數(shù)學建模培訓課程體系設計

數(shù)學建模培訓課程體系設計探討王茂芝，徐文皙，郭科（成都理工大學信息管理學院，四川成都610059）摘要：數(shù)學建模培訓的目標是培養(yǎng)學生應用數(shù)學解決實際問題的能力．對參與數(shù)學建模培訓的學生的能力要求主要包括：對數(shù)學學科的宏觀駕馭能力，分析和解決問題以及數(shù)學建模的能力，數(shù)學模型的求解能力以及對計算機工具和數(shù)學軟件的使用能力，數(shù)學遷移能力和創(chuàng)新能力等．數(shù)學建模培訓課程體系設計包括以下幾個階段：準備階段，建模預處理階段，專題培訓階段及模擬和實戰(zhàn)階段．關鍵詞：數(shù)學建模；工科數(shù)學；數(shù)學教學改革中圖分類號：G642.3，O29文獻標識碼：A文章編號：1004–9894（2005）01–0079–03全國大學生數(shù)學建模活動對于全方位提高學生的素質(zhì)和能力；提升教師的教學水平、業(yè)務能力和科研水平；促進工科數(shù)學的教學改革等方面都起到了積極有效的推動作用．《數(shù)學模型》和《數(shù)學實驗》課程的開設，數(shù)學實驗室的建立等多種教學方式、措施和手段的出現(xiàn)都是數(shù)學建?；顒拥拈_展帶來的實際教學改革成果．本文作者根據(jù)多年來組織、指導全國大學生數(shù)學建模的實際，針對在數(shù)學建模培訓過程中所講授的內(nèi)容以及開設的專題，從數(shù)學學科的角度對數(shù)學建模培訓課程體系的設置進行一些探討．1數(shù)學建模培訓的目標數(shù)學建模是把數(shù)學作為一種工具，并應用它解決實際問題的教學活動方式．由于實際問題背景的復雜性和廣泛性，同時也因為數(shù)學學科涵蓋范圍的廣泛性，導致在數(shù)學建模培訓過程中相關課程（或?qū)ｎ}）的開設既要考慮到點，又要照顧到面．在點和面相結合的同時，重點培養(yǎng)并提高學生的多種能力．這樣才能達到應用數(shù)學解決實際問題的目的[1~3]．由于大學生數(shù)學建模競賽的主要參賽對象是大學二、三年級的學生，所以參與培訓的學生一般都具有一定的數(shù)學基礎（基本都學過《線性代數(shù)》《高等數(shù)學》《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》這3門基礎課程）．同時，由于數(shù)學建模集中培訓（集訓）的時間有限，不可能在這么短的時間里把數(shù)學的相關基礎課程和專業(yè)課程進行詳盡地講解．比較現(xiàn)實和可行的方法是：根據(jù)數(shù)學建模的目標要求以及數(shù)學學科的特點，通過開設一些專題講座，有針對性地提高學生的能力．1.1數(shù)學建模培訓的能力要求經(jīng)過多年的實踐和探索，我們認為對于參與數(shù)學建模培訓的學生的能力要求有以下幾個方面．第一是對數(shù)學學科的宏觀駕馭能力．也就是通過培訓，使學生對數(shù)學的學科劃分、專業(yè)設置、相關課程設置、學科特點等都有一定的理解和認識．這實際上是一個占領制高點的過程，對于后續(xù)課程有一個清晰的脈絡和清醒的認識．這一步的完成在很大程度上可以使整個培訓過程達到事半功倍的效果．但前提是要求參與培訓講解的指導老師需要有較好的數(shù)學素養(yǎng)．第二是對于一個給定的復雜問題背景，要學會理清兩個問題．一是透過問題背景知道告訴了我們什么已知信息；二是要求我們明確做什么，解決什么問題．然后緊密聯(lián)系上面兩個問題，實現(xiàn)兩個量化．一是對已知條件的符號化和量化；二是對需解決問題的轉化和量化．最后，再聯(lián)系自己對數(shù)學知識的把握、對數(shù)學建模方法的領悟，借助一系列數(shù)學工具（方程、函數(shù)、矩陣、向量等）把量化后的符號（變量）組織起來建立數(shù)學模型．第三是數(shù)學模型的求解能力，以及對計算機和數(shù)學軟件的使用能力．這主要是涉及到對計算數(shù)學相關課程的熟悉和理解、計算機編程、數(shù)學軟件的使用這3個方面的內(nèi)容．第四是數(shù)學遷移能力和創(chuàng)新能力．在數(shù)學建模和對模型的求解過程中都要求學生有較強的領悟能力和遷移能力，同時還要求在這種遷移過程中發(fā)揮自身的創(chuàng)造性．這個過程可以說是數(shù)學建模培訓以及數(shù)學建模競賽的核心和靈魂所在．第五是自學能力、領悟能力以及查閱和搜集資料的能力．數(shù)學建模培訓過程中一般會在每一個專題之后布置大量的參考書籍供學生課后自學．所以要求學生要有較強的自學能力和領悟能力，同時還要學會使用計算機和網(wǎng)絡資源查找和搜集所需資料，這是一個必不可少的環(huán)節(jié)和過程．第六是良好的協(xié)調(diào)和協(xié)作能力．數(shù)學建模過程是一個團隊的集體行為，所以需要有良好的協(xié)調(diào)和配合能力．同時，數(shù)學建模的過程往往是一個反復和完善的過程，在這個過程中通常會不可避免地遇到一些問題，沒有良好的心理素質(zhì)和協(xié)作精神是很難完成的．這已成為一個小組數(shù)學建模競賽是否成功的一個決定性非技術因素．第七是要有良好的寫作能力．這實際上是在良好的數(shù)學駕馭能力、較強的抽象品質(zhì)這兩個前提下，再配以一定的寫作方法和技巧來完成論文的寫作過程．收稿日期：2004–10–09基金項目：四川省自然科學基金重點資助項目（2003A143）；成都理工大學資助項目（R230246-3）作者簡介：王茂芝（1974—），男，江西吉安人，碩士，主要從事智能計算技術和小波分析技術及其應用研究．

80數(shù)學教育學報第14卷1.2數(shù)學建模培訓的目標我們認為，經(jīng)過數(shù)學建模培訓要達到的目標有以下幾個方面．（1）認識數(shù)學的學科特點和分類，一定程度上提高數(shù)學修養(yǎng)，提升宏觀駕馭和應用數(shù)學的能力．（2）針對各種不同的復雜問題背景，能夠?qū)崿F(xiàn)兩個轉化：實際問題的數(shù)學量化和描述（數(shù)學模型的建立）以及數(shù)學模型求解和求解結果的實際解釋和反饋（模型求解和檢驗）．（3）增強良好的心理素質(zhì)和團隊精神．（4）掌握常用數(shù)學軟件的使用技巧，以及熟練使用網(wǎng)絡資料查找和搜集資料．（5）提高數(shù)學建模寫作水平．2數(shù)學建模培訓課程體系設計針對上述對數(shù)學建模培訓的能力和目標，在培訓過程中，我們分階段開設了一系列的課程（專題）來實施．具體來講，有以下4個階段以及相應的專題課程．（1）第一階段為準備階段．這個階段主要完成3個方面的工作．一是和學生探討數(shù)學學科的專業(yè)劃分、課程設置、專業(yè)特點等問題，讓學生結合自身所學數(shù)學知識認識數(shù)學的學科特點，提高其宏觀駕馭能力；二是介紹如何應用計算機網(wǎng)絡資源實現(xiàn)文獻查找和資料搜集；三是介紹常用數(shù)學工具軟件的功能、使用方法、編程技巧等內(nèi)容．值得注意的是，這一階段3方面的工作是一直貫穿整個數(shù)學建模培訓過程始終的，是一個隨著培訓過程進行逐步提高和完善的過程．（2）第二階段為建模預處理階段，這個階段主要完成數(shù)據(jù)分析和處理工作．培養(yǎng)學生根據(jù)問題背景提取數(shù)據(jù)并對數(shù)據(jù)進行分析和處理的能力．介紹常見的數(shù)據(jù)分析和處理方法：如回歸分析、相關分析、聚類分析、主成分分析以及其它一些降維處理技術等多元數(shù)理統(tǒng)計中常見的對數(shù)據(jù)進行分析和處理的方法和理論．還可以介入一些對數(shù)據(jù)進行插值和擬合的方法和思想．（3）第三階段是專題培訓階段．這個過程主要是根據(jù)數(shù)學建模競賽的特點和數(shù)學學科的專業(yè)劃分以及課程設置等來展開，這是整個建模培訓過程的重心．一系列的能力培養(yǎng)和形成以及完善都是在這一階段實現(xiàn)的．按照數(shù)學建模的競賽章程，一般都是按連續(xù)和離散兩個大的方向來設置賽題．我們在培訓的過程中設置了連續(xù)、離散和隨機3個大的方向．對于連續(xù)這一方向，展開的知識有：數(shù)學物理方程的方程類型劃分以及數(shù)值解法、微分方程的定性和穩(wěn)定性理論、積分和微分的數(shù)值計算方法、空間曲面的插值和擬合方法．展開的主要模型有傳染病模型、人口增長模型、確定毒品走私船位置模型、一維和二維數(shù)據(jù)的插值與擬合模型（海底曲面插值以及估計水塔水流量模型）等．對于離散方向，主要是從運籌與優(yōu)化的角度展開．具體展開的知識有：組合數(shù)學、運籌學、圖論、人工神經(jīng)網(wǎng)絡、遺傳算法、層次分析法、計算機模擬等．講解和討論的模型主要有：通訊網(wǎng)絡的極小生成樹、圖論和網(wǎng)絡流模型、應急設施的優(yōu)化選址問題、蠓蟲分類問題、線性規(guī)劃模型、非線性多目標優(yōu)化問題的轉化處理方法、彩票問題、電力修復系統(tǒng)的層次分析法模型、基于蒙特卡羅的計算機模型等．對于隨機方向，展開的知識有：排隊論、隨機過程以及時間序列分析的基礎知識和基本概念．展開討論的問題有：公交車的優(yōu)化調(diào)度、股票（或天氣）預測和分析等．最后，在上述3個方向相應的知識點和模型講解以及討論之后，再集中一到兩次課的時間對一些帶有交叉和綜合性質(zhì)的問題進行探討．這個過程也是一個全面回顧以及提升的過程．考慮到實際建模問題背景的高度復雜性、非線性性、多目標性、高維性以及優(yōu)化特性，有針對性地在方法和算法上進行綜合．這個過程抓住實際問題的優(yōu)化特性，抽出其共性，以TSP問題為背景，圍繞其求解方法進行展開．具體地講，由于TSP問題是檢驗一個算法是否適合于求解一個大規(guī)模、非線性問題的“標尺”，所以從求解TSP的經(jīng)典方法進行補充往往對于實際的建模和模型求解的算法構造具有很強的指導意義．這個過程將以TSP問題的求解為中心展開3個專題：遺傳算法應用于組合優(yōu)化計算，連續(xù)Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡應用于優(yōu)化計算，以及螞蟻算法應用于TSP問題的優(yōu)化計算．通過這3個專題的展開，還讓學生認識到：在構造非線性優(yōu)化算法時，通常所構造的算法都具有在優(yōu)化目標搜索方向指導下的隨機性以及潛在的并行性．同時再適當補充一些其它帶有啟發(fā)式思想的方法和內(nèi)容．通過上述3個環(huán)節(jié)，對于培訓學生來說，從知識結構以及能力要求上基本已經(jīng)具備建模和模型求解的能力了．（4）第四階段為模擬和實戰(zhàn)階段．這一階段是培訓學生以小組形成針對一個選定的模擬題目用3天的時間完全按照數(shù)學建模競賽的要求完成問題分析、模型建立和求解、論文寫作等環(huán)節(jié)．同時，培訓教師針對各小組存在的問題進行指導．通過這一階段，全面培養(yǎng)和提升培訓學生的宏觀駕馭能力、分析和解決問題的能力、數(shù)學建模能力、數(shù)學的遷移和創(chuàng)新能力．同時，通過實戰(zhàn)的磨合，培養(yǎng)和形成良好的心理素質(zhì)、健全的人格、良好的協(xié)作和協(xié)調(diào)能力以及寫作能力．通過上面的分析和描述可以發(fā)現(xiàn)，從數(shù)學學科以及專業(yè)的角度，數(shù)學建模的培訓過程實際上是一個跨學科、跨專業(yè)并且綜合性和應用性都非常強的過程．它所展開的內(nèi)容幾乎涵蓋了數(shù)學學科5個專業(yè)方向的相關課程．實踐表明，我們制訂的培訓計劃具有較強的科學性、合理性以及可操作性，并受到學生的歡迎和指導老師的肯定．在這一培訓計劃的指導下（從1999年開始實施），成都理工大學校數(shù)學建模競賽成績一直都在四川省的前列．3幾點思考與建議數(shù)學建模活動是一個培養(yǎng)、形成以及全方位提高學生能力的過程．而數(shù)學建模的集中培訓是一個時間很短的過程，所以，為配合整個數(shù)學建?；顒拥拈_展，還需要在培訓之外做一系列的前期工作以及輔助活動．為此，我們采取了一系

第1期王茂芝等：數(shù)學建模培訓課程體系設計探討列的措施來保障數(shù)學建?；顒拥捻樌M行．這些措施包括：（1）成立數(shù)學協(xié)會和數(shù)學建模興趣小組，由指導教師組織其開展活動；（2）開設公共選修課程《數(shù)學模型》作為集中培訓前的數(shù)學建模入門課程；（3）建立數(shù)學實驗室以及開設《理工數(shù)學實驗》課程，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣；（4）聘請專家開設一系列關于數(shù)學建模的專題講座和報告，拓寬學生的視野和認識等．經(jīng)過多年對數(shù)學建模培訓課程的教學實踐，以及與其它工科數(shù)學課程教學的對比．我們對目前高校的專業(yè)劃分、課程設置、教學方法、培養(yǎng)目標等都做過一些探討和思索．文[4]~文[8]對此也有一定程度的探討，本文僅對此談幾點粗淺的認識．就專業(yè)劃分和課程設置而言，我們比較傾向于當前某些高校實施的在專業(yè)相對固定的前提下，自由（跨學科、跨專業(yè)、甚至跨學校）選擇專業(yè)基礎課程和其它相關課程的做法；就教學方法而言，傳統(tǒng)的課堂式講解和灌輸式教學應在條件許可的前提下進行調(diào)整，討論式教學和實踐教學是值得提倡的兩種教學方法；對于培養(yǎng)目標，就知識和能力的關系問題而言，本文作者認為知識和能力是互補的，但作為教學來說，傳授知識并不是教學的最終目的，傳授知識應該是教學的一個過程，培養(yǎng)和形成能力才是教學的目的所在．由于數(shù)學建模培訓過程是一個繁雜的系統(tǒng)工程：不僅要對參訓學生進行知識傳授，而且還要在短時間內(nèi)，使得參訓學生多方面的能力得到培養(yǎng)和提高、心理素質(zhì)得到鍛煉、人格得到健全和完善等．在這個過程中，我們有如下幾點建議供同行參考：（1）建議學校、學院乃至系、部要重視并提供支持和協(xié)調(diào)，這包括培訓教師隊伍的組建、培訓過程的后勤保障等工作；（2）建議指導教師隊伍要基本穩(wěn)定，特別是核心指導教師要有高度的責任感和奉獻精神；（3）建議指導教師隊伍最好要有一定的科研經(jīng)歷，應具備一定的學科敏感性、數(shù)學修養(yǎng)以及抽象品質(zhì)，并且要對內(nèi)和對外不斷進行交流和提高；（4）建議數(shù)學建模要和工科數(shù)學的教學改革建立聯(lián)系，使之系統(tǒng)化和理論化，形成教學成果，并指導工科數(shù)學的教學實踐．以上是筆者多年參與全國大學生數(shù)學建模競賽培訓時，從數(shù)學的學科特點、專業(yè)劃分、課程設置出發(fā)，聯(lián)系數(shù)學建模培訓的目標和能力要求，對培訓課程的體系設計所做的一些探討．希望能對工科數(shù)學教學改革提供一些素材，同時也希望能和更多的同行磋商，以期能達到推動數(shù)學建模活動的開展、促進工科數(shù)學教學改革的目的．［參考文獻］[1]趙建昕．提高數(shù)學建模能力的策略研究[J]．數(shù)學教育學報，2004，13（3）：50.52．[2]洪雙義．一種新型數(shù)學教育方式的探索[J]．數(shù)學教育學報，2003，12（2）：91.94．[3]柳勁松．數(shù)學確定性批判[J]．數(shù)學教育學報，2004，13（2）：63.64．[4]陳燕龍．開展數(shù)學建模推進素質(zhì)教育的思考和設想[J]．廣州航海高等專科學校學報，2001，17（2）：64.66．[5]姜啟源．數(shù)學實驗與數(shù)學建模[J]．數(shù)學的實踐與認識，2001，31（5）：613.617．[6]李醫(yī)民，王學弟，丁丹平，等．數(shù)學素質(zhì)教育改革的系統(tǒng)工程[J]．大學數(shù)學，2003，19（4）：34.37．[7]匡繼昌．試論高等師范院校數(shù)學研究式教學[J]．數(shù)學教育學報，2003，12（2）：74.77．[8]楊宏林，丁占文，田立新．關于高等數(shù)學課程教學改革的幾點思考[J]．數(shù)學教育學報，2004，13（2）：74.76．DiscussonCoursesDesignofMathematicalMode