的若干相同結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)單晶格相互套構(gòu)形成的晶格例1、兩種原子一維復(fù)式格子第二十八頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一PRQS例2、同種原子二維復(fù)式格子例3、金剛石結(jié)構(gòu)三維復(fù)式格子B頂角1/4對(duì)角線面心AAABBB第二十九頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一例4、石墨層中的碳原子排列為六角網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，是簡(jiǎn)單還是復(fù)式格子？標(biāo)出這一結(jié)構(gòu)的原胞。第三十頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一第三十一頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一簡(jiǎn)單立方晶格晶胞基矢，晶胞含1個(gè)格點(diǎn)，體積，晶格常數(shù)，晶胞與原胞1.1.3一些晶體結(jié)構(gòu)的基矢、原胞、晶胞、晶格常數(shù)原胞基矢，體積，第三十二頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一體心立方晶格晶胞基矢，晶胞含2個(gè)格點(diǎn)，體積，晶格常數(shù)，晶胞與原胞第三十三頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一原胞基矢，原胞體積，第三十四頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一面心立方晶格晶胞基矢，晶胞含4個(gè)格點(diǎn)，體積，晶格常數(shù)，晶胞與原胞第三十五頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一原胞基矢，原胞體積，第三十六頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一金剛石結(jié)構(gòu)頂角對(duì)角線1/4處晶胞是面心立方格子（復(fù)式）。基元由面心（或頂角）原子和1/4對(duì)角線長(zhǎng)度處原子組成。面心晶胞與原胞第三十七頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一晶胞基矢，晶胞包含4個(gè)格點(diǎn)，晶胞體積，晶格常數(shù)，第三十八頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一六角密堆積結(jié)構(gòu)（hcp)BB層原子與A層原子成鍵方向相差180度（不全同），晶格由兩個(gè)簡(jiǎn)單六方格子套構(gòu)成復(fù)式格子，晶胞含6個(gè)原子，基元由兩個(gè)不等價(jià)原子

、

構(gòu)成，原胞是DFEGHIJK包圍的體積。晶胞原胞DFEGHJKI1/61/21/61/61/61/61/6AA第三十九頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一第四十頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一BAA六次軸晶胞以直角坐標(biāo)系Oxyz的x、z軸與重合，晶胞基矢，原胞體積基元中兩個(gè)不等價(jià)原子的坐標(biāo),第四十一頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一氯化鈉結(jié)構(gòu)Na+Cl-

Na+和Cl-各自構(gòu)成面心立方格子沿晶胞基矢方向相互移動(dòng)半個(gè)晶格常數(shù)套構(gòu)形成面心立方格子（復(fù)式）?；粋€(gè)Na+和一個(gè)Cl-。第四十二頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一氯化銫結(jié)構(gòu)

Cs+和Cl-各自構(gòu)成簡(jiǎn)單立方晶格，沿體對(duì)角線相互移動(dòng)1/2對(duì)角線長(zhǎng)套構(gòu)形成簡(jiǎn)單立方晶格（復(fù)式），基元含相距1/2對(duì)角線長(zhǎng)的一對(duì)Cs+和Cl-。Cl-Cs+第四十三頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一閃鋅礦結(jié)構(gòu)（立方硫化鋅結(jié)構(gòu)）體對(duì)角線上離子面心立方與頂角、面心離子面心立方沿體對(duì)角線相互移動(dòng)1/4對(duì)角線長(zhǎng)套構(gòu)而成面心立方格子（復(fù)式）。基元由相距1/4對(duì)角線長(zhǎng)度的面心（或頂角）離子和位于1/4對(duì)角線長(zhǎng)度處離子組成。ZnS體對(duì)角線1/4處原子第四十四頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一纖鋅礦（六方硫化鋅）型結(jié)構(gòu)Ⅵ族硫離子

六方硫離子晶格和六方鋅離子晶格沿六方軸C移動(dòng)3C/8長(zhǎng)度套構(gòu)形成復(fù)式格子，在（001）面上按ABAB???堆積。Ⅱ族鋅離子第四十五頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一典型晶體結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)陣晶體結(jié)構(gòu)類別基元中原子（離子）數(shù)點(diǎn)陣子格數(shù)sc簡(jiǎn)單1sc點(diǎn)陣1bcc簡(jiǎn)單1bcc點(diǎn)陣1fcc簡(jiǎn)單1fcc點(diǎn)陣1hcp復(fù)式2六方點(diǎn)陣2金剛石復(fù)式2fcc點(diǎn)陣2NaCl復(fù)式2fcc點(diǎn)陣2CsCl復(fù)式2sc點(diǎn)陣2立方ZnS復(fù)式2fcc點(diǎn)陣2六方ZnS復(fù)式4六方點(diǎn)陣2ABO3復(fù)式5sc點(diǎn)陣5第四十六頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§1.2晶向、晶面及其標(biāo)識(shí)1.2.1晶列、晶向指數(shù)(crystaldirectionindices)晶列、晶向過(guò)任意兩格點(diǎn)的直線稱為晶列，若一族平行直線把格點(diǎn)全部包含，這族直線稱為同族晶列。晶列方向稱為晶向。

同一晶格有無(wú)窮多種晶列。同族晶列的性質(zhì)：晶向相同晶列上格點(diǎn)周期相同同平面相鄰晶列間距相等第四十七頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一晶向指數(shù)(晶列指數(shù)）設(shè)原胞基矢，格點(diǎn)為原點(diǎn)，沿著某一晶體方向，格點(diǎn)的平移矢量，將化成互質(zhì)整數(shù)，晶列格點(diǎn)周期（格點(diǎn)距離）等于，就是晶向指數(shù)第四十八頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一例1晶向指數(shù)晶向指數(shù)第四十九頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一例2晶向指數(shù)晶向指數(shù)第五十頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一例3、立方結(jié)構(gòu)晶體常用的晶向第五十一頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一等效晶向指數(shù)（只畫出水平面）例4、立方結(jié)構(gòu)晶體的等效晶向第五十二頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一全部格點(diǎn)用一族平行平面包含，該平行平面族稱為晶面族，族中每個(gè)平面稱為晶面.

同一晶格有無(wú)窮種不同晶面族。晶面晶面族性質(zhì)：晶面方向相同相鄰兩晶面間距相等各晶面格點(diǎn)分布相同1.3.2晶面、晶面指數(shù)(crystalplaneindices)第五十三頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一設(shè)平面在坐標(biāo)軸的截距，得到平面截距式方程，

空間平面方向的表示平面的法線矢量，平面方向由法線矢量與坐標(biāo)軸的夾角余弦表示，平面的單位法線矢量，第五十四頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一離原點(diǎn)（為整數(shù)、為晶面間距）的晶面在原胞基矢上的截距，

晶面指數(shù)取基矢為單位長(zhǎng)度，得到，晶面在原胞基矢截距的倒數(shù)的互質(zhì)整數(shù)組稱為晶面指數(shù)。第五十五頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一為避免晶面平行某基矢時(shí)出現(xiàn)截距無(wú)窮大，取晶面在3個(gè)基矢截距的倒數(shù)互質(zhì)整數(shù)比表示晶面取向，稱為晶面指數(shù)得到晶面法線矢量，晶面截距的倒數(shù)比，第五十六頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一1112223例1、化成互質(zhì)整數(shù)比，晶面在軸上截距，截距的倒數(shù)，晶面指數(shù),第五十七頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一(101)(021)1）

(021)例2、第五十八頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一截距的倒數(shù)，米勒指數(shù)(millerindices)為避免晶面平行某基矢時(shí)出現(xiàn)該軸截距無(wú)窮大，取晶面在3個(gè)晶胞基矢的截距的倒數(shù)互質(zhì)整數(shù)比表示晶面取向，稱為米勒指數(shù)晶面在晶胞基矢上截距的倒數(shù)的互質(zhì)整數(shù)組稱為米勒指數(shù)。晶面在晶胞基矢的截距，第五十九頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一例、

①同族晶面的晶面指數(shù)和米勒指數(shù)可能不同。②晶胞基矢構(gòu)成的平移矢量只是晶格平移矢量的子集。所以，米勒指數(shù)標(biāo)志的晶面不一定是該族晶面中最靠近原點(diǎn)的晶面。最靠近原點(diǎn)的晶面米勒指數(shù)與晶面指數(shù)的關(guān)系fcc晶格中，米勒指數(shù)（100）晶面不是最靠近原點(diǎn)的晶面，米勒指數(shù)（200）晶面是最靠近原點(diǎn)的晶面，該面的晶面指數(shù)（011）。米勒指數(shù)（100）面第六十頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一立方結(jié)構(gòu)晶體常用的晶面第六十一頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一等價(jià)（同族）晶面族同一晶格中，因?qū)ΨQ性而等價(jià)的晶面族稱為等價(jià)晶面族。包括8個(gè)晶面族，例、(111)(111)第六十二頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一米勒指數(shù)晶面系中距原點(diǎn)最近的晶面在基矢上的截距，設(shè)晶面單位法線矢量，得到，晶面間距(latticeplaneseparationdistance)第六十三頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一對(duì)正交坐標(biāo)系，米勒指數(shù)晶面系晶面間距，對(duì)立方晶格，第六十四頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一晶面間夾角兩個(gè)法線矢量為的晶面族的夾角余弦，立方晶格兩個(gè)晶面系夾角余弦，第六十五頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一解理面對(duì)原子晶體，米勒指數(shù)簡(jiǎn)單的晶面族，面間距較大，晶面格點(diǎn)密度大，晶面間結(jié)合力較小，容易解理。

對(duì)離子晶體，晶面格點(diǎn)密度大且晶面是電中性的晶面容易解理。(100)(110)例、金剛石結(jié)構(gòu)解理面是（111）面，閃鋅礦結(jié)構(gòu)是（110）面(111)(110)面密度(100)面密度(111)面密度第六十六頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一1.3.1倒格子基矢、倒格子1.3倒格子（倒點(diǎn)陣）根據(jù)原胞基矢定義三個(gè)新的矢量（倒格子基矢），設(shè)是倒格子基矢的線性組合（倒格矢），端點(diǎn)的集合稱為倒格子或倒點(diǎn)陣第六十七頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一1.3.2倒格子的性質(zhì)（1）倒格子基矢與正格子基矢相互正交（2）

倒格矢與正格矢的點(diǎn)積是整數(shù)證明：第六十八頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一（3）

倒格子原胞體積與晶格原胞體積成反比正格子原胞體積，倒格子原胞體積，第六十九頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一a2/h2BBC（4）倒格矢與晶面族正交在晶面族最靠近原點(diǎn)的晶面ABC上，AO證明：（倒格矢是晶面族的法線矢量）第七十頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一（5）

倒格矢的模等于晶面族晶面間距倒數(shù)晶面族面間距，證明：（6）晶格周期函數(shù)可以按倒格矢展開為傅立葉級(jí)數(shù)

（或者說(shuō)：晶格周期函數(shù)在倒格子空間展開為傅里葉級(jí)數(shù)）（傅立葉變換）第七十一頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一（7）倒格子保留了正格子的全部對(duì)稱性引進(jìn)倒格子的意義倒格子是晶格點(diǎn)陣在波矢空間的傅立葉變換。引入倒格子，對(duì)晶體結(jié)構(gòu)X射線衍射分析、晶格振動(dòng)、晶體電子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分析等帶來(lái)很大方便。第七十二頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一傅立葉變換、傅立葉變換的逆變換絕對(duì)可積函數(shù)的傅立葉變換，——絕對(duì)可積傅立葉變換的逆變換，第七十三頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一以任意倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，作所有倒格矢的垂直平分面將倒格子空間分成的一系列區(qū)域，稱為布里淵區(qū)。

垂直平分面稱為布里淵區(qū)邊界。

倒點(diǎn)陣的WS原胞稱為第一布里淵區(qū)。

從原點(diǎn)出發(fā)越過(guò)n個(gè)垂直平分面后達(dá)到的區(qū)域稱為第n+1布里淵區(qū)。布里淵區(qū)1.3.3布里淵區(qū)(BrillouinZone、BZ)、布里淵區(qū)界面方程第七十四頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一第一布里淵區(qū)第二布里淵區(qū)第三布里淵區(qū)例、二維正方格子的布里淵區(qū)第七十五頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一則的末端落在布里淵區(qū)邊界上，末端的集合構(gòu)成布里淵區(qū)界面。布里淵區(qū)界面方程倒格子空間矢量，如果滿足，稱為布里淵區(qū)界面方程第七十六頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一例1、求二維正方晶格的第一布里淵區(qū)界面方程倒格子基矢取倒格子空間矢量代入，得到界面方程，正格子基矢得到倒格矢，解：第七十七頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一對(duì)應(yīng)原點(diǎn)最近的4個(gè)倒格點(diǎn)，得到4條垂直平分線，4條平分線所圍區(qū)域構(gòu)成第一布里淵區(qū)第七十八頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一正格子原胞基矢原胞體積例2、求面心立方晶格的布里淵區(qū)界面方程、第一布里淵區(qū)第七十九頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一倒格子基矢、原胞體積，構(gòu)成體心立方格子，原胞體積，第八十頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一倒格矢，設(shè)倒格子空間矢量，得到布里淵區(qū)界面方程，第八十一頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一離原點(diǎn)最近8個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，第一布里淵區(qū)8個(gè)頂點(diǎn)與原點(diǎn)連線的垂直平分面圍成正八面體，體積，比倒格子原胞體積大，不是第一布里淵區(qū)。第八十二頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一再考慮離原點(diǎn)次近鄰6個(gè)倒格點(diǎn)，k2與原點(diǎn)倒格矢的垂直平分面截去正八面體的6個(gè)角，形成十四面（截角八面體），其體積等于倒格子原胞體積。k3k1將最近、次近14個(gè)倒格點(diǎn)坐標(biāo)代入界面方程得到第一布里淵區(qū)的14個(gè)界面方程。第八十三頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一面心立方晶格第一布里淵區(qū)的特殊對(duì)稱點(diǎn)——

布里淵區(qū)中心——

布里淵區(qū)邊界與軸的交點(diǎn)——

布里淵區(qū)邊界與軸的交點(diǎn)——

布里淵區(qū)邊界與軸的交點(diǎn)[001][111][010][110][100]Γ第八十四頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一1.4晶體的宏觀對(duì)稱和點(diǎn)群1.4.1晶體的宏觀對(duì)稱性（點(diǎn)對(duì)稱性）晶體繞某軸旋轉(zhuǎn)或?qū)δ滁c(diǎn)反演后能自身重合的性質(zhì)稱為晶體的宏觀對(duì)稱性（點(diǎn)對(duì)稱性）。例圍繞C軸轉(zhuǎn)動(dòng)120°，石英晶體自身重合。在垂直于C軸平面內(nèi)，相隔120°方向上，晶體性質(zhì)相同（三重對(duì)稱性）。120°C軸（三重對(duì)稱軸）定義第八十五頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一對(duì)晶體進(jìn)行操作，操作過(guò)程中保持晶體中任意兩點(diǎn)間距不變、操作后晶格完全復(fù)原的操作稱為晶體的宏觀對(duì)稱操作。

宏觀對(duì)稱操作越多，宏觀對(duì)稱性（對(duì)稱性）越高。晶體的宏觀對(duì)稱操作及其基本性質(zhì)設(shè)晶格某點(diǎn)，施以操作，證明：晶體的宏觀對(duì)稱操作在數(shù)學(xué)上是一種正交變換。第八十六頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一用數(shù)學(xué)矩陣表示，（變換矩陣）第八十七頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，（是正交矩陣）（證畢）第八十八頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一1、中心反演晶體的8種基本宏觀對(duì)稱操作（對(duì)稱素）第八十九頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一2、鏡面反映第九十頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一3、n次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸將晶體圍繞某一固定軸旋轉(zhuǎn)后，晶體重合，則該固定軸稱為次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸，其操作矩陣是正交矩陣。證明：設(shè)晶體圍繞軸旋轉(zhuǎn)，晶體重合，D旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸操作矩陣第九十一頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一晶體只有5種旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸，不存在5和6次以上旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸。證明：晶體對(duì)稱性定律繞

格點(diǎn)轉(zhuǎn)，

格點(diǎn)被旋轉(zhuǎn)到格點(diǎn)。由于點(diǎn)陣中所有格點(diǎn)等價(jià)，繞格點(diǎn)旋轉(zhuǎn)將格點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到格點(diǎn)，晶體復(fù)原。，為同一晶向，具有相同周期，因此，--整數(shù)由圖形幾何關(guān)系得到，第九十二頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一熊夫利符號(hào)國(guó)際符號(hào)幾何圖形符號(hào)因?yàn)椋灾荒苡形鍌€(gè)值，得到，第九十三頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一4、次旋轉(zhuǎn)反演軸將晶體圍繞某一固定軸旋轉(zhuǎn)后再中心反演，晶體重合，稱為次旋轉(zhuǎn)反演軸。122314中心平面第九十四頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一253416123456第九十五頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一1342沒(méi)有對(duì)稱心沒(méi)有具有的晶體既沒(méi)有4次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸，也沒(méi)有對(duì)稱心。

1342第九十六頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一晶體基本對(duì)稱操作共8種,8種操作中至少保持一點(diǎn)不動(dòng)，稱為晶體的點(diǎn)對(duì)稱操作。第九十七頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一準(zhǔn)晶體（Quasicrystal）Penrose拼圖沒(méi)有平移對(duì)稱性，但具有完全有序結(jié)構(gòu)，具有和以上旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸的晶體稱為準(zhǔn)晶體。Penrose拼圖:

小菱形具有和兩種內(nèi)角大菱形具有和兩種內(nèi)角。以大菱形和小菱形為原胞可以填滿二維空間。Penrose拼圖沒(méi)有平移對(duì)稱性，但結(jié)構(gòu)完全有序，且具有5重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。已經(jīng)發(fā)現(xiàn)類似結(jié)構(gòu)的物質(zhì)Penrose拼圖(Penrosetiling)大菱形小菱形第九十八頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一1.4.2晶體的32種點(diǎn)群群（group)元素集合，在它們之間規(guī)定一種“乘法”，如滿足以下性質(zhì)，則稱為群。（1）閉合性（2）結(jié)合律（3）存在單位元素，（4）對(duì)集合中任意元素，存在逆元素，滿足第九十九頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一例１、正實(shí)數(shù)群：規(guī)定以普通乘法為運(yùn)算法則，單位元素為1，正實(shí)數(shù)的逆為。例2、群：以連續(xù)操作為乘法，單位元素（不動(dòng)操作），的逆。第一百頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一晶體點(diǎn)對(duì)稱操作群（點(diǎn)群）規(guī)定：

晶體點(diǎn)對(duì)稱操作乘法為連續(xù)操作，單位元素是不動(dòng)操作（零旋轉(zhuǎn)），旋轉(zhuǎn)的逆是大小相等、方向相反旋轉(zhuǎn)，中心反演的逆是中心反演，則晶體點(diǎn)對(duì)稱操作滿足群定義，構(gòu)成點(diǎn)群。

晶體的宏觀對(duì)稱性都可以通過(guò)8種點(diǎn)對(duì)稱基本操作的組合來(lái)描述。在晶格周期性條件限制下，晶體只有32種宏觀對(duì)稱性（32種點(diǎn)群）。晶體32個(gè)點(diǎn)群第一百零一頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一名稱標(biāo)記符號(hào)的意義熊夫利符號(hào)回轉(zhuǎn)群晶體只含有一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸雙面群晶體包含一個(gè)重旋轉(zhuǎn)軸和個(gè)與之垂直的二重軸群加上中心反演（對(duì)稱心）群加上鏡面反映對(duì)稱面群加上與重旋轉(zhuǎn)軸垂直的水平對(duì)稱面群加上個(gè)含重旋轉(zhuǎn)軸垂直對(duì)稱面群加上與重旋轉(zhuǎn)軸垂直的水平對(duì)稱面群加上通過(guò)重軸及兩根二重軸的角平分線的對(duì)稱面群晶體只包含象轉(zhuǎn)軸群含正四面體24個(gè)對(duì)稱操作群中24個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)操作加中心反演群中12個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)操作群加上中心反演第一百零二頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一

群包括立方點(diǎn)群的3條互相垂直的4重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸，6條2重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸，4條3重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸構(gòu)成的純旋轉(zhuǎn)對(duì)稱操作，立方點(diǎn)群具有中心反演對(duì)稱性，共48種對(duì)稱操作。名稱對(duì)稱操作數(shù)目合計(jì)三條4重軸<100>旋轉(zhuǎn)90度、180度、270度9純旋轉(zhuǎn)操作24個(gè)四條3重軸<111>旋轉(zhuǎn)120度、240度8六條2重軸<110>旋轉(zhuǎn)180度6不動(dòng)旋轉(zhuǎn)360度1中心反演以上操作加上反演24非純旋轉(zhuǎn)操作24個(gè)立方點(diǎn)群的48種對(duì)稱操作群第一百零三頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一由于晶格周期性限制，不考慮基元對(duì)稱性，晶體點(diǎn)對(duì)稱操作組成7類對(duì)稱操作群（7類點(diǎn)群或7類晶格對(duì)稱性）,對(duì)應(yīng)7種布拉菲點(diǎn)陣，給出7種晶胞（即7種晶胞基矢組合方式：三斜、單斜、正交、四方、六方、立方、三角）。每種組合稱為一個(gè)晶系。

點(diǎn)對(duì)稱操作和平移操作的集合給出14種對(duì)稱性，構(gòu)成14種布拉菲點(diǎn)陣，給出14種布拉菲晶胞（三斜、單斜、正交、四方、六方、立方、三角7個(gè)簡(jiǎn)單晶胞+7個(gè)加心晶胞）。

由于基元中有不同原子，使對(duì)稱性降低?？山档?種點(diǎn)陣對(duì)稱性的方式（加體心、面心、底心）共25種，得到晶體32個(gè)對(duì)稱操作群（晶體32種點(diǎn)群、32種晶體宏觀對(duì)稱性）。1.5晶格的對(duì)稱性（晶系）1.5.114種布拉維格子和7格晶系第一百零四頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一名稱布拉菲晶胞類型對(duì)稱性最高的點(diǎn)群（全對(duì)稱點(diǎn)群）晶胞基矢特征立方晶系（高級(jí)對(duì)稱）簡(jiǎn)單立方（P）面心立方（F）體心立方（I）四方晶系（中級(jí)對(duì)稱）簡(jiǎn)單四方（P）體心四方（I）正交晶系（低級(jí)對(duì)稱）簡(jiǎn)單正交（P）底心正交（C）體心正交（I）面心正交（F）單斜晶系（低級(jí)對(duì)稱）簡(jiǎn)單單斜（P）底心單斜（C）三斜晶系（低級(jí)對(duì)稱）簡(jiǎn)單三斜（P）三方晶系（中級(jí)對(duì)稱）三方（R）六方晶系（中級(jí)對(duì)稱）六方（P）P-簡(jiǎn)單I-體心F-面心R-菱形C-底心14種布拉菲晶胞第一百零五頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一Triclinic（簡(jiǎn)單三斜)Monoclinic（單斜晶系)

Simple(簡(jiǎn)單單斜）Centered（底心單斜）

第一百零六頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一Orthorhombic(正交晶系）

Simple（簡(jiǎn)單正交）base-centered（底心正交）body-centered（體心正交）face-centered（面心正交）第一百零七頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一Simple（簡(jiǎn)單四方）body-centered（體心四方）Tetragonal（四方晶系）

Rhombohedral（三方晶系）第一百零八頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一Hexagonal（六方晶系）

Cubic（立方晶系）Simple（簡(jiǎn)單立方）body-centered（體心立方）face-centered（面心立方）第一百零九頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一晶體對(duì)稱性不僅包括點(diǎn)對(duì)稱操作和整數(shù)平移對(duì)稱操作，由于理想晶格微觀上的排列無(wú)限性，還包括分?jǐn)?shù)平移對(duì)稱操作。繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)度，再沿對(duì)稱軸方向平移晶格周期的的倍距離，使晶體重合。重螺旋軸例：4重螺旋軸1.5.2平移對(duì)稱操作空間群第一百一十頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一A4A3A2A4321A1四重對(duì)稱旋轉(zhuǎn)軸金剛石、閃鋅礦結(jié)構(gòu)具有4重螺旋軸第一百一十一頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一例2、金剛石、閃鋅礦結(jié)構(gòu)的4重螺旋軸對(duì)角線上的原子繞4重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)900，再沿4重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸方向平移1/2晶格常數(shù)，和相同原子重合。第一百一十二頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一滑移反映面A2A’2A’1A1AA’平面反映后，再沿平行該平面的某一方向平移周期的距離，使晶體中的原子與相同的原子重合?；品从趁胬?、氯化鈉具有滑移反映面Na+Cl-滑移反映面第一百一十三頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一晶體32種點(diǎn)群，加兩類非整數(shù)平移對(duì)稱操作,得到230種晶體對(duì)稱類型，稱為空間群，每種空間群對(duì)應(yīng)一種晶體結(jié)構(gòu)。

一個(gè)晶系包括多種點(diǎn)陣，它們有相同的宏觀對(duì)稱性，但有不同的平移對(duì)稱性，構(gòu)成不同的空間群?？臻g群第一百一十四頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一

X射線照射晶體時(shí)，入射光子受晶體原子核外電子散射，從入射態(tài)躍遷到散射態(tài)。原點(diǎn)入射X射線平面波函數(shù)，散射X射線平面波函數(shù)，1.5.1原理入射X射線反射X射線PX射線被原點(diǎn)原子、P點(diǎn)原子散射前后的光程差，AB1.5晶體的X射線衍射第一百一十五頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一根據(jù)干涉理論，光程差等于X射線波長(zhǎng)整數(shù)倍時(shí)，衍射極大，得到，忽略康普頓效應(yīng)，康普頓效應(yīng)：波長(zhǎng)的X射線照射到晶體上，散射波波長(zhǎng)向長(zhǎng)波方向移動(dòng)。得到，--整數(shù)令，得到X射線衍射極大條件，第一百一十六頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一被散射X射線波矢與入射X射線波矢之差等于倒格矢時(shí)，（勞厄方程）勞厄定理（勞厄方程）及其幾何表示由于，晶面第一百一十七頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一勞厄方程兩端同時(shí)左點(diǎn)乘倒格矢，（勞厄方程等價(jià)形式）第一百一十八頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一

晶體X射線衍射布拉格公式與勞厄方程等價(jià)布拉格反射由勞厄方程，勞厄方程第一百一十九頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一倒格矢的模，——方向上長(zhǎng)度最短的倒格矢，（布拉格公式）第一百二十頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一反射球（厄瓦德Ewald球）在倒格子空間，以入射X射線波矢的末端為原點(diǎn)，起點(diǎn)為球心，模為半徑作球面，稱為反射球。PM若球面恰好通過(guò)一倒格點(diǎn)P，則等于倒格矢，MP等于反射波波矢，滿足勞厄方程，在MP方向形成衍射極大。第一百二十一頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一1.5.3晶體X射線衍射的實(shí)驗(yàn)方法勞厄法xz晶體連續(xù)譜X射線底片底片yδ第一百二十二頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一波長(zhǎng)，在最大反射球和最小反射球間的倒格點(diǎn)，均滿足勞厄方程，衍射斑數(shù)量提高。若射線入射方向與晶體對(duì)稱軸平行，衍射斑將具有與該軸同樣的對(duì)稱性，可以用來(lái)測(cè)量晶體對(duì)稱性。可能同時(shí)有多個(gè)波長(zhǎng)對(duì)同一晶面都滿足勞厄方程，形成同一衍射斑點(diǎn)，不適合確定晶格常數(shù)。第一百二十三頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一轉(zhuǎn)動(dòng)晶體法晶體準(zhǔn)直儀單色X光管轉(zhuǎn)軸（底片）第一百二十四頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一單色X射線射到晶體，形成一個(gè)反射球。晶體轉(zhuǎn)動(dòng)，倒格子相對(duì)于反射球轉(zhuǎn)動(dòng)。倒格點(diǎn)分布在一系列垂直于轉(zhuǎn)軸的平面上，同平面上的倒格點(diǎn)轉(zhuǎn)到反射球面上時(shí)，散射方向與轉(zhuǎn)軸夾角不變。不同平面上的倒格點(diǎn)的散射波構(gòu)成以轉(zhuǎn)軸為中心軸、夾角不同的衍射極大圓錐面。底片卷成以轉(zhuǎn)軸為軸的圓筒，則底片上形成平行線，平行線間距與晶面間距成比例，可測(cè)量基矢、晶格常數(shù)等。轉(zhuǎn)軸第一百二十五頁(yè)，共一百三十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一粉末法準(zhǔn)直儀單色X光管衍射錐多晶粉末樣品（晶粒壓成、固定放置）晶粒隨機(jī)分布，同一晶面系晶面取向多樣。當(dāng)單色X射線照射樣品，那些與入射線夾角相同的