6多自由度體系微振動(dòng)

多自由度系統(tǒng)的微振動(dòng)內(nèi)容：?振動(dòng)概括兩個(gè)自由度守舊系的自由振動(dòng)難點(diǎn)：?多自由度的自由振動(dòng)n個(gè)自由度守舊系的自由振動(dòng)簡(jiǎn)正坐標(biāo)和簡(jiǎn)正振動(dòng)要點(diǎn)：?兩個(gè)自由度的自由振動(dòng)簡(jiǎn)正坐標(biāo)難點(diǎn)：多自由度的自由振動(dòng)振動(dòng)現(xiàn)象在宏觀的工程技術(shù)中和微觀領(lǐng)域（如固體物理中的晶格.光學(xué)中的分子振動(dòng)光譜等）中廣泛存在。本章議論多自由度系統(tǒng)微振動(dòng)的一般辦理方法和微振動(dòng)在物理上的應(yīng)用。6.1振動(dòng)槪述（1）振動(dòng)的分類(lèi)按系統(tǒng)的能量變化狀況可把振動(dòng)分為自由振動(dòng)（機(jī)械能守恒）、阻尼振動(dòng)（機(jī)械能不停轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮埽┖捅破日駝?dòng)（不停從外界獲取能量）三類(lèi)，其運(yùn)動(dòng)微分方程是同一種種類(lèi)的。按系統(tǒng)的自由度區(qū)分，振動(dòng)分為單自由度振動(dòng)、有限多自由度振動(dòng)和無(wú)窮自由振動(dòng)三類(lèi)。

度按微分方程的種類(lèi)，振動(dòng)分為線性振動(dòng)和非線性振動(dòng)兩類(lèi)。（2）線性振動(dòng)觀點(diǎn)凡力學(xué)系統(tǒng)在均衡地點(diǎn)鄰近作微振動(dòng)（振幅很?。?，只考慮一級(jí)（最低

級(jí)）近似時(shí)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為線性方程，這類(lèi)振動(dòng)都屬于線性振動(dòng)。（3）力學(xué)系統(tǒng)均衡地點(diǎn)的性質(zhì)均衡地點(diǎn)的三種狀況：如圖6.1所示圖6.1(a)(c)(a)穩(wěn)固均衡假如在某一地點(diǎn)，守舊系的勢(shì)能有嚴(yán)格的極小值，則此地點(diǎn)是系統(tǒng)的穩(wěn)一守系均衡地點(diǎn)穩(wěn)固性拉格朗日定理，即

定均衡地點(diǎn)空=0空0~dq='W>(自由度為1)(6.1)Ld2v、2O2Vd2vt心+曲斗"-(—~-—)--------2—vl(自由度為2)(6.2)創(chuàng)1創(chuàng)2dqt2dq22d2Vnd2Vn—>0,—>0創(chuàng)2不穩(wěn)固均衡勢(shì)能在均衡地點(diǎn)取極大值時(shí)為不穩(wěn)固均衡。隨遇均衡勢(shì)能在均衡地點(diǎn)為常數(shù)時(shí)為隨遇均衡。6.2兩個(gè)自由度守舊系的自由振動(dòng)拉格朗日方程(6.1)設(shè)系統(tǒng)的兩個(gè)廣義坐標(biāo)為小、X-則系統(tǒng)的拉格朗日方程為對(duì)于均衡地點(diǎn)鄰近的微振動(dòng)、系統(tǒng)的拘束是穩(wěn)固的，動(dòng)能必為廣義速度的二次齊次式，ddTdV即=0dtdxtdxxT=￡￡每丘禺dT=￡+2(已知時(shí)2幾丘2+422站)(6.2)z|J=1dtdx2Zdxx此中A-.是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，且每(旺,兀2)=每(兀1宀)勢(shì)能僅是廣義坐標(biāo)的函數(shù)V=V(x1,x2)為了簡(jiǎn)化和近似，廣義坐標(biāo)零點(diǎn)取均衡地點(diǎn)上，將財(cái)g宀)和T中的A,(xnx2)在均衡地點(diǎn)用泰勒級(jí)數(shù)睜開(kāi)2av21a2vV(x.,x2)=v(o,o)+X(|-)o七+Z廳(/^~)。Fj+嚴(yán))(6.3)1=1OXi|J=1乙OXjOXJ9x2)=4( )(0,0)+2^(J)( )x-+???(6.4)i-ioxi(6.3)式中的(**)是七三次以上的項(xiàng)。假如保存到最低階的非零小量,(6.3)式可簡(jiǎn)化為]21Q2y],TZKxiXj=-(bilx^+2bi2xlx2+b22xi(6.5)2/j=i2oxvox22d2V式中如只麗訃嚴(yán)bjj,是常數(shù)。QV思慮：(6.3)式中為什么可略去(**)項(xiàng)和取Vo(0,0)=0,(―)0=0?動(dòng)能T的表式中也只需保存到二級(jí)小量，故含^心”勺)只取零級(jí)近似即可。A^(xnx2)=Ay(0,0)—dij12]???T(ai+2?12^1^2+a22^2)Z"=oz式中aij=a＞也都是常數(shù)。將(6.5)和(6.6)代入(6.1)得?11^1+。12丘2+〃11+兀1〃12“2=°(6.7)(6.8)■“21丘1+“222+^2IX1+^22X2=。丘或￡(勺匕+対勺)=01=1,27=1上式為兩個(gè)自由度守舊系的自由振動(dòng)微分方程，是一個(gè)二階常系數(shù)線性齊次微分方程組。微分方程的解?頻次方(久程期方程)用慣例方法求解。設(shè)(6.7)式的解為=Ajsinfex+a)(6.9)[x2=A2sin((ot+a)將(6.9)式代入(6.7)得■Ax{bxj-at|<t>2)+A2(d12-al2a)2)(6.10)=0A(^21)+A2(b22^a22CD2)(6.11)=0由此得x1=x2=0,對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的均衡狀態(tài),不是所需要的解。由（6.10）知：已=4=0,要或使（6/10）中的仏必2有異于零的解，方程的系數(shù)行列式一定為零，因a2l=al29b2l=bl29得，￡Aj(bfj-a^o2)=0,i=1,2^11-?11^2久2-412莎bl2-al2(o2b22-a22a)2=(打1-al}a)2)(h22-a22a)2)-(bl2-al2a)2)2=0(6.12)（方程6.12）稱(chēng)為頻次方程（或久期方程）。能夠證明它恒有兩個(gè)正的實(shí)根。設(shè)為亦和依據(jù)線性方程的原理，經(jīng)過(guò)計(jì)算得方程（6.7）的通解為xt=Ajsiii⑷]/+?!)+A；<2,sin((y2r+a2)x2=“J1)sin仞』+Q])+“『a；⑵in(<y2/+a2)(6.13)s式中四個(gè)常數(shù)⑵心a?由初始條件y（0）,X2（0W°），丘2（°）決定。若兩個(gè)正根相等（正等根）：2=?=血血，則通解為x{=Ajsintat+a,)x2(6.14)=A2sin(trf+a2)(5)4)［例1］兩個(gè)同樣的單擺耦合成雙單擺。求系統(tǒng)微振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：自由度為2,取G和2為廣義坐標(biāo)代T=-ml2(20^+^+2&Q)(2)V=^mgl(20l+0l)(1)20+G2+2^GX=0XOx+&2+于&2=0式的特解為GxO2

=Ajsin做=A2sin(<af

+a)+a)2(孚/)代入(2)得亦=孚(2—血)，喝；(2+Ji)2(-—a)2)Al-a)2A2=0—CD2Al+(y—<W2)A2=0要使上式的合,％有不恒為零的解，一定由(5)得亦=孚(2—血)，喝；(2+Ji)［例將(6)代入(4)中的任一式得振幅比值2］試求如=—V2(7)這里￡”胡2)忍;。忍；2)為方程(4)的根，于是兩個(gè)特解即可確立，兩個(gè)特解的線性疊加即得逋解0i=Ajhsin仞“+?!)+A；2)sin⑷2(+a2)02=V2A；bsin^j/+?!)-V2A；2>sln(o2/+a2)將(1)常數(shù)斗y“5由初始條件決定。代入mx{=—2kx{+kx2(2)mx2=kx\—2kx2(3)引進(jìn)兩個(gè)新的坐標(biāo)務(wù)=曲+兀2，彳2=勺-兀2分別將(2)和(3)相加減，得靳+—=0m由此得S和乞振動(dòng)模式的頻次分別為3\=Jklm和a)2=>J3k/in6.3n個(gè)自由度守舊系統(tǒng)的自由振動(dòng)拉格朗日方程將系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能在均衡地點(diǎn)睜開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)保存到二級(jí)小量，得(6.15)rJ=1代入拉格朗方程，得(6.16)2X再+館勺=0,>=|<2)振動(dòng)規(guī)律(拉格朗方程的通解)i=1,2(6.17)i=12,〃(6.18)九-a3bln-s"=°(6.19)■hnn一％/上式是對(duì)于血彳的n次多項(xiàng)式，有n個(gè)根血；(/=1,2,，“)且都是正的實(shí)根。振幅比：將斫代入(6.18)式，把已看作已知的，而后已知對(duì)5?1)個(gè)血,A.,4求解，可得鑼=“；你：力，型=“酬力,“，砒：(6.20)=y)A"這些“嚴(yán)都是常數(shù)，共有n(n-1)個(gè)。方程(6.16)的一個(gè)特解為Xj=A-J}sin(fi)/+ai=1,2,,〃(6.21)力學(xué)系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)可有多種選用方式,xi=》Ay)sin(dy+a‘)廣義簡(jiǎn)單求解。以雙單擺為例。方程若選用0和§2為廣義坐標(biāo)：(6.22)

拉格朗日方(6.程24)很(6.22)6.4簡(jiǎn)振坐標(biāo)和簡(jiǎn)正振動(dòng)(6.23)由此T=iw/2(2Q：+20tO2+e\)這些特解的線性疊加即為通解:、迂TTITI(6.25)“2=0明顯代入拉格朗日方程，得q}=sin(?f+a〕)q2(6.26)=A2sin0>2^+?2)(6.27)此中=7所以，在辦理線性振動(dòng)問(wèn)題假如所選用的廣義坐標(biāo)能使T和V同時(shí)成為廣義速度和廣義坐標(biāo)。的平方和的形式■7=+（礙1°+。220+，+?"価、2（6.28）=￡（也1詬+方22彳；+???+，〃""?：）則代入拉格朗方程得幻1@1+*1191=0“22022+〃22?2=°(6.29)其解選用這類(lèi)能使T和V=同時(shí)表示為幺和彳(6.30)A]Sin(2bnna；=■%簡(jiǎn)正坐標(biāo)。簡(jiǎn)正坐標(biāo)描繪了系統(tǒng)在振動(dòng)過(guò)程中只以一個(gè)頻次振動(dòng)，其他頻次的振動(dòng)沒(méi)有激這類(lèi)以單調(diào)頻次的振動(dòng)模式稱(chēng)為簡(jiǎn)正振動(dòng)式本征振動(dòng)。系統(tǒng)的任一種振動(dòng)狀態(tài)簡(jiǎn)正振動(dòng)的線性疊加。

發(fā)，,則是各樣6.5解題指導(dǎo)（1）

習(xí)題種類(lèi)基本解法本章習(xí)題的基本種類(lèi)是已知系統(tǒng)所受的力及運(yùn)動(dòng)的某些條件，期和振動(dòng)方程（規(guī)律）。

求系統(tǒng)振動(dòng)頻次、周基本解法：先應(yīng)用拉格朗日方程成立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，而后解

方程。（2）

典范弦的平分點(diǎn)上三個(gè)同樣質(zhì)點(diǎn)m的振動(dòng)（P.181［例］）解：弦的伸長(zhǎng)量AZ為A/=［yjyi+a2+yjtyi-yj2+a2+JgfF+a?+&+，］-滋冬［（也尸+（生二+（也一灼2+（塁.）2］4aaaa（1）弦的T=如(卅+將T、V代入拉格朗日方程得吋i+—(2幾一丿2)=。aF“乃九+(2―力一兒一兒)=0a+—(2j3-^2)=0a設(shè)(2)式的特解為Ji=Aisin(cot+a)“J2=A2sin(fiX+a)j3=A^sintcot+a)將(3)代(2),并引入0=2，得〔處(血2一2戸)+Az戸一0合戸+缶“一人0=020)+A’0+—20)=0式有不為零的解的條件是/-2000=(a)2一20)3“一4戸㈢$+20血2一2戸0戸2)=o00CD2-2/3它的三個(gè)根為

(2)(3)(4)=(2—y/2)J3?；=20(6)宓=(2+血)0將（6）式中的血心；,/分別代入（4）式中的隨意兩式，可得振幅關(guān)系:A；。=_》（亦一20）舊）=v2A；n(7)A；n=-一