回轉體及其截交線

回轉體及其截交線第1頁/共65頁回轉體的形成母線上任意一點的軌跡是一個圓周(緯圓)；其圓心是軌跡平面和軸線的交點，半徑是點到軸線的距離。名稱回轉面形成方法和簡圖一般性質直母線繞和它相交的軸線回轉而成圓錐面圓錐體直母線繞和它平行的軸線回轉而成圓柱面圓柱體由圓錐面和一個圓平面圍成的實體由圓柱面和兩個圓平面圍成的實體OOAA1形體構成OO圓母線繞以它的直徑為軸線回轉而成圓球面圓球體由圓球面圍成的實體圓環(huán)體OOSAOO圓母線繞和它的共面但不過圓心的軸線回轉而成圓環(huán)面由圓環(huán)面圍成的實體第2頁/共65頁(二)圓柱體一、回轉體的投影圓柱面最左、最右素線投影左右分界線前后分界線以軸線為鉛垂線的圓柱體為例投影圖：空間分析：圓柱面最前、最后素線投影YZXV第3頁/共65頁圓柱體的投影特點：

1.在與軸線垂直的投影面上，圓柱體的投影為圓。

2.在與軸線平行的兩個投影面上，圓柱體的投影為全等的矩形。注意：

1.圓與矩形需要用細點畫線畫出對稱中心線；矩形的對稱中心線是軸線的投影，圓的圓心是軸線的積聚性投影。

2.圓柱面有積聚性，在其有積聚性的投影（圓周）上，任何一點都是相應位置直素線的投影。(二)圓柱體一、回轉體的投影第4頁/共65頁例3已知圓柱面上的點A的正面投影，求其余兩面投影。(a')aa”作圖：

(1)過(a’)作投影線，找到直線與圓周的交點;分析：由于圓柱面的水平投影有積聚性，則a必在圓周上;而(a’)不可見，則點A必在后半個圓柱面上；A點在左半個圓柱面上，故a”可見。

(2)根據投影規(guī)律求出a”。(二)圓柱體一、回轉體的投影第5頁/共65頁例4已知圓柱面上線段的水平投影，求其余兩面投影。a”a'

c'

c”b”(b')d”f”dd'

ACB的側面投影acbff'

分析：線段的側面投影隨圓柱面積聚為一段圓弧，可利用積聚性作圖。作圖：(1)取特殊點;(2)取一般點；(3)判斷可見性，光滑連線。(二)圓柱體一、回轉體的投影第6頁/共65頁(三)圓錐體以軸線為鉛垂線的圓錐體為例投影圖：空間分析：圓錐面最左、最右素線投影圓錐面最前、最后素線投影前后分界線左右分界線YZXV一、回轉體的投影第7頁/共65頁圓錐體的投影特點：

1.在與軸線垂直的投影面上，圓錐體的投影為圓。

2.在與軸線平行的兩個投影面上，圓錐體的投影為全等的等腰三角形。注意：

1.圓與等腰三角形需要用細點畫線畫出對稱中心線，等腰三角形的對稱中心線是軸線的投影。

2.圓是錐面的投影，也是底面的投影；圓的圓心既是軸線的積聚性投影，也是錐頂的投影。(三)圓錐體一、回轉體的投影第8頁/共65頁例5已知圓錐面上的點A的正面投影，求其余兩面投影。a”(a')amm'm”ss's”作圖：

(1)過(a’)作直素線s’m’;分析：圓錐面的投影沒有積聚性，a在圓內的某點處，但A必過圓錐面內的一條素線;(a’)不可見，則點A必在后半個圓錐面上；A點在左半個圓錐面上，故a”可見。

(2)求出sm和s”m”；

(3)在sm和s”m”上求得a和a”。(三)圓錐體一、回轉體的投影第9頁/共65頁例6已知圓錐面上的點A的水平投影，求其余兩面投影。am'(a”)mPVa'PW作圖：

(1)以s為圓心，sa的距離為半徑作緯圓，找到緯圓與圓錐最左素線的交點m，并求其正面投影m’

;分析：

A在圓錐面上，則過A必存在圓錐面內的一個緯圓;A在前半個圓錐面上，則a’可見；A點在右半個圓錐面上，故a”不可見。ss's”

(2)作過M點的水平面P的跡線；

(3)在平面P的跡線上求得a’與a”。(三)圓錐體一、回轉體的投影第10頁/共65頁例7已知圓錐面上曲線的側面投影，求其余兩面投影。abc(d)a'b'c'd'e'ss's”(e)km”n”n'k”b”d”k'm'a”c”e”分析：可用緯圓法或直素線法求解;水平投影ac可見,ce不可見；線段正面投影全可見。作圖：(1)特殊點；(2)一般點；(3)判斷可見性，連線。(三)圓錐體一、回轉體的投影第11頁/共65頁(四)圓球體投影圖：空間分析：圓球面平行V面的圓素線投影圓球面平行W面的圓素線投影上下分界線左右分界線圓球面平行H面的圓素線投影圓球面：前后分界線三個全等的圓YZXV一、回轉體的投影第12頁/共65頁例8已知圓球面上點的正面投影，求其余兩面投影。a(b)mm'a'b'n”n'a”b”作圖：

(1)過a(b)作正面緯圓的水平投影，并求其另兩面投影；分析：點在圓球面上，則過點必存在圓球面內的一個緯圓;點在前左半圓球面上，則其正面投影和側面投影都是可見的。

(2)在緯圓的投影(圓與直線)上求得點的兩面投影。(四)圓球體一、回轉體的投影第13頁/共65頁例9已知圓球面上曲線的正面投影，求其余兩面投影。b'c'a'c(c”)aa”bb”e'e(e”)d'dd”分析：只能用緯圓法作圖；線段在上半圓球面上，則其水平投影可見；點A在與W面平行的圓素線上，它將線段的側面投影分為可見和不可見的兩部分。作圖：(1)求特殊點A、B、C

；(2)求線段上的一般點D、E；(3)判斷可見性，連線。(四)圓球體注意：如果線段未標明可見性，則其投影應為對稱的兩支。一、回轉體的投影第14頁/共65頁(五)圓環(huán)體以軸線為鉛垂線的圓錐體為例投影圖：空間分析：最左、最右的素線圓的投影左右分界線圓環(huán)面平行H面的緯圓投影前后分界線最前、最后的素線圓的投影最高、最低的緯圓的投影上下分界線YZXV一、回轉體的投影第15頁/共65頁(五)圓環(huán)體圓環(huán)體的投影特點：

1.在與軸線垂直的投影面上，圓環(huán)體的投影為兩個同心圓，圓心為軸線的投影。

2.在與軸線平行的兩個投影面上，圓環(huán)體的投影為與投影面平行的素線圓的投影（圓）和最高最低緯圓的投影（直線）構成的平面圖形。注意：

1.圓與平面圖形需要用細點畫線畫出對稱中心線，平面圖形的對稱中心線是軸線的投影。

2.圓母線的圓心的軌跡是一個圓，用細點畫線表示。一、回轉體的投影第16頁/共65頁O只能用緯圓法求解;分析：

(2)以O為圓心，12為直徑畫圓，在圓周上求出(a1)、(a2)；例10已知圓環(huán)面上點的正面投影，求其余兩面投影。(五)圓環(huán)體a1'(a2')1'2'12(a1)(a2)a1”a2”

(3)求a1”、(a2”)。

(1)過a1’(a2’)作圓環(huán)軸線的垂線，與圓環(huán)的輪廓線交于1’、2’,求出其水平投影1、2

；作圖：一、回轉體的投影第17頁/共65頁二、回轉體的截交線回轉體截交線投影的作圖方法利用回轉體表面的性質，可以采用素線法和緯圓法求截交線的投影。第18頁/共65頁（一）、平面與圓柱體表面的交線 平面與圓柱表面的交線，因平面與圓柱軸線的相對位置不同而有不同的形狀。

1.當截平面平行于圓柱軸線時，截交線是矩形；PH截平面與底面交線平行于柱軸的直線二、回轉體的截交線第19頁/共65頁

2.當截平面垂直于圓柱軸線時，截交線是一個圓；QV與圓柱等直徑的圓二、回轉體的截交線第20頁/共65頁

3.當截平面傾斜于圓柱軸線且完全與柱面相交時，截交線是一個橢圓，且橢圓的短軸等于圓柱的直徑；橢圓橢圓的短軸與圓柱直徑相等RV第21頁/共65頁 在沒有積聚性的投影面上，截交線的投影一般仍為橢圓。

1)當α＝45°時，截交線的投影是圓；

2)當α＞45°時或α＜45°時，截交線的投影是橢圓。PVαα＜45°QVαα＝45°RVαα＞45°第22頁/共65頁

4.當截平面傾斜于圓柱軸線且與底面相交時，截交線是由直線段和橢圓弧圍成的平面圖線。RV直線段橢圓弧第23頁/共65頁例1求正垂面P與直立正圓柱面的截交線。短軸長軸PV第24頁/共65頁PV分析：

截平面是正垂面，截交線的正面投影與隨正垂面積聚為直線；則其側面投影待求。方法——表面取點法或利用長、短軸作圖。例1求正垂面P與直立正圓柱面的截交線。第25頁/共65頁(1)求特殊點；作圖：PV3”2”1”3'1'(2')4'4”31245'(6')565”6”7'(8')877”8”(2)取一般點；(3)判斷可見性，連線；例1求正垂面P與直立正圓柱面的截交線。第26頁/共65頁例2完成圓柱切口的水平投影和側面投影。分析：

1.空間分析；第27頁/共65頁分析：

1.空間分析；

2.投影分析。例2完成圓柱切口的水平投影和側面投影。第28頁/共65頁作圖：4(3)1(2)2'(3')1'(4')4”1”3”2”最前、最后的素線沒有被截切，仍完整ⅢⅡⅠⅣ(1)標記截交線的頂點；(2)求側平面的水平投影；(3)求ⅠⅡ、ⅢⅣ的側面投影；(4)求圓弧及水平面的側面投影；(5)完成作圖。例2完成圓柱切口的水平投影和側面投影。第29頁/共65頁例3完成帶切口圓筒的水平投影和側面投影。分析：

1.空間分析；第30頁/共65頁分析：

1.空間分析；

2.投影分析。例3完成帶切口圓筒的水平投影和側面投影。第31頁/共65頁ⅡⅠⅣⅢ作圖：ⅥⅤⅧⅦ1'(4')(5')(8')2'(3')(6')(7')4(3)

5

(6)1(2)8(7)1”4”8”5”2”3”7”6”內外圓柱面上最前、最后的素線沒有被截切，仍完整

(1)標記截交線的頂點；

(2)求側平面的水平投影；

(3)求直線ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和ⅦⅧ的側面投影；

(4)求圓弧及水平面的側面投影；

(5)完成作圖。例3完成帶切口圓筒的水平投影和側面投影。第32頁/共65頁1”4”8”5”2”3”7”6”內外圓柱面上最前、最后的素線沒有被截切，仍完整ⅡⅠⅣⅢⅥⅤⅧⅦ作圖：

(1)標記截交線的頂點；

(2)求側平面的水平投影；

(3)求直線ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和ⅦⅧ的側面投影；

(4)求圓弧及水平面的側面投影；

(5)完成作圖。例3完成帶切口圓筒的水平投影和側面投影。1'(4')(5')(8')2'(3')(5')(6')4(3)

5

(6)1(2)8(7)第33頁/共65頁例4完成圓柱切口的水平投影和側面投影。分析：

1.空間分析；第34頁/共65頁分析：

1.空間分析；

2.投影分析。例4完成圓柱切口的水平投影和側面投影。第35頁/共65頁作圖：2'(3')1'(4')1(2)4(3)1”4”3”2”ⅡⅠⅢⅣ(1)標記截交線的頂點；(2)求側平面的水平投影；(3)求ⅠⅡ、ⅢⅣ的側面投影；(4)求圓弧及水平面的側面投影；例4完成圓柱切口的水平投影和側面投影。第36頁/共65頁圓弧側面投影可見2'(3')1'(4')1(2)4(3)1”4”3”2”最前、最后的素線被截切到，已不完整作圖：(1)標記截交線的頂點；(2)求側平面的水平投影；(3)求ⅠⅡ、ⅢⅣ的側面投影；(5)完成作圖。(4)求圓弧及水平面的側面投影；ⅡⅠⅢⅣ例4完成圓柱切口的水平投影和側面投影。第37頁/共65頁例5完成帶切口圓筒的水平投影和側面投影。分析：

1.空間分析；第38頁/共65頁分析：

1.空間分析；

2.投影分析。例5完成帶切口圓筒的水平投影和側面投影。第39頁/共65頁作圖：ⅡⅠⅣⅢⅥⅤⅧⅦ1'(4')(5')(8')

2'(3')(6')(7')1(2)4(3)5(6)8(7)1”4”2”3”8”5”7”6”

(1)標記截交線的頂點；

(2)求側平面的水平投影；

(3)求直線ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和ⅦⅧ的側面投影；例5完成帶切口圓筒的水平投影和側面投影。第40頁/共65頁1”4”2”3”8”5”7”6”作圖：

(1)標記截交線的頂點；

(2)求側平面的水平投影；

(3)求直線ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和ⅦⅧ的側面投影；

(4)求圓弧及水平面的側面投影；ⅡⅠⅣⅢⅥⅤⅧⅦ例5完成帶切口圓筒的水平投影和側面投影。1'(4')(5')(8')

2'(3')(6')(7')1(2)4(3)5(6)8(7)第41頁/共65頁1”4”2”3”8”5”7”6”外圓柱面上圓弧的側面投影可見作圖：

(1)標記截交線的頂點；

(2)求側平面的水平投影；

(3)求直線ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和ⅦⅧ的側面投影；

(4)求圓弧及水平面的側面投影；ⅡⅠⅣⅢⅥⅤⅧⅦ

(5)完成作圖。例5完成帶切口圓筒的水平投影和側面投影。1'(4')(5')(8')

2'(3')(6')(7')1(2)4(3)5(6)8(7)第42頁/共65頁1”4”2”3”8”5”7”6”ⅡⅠⅣⅢⅥⅤⅧⅦ作圖：

(1)標記截交線的頂點；

(2)求側平面的水平投影；

(3)求直線ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和ⅦⅧ的側面投影；

(4)求圓弧及水平面的側面投影；

(5)完成作圖。例5完成帶切口圓筒的水平投影和側面投影。1'(4')(5')(8')

2'(3')(6')(7')1(2)4(3)5(6)8(7)第43頁/共65頁1”4”2”3”8”5”7”6”ⅡⅠⅣⅢⅥⅤⅧⅦ作圖：

(1)標記截交線的頂點；

(2)求側平面的水平投影；

(3)求直線ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和ⅦⅧ的側面投影；

(4)求圓弧及水平面的側面投影；

(5)完成作圖。例5完成帶切口圓筒的水平投影和側面投影。1'(4')(5')(8')

2'(3')(6')(7')1(2)4(3)5(6)8(7)第44頁/共65頁（二）、平面與圓錐表面的交線 平面與圓錐體表面的交線，因平面與圓錐軸線的相對位置不同而有不同的形狀，可能的情況有五種。θ=90°θ＝ααθ＞＞90°0°≤θ＜α過錐頂兩相交直線圓橢圓拋物線雙曲線ααθαθαθ第45頁/共65頁例1求正垂面與直立正圓錐體的截交線。PV分析：

截交線為橢圓；正面投影積聚為直線段，另兩面投影為橢圓的類似形。方法——可通過求類似形橢圓的長、短軸作橢圓投影，也可以利用表面取點法精確作圖。第46頁/共65頁AFECDB例1求正垂面與直立正圓錐體的截交線。PV短軸長軸a'aa”e”f”d”c”b”e'(f')c'(d')b'fecbda'b'中點作圖：

(1)特殊點：最高點A、最低點B、最前點C、最后點D；

(3)一般點；

(2)特殊點：轉向輪廓線上的點E、F；第47頁/共65頁PVa'aa”e”f”d”c”b”e'(f')c'(d')b'fecbd作圖：

(1)特殊點：最高點A、最低點B、最前點C、最后點D

；

(2)特殊點：轉向輪廓線上的點E、F

；

(3)一般點；

(4)判斷可見性，連線。例1求正垂面與直立正圓錐體的截交線。AFECDB短軸長軸a'b'中點第48頁/共65頁 但其側面投影的長、短軸可能互換（如圖b所示），也可能長、短軸相等而為圓（如圖c所示），須視截平面對H面傾角的大小而定。PV(a)(c)PVPV(b) 當截平面為正垂面而截交線又為橢圓時，它的水平投影總是橢圓，并且長軸總是對應著長軸、短軸對應著短軸。第49頁/共65頁d′●c′●e●c●a●d●b●例2:圓錐被正平面截切，補全主視圖。EDCABb′●a′●截交線的空間形狀？截交線的投影特性？e′●第50頁/共65頁 圓球有無窮多條回轉軸線，故它與平面的截交線總是圓。 當截平面為投影面平行面時，截交線的三投影為一個圓與兩條直線段。截平面為水平面截平面為側平面PVQV第51頁/共65頁 當截平面為投影面垂直面時，截交線的三投影為一條直線段（積聚性投影）與兩個橢圓（類似性投影）。RH5”11'25(6)3(4)7(8)3'4'6'8'7'5'2'2”7”8”6”4”1”3”線段的中點作圖：(1)求素線圓上的點；(2)求最高最低點；(3)求一般點；(4)判斷可見性，連線。第52頁/共65頁RH5”125(6)3(4)7(8)3'4'6'8'7'5'2'2”7”8”6”4”1”3”作圖：(1)求素線圓上的點；(2)求最高最低點；(3)求一般點；(4)判斷可見性，連線。 當截平面為投影面垂直面時，截交線的三投影為一條直線段（積聚性投影）與兩個橢圓（類似性投影）。1'線段的中點第53頁/共65頁例1完成半球切槽的水平投影和側面投影。分析：

切槽由一對側平面和水平面組成，截平面與圓球面的交線都是圓。方法——緯圓法。（三）平面與圓球體表面的交線第54頁/共65頁分析：

切槽由一對側平面和水平面組成，截平面與圓球面的交線都是圓。方法——緯圓法。例1完成半