概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)猴博士

概率論第一課一、無放回類題目例1：盒子中有4紅3白共7個(gè)球，不用眼瞅，七個(gè)球摸起來是同樣的，現(xiàn)無放回的摸4次，那摸出兩個(gè)紅球兩個(gè)白球的概率是多少C?條件一取條件二取條件一總?×?C?條件二總P=取C?總C24×C23P=C47例2：近鄰山頭共有11只母猴兒，此中有5只美猴兒、6只丑猴兒，在大黑天看起來是同樣的。今兒月黑風(fēng)高，我小弟拼命為我擄來5只，問天亮后，發(fā)現(xiàn)有2只美猴兒、3只丑猴兒的概率是多少條件一取條件二取C??×?C?條件二總P=條件一總?cè)?總C2×C3P=556C11對(duì)于Cmn的計(jì)算：二、有放回類題目例1：盒子中有5紅6白共11個(gè)球，不用眼瞅，11個(gè)球摸起來是同樣的，現(xiàn)有放回的摸5次，那摸出兩個(gè)紅球三個(gè)白球的概率是多少例2：在小弟為我抓回的5只母猴兒中，有2美3丑，每日我都隨機(jī)挑一只母猴兒來，為她抓虱子。就這樣，過去了101天，抓了101次虱子，問這101次中，為美猴兒服務(wù)50次、丑猴兒服務(wù)51次的概率是多少三、需要繪圖的題目例1：已知0<x<1，0<y<1，求x>y的概率是多少①表現(xiàn)已知條件②表現(xiàn)待求概率的條件③找出①②重合部分?③??1?④P(x>y)=①=2例2：已知-1<x<1，-1<y<1，求x2+y2<1的概率是多少22Sπ×12π(圓+y<1)===44S正四、條件概率P(AB)公式：P(B|A)=解說：

P(A)事件A：擲一次骰子，向上點(diǎn)數(shù)大于3事件B：擲一次骰子，向上點(diǎn)數(shù)是6P(B|A)：擲一次骰子，已知向上點(diǎn)數(shù)大于3，向上點(diǎn)數(shù)是6的概率P(AB)：擲一次骰子，向上點(diǎn)數(shù)是6的概率P(A)：擲一次骰子，向上點(diǎn)數(shù)大于3的概率例1：小明概率論考試得80分以上的概率是80%，得60分以上的概率是85%，已知此次考試小明概率論沒掛，那么小明得80分以上的概率是多少事件A：小明得60分以上事件B：小明得80分以上P(B|A)：小明得60分以上時(shí)，小明得80分以上的概率P(AB)：小明得80分以上的概率P(AB)80％16P(B|A)=P(A)=85％=17例2：某地域今年會(huì)發(fā)生洪水的概率是80%，今明兩年起碼有一年會(huì)發(fā)生洪水的概率是85%，若是今年沒有發(fā)生洪水，那么明年發(fā)生洪水的概率是多少事件A：今年沒有發(fā)生洪水事件B：明年發(fā)生洪水P(B|A)：今年沒有發(fā)生洪水的狀況下，明年發(fā)洪水的概率P(AB)：今年沒有發(fā)生洪水，明年發(fā)生洪水的概率P(AB)85％-80％5％1P(B|A)=P(A)=1-80％=20％=4五、全概率公式公式：A、B等個(gè)體均可能發(fā)生某事，則P(發(fā)生某事)=P(A出現(xiàn))·P(A發(fā)生某事)+P(B出現(xiàn))·P(B發(fā)生某事)例1：某高速公路上客車中有20%是高速客車，80%是一般客車，假定高速客車發(fā)生故障的概率是，一般客車發(fā)生故障的概率是。求該高速公路上有客車發(fā)生故障的概率。P(有客車發(fā)生故障)=P(高速車出現(xiàn))·P(高速車故障)+P(一般車出現(xiàn))·P(一般車故障)=20%×+80%×=例2：猴博士企業(yè)有猴博士與傻狍子兩個(gè)職工，老板要抽此中一個(gè)查核，抽中猴博士與傻狍子的概率都是50%，猴博士查核經(jīng)過的概率是100%，傻狍子查核經(jīng)過的概率是1%，那么抽中的職工經(jīng)過查核的概率是多少P(抽中的職工經(jīng)過查核)=P(猴博士出現(xiàn))·P(猴博士經(jīng)過)+P(傻狍子出現(xiàn))·P(傻狍子經(jīng)過)=50％×100％+50％×1％=％六、貝葉斯公式公式：A、B等個(gè)體均可能發(fā)生某事，則P(A出現(xiàn))·P(A發(fā)生某事)P(已知有個(gè)體發(fā)生某事時(shí)，是A發(fā)生的)=P(發(fā)生某事)例1：某高速公路上客車中有20%是高速客車，80%是一般客車，假定高速客車發(fā)生故障的概率是，一般客車發(fā)生故障的概率是。求該高速公路上有客車發(fā)生故障時(shí)，故障的是高速客車的概率。P(有客車發(fā)生故障)=P(高速車出現(xiàn))·P(高速車故障)+P(一般車出現(xiàn))·P(一般車故障)=20%×+80%×=P(已知有客車發(fā)生故障，是高速客車發(fā)生的)P(高速客車出現(xiàn))·P(高速客車故障)=P(有客車故障)20％·0.0020.00841=21例2：猴博士企業(yè)有猴博士與傻狍子兩個(gè)職工，老板要抽此中一個(gè)查核，抽中猴博士與傻狍子的概率都是50%，猴博士查核經(jīng)過的概率是100%，傻狍子查核經(jīng)過的概率是1%，求抽中的職工經(jīng)過查核時(shí)，被抽中的職工是傻狍子的概率。P(抽中的職工經(jīng)過查核)=P(猴博士出現(xiàn))·P(猴博士經(jīng)過)+P(傻狍子出現(xiàn))·P(傻狍子經(jīng)過)=50％×100％+50％×1％=％P(已知有職工經(jīng)過查核，是傻狍子經(jīng)過的)P(傻狍子出現(xiàn))·P(傻狍子經(jīng)過)=P(抽中的職工經(jīng)過查核)50％·1％=50.5％1=101概率論第二課七、已知????(x)與????(x)中的一項(xiàng)，求另一項(xiàng)xfX(x)dx公式：fX(x)=FX′(x)FX(x)=∫∞-0，x<1例1：設(shè)X的散布函數(shù)FX(x)=lnx，1≤x<??，求X的密度函數(shù)fX(x)。{1，x≥e′，x0，x<11??fX(x)=FX′(x)=(lnx)′，1≤x<????1，1≤x<??{x，1≤x<{1′，x≥e{0，x≥e0，其余例2：設(shè)X的密度函數(shù)fX(x)={-12x+1，0≤x≤2，求X的散布0，其余函數(shù)FX(x)。xfX(x)dx=1當(dāng)x>2時(shí)，F(xiàn)X(x)=∫∞-xfX(x)dx=-x2+x當(dāng)0≤x≤2時(shí)，F(xiàn)X(x)=∫∞4-xx0dx=0當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)X(x)=∫∞fX(x)dx=∫∞--0，x<0FX(x)=x2-4+x，0≤x≤2{1，x>2八、已知????(x)與????(x)中的一種，求Pb公式：P(a<X<b)=FX(b)-FX(a)=∫fX(x)dxa0，x<1例1：設(shè)X的散布函數(shù)FX(x)={lnx，1≤x<??，求概率P(x2<4)1，x≥eP(x2<4)=P(-2<x<2)FX(2)-FX(-2)=ln2-0=ln21-2x+1，0≤x≤2例2：設(shè)X的密度函數(shù)fX(x)={，求概率P(-1<x<2)0，其余2P(-1<x<2)=∫fX(x)dx-102∫fX(x)dx+∫fX(x)dx10021∫0dx+∫(-x+1)dx102=0+1=1九、????(x)或????(x)含未知數(shù)，求未知數(shù)公式：FX(-∞)=0，F(xiàn)X(+∞)=1，F(xiàn)(分段點(diǎn))=F(分段點(diǎn))上下+∞∫fX(x)dx=1-∞0，x≤0例1：設(shè)X的散布函數(shù)FX(x)={(λ>0)，求a和b。a+be-λx，x>0FX(+∞)=1a+be-λ·(+∞)=1ba+be-∞=1a+e+∞=1a=1F上(0)=F下(0)0=a+be-λ·(0)0=a+be0a+b=0{a=1{a=1a+b=0b=-1ax+1，0≤x≤2例2：設(shè)X的密度函數(shù)fX(x)={，求常數(shù)a。+∞∫fX(x)dx=1-∞02+∞fX(x)dx=1∫∞fX(x)dx+∫fX(x)dx+∫-0200dx+2(ax+1dx++∞0dx=1∫∫)∫0+2a+2+0=11解得a=-2十、求散布律例1：從編號(hào)為1、2、3、4、5、6的6只球中任取3只，用X表示從中拿出的最大號(hào)碼，求其散布律。X可能的取值為3，4，5，6210P(X=3)=C2C13C3=1C620210P(X=4)=C3C13C2=3C620210P(X=5)=C4C13C1=3C610C25C111P(X=6)=C36=2散布列：十一、已知含有未知數(shù)的散布列，求未知數(shù)例1：已知散布列以下，求k的值。13320+20+10+k=11解得k=2概率論第三課十二、已知X散布列，求Y散布列例1：已知X的散布列，求Y=X2+1的散布列。X-202P①依據(jù)X的全部取值，計(jì)算Y的全部取值Y=(-2)2+1=5Y=02+1=1Y=22+1=5②將表格里X那一列對(duì)應(yīng)換成YY515P化簡(jiǎn)一下：Y15P例2：已知X的散布列，求Y=2X-1的散布列。X3456依據(jù)X的全部取值，計(jì)算Y的全部取值Y=2×3-1=5Y=2×4-1=7Y=2×5-1=9Y=2×6-1=11②將表格里X那一列對(duì)應(yīng)換成YX579111331P2010220也能夠表示成：57911Y~(1331)2020102十三、已知????(??)，求????(??)0，x≤0例1：設(shè)X的散布函數(shù)為FX(x)={x2，0<??<1，求Y=2X的散布1，x≥1函數(shù)。①寫出X=YYY=2XX=2②用y替代FX(x)中的x，結(jié)果為XF(?y)y0，2≤0y)=y2，0yFX((2)<12<2{1，y≥12③判斷y中能否有負(fù)號(hào)若無，則FY(y)=FX(y)如有，則FY(y)=1-FX(y)0，y≤0yy2FY(y)=FX(2)=4，0<??<2{1，y≥20，x≤0例2：設(shè)X的散布函數(shù)為FX(x)={x2，0<??<1，求Y=-X的散布1，x≥1函數(shù)。①寫出X=YY=-XX=-Y②用y替代FX(x)中的x，結(jié)果為FX(?y)0，-y≤0FX(-y)={(-y)2，0<-??<11，-y≥1③判斷y中能否有負(fù)號(hào)若無，則FY(y)=FX(y)如有，則FY(y)=1-FX(y)1，y≥0FY(y)=1-FX(-y)={1-y2，-1<??<00，y≤-1十四、已知????(??)，求????(??)1，0<??<1例1：設(shè)X的密度函數(shù)為fX(x)={，求Y=2X的密度函數(shù)。0，其余①寫出X=YY=2XX=

Y2②用y替代fX(x)中的x，結(jié)果為fX(?y)1，0<??<2fX(2)={0，其余③令fY=(?y)′·fX(?y)y′y1y1，0<??<22fY=(2)·fX(2)=2·fX(2)={0，其余④判斷y中能否有負(fù)號(hào)若無，則fY(y)=fY如有，則fY(y)=-fY1fY(y)=fY={2，0<??<20，其余概率論第四課十五、切合平均散布，求概率知足要求長度公式：P=總長度例1：設(shè)X在[2,5]上聽從平均散布，求X的取值大于3的概率。總長度：3大于3的長度：22PX的取值大于3=3例2：設(shè)X在[2,5]上聽從平均散布，求X的取值小于3的概率?？傞L度：3小于3的長度：11PX的取值小于3=3十六、切合泊松散布，求概率x公式：P(X=x)=λe-λx!例1：某電話互換臺(tái)每分鐘接到的呼喊數(shù)聽從參數(shù)為5的泊松散布。求在一分鐘內(nèi)呼喊次數(shù)不超出6次的概率。表示一分鐘內(nèi)接到呼喊的次數(shù)P(X≤6)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)50-551-552-553-554-555-556-5=e+e+e+e+e+e+e0!1!2!3!4!5!6!=0.7622十七、切合二項(xiàng)散布，求概率公式：P(X=x)=CxnPx(1-P)n-x例1：重復(fù)投5次硬幣，求正面向上一次數(shù)為3次的概率。1x=3n=5P(正面向上)=23(1315P(X=3)=C5)(1-)5-3=2216例2：在二紅一綠三個(gè)球中有放回地摸3次，求摸到紅球次數(shù)為2次的概率。2x=2n=3P(摸到紅球)=3P(X=2)=C322224(3)(1-3)3-2=9十八、切合指數(shù)散布，求概率公式：(12a2f(x)dx-Pa<??<a)=∫λxaa1λe，x>0f(x)={P(X<??)=∫f(x)dx0，x≤0-∞(??)+∞()dx{a1例1：某種電子元件的使用壽命X(單位:小時(shí))聽從λ=的指數(shù)2000散布。求：(1)一個(gè)元件能正常使用1000小時(shí)以上的概率；一個(gè)元件能正常使用1000小時(shí)到2000小時(shí)之間的概率。1xX的密度函數(shù)為f(x)={2000e-2000，x>00，x≤0+∞+∞1x(1)P(X>1000)=e-2000dx=e-0.5∫f(x)dx=∫200010001000200020001x(2)P(1000<X<2000)=∫f(x)dx=∫e-2000dx100010002000=-e-1+e-0.5十九、切合正態(tài)散布，求概率公式：b-μa-μP(a<??<??)=Φ(σ)-Φ(σ)P(X<??Φ(a-μ)=σ)(??)=1-Φ(b-μ{PX>σ)例1：設(shè)隨機(jī)變量X聽從正態(tài)散布N,4)，求：(1)P<X<；(2)P(X<。[此中：Φ(0)=，Φ=，Φ(1)=，Φ=]μ=，σ=√4=23.5-(1)P<X<=Φ(2)-Φ(2)=Φ(1)-Φ(0)=(2)P(X<=Φ(2)=Φ(1)=二十、正態(tài)散布圖像公式：①圖像對(duì)于μ對(duì)稱②面積表示概率，總面積為1③σ越小，圖像越陡例1：例2：常有散布的其余表示方法平均散布U[a,b]二項(xiàng)散布B[n,p]指數(shù)散布E(λ)正態(tài)散布N(μ,σ2)例：①X在[2,5]上聽從平均散布，求X的取值大于3的概率。即X~U[2,5]，求X的取值大于3的概率。1②某種電子元件的使用壽X(單位:小時(shí))聽從λ=2000的指數(shù)散布1即某種電子元件的使用壽命X(單位:小時(shí))聽從X~E(2000)概率論第五課二十一、已知二維失散型散布律，求例1：已知二維隨機(jī)變量X，Y的散布律以下表：求：(1)P(X=0)，P(Y=2)(2)P(X<1，Y≤2)(3)P(X+Y=2)(4)X，Y的散布律(5)Z=X+Y的散布律解：(1)P(X=0)=++=P(Y=2)=+=(2)P(X<1，Y≤2)=+=(3)P(X+Y=2)=+=(4)(5)P(Z=1)=P(X=0,Y=1)=P(Z=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=+=P(Z=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=1,Y=2)=+=P(Z=4)=P(X=1,Y=3)=二十二、已知二維失散型散布律，判斷獨(dú)立性公式：假如隨意xi，yi均知足P(X=xi，Y=yi)=P(X=xi)·P(Y=yi)那么X、Y互相獨(dú)立不然X、Y不互相獨(dú)立例1：已知二維隨機(jī)變量X，Y的散布律以下表：請(qǐng)判斷X、Y的獨(dú)立性。例2：已知二維隨機(jī)變量X，Y的散布律以下表：X、Y是互相獨(dú)立的，求α、β的值。?16?+?19?+?181?+?13?+?29?+?19?=1二十三、已知F(x,y)，求f(x,y)??2F(x,y)?公式：f(x,y)=?x?y例1：二十四、已知f(x,y)，求F(x,y)?21?22例1：已知二維隨機(jī)變量的結(jié)合密度函數(shù)f(x,y)={4xy，x≤y≤10，其余??????????????????????求F(x,y)。例2：已知二維隨機(jī)變量的結(jié)合密度函數(shù)為：f(x,y)={x+y，0＜x＜1，0＜y＜1，求F(x,y)。0，其余????????????????????????????????????二十五、已知F(x,y)，求P公式：P(X≤x0，Y≤y0)=F(x0，y0)例1：二十六、已知f(x,y)，求P例1：例2：二十七、求F(x,y)或f(x,y)中含有的未知數(shù)公式：F(+∞,+∞)=1，F(xiàn)(-∞,-∞)=0，F(xiàn)(x,-∞)=0，F(xiàn)(-∞,y)=0+∞+∞f(x,y)dxdy=1∫∫?-∞?-∞例1：例2：二十八、求平均散布的f(x,y)與P公式：例1：概率論第六課二十九、求邊沿散布函數(shù)公式：FX(x)=F(x,+∞)，F(xiàn)Y(y)=F(+∞,y)例1：三十、求邊沿密度函數(shù)三十一、判斷連續(xù)型二維變量的獨(dú)立性公式：例1：三十二、已知f(x,y)，Z=X+Y，求????(z)+∞f(x,z-x)dx公式：fZ(z)=∫∞-例1：??三十三、

已知

f(x,y)

，Z=

，求

????(z)??+∞公式：fZ(z)=∫f(yz,y)·|y|dy-∞三十四、已知f(x,y)，且X,Y互相獨(dú)立，Z=max(X,Y)，求????(z)公式：FZ(z)=FX(z)·FY(z)例1：設(shè)隨機(jī)變量X，Y獨(dú)立同散布，且X的散布函數(shù)為x3+2x，求Z=max(X,Y)的散布函數(shù)。三十五、已知f(x,y)，