高考數(shù)學(xué)常見(jiàn)難題大盤(pán)點(diǎn)解析幾何

21.設(shè)A(XI,y.B(x2,y2)是橢圓Xj21(ab0)上的兩點(diǎn),3baba橢圓的離心率e上一,短軸長(zhǎng)為2,0為坐標(biāo)原點(diǎn).2(1)求橢圓的方程；(2)假定直線AB過(guò)橢圓的焦F〔0,c〕,〔c為半焦距〕,求直線AB的斜率k的值;點(diǎn)試問(wèn)：△AOB的面積能否為定值？假如是,請(qǐng)賜予證明；假如不是,請(qǐng)說(shuō)明原因分析：本例〔1〕經(jīng)過(guò)e—,2b2,及a,b,c之間的關(guān)系可得橢圓的方程；〔2〕2從方程下手,經(jīng)過(guò)直「線方程與橢圓方程構(gòu)成方程組并聯(lián)合韋達(dá)定理;〔3〕要注意特與一般的關(guān)系,分直線的斜率存在與不存在議論.殊答案：〔1〕2b2,b1,e2.e.32橢圓的方程為L(zhǎng)4〔2〕設(shè)AB的方程為

kxykx2..1由亡(k24)x22.3kx10XiX2,XiX22k2k3k4由X1X1-.3)(明2b2X1X(kx1422..3kk24..3kk244當(dāng)A為極點(diǎn)時(shí),必為極點(diǎn)△(3)BAO=1.$當(dāng)A,B不為極點(diǎn)時(shí),設(shè)AB的方程為y=kX+bykxb2y(k24)x22kbxb244b2X1k24x2生0(kx1b)(kx2b)X1X4X1X222b2k2-11X2|21b1(x「x2)24x1x2|S1b||XI24k22|b|所以三角形的面積為定值.2.在直角坐標(biāo)平面中,△ABC的兩個(gè)極點(diǎn)為A〔0,uuuuuuuuuruuuuuu時(shí)知足①GAGBGC0,②|MA|=|MB|=

(1k2)X1X3k,4X2)2V(X1X22kbk240代入整理得：|b|.4k24b216k24-D,B(0,1)uuiu平面內(nèi)兩點(diǎn)uuurAB|MC|③GM//求極點(diǎn)C的軌跡E的方程設(shè)P、QRN都在曲線E上,定點(diǎn)F的坐標(biāo)為(J2,0),PF//FCuuniruuuruuuunrRF//FN且PF?RF=0.求四邊形PRQ麗積S的最大值和最小值.分析：本例(1)要熟習(xí)用向量的方式表達(dá)點(diǎn)特點(diǎn)；(2)要掌握好直線與橢圓的地點(diǎn)關(guān)系,弦長(zhǎng)公式,靈巧的運(yùn)算技巧是解決好本題的要點(diǎn).答案：(1)設(shè)C(x,y)uuvuuuuuuvuuvuuu/,QGAGB2GO,由①知GC2GO,G為△ABC的重心,由②知M是^ABC的外心,M在x軸上由③知M(uuuruuur由|MC||MA|得化簡(jiǎn)整理得:2y1(xw0).2(2)F(四,0)恰為)-1的右焦點(diǎn)3設(shè)PQ的斜率為kw0且kw士

,2,那么直線PQ的方程為y=k(x2由yk(x.2)(3k21)x26.2k2x6k23x3y30設(shè)P(X1,y1),Q(x2,y2)那么X1+x62k26k23k21x2=——53k那么|PQ|=,1k2?,(x1x2)24x1x2.1k26.2k2244(3k21)3k2123(k21)3k211_2、3(k21)QRNLPQ把k換成一得|RN|=k3k2S」|PQ|IRN|26(k222(3k21)(k23)3(k2記)103(k210Qk2口>2,k2------->162S3-<S<2,(當(dāng)k=±1時(shí)取等號(hào))2又當(dāng)k不存在或3S^ax=2,Smin=2x223.如圖,F為雙曲線C:、1a0,b0的右焦點(diǎn)P為雙曲線ba-2且位于x軸上方,M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)四邊形OFPMPFOF(I)寫(xiě)出雙曲線C的離心率e與的關(guān)系式;(n)當(dāng)1時(shí),經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F且平行于OP的直線交雙曲?線于A、點(diǎn),假定AB12,求此時(shí)的雙曲線方程剖析：圓錐曲線的幾何性質(zhì)聯(lián)合其余圖形的考察是要點(diǎn).注意靈巧應(yīng)用第二定義.

為平行四邊形,M解：?四邊形OFPM是Y,|OF||PM|c,作雙曲線的右準(zhǔn)線交PMTH,貝Ua2|PF||OF|c22上c2c'1PM11PHi2丁又e曷22~2~~2~~2e22—2acc2ac2ee202222XV____(n)當(dāng)1時(shí),e2,c2a,b3a,雙曲線為一251四邊形OFPM4a3a是菱形,所以直線OP的斜率為百,那么直線AB的方程為V向X2a),代入到雙曲線方程得：9x248ax60a20,460a29又AB12,由AB|由k2J(xx2)24%x2得:122、(48a)222/曰29227x2V21為所求仔a—,那么b——,所以———44927424.設(shè)A,B分別為橢圓yr1(a,b0)的左、右極點(diǎn),橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距,且bx4為它的右準(zhǔn)線(I)、求橢圓的方程;(n)、設(shè)P為右準(zhǔn)線上不一樣于點(diǎn)(4,0)的隨意一點(diǎn),假定直線AP,BP分別與橢圓訂交于異于A,B的點(diǎn)M、N,證明：點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)剖析：本小題主要考察直線、圓和橢圓等平面分析幾何的根基知識(shí),考察綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的水平易解決問(wèn)題的水平2解：(I)依題意得a=2c,a=4,解得a=2,c=1,進(jìn)而b=J3c故橢圓的方程為(n)解法1：A(—2,0),B(2,0)(4,0)xN設(shè)M(xo,yo)3???M點(diǎn)在橢圓上,.??y0=一4(4-x.2)又點(diǎn)M異于極點(diǎn)A、B,-2<xo<2,由P、A、M三點(diǎn)共線能夠得P(4,一)x02uuuu進(jìn)而B(niǎo)M=(x0-2,y6,uuu6y0一BP=(2,x0)2,,_2uuuuuuu6yc---------(x0—4+3y0)BM?BP=2x0-4+衛(wèi)匚x2x002......一uuuuuuu—5將①代入0,化間得BM,BP=—(2—xo)uuunuun??-2-x0>0,BM?BP>0,那么/MBP^銳角,進(jìn)而/MBN^鈍角,故點(diǎn)B在以M時(shí)直徑的圓內(nèi)解法2:由(I)得A(—2,0),B(2,0)設(shè)M(xi,yi),N(如V*,那么一2<xi<2,—2<x2<2,,又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(：x一絲,_y_y2),22依題意,計(jì)算點(diǎn)B到圓心Q的距離與半徑的差_212x1x2、2,y1y22—1[(xi—x2)2+(yi—y2)2]BQ--|MN=(122-2)+(,124=(xi—2)(x2—2)+yiyi@又直線AP的方程為y=—y^(x2),直線BP的方程為y=—y^(x2),xi2x22而點(diǎn)兩直線AP與BP的交點(diǎn)P在準(zhǔn)線x=4上,」&"=3(x22)yi③???9xi2x22xi2223又點(diǎn)M在橢圓上,那么江江i,即yi23(4xi2)(5)434一.....,......ii2i25于是將?、?)代入◎,化簡(jiǎn)后可得BQ——MN=-(2—xi)(x22)044進(jìn)而,點(diǎn)B在以MNK1直徑的圓內(nèi)5.拋物線C:y22px(p0)上隨意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離比到y(tǒng)軸的距離大I.求拋物線C的方程；假定過(guò)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于MN兩點(diǎn),M在第一象限,且|MF|=2|NF|,求直線MN的方程；求出一個(gè)數(shù)學(xué)識(shí)題的正確結(jié)論后,將其作為條件之一,提出與本來(lái)問(wèn)題相關(guān)的新問(wèn)題,我們把它稱為本來(lái)問(wèn)題的一個(gè)“逆向〞問(wèn)題.比如,本來(lái)問(wèn)題是“假定正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4,側(cè)棱長(zhǎng)為3,求該正四棱錐的體積〞.求出體積16后,它的一個(gè)“逆向〞問(wèn)題能夠是“假定正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4,體積為I6,33求側(cè)棱長(zhǎng)〞；也能夠是“假定正四棱錐的體積為I6,求全部側(cè)面面積之和的「最小值〞.3現(xiàn)有正確命題：過(guò)點(diǎn)A(-,0)的直線,交拋物線C:y22px(p0)于P、Q兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P對(duì)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為R,那么直線RQ必過(guò)焦點(diǎn)F.試給出上述命題的“逆向〞問(wèn)題,并解答你所給出的“逆向〞問(wèn)題.分析：答案：解：(1)y24X設(shè)N(—,t)(t>0),那么M(t：2t),F(1,0).4因?yàn)镸F、N共線,那么有kFMkNF,所以——22^—,解得tJ2,“14所以k2—222,21因此,直線MN勺方程是y272(x1).“逆向問(wèn)題〞一：①拋物線Cy22px(p0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線C于P、Q兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P對(duì)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為R,那么直線RQ^、過(guò)定點(diǎn)A(—,0).2證明：設(shè)過(guò)F的直線為y=k-JP),P(XI"I),Q(x2,y2),那么R(XI,y1)4xD得k2x2(pk24)x—p2k2以x#2k(xI)4k(xk(x￡x2)k(x|)y11多2121kRAkQAPx2Kx衛(wèi)px1x1x2x〔x2為22所以直線RQ必過(guò)焦點(diǎn)A.②過(guò)點(diǎn)A(^,0)的直線交拋物線C于P、Q兩點(diǎn),FP與拋物線交于另一點(diǎn)R,那么RQ^直于x軸O③拋物線C:20),過(guò)點(diǎn)B(m,0)(m>0的直線交拋物線C于P、Qy2px(p兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P對(duì)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為R,那么直線RQ必過(guò)定點(diǎn)A(-m,0).2y—1的焦點(diǎn)為F1(-c,0)2,F2(c,0),過(guò)F2的直線交橢b“逆向問(wèn)題〞二：橢圓C:T2a圓C于P、Q兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P對(duì)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為R,那么直線RQ必過(guò)定點(diǎn)A(—,0)°c22“逆向問(wèn)題〞三：雙曲線C:二?1的焦點(diǎn)為F1(-c,0),F2(c,0),過(guò)F2的直線交2a2b雙曲線C于P、Q兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P對(duì)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為R,那么直線RQ必過(guò)定點(diǎn)A(—,0).c.橢圓的中央是原點(diǎn)O,它的短軸長(zhǎng)為2?2,相應(yīng)于焦點(diǎn)F(C,0)(C>0)的準(zhǔn)線X軸訂交于點(diǎn)AOF2FA,過(guò)點(diǎn)(1)求橢圓的F程及離心率

A的直線與橢圓訂交于

P、Q

兩點(diǎn).4一二r,刎線PQ的里|；(3)設(shè)AP=AQ(>1),過(guò)點(diǎn)P且平行與準(zhǔn)線L的直線與橢圓訂交于另一點(diǎn)證明FM=-FQ.剖析：(1)要求橢圓的方程及離心.率,很重要的一點(diǎn)就是要熟習(xí)這類(lèi)二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的中央、長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率、焦距等相關(guān)觀點(diǎn)及幾何性質(zhì).解：(1)依據(jù)條件“橢圓的中央是原點(diǎn)O,它的短軸長(zhǎng)為2y[2,相應(yīng)于焦點(diǎn)F(C,0)22(C>0)的準(zhǔn)線L與X軸訂交于點(diǎn)A.〞可設(shè)橢圓的方程為與_y_1(a>/2),從a2C2a2力士2c),聯(lián)系以上這兩個(gè)對(duì)于a、c2<2;又因?OF|2FA,能夠有c2(而有ac22c的方程組并解得a=J6,c=2,所以橢圓的方程為—y1,離心率e=—.622依據(jù)條件“OP-OQ=0",我們可設(shè)Px11yl,Qx2,y2,把兩個(gè)向量的數(shù)目積的形式轉(zhuǎn)變?yōu)樽鴺?biāo)表示的形式,再依據(jù)直線PQ經(jīng)過(guò)A(3,0),只須求出直線PQ的斜率K即可求出直線PQ的方程.而P、Q兩點(diǎn)又在橢圓上,所以,我們簡(jiǎn)單想到經(jīng)過(guò)22直線y=k(x-3)與橢圓——Xy—1,聯(lián)系方程組消去一個(gè)未知數(shù)y(或x)得3k2620,并利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系聯(lián)合2一2_2一1X218k2x27k265x/2yy0及y〔y2k3x23不難求出k=——,這里應(yīng)特別注意K的值要保證>0建立,否當(dāng)沒(méi)法保證手線5PQ與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn).FMFQ的坐標(biāo)之間關(guān)系來(lái)(3)要證F代FQ-^我們簡(jiǎn)單想到經(jīng)過(guò)式中兩個(gè)向量謀求證題的方法.為此我們可依據(jù)題意“過(guò)點(diǎn)P且平行為準(zhǔn)線L的直線與橢「圓訂交于另M坐標(biāo)為x1,y1.又因AP=AQ易知FMFQ的兩個(gè)縱坐標(biāo)已經(jīng)知足y1y2,所以此刻要考慮的問(wèn)題是如何證明FMkFQ的兩個(gè)橫坐標(biāo)應(yīng)當(dāng)知足x12x22,事實(shí)上,APx13,y1,AQx23,y51注意到>1,解得x25——1⑤2因F(2,0),Mx1,y1,故FM=x12,y1=x211=,y1二—,y222又FQ=x22,y21,所以FM=-FQI"27.F1(2,0),F2(2,0),點(diǎn)P知足|PF1|IPF2I2,記點(diǎn)P的軌跡為E.求軌跡E的方程；假定直線l過(guò)點(diǎn)F2且與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn).(i)不論直線l繞點(diǎn)F2如何轉(zhuǎn)動(dòng),在x軸上總存在定點(diǎn)數(shù)m的值.

31,、2°M(m,0),使MPMQ恒建立,務(wù)實(shí)(ii)過(guò)P、Q作直線x1的垂線PAOB垂足分別為AB,記1PAi|QB|,2|AB|求入的取值范圍.分析：(|PFJ|PF|2|FF|答案：解：1)由21為焦點(diǎn)的雙曲2知,點(diǎn)P的軌跡E是以F、F22y22線右支,由c2,2a2,b3故軌跡E的萬(wàn)程為x——1(x1).(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為yk(x2),P(xi,yi),Q(X2,y2),與雙曲線方程聯(lián)立消y得(k23)x24k2x4k230,k230xix2

4k2k234k23xix2

k23解得k2>3(i)MPMQ(x1m)(x2m)y1y2(x1m)(x2m)k(x2,12)(x22)2_2)m22(k1)x1x2(2km)(x1x24k(k21)(4k23)4k2(2k2m)2啟55m4K3k23(4m5)k2k232——---------m.k3MPMQ,MPMQ0,故得3(1m2)k2(m24m5)0對(duì)隨意的3恒建立,201m21.“2,解得mm4m50當(dāng)m=—1時(shí),MPLMQ當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),由P(2,3),Q(2,3)及M(1,0)知結(jié)論也建立,綜上,當(dāng)m=—1時(shí),MPLMQ,1(ii)a1,c2,直線x—是雙曲線的右準(zhǔn)線,211一1,一,由雙曲線定義得：|PA|-|PF2||PF2|,|QB|-|QF2|,e.1k222方法一:|PQ|_|x2x1|21ABi21y2y1|x1|-1k22-1121k(x2小)|2|k|3k2.k23,0?1拓13一,故一32注意到直線的斜率不存在時(shí),|PQ||AB|,止匕時(shí)綜上,方法二：設(shè)直線PQ的傾斜角為九因?yàn)橹本€PQ與雙曲線右支有二個(gè)交點(diǎn),2-,過(guò)3Q作QC1PA垂足為C,那么PQC|-|,|PQ||PQ|22|AB|2|CQ|2cos份〕2sinsin1,故:8.如圖,P是拋物線C:12,交于另一點(diǎn)Qo-X上一點(diǎn),直線L過(guò)點(diǎn)P且有拋2I〕假定直線L與過(guò)點(diǎn)P的切線垂直,求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程II〕假定直線L可是原點(diǎn)且與X軸交于