正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)【知識(shí)精講精研+能力培優(yōu)提升】高中數(shù)學(xué)

5.4.2

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

復(fù)習(xí)x6yo--12345-2-3-41x6o--12345-2-3-41y余弦函數(shù)的圖象正弦函數(shù)的圖象-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxyxyO1-1y=cosx探究：根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，你能說出它們具有哪些性質(zhì)嗎？性質(zhì)1：正、余弦函數(shù)的定義域均為_____.性質(zhì)2：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域均為_________.性質(zhì)3：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)具有周而復(fù)始的變化規(guī)律.觀察上圖,正弦曲線每相隔

個(gè)單位重復(fù)出現(xiàn)..誘導(dǎo)公式其理論依據(jù)是什么？-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxy當(dāng)自變量x的值增加2π的整數(shù)倍時(shí)，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn).數(shù)學(xué)上，用周期性這個(gè)概念來定量地刻畫這種“周而復(fù)始”的變化規(guī)律.1、函數(shù)的周期性1.對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)

，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的

值時(shí)，都有

，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，

叫做這個(gè)函數(shù)的周期.2.如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)

，那么這個(gè)最小正數(shù)叫做f(x)的

.2、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性由sin(x＋2kπ)＝

，cos(x＋2kπ)＝

(k∈Z)知，y＝sinx與y＝cosx都是

函數(shù)，

都是它們的周期，且它們的最小正周期都是

.非零常數(shù)T每一個(gè)f(x＋T)＝f(x)非零常數(shù)T最小的正數(shù)最小正周期sinxcosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2π一、周期性的探究函數(shù)的周期性對(duì)于研究函數(shù)有什么意義？對(duì)于周期函數(shù)，如果我們能把握它的一個(gè)周期內(nèi)的情況，那么整個(gè)定義域內(nèi)的情況也就把握了.這是研究周期函數(shù)的一個(gè)重要方法，即由一個(gè)周期的情況，擴(kuò)展到整個(gè)函數(shù)的情況.一般地，函數(shù)（其中）的最小正周期

.二、奇偶性探究1.觀察正弦曲線和余弦曲線的對(duì)稱性，你有什么發(fā)現(xiàn)？xyo--1234-2-31正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)o對(duì)稱yxo--1234-2-31余弦曲線關(guān)于軸對(duì)稱2.根據(jù)圖象的特點(diǎn)，猜想正余弦函數(shù)分別有什么性質(zhì)？如何從理論上驗(yàn)證？sin(-x)=-sinx(xR)

y=sinx(xR)是奇函數(shù)cos(-x)=cosx(xR)

y=cosx(xR)是偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱三、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性1.對(duì)于y＝sinx，x∈R，恒有sin(－x)＝－sinx，所以正弦函數(shù)y＝sinx是

函數(shù)，正弦曲線關(guān)于

對(duì)稱.2.對(duì)于y＝cosx，x∈R，恒有cos(－x)＝cosx，所以余弦函數(shù)y＝cosx是

函數(shù)，余弦曲線關(guān)于

對(duì)稱.奇原點(diǎn)偶y軸判斷函數(shù)奇偶性應(yīng)把握好兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)鍵點(diǎn)一：看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；關(guān)鍵點(diǎn)二：看f(x)與f(－x)的關(guān)系.對(duì)于三角函數(shù)奇偶性的判斷，有時(shí)可根據(jù)誘導(dǎo)公式先將函數(shù)式化簡后再判斷.四、單調(diào)性探究1.當(dāng)時(shí)，正弦函數(shù)在哪些區(qū)間上是增函數(shù)？在哪些區(qū)間上是減函數(shù)？xyo--1234-2-31y=sinx增區(qū)間:減區(qū)間：xyo--1234-2-31y=sinx2.由上面的正弦曲線你能得到哪些正弦函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間？怎樣把它們整合在一起？增區(qū)間：減區(qū)間：周期性xyo--1234-2-31y=sinx3.正弦函數(shù)有多少個(gè)增區(qū)間和減區(qū)間？觀察正弦函數(shù)的各個(gè)增區(qū)間和減區(qū)間，函數(shù)值的變化有什么規(guī)律？正弦函數(shù)有無數(shù)多個(gè)增區(qū)間和減區(qū)間.在每個(gè)增區(qū)間，函數(shù)值從增大到，在每個(gè)減區(qū)間，函數(shù)值從減小到.

正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間上都是增函數(shù)，其值從-1增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間上都是減函數(shù)，其值從1減小到-1.在每個(gè)區(qū)間______________________上都是減函數(shù)，

yxo--1234-2-31在每個(gè)區(qū)間______________________上都是增函數(shù)，其值從____增大到____其值從____減小到____4.余弦函數(shù)可以得到怎樣相似的結(jié)論呢？正弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)______________時(shí)取得最大值___當(dāng)且僅當(dāng)_____________時(shí)取得最小值___五、最大值和最小值探究xyo--1234-2-31余弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)______________時(shí)取得最大值___當(dāng)且僅當(dāng)_____________時(shí)取得最小值___yxo--1234-2-31函數(shù)y=sinxy=cosx圖形定義域值域最值單調(diào)性奇偶性最小正周期對(duì)稱性1-1時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)1-1對(duì)稱軸：對(duì)稱中心：對(duì)稱軸：對(duì)稱中心：奇函數(shù)偶函數(shù)題型一三角函數(shù)的周期性例1

求下列函數(shù)的最小正周期.(2)y＝|sinx|(x∈R).跟蹤訓(xùn)練1

下列函數(shù)是以π為周期的函數(shù)是A.y＝sinx B.y＝sinx＋2C.y＝cos2x＋2 D.y＝cos3x－1方法總結(jié)求三角函數(shù)周期的方法(1)定義法,即利用周期函數(shù)的定義求解.(3)觀察法,即通過觀察函數(shù)圖象求其周期.提醒:y=|cosx|與y=|sinx|均是周期為π的周期函數(shù),而y=cos|x|是周期為2π的周期函數(shù),y=sin|x|則不是周期函數(shù).補(bǔ)充例題:已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＋f(x)=0，試判斷f(x)是否為周期函數(shù)？解：由已知有：f(x＋2)=-f(x)∴f(x+4)=∴由周期函數(shù)的定義知，f(x)是周期函數(shù).f(x)=-[-f(x)]=-f(x＋2)f[(x＋2)+2]=即f(x＋4)=f(x)題型二三角函數(shù)的奇偶性例2

判斷下列函數(shù)的奇偶性.解f(x)＝sin2x＋x2sinx，∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)＝－sin2x－x2sinx＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù).∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).跟蹤訓(xùn)練2

判斷下列函數(shù)的奇偶性.解顯然x∈R，f(x)＝－sin2x，f(－x)＝－sin(－2x)＝sin2x＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù).(2)f(x)＝lg(1－cosx)＋lg(1＋cosx).解得定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠kπ，k∈Z}，所以f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又因?yàn)閒(x)＝lg(1－cosx)＋lg(1＋cosx)，所以f(－x)＝lg[1－cos(－x)]＋lg[1＋cos(－x)]＝lg(1－cosx)＋lg(1＋cosx)＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù).方法總結(jié)(1)判斷函數(shù)奇偶性時(shí),必須先檢查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,如果是,再驗(yàn)證f(-x)是否等于-f(x)或f(x),進(jìn)而判斷函數(shù)的奇偶性;如果不是,則該函數(shù)必為非奇非偶函數(shù).題型三三角函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用解∵f(x)的最小正周期是π，又∵f(x)是R上的偶函數(shù)，(1)求當(dāng)x∈[－π，0]時(shí)，f(x)的解析式；解因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x).f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sinx.所以f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sinx.所以當(dāng)x∈[－π，0]時(shí)，f(x)＝－sinx.(2)畫出函數(shù)f(x)在[－π，π]上的簡圖；解如圖.又f(x)的周期為π，題型四

正余弦函數(shù)的對(duì)稱性

練習(xí)：導(dǎo)與練方法總結(jié)題型五求正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是∵z是x的一次函數(shù)，∴要求y＝－2sinz的單調(diào)遞增區(qū)間，即求sinz的單調(diào)遞減區(qū)間，方法總結(jié)(3)當(dāng)A<0時(shí),要注意單調(diào)區(qū)間的變化,謹(jǐn)防將增區(qū)間與減區(qū)間混淆.題型六利用正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小例6

利用三角函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大小.(1)sin196°與cos156°；解sin196°＝sin(180°＋16°)＝－sin16°，cos156°＝cos(180°－24°)＝－cos24°＝－sin66°.∵0°<16°<66°<90°，且y＝sinx在0°≤x≤90°時(shí)是增函數(shù)，∴sin16°<sin66°，從而－sin16°>－sin66°，即sin196°>cos156°.練習(xí)：導(dǎo)與練方法總結(jié)(2)不同名的函數(shù)化為同名的函數(shù).(3)自變量不在同一單調(diào)區(qū)間化至同一單調(diào)區(qū)間內(nèi),借助正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性來比較大小.跟蹤訓(xùn)練5

比較下列各組數(shù)的大小.(2)cos870°與sin980°.解cos870°＝cos(720°＋150°)＝cos150°，sin980°＝sin(720°＋260°)＝sin260°＝sin(90°＋170°)＝cos170°，因?yàn)?°<150°<170°<180°，y＝cosx在0°<x<180°時(shí)是減函數(shù)，所以cos150°>cos170°，即cos870°>sin980°.題型七正弦、余弦函數(shù)的值域或最值[例8]求下列函數(shù)的最值,并求函數(shù)取最值時(shí),相應(yīng)x的值.反思感悟一般函數(shù)的值域求法有：觀察法、配方法、判別式法、反比例函數(shù)法等.三角函數(shù)是函數(shù)的特殊形式，一般方法也適用，但要結(jié)合三角函數(shù)本身的性質(zhì).常見的三角函數(shù)求值域或最值的類型有以下幾種：(1)形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函數(shù)，令t＝ωx＋φ，根據(jù)題中x的取值范圍，求出t的取值范圍，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性求出y＝sint的最值(值域).(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sinx，將函數(shù)y＝asin2x＋b