不定積分求解方法

不定積分求解方法(總14頁)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-CompanyOne1-CAL-本頁僅作為文檔封面，使用請直接刪除#探討不定積分的解題方法班級 學(xué)號 姓名51楊潔珊摘要在數(shù)學(xué)分析中，不定積分占有非常重要的地位，是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn)．具有很高的靈活性，可以開拓學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維能力，同時(shí)還存在一題多解的方法使學(xué)生能過做到舉一反三、觸類旁通的教學(xué)效果。為了正確使用各種積分方法求解不定積分，我們必須掌握它的概念和性質(zhì)以及積分的基本公式，才能夠在以后的解題中做題自如，進(jìn)行同類遷移。研究不定積分要重在提高自己的邏輯思維能力、科學(xué)分析能力、運(yùn)用數(shù)學(xué)語言能力、聯(lián)想運(yùn)算能力以及應(yīng)用能力。求解不定積分的過程對學(xué)生的科學(xué)思維和文化素質(zhì)的培養(yǎng)所起的作用極為明顯。求解不定積分的方法主要有直接積分法（即直接利用積分公式求解）、換元積分法（第一換元積分法、第二換元積分法）、分部積分法。關(guān)鍵詞不定積分、直接積分法、換元積分法、分部積分法、分解積分法。前言正如假發(fā)有逆運(yùn)算減法，乘法有其逆運(yùn)算除法一樣，微分法也有它的逆運(yùn)算——積分法。我們已經(jīng)知道微分法的基本問題是研究如何

從已知函數(shù)求出它的導(dǎo)函數(shù)，相反：求一個(gè)未知函數(shù)使其導(dǎo)函數(shù)恰好是某一已知函數(shù)。提出這個(gè)逆問題，首先是因?yàn)樗霈F(xiàn)在許多實(shí)際問題之中，如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲線上每一點(diǎn)處的，求曲線方程等等這些都是積分在生活中的應(yīng)用，特別是在物理學(xué)中的應(yīng)用，變力做功，質(zhì)點(diǎn)做變速直線運(yùn)動(dòng)的路程以及引力問題。所以掌握不定積分的求法，在我們的數(shù)學(xué)物理科學(xué)研究工作中顯得尤為重要。標(biāo)題一、直接積分法我們已經(jīng)知道積分法是微分的逆運(yùn)算，即直接積分法就是利用最基本的積分公式求解積分。要掌握這一方法首先就應(yīng)該熟記，并懂得靈活運(yùn)用。下面的基本積分表就必須掌握1.J0dx=cJadx=ax+c23.Jxadx=篙3.Jxadx=篙+c(a豐0,x>004J1dx―InIxI+c5.ex—ex+cax.Jaxdx—+c(a>0,a中1)Inx

.Jcosaxdx-1sinax+cJsinaxdx--￡cosax+c（a中0）aJsec2xdx=tanx+c（a中0）.Jcsc2xdx-tanx+c.Jsecxtanxdx—secx+c.Jcscxcotxdx——cscx+cdx. … _.J-arcsinx+c--arccosx+cJ1—x2dx.dx=arctanx+c--arccotx+c+x215.Jdxx2—15.Jdxx2—a22aInII+cx+a16.Jsecxdx-InIsecx+tanxI+c在實(shí)際計(jì)算中最重要的是要把復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為熟悉的積分公式，如下幾種情況⑴.假分式化為真分式方法：分母不改變，對分子進(jìn)行拼湊，轉(zhuǎn)化為真分式。例：9.sina+sinP=2sincos10.sina-sinP=2sincos11.cosa+cosP=2coscos12.cosa-cosP=2sinsmJsin2Azzx例i：求Jsin2；oalsin2x+c4解：lsin2x+c41-cos2x. ax2（利用到公式7）例2例2：求cos3xsinxdx<1,1-_cos4x+_sin2x+c<1,1-_cos4x+_sin2x+cJcos3xsinxdx=1J(sin4x-sin2x)dx=2標(biāo)題二、換元積分法所謂不定積分的換元法，其實(shí)質(zhì)就是：當(dāng)直接求某個(gè)積分不能轉(zhuǎn)化為積分公式時(shí)，則通過換元轉(zhuǎn)化。?定義：設(shè)函數(shù)f(X)在區(qū)間/上有定義，3(t)在在區(qū)間J上可導(dǎo)，且p(J)qI。(1)、第一換元法：如果不定積分If(X)x=F(X)dx+c在I上存在，則不定積分If(p(t?,(t)dt在J上也存在，且If(3(t?(t)dt=F(3(t))+c。該方法的基本思路是把所求的被積函數(shù)通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q后，化成積分公式中的某一被積形式，然后代入積分公式求出結(jié)果，所以，也稱為“湊微分法”?；静襟E是湊微分-換元-積分-回代。(2)、第二換元法：如果x=^(t)在J上存在反函數(shù)t=吸(x)，xeI，且不定積分ff(x)dx在I上存在，則當(dāng)不定積分ff(x^dix=GGt(x))+C。基本步驟：換元-積分-回代。Jf(x)dx—換元(令x=Mt))Jm(t)前t)dt積分>F(t)+c—回代=1 >F[。-1(x)]+c?要掌握換元法關(guān)鍵在于能夠判斷是用哪一種，或許兩種還換元都可以，學(xué)會(huì)判斷，總結(jié)才是真正能夠運(yùn)用著一方法的精髓。下面將對經(jīng)常遇到的情況進(jìn)行總結(jié)。?第一換元法的應(yīng)用⑴“湊”：將被積函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)直接與dx湊成微分形式;例：求J2xex2dx.分析：其中2x與ex湊成微分形式。解：J2xex2dx=jex2d(2)令u=x則jex2dQ)=Jeudu=eu+c將u=x2回代，則eu=ex2,所以j2xex2dx=ex2+C(2)變形后再“湊”，有些積分通過恰當(dāng)?shù)淖冃?加、減、乘、除某些因子)后，可以使用湊微分法。例：dx求x2Jx2-1dxdx（一

換兀L]

x)J-u/=J_ _dudxdx（一

換兀L]

x)J-u/=J_ _duJ1-U2=J1-U2+C(回代)?第二換元積分法的應(yīng)用般地采用第二換元積分法的情形：被積函數(shù)中含有根式，目的是去掉根號。du例1：求⑴解：為去掉被積函數(shù)中的根式，取根的次數(shù)2與3的最小公倍數(shù)6,并令U=x6，則可把原來的不定積分化為簡單有理式的積分。解：du產(chǎn)十dx6X5X3+X2=6產(chǎn)十dx6X5X3+X2=6X31\7+1一EJdxX22、+x-InIx+11J二2二2——3y+6ejuJdx例2：求Jx2—a2⑵—6lnI6jw+11+C兀兀2（同理可考慮t<0的情況）于是有解.令x_asect,0<t<JdxJx2-a2dt=Jsectdt_Jasecdt=Jsectdtatant=InIsect+tan11+Cx Jx2—a2借助直角三角形，便于求出sect_-,tant_l—，故得aa

dxx,xJx2—a2,cJ =Inl_+上 I+C.Jx2一a2 aa=InIx+個(gè)x2一a2I+Cx=ax=atanudxJ\a>'a2+x2.J-Ja2-x2dx(a>0)令x=asint,ltK藍(lán)3?Jt~~)(a>0)令x=asint,l11<—(x2+a2) 2標(biāo)題三：分部積分法?定義：若U?定義：若U(x)與"(x)可導(dǎo)，不定積分JU'(xMx)dx存在Ju(x，'(x)dx則也存在，并有Ju(x)'(x)dx=u(x)v(x)-Ju'(x>(x)dx。?意義：我們知道直接積分法是求積分的基本方法，換元積分法是求積分的重要方法，若這兩種方法均不能得出結(jié)果，就考慮分部積分法。該方法是化簡被積函數(shù)為可積形式的重要而有效的方法，可看成微分學(xué)中兩個(gè)函數(shù)乘積運(yùn)算的逆運(yùn)算。該積分法使用的范圍是兩種不同類型函數(shù)乘積形式的不定積分。其主要用于解決被積函數(shù)是兩種初等函數(shù)的乘積或單一個(gè)函數(shù)(對數(shù)函數(shù)。反三角函數(shù)，初等函數(shù))的不定積分。⑶利用此公式求積分的基本步驟是：Jf(x)dx-分解f(x)=uv'>Juv'dx—湊微分>Judv(x)d

.f(x)dx-分帔(x)=沈J>Juvfdx-湊微分>—分部積分公式>uv-Jvdu―求微分>uv-Jvufdx—基本積分公式>uv-F(x)+cJudv(x)d?基本類型：(1)降冪類型：求取sinx,x〃cosx，等xnex類型函數(shù)的不定積分時(shí)，可用分部積分法使xn逐漸降冪，即令xn二u。Jx2cosxdx則有u則有u'=2x,v=sinxu人u=x2,v=cox解：令 ， ，求得Jx2cosxdx=x2sinx-2Jxsinxdx再令u=x,v=sinx，則有u；=1，v=cosx，解得Jx2cosxdx=x2sinx-2xcccox-Jcosxdx)=x2sinx一2xcox+2sinx(2)升冪類型：xnarctanx,xnInx,xnarcsinx求 等類型函數(shù)的不定積分時(shí)，一般使用升冪法，令v'=xn。,」x3lnxdx例：求 ⑷

則有X4解.令u-lnx,v'=x3則有X4Jx3lnxdx-fInxd1(4lnx-fx3dx)=x，(4lnx一1)+C4 T6(3)超越函數(shù)?超越函數(shù)型exexsinx,excox般有等，使用循環(huán)法(4)冪函數(shù)型般使用遞推法，求出遞推公式。J-Jcosnxdx般使用遞推法，求出遞推公式。如n ，例:導(dǎo)出不定積分In=J；1——ddX(n為正整數(shù))的遞推公式。1-x2解：I-J—I-J—n"xnI-Jxn-1dl，J1-x2n——x——xn-1\：T-x2+(n-1)Jxn-2J1-x2dx--xn--xn-1,'T-x2+(n-1)Jxn-2(1-x2) dxJI-x2——xn-1 7T — x2 + (n - 1)J x"一 %二dx\:1-x2--xn一1--xn一1%：'1-x2+(n-1)Jxn-2xndxxn-1弋1-x2+(n-1)I-(n-1)In-2 n由此得到遞推公式

」x」x〃-1、廠互+匕In-2標(biāo)題四：分解積分法⑸如果不定積分X」f（x）dx按一般方法求較復(fù)雜,而把X作分解,分解成的輔助積分X,x,x……X有r個(gè)線性組合易積分,那么復(fù)雜的求123 r不定積分問題就轉(zhuǎn)變成簡單的積分和解線性方程組的問題,這時(shí)分解積分法就起到了化繁為簡的作用。sinx+2cosx癡IJ cdx例：2sinx+3cosxsinx+2cosx解：令*-J2-x+3cosxdxsinx2sinx+3cossinx2sinx+3cosxdxXJ 'osx dx22sinx+3cosx那么2X1+3X22sinx+3cosx—J dx-x+C(1)2sinx+3cosx-3X+2X122cosx-3X+2X122sinx+3cosx=J dx=lnI2sinx+3cosxI+C2sinx+3cosx由3(1)-2(2)得，13X-3x+2lnI2sinx+3cosxI+C223 2 3C+2CTOC\o"1-5"\h\z即X—-X+—lnI2sinx+3cosxI+_i 2即2 13 13 13再由2（1）-3（2）得，13X-2x-2lnI2sinx+3cosxI+3C+2C1 122 2 3C+2CX—-x-—lnI2sinx+3cosxI+1 即1 13 13 13 8 1 ( 8c+C)TOC\o"1-5"\h\z即可得X=X+2X=一x+一InI2sinx+3cosxl+C,C=—i 2i2 13 13 I13 )總結(jié)：從上述例題可以看出，實(shí)際上分解積分法的求解思路,可用于任何求解題中，只要把其中的X看作所求量X,X,X……X看作分X123 r解出的相應(yīng)量即可。結(jié)束語對于一些簡單的基本的不定積分，我們可以通過基本的積分公式直接進(jìn)行求解。對于難以直接用基本積分公式的積分，我們有第一類換元積分法和第二類換元積分法，分部積分法以及分解積分法。對于某些特殊類型的不定積分，如一些有理函數(shù)的和可以化為有理函數(shù)的不定積分，無論不定積分有多么復(fù)雜，我們都可以按照一定的步驟求解。對于有理函數(shù)的不定積分，我們可以用待定系數(shù)法把它拆成一些分式的和，再按照基本積分公式求解；對于高階的積分，我們可以運(yùn)用多次分部積分法遞推公式，也可以通過一些公式代換將它化為有理函數(shù)的不定積分，但在具體計(jì)算時(shí)，應(yīng)根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)而采用簡單靈活的代換；一些無理根式的不定積分，可以運(yùn)用換元法