矩陣論同步學(xué)習(xí)輔導(dǎo) 張凱院 西北工業(yè)大學(xué)出版社

矩陣論同步學(xué)習(xí)輔導(dǎo)(習(xí)題與試題精解)張凱院徐仲編西北工業(yè)大學(xué)出版社圖書在版編目(CIP)數(shù)據(jù)矩陣論同步學(xué)習(xí)輔導(dǎo)/張凱院,徐仲編.—西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2002.8ISBN7-5612-1542-8Ⅰ.矩?Ⅱ.①張?②徐?Ⅲ.矩陣-理論-高等學(xué)校-教學(xué)參考資料Ⅳ.0151.21中國版本圖書館CIP數(shù)據(jù)核字(2002)第062114號出版發(fā)行:西北工業(yè)大學(xué)出版社通信地址:西安市友誼西路127號郵編:710072電話址:印刷者:印刷廠開本:850×1168mm32印張:字?jǐn)?shù):版次:2002年8月第1版2002年8月第1次印刷印數(shù):1～定價(jià):元內(nèi)容簡介】本書由兩部分內(nèi)容組成。第一部分按照程云鵬等編的(第2版)的自然章節(jié),對矩陣論課程的基本概要結(jié)論和常用方法做了簡明扼要的分類總結(jié),對各章節(jié)的課后習(xí)題做了詳細(xì)的解答;第二部分收編了近年來研究生矩陣論課程的考試試題12套和博士入學(xué)考試試題3套,并做了詳細(xì)的解答。本書敘述簡明,概括性強(qiáng)。可作為科研究生和本科高年級學(xué)生學(xué)習(xí)矩陣論課程的輔導(dǎo)書,也可供從事矩陣論教學(xué)工作的教師和有關(guān)科技工作者參考。—Ⅳ—前言矩陣論是高等學(xué)校和研究院、所面向研究生開設(shè)的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支,矩陣?yán)碚摼哂袠O為豐富的內(nèi)容;作為一種基本工具,矩陣?yán)碚撛跀?shù)學(xué)學(xué)科以及其他科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域都有非常廣泛的應(yīng)用。因此,學(xué)習(xí)和掌握矩陣的基本理論與方法,對于研究生來說是必不可少的。矩陣論課程的理論性強(qiáng),概念比較抽象,而且有獨(dú)特的思維方式和解題技巧。讀者在學(xué)習(xí)矩陣論課程時(shí),往往感到概念多、結(jié)論,對教學(xué)內(nèi)容的全面理解也感到困難。為了配合課堂教學(xué),使研究生更好地掌握該門課程的教學(xué)內(nèi)容,我們編寫了這本同步學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書。本書由兩部分內(nèi)容組成。第一部分根據(jù)程云鵬等編的研究生教陣(第2版)的內(nèi)容體系,對矩陣論課程的基本概念、主要結(jié)論和常用方法做了簡明扼要的分類總結(jié),對各章節(jié)的課后習(xí)題做了詳細(xì)的解答;第二部分收編了近年來西北工業(yè)大學(xué)研究生矩陣論課程(60學(xué)時(shí))的考試試題12套和博士入學(xué)考試試題3套,并做了詳細(xì)的解答。本書對于學(xué)習(xí)矩陣論課程的研究生以及參加博士入學(xué)矩陣論課程考試的有關(guān)人員有很好的輔導(dǎo)作用,對于從事矩陣論教學(xué)工作的教師也有一定的參考價(jià)值。本書由張凱院、徐仲共同編寫,張凱院任主編?！?—限于水平,書中疏漏和不妥之處在所難免,敬請讀者批評指正。編者2002年7月于西北工業(yè)大學(xué)—2—符號說明R(C)實(shí)(復(fù))數(shù)集合Rn(Cn)實(shí)(復(fù))n維向量集合R×n(C×n)實(shí)(復(fù))m×n矩陣集合×n×nRr(Cr)秩為r的實(shí)(復(fù))m×n矩陣集合Pn[]次數(shù)不超過n的一元多項(xiàng)式集合nn維線性空間VW⊥子空間W的正交補(bǔ)dimV線性空間V的維數(shù)span{1,2,?,xm}由元素1,2,?,m生成的子空間0零向量或線性空間的零元素i第i個(gè)分量為1,其余分量為0的向量O零矩陣I單位矩陣ij第i行第j列元素為1,其余元素為0的矩陣JJordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣diag1,2,?,n)以λ1,2,?,n為對角元素的對角矩陣detA方陣A的行列式trA方陣A的跡(A)方陣A的譜半徑adjA方陣A的伴隨矩陣rankA矩陣A的秩—1—R(A)矩陣A的值域N(A)矩陣A的零空間R(T)線性變換T的值域N(T)線性變換T的零空間vec(A)矩陣A按行拉直的列向量T矩陣A的轉(zhuǎn)置H矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置A+矩陣A的Moore-Penrose逆(1)矩陣A的{1}-逆A(1,j)矩陣A的{1,j}-逆A{1}矩陣A的{1}-逆的集合A{1,}矩陣A的{1,j}-逆的集合(d)矩陣A的Drazin逆AA#矩陣A的群逆AíB矩陣A與B的直積(x,y)元素x與y的內(nèi)積x⊥y元素x與y正交‖‖p向量x的p-范數(shù)‖‖F(xiàn)矩陣A的Frobenius范數(shù)V1∩V2子空間V1與V2的交V1∪V2子空間V1與V2的并V1+V2子空間V1與V2的和V1īV2子空間V1與V2的直和Re)復(fù)數(shù)λ的實(shí)部lm)復(fù)數(shù)λ的虛部?f)多項(xiàng)式f)的次數(shù)—2—目錄第一部分同步學(xué)習(xí)輔導(dǎo)第一章線性空間與線性變換??????????????3???????????????????3???????????????????7??????????????????12四、內(nèi)容結(jié)構(gòu)框圖?????????????????17五、課后習(xí)題全解?????????????????18第二章范數(shù)理論及其應(yīng)用??????????????45??????????????????45??????????????????47??????????????????49四、內(nèi)容結(jié)構(gòu)框圖?????????????????50五、課后習(xí)題全解?????????????????51第三章矩陣分析及其應(yīng)用??????????????58??????????????????58??????????????????61??????????????????65四、內(nèi)容結(jié)構(gòu)框圖?????????????????67五、課后習(xí)題全解?????????????????68第四章矩陣分解??????????????????80—Ⅰ—??????????????????80??????????????????82??????????????????84四、內(nèi)容結(jié)構(gòu)框圖?????????????????91五、課后習(xí)題全解?????????????????92第五章特征值的估計(jì)及對稱矩陣的極性????????108??????????????????108??????????????????110??????????????????112????????????????114????????????????115第六章廣義逆矩陣?????????????????125??????????????????125??????????????????127??????????????????130????????????????132????????????????133第二部分試題精解試題一???????????????????????159試題一解答?????????????????????161試題二???????????????????????165試題二解答?????????????????????167試題三???????????????????????172試題三解答?????????????????????174試題四???????????????????????179試題四解答?????????????????????181試題五???????????????????????186—Ⅱ—試題五解答?????????????????????188試題六???????????????????????193試題六解答?????????????????????195試題七???????????????????????200試題七解答?????????????????????202試題八???????????????????????207試題八解答?????????????????????210試題九???????????????????????216試題九解答?????????????????????218試題十???????????????????????224試題十解答?????????????????????226試題十一??????????????????????230試題十一解答????????????????????233試題十二??????????????????????238試題十二解答????????????????????240試題十三??????????????????????245試題十三解答????????????????????247試題十四??????????????????????251試題十四解答????????????????????253試題十五??????????????????????255試題十五解答????????????????????257參考文獻(xiàn)??????????????????????262—Ⅲ—第一部分同步學(xué)習(xí)輔導(dǎo)第一章線性空間與線性變換線性空間是向量空間的推廣.具體的線性空間多種多樣,其中的元素既可以是向量,;其中的線性運(yùn)算既可以是通常的,也可以是特殊的.線性空間的核心內(nèi)容是線性變換,它反映了線性空間中元素之間的一種基本聯(lián)系.在有限維線性空間中,借助于基的概念可在元素與列向量之間、線性變換與方陣之間建立一一對應(yīng)關(guān)系,從而元素的運(yùn)算能夠轉(zhuǎn)化為列向量的運(yùn)算,線性變換的運(yùn)算能夠轉(zhuǎn)化為方陣的運(yùn)算,一般線性空間中的問題能夠轉(zhuǎn)化為列向量空間中的問題.這種轉(zhuǎn)化依賴于三類特殊的矩陣,即兩個(gè)基之間的過渡矩陣、線性變換在指定基下的矩陣、歐氏(酉)空間中基的度量矩陣.線性空間中的元素統(tǒng)稱為向量,加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算也使用通常的運(yùn)算符號.一、基本概念1.線性空間線性空間指引進(jìn)了加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算且滿足8條運(yùn)算律的某個(gè)數(shù)域上的非空集合,通常用V表示(n維線性空間記為Vn).(1)實(shí)行向量空間Rn=α=(1,2,?,n)|i∈R}實(shí)列向量空間Rn=α=(1,2,?,n)T|i∈R}復(fù)行向量空間C1,2,?,n)|i∈C}n=α=(a復(fù)列向量空間C1,2,?,n)i∈C}n=α=(aT|a—3—(2)實(shí)矩陣空間Rij)×n|ij∈R}×n={A=(a×n={A=(a復(fù)矩陣空間Cij)×n|ij∈C}(3)實(shí)多項(xiàng)式空間Pn[]={f()=0+1t+?+nti∈R}n|a復(fù)多項(xiàng)式空間Pn[]={f()=0+1t+?+ntn|i∈C}2.線性子空間線性子空間指線性空間中對加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算封閉的非空子集.(1)生成子空間span{1,2,?,m}或者L(1,2,?,xm):設(shè)V是數(shù)域K上的線性空間,i∈V(i=1,2,?,m),則span{1,2,?,xm}={x=11+22+?+kmxm|i∈K}×n的列向量組為β(2)矩陣的值域R(A):設(shè)A∈C1,2,?,n,則R(A)=span1,2,?,n}={y=Ax|x∈Cn}×n,則(3)矩陣的零空間N(A):設(shè)A∈CN(A)={x|Ax=0,x∈Cn}(4)線性變換的值域R(T):設(shè)T是線性空間V的線性變換,則R(T)={y=Tx|x∈V}(5)線性變換的核N(T):設(shè)T是線性空間V的線性變換,則N(T)={x|Tx=0,x∈V}(6)線性變換的特征子空間λ:設(shè)λ是線性空間V中線性變換T的一個(gè)特征值,則λ={x|Tx=x,x∈V}3.線性空間的基線性空間的基指線性空間V中滿足下列條件的向量組x1,2,—4—?,n:①1,2,?,n線性無關(guān);②任意x∈V都可由x1,2,?,xn線性表示.(1)向量空間Rn(n)的簡單基為1,2,?,n,其中i表示第i個(gè)分量為1,其余分量為0的n維向量.(2)矩陣空間R×n(C×n)的簡單基為11,12,?,1n,21,?,E其中ij表示第i行第j列元素為1,其余元素為0的m×n矩陣.(3)多項(xiàng)式空間Pn[]的簡單基為1,t,?,tn.4.兩個(gè)基之間的過渡矩陣過渡矩陣是以線性空間的一個(gè)基中各元素在另一個(gè)基下的坐標(biāo)為列向量構(gòu)成的方陣.(1)表示方法:已知線性空間Vn的兩個(gè)基為(Ⅰ)1,2,?,xn;(Ⅱ)1,2,?,yn.設(shè)j在基(Ⅰ)下的坐標(biāo)為j(j=1,2,?,n),則由基(Ⅰ)改變?yōu)榛?Ⅱ)的過渡矩陣為C=1,2,?,n),基變換公式為(1,?,n)=(1,?,xn)C(1,?,n)=(1,?,yn)-1評注〕一般地,上式中進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí),只能將i或者yj作為一個(gè)“數(shù)”看待;比較等號兩端的,亦將i或者yj作為看待.(2)主要特征:兩上基之間的過渡矩陣是可逆方陣,它的階數(shù)等于線性空間的維數(shù).5.元素的坐標(biāo)元素的坐標(biāo)指元素由線性空間的基線性表示時(shí),表示式中的系數(shù)構(gòu)成的列向量.(1)表示方法:設(shè)線性空間Vn的一個(gè)基為x1,2,?,n,對于任意x∈Vn,有x=11+22+?+nxn,則x在該基下的坐標(biāo)為(1,2,?,n)T.—5—(2)主要特征:元素的坐標(biāo)是列向量,它的維數(shù)等于線性空間的維數(shù).(3)運(yùn)算轉(zhuǎn)化:設(shè)數(shù)域K上的線性空間Vn的一個(gè)基為x1,2,?,xn,且x,y∈V1,2,?,n)n在該基下的坐標(biāo)分別為α=(aT和β=(1,2,?,n)T,則1)x+y在該基下的坐標(biāo)為α+;2)在該基下的坐標(biāo)為(k∈K).6.線性變換的矩陣線性變換的矩陣是以線性空間的基中各元素的像在該基下的坐標(biāo)為列向量構(gòu)成的方陣.(1)表示方法:設(shè)線性空間Vn的一個(gè)基為x1,2,?,n,線性變換為T,基像組Tx1,Tx2,?,Txn在該基下的坐標(biāo)依次為β1,2,?,n,則T在該基下的矩陣為A=1,2,?,n),且有defT(1,2,?,xn)(Tx1,Tx2,?,Txn)=(1,2,?,xn)A(2)主要特征:線性變換的矩陣是方陣,它的階數(shù)等于線性空間的維數(shù).(3)運(yùn)算轉(zhuǎn)化:設(shè)數(shù)域K上的線性空間Vn的一個(gè)基為x1,2,?,xn,線性變換1和T2在該基下的矩陣分別為A和B,則1)1+2在該基下的矩陣為A+;2)kT1在該基下的矩陣為(k∈K);3)12在該基下的矩陣為AB;-1-1(若T4)1在該基下的矩陣為A1為可逆變換).7.基的度量矩陣度量矩陣是以歐氏(酉)空間的基中第i個(gè)元素與第j個(gè)元素的內(nèi)積為i行j列元素構(gòu)成的方陣.(1)表示方法:設(shè)歐氏(酉)空間Vn的一個(gè)基為x1,2,?,n,—6—令ij=(i,xj)(i,j=1,2,?,n),則該基的度量矩陣為A=(ij)×n.(2)主要特征:基的度量矩陣是實(shí)對稱(Hermite)正定矩陣,它的階數(shù)等于歐氏(酉)空間的維數(shù).(3)運(yùn)算轉(zhuǎn)化:設(shè)酉空間V1,2,?,n,該基的n的一個(gè)基為x度量矩陣為A,x,y∈Vn在該基下的坐標(biāo)(列向量)分別為α和β,那么x與y的內(nèi)積(x,y)=T.當(dāng)Vn為歐氏空間時(shí),(x,y)=αT.8.標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基指歐氏(酉)空間中由兩兩正交的單位向量構(gòu)成的基.(1)構(gòu)造方法:對歐氏(酉)空間的一個(gè)基進(jìn)行Schmidt正交化可得正交基,再對正交基進(jìn)行單位化可得標(biāo)準(zhǔn)正交基.(2)主要特征:正交基的度量矩陣是對角矩陣,標(biāo)準(zhǔn)正交基的度量矩陣是單位矩陣.(3)運(yùn)算轉(zhuǎn)化:設(shè)歐氏(酉)空間V1,n的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基為x2,?,xn,x,y∈V1,2,?,n)n在該基下的坐標(biāo)分別為α=(aT和β=(1,2,?,n)T,則1)i=(x,i),i=(y,i)(i=1,2,?,n);2)(x,y)=11+22+?+nn=,).二、主要結(jié)論1.線性子空間設(shè)V1和V2是線性空間Vn的兩個(gè)子空間,則有:(1)V1∩V2和V1+V2是Vn的子空間.—7—(3)dim(V1+V2)=dimV1+dimV2-dim(V1∩V2)(4)下面四種說法等價(jià):1)V1+V2是直和;2)V1+V2中零元素的分解式惟一;3)V1∩V2={0};4)dim(V1+V2)=dimV1+dimV2.(5)若V1+V2是直和,則將V1的基與V2的基拼接起來可構(gòu)成V1+V2的基.(6)若V1=L(1,2,?,m),則1,2,?,m的最大無關(guān)組是V1的基.(7)若V1=L(1,2,?,xm),V2=L(1,2,?,l),則V1+V2=L(1,2,?,xm,1,2,?,l)(8)線性空間Vn為歐氏(酉)空間時(shí),Vn=V1īV⊥.(9)設(shè)A∈C×n,則有1)[R(A)]⊥=N(H),且Cm=R(A)īN(AH);2)[R(AH)]⊥=N(A),且n=R(H)īN(A).(10)設(shè)V1,2,?,n,則V1,2,?,n的一個(gè)基為xn=L(xxn).2.向量組的線性關(guān)系設(shè)線性空間Vn的一個(gè)基為1,2,?,xn,y,j∈Vn在該基下的坐標(biāo)分別為β和βj(j=1,2,?,m),則有:(1)y可由y1,2,?,ym線性表示的充要條件是β可由β1,2,?,m線性表示.(2)1,2,?,ym線性相(無)關(guān)的充要條件是β1,2,?,m線性相(無)關(guān).—8—(3)yj1,2,?,ym的最大無關(guān)組的充要條件是1,?,yjr為yj1,?,jr為β1,2,?,m的最大無關(guān)組.3.坐標(biāo)變換設(shè)數(shù)域K上的線性空間V1,2,?,xnn的兩個(gè)基分別為(Ⅰ)x和(Ⅱ)1,2,?,yn,且由基(Ⅰ)改變?yōu)榛?Ⅱ)的過渡矩陣為,x∈Vn在基(Ⅰ)和基(Ⅱ)下的坐標(biāo)(列向量)分別為β,則有:(1)α=,β=C-1.(2)對于λ0∈K,存在x≠0使得α=0β的充要條件是β=0,即λ0為C的一個(gè)特征值.4.標(biāo)準(zhǔn)正交基設(shè)歐氏空間Vn的兩個(gè)基分別為(Ⅰ)1,2,?,n和(Ⅱ)1,2,?,n,且由基(Ⅰ)改變?yōu)榛?Ⅱ)的過渡矩陣為,基(Ⅰ)的度量矩陣為A,基(Ⅱ)的度量矩陣為B,則有:(1)B=CT.(2)基(Ⅰ)是標(biāo)準(zhǔn)正交基的充要條件是A=.(3)若基(Ⅰ)與基(Ⅱ)都是標(biāo)準(zhǔn)正交基,則C是正交矩陣.(4)若基(Ⅰ)(或(Ⅱ))是標(biāo)準(zhǔn)正交基,C是正交矩陣,則基(Ⅱ)(或基(Ⅰ))是標(biāo)準(zhǔn)正交基.5.相似矩陣(1)A∈C×n相似于上(下)三角矩陣.(2)A∈C×n相似于Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.(3)A∈C×n酉相似于上三角矩陣.(4)設(shè)A∈×n,則HA=AAH的充要條件是存在酉矩陣P,使得PHAP=(對角矩陣).(5)設(shè)A∈R×n的特征值都是實(shí)數(shù),則TA=AAT的充要條件是存在正交矩陣,使得QT=.(6)實(shí)對稱矩陣正交相似于對角矩陣.—9—6.方陣的最小多項(xiàng)式(1)方陣是其特征多項(xiàng)式的矩陣根.(2)方陣的最小多項(xiàng)式整除它的零化多項(xiàng)式.(3)方陣的最小多項(xiàng)式與它的特征多項(xiàng)式有相同的零點(diǎn)(不計(jì)重?cái)?shù)).(4)設(shè)n階方陣A的特征多項(xiàng)為),特征矩陣I-A的n-1階行列式因子為n-1),則A的最小多項(xiàng)式為m)=)Dn-1).(5)設(shè)n階方陣A的全體初等因子為λ-1)1,?,λ-1)kt1(1≤k1≤?≤t1)λ-2)l1,?,λ-λ2)2)lt2(1≤l1≤?≤lt2)??????λ-s)rt1,?,λ-λ1≤?≤ts)s(1≤rs)其中,1,2,?,s互不相同,則A的最小多項(xiàng)式為m)=λ-1)ktltrt1λ-λ2?λ-λ2)s)1λ-λ2?λ-λs7.線性變換設(shè)線性空間V1,2,?,n和(Ⅱ)1,n的兩個(gè)基分別為(Ⅰ)x2,?,n,且由基(Ⅰ)改變?yōu)榛?Ⅱ)的過渡矩陣為,線性變換T在基(Ⅰ)和基(Ⅱ)下的矩陣分別為A和B,x∈Vn在基(Ⅰ)下的坐標(biāo)為,則有:(1)dimR(T)=rankA,dimN(T)=n-rank.(2)Tx在基(Ⅰ)下的坐標(biāo)為.(3)B=-1.(4)T的特征值與A的特征值相同,T的對應(yīng)于特征值λ的特征向量在基(Ⅰ)下的坐標(biāo)為A的對應(yīng)于特征值λ的特征向量.(5)在Vn中存在某個(gè)基使T在該基下的矩陣為對角矩陣Λ的—10—充要條件是,存在可逆矩陣P使P-1AP=.此時(shí),P是由基(Ⅰ)改變?yōu)檫@個(gè)基的過渡矩陣.(6)T在Vn的某個(gè)基下的矩陣為對角矩陣的充要條件是T有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.(7)關(guān)于正交變換,下面四種說法等價(jià):1)T是歐氏空間Vn的正交變換,即對于任意的x∈Vn,有(Tx,Tx)=(x,x);2)對于任意的x,y∈Vn,有(Tx,Ty)=(x,y);3)T在Vn的標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣為正交矩陣;4)T將Vn的標(biāo)準(zhǔn)正交基變換為標(biāo)準(zhǔn)正交基.(8)關(guān)于對稱變換,下面兩種說法等價(jià):1)T是歐氏空間Vn的對稱變換,即對于任意的x,y∈Vn,有(Tx,y)=(x,Ty);2)T在Vn的標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣為對稱矩陣.(9)若T是歐氏空間Vn的對稱變換,則T在Vn的某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣為對角矩陣.(10)在歐氏空間Vn中,若正交變換T的特征值都是實(shí)數(shù),則T是對稱變換.8.線性變換的不變子空間設(shè)T是線性空間Vn的線性變換,則有:(1)R(T),N(T)及λ都是T的不變子空間.(2)若V1和V2都是T的不變子空間,則V1∩V2與V1+V2也是T的不變子空間.(3)若Vn可分解為T的不變子空間Vi(i=1,2,?,m)的直和,則T在由V1,V2,?,Vm的基拼接而構(gòu)成Vn的基下的矩陣為準(zhǔn)對角矩陣.(4)若T在V1,2,n的某個(gè)基下的矩陣為準(zhǔn)對角矩陣diag(A?,Am),則Vn可分解為T的m個(gè)不變子空間的直和.—11—三、常用方法1.求線性空間(子空間)的基(1)根據(jù)線性空間的構(gòu)成規(guī)律,找出其中的一組特殊元素,使得線性空間的一般元素都可由這組元素線性表示.(2)若這組元素線性無關(guān),則它就是線性空間的基;若這組元素線性相關(guān),則它的一個(gè)最大無關(guān)組就是線性空間的基.2.求R(A)和N(A)的基(1)矩陣A的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組是R(A)的基.(2)齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系是N(A)的基.3.求R(T),N(T)及λ的基設(shè)線性空間V1,2,?,xn,線性變換T在該基n的一個(gè)基為x下的矩陣為A,記rankA=r,則有:(1)求出R(A)的一個(gè)基為α1,2,?,r(列向量),那么R(T)的一個(gè)基為1=(1,2,?,xn1,?,r=(1,2,?,xn)r(2)求出N(A)的一個(gè)基為1,2,?,n-r(列向量),那么N(T)的一個(gè)基為1=(1,2,?,xn1,?,n-r=(1,2,?,xnn-r(3)求出NI-A)的一個(gè)基為1,2,?,l(列向量),那么λ的一個(gè)基為1=(1,2,?,xn1,?,l=(1,2,?,xnl4.求過渡矩陣設(shè)線性空間Vn的兩個(gè)基分別為(Ⅰ)1,2,?,n和(Ⅱ)1,2,?,n,由基(Ⅰ)改變?yōu)榛?Ⅱ)的過渡矩陣為,那么求過渡矩陣有下述方法.(1)直接法:—12—1)計(jì)算yj在基(Ⅰ)下的坐標(biāo)βj(j=1,2,?,n);2)寫出C=1,2,?,n).(2)中介法:1)選取Vn的簡單基,使Vn的元素在該基下的坐標(biāo)能夠直接寫出;2)分別寫出由簡單基改變?yōu)榛?Ⅰ)和基(Ⅱ)的過渡矩陣1和2;3)計(jì)算C=12.-1評注〕在中介法中,由于xj在簡單基下的坐標(biāo)可以直接寫出,所以由簡單基改變?yōu)榛?Ⅰ)的過渡矩陣1能夠直接寫出.同理,由簡單基改變?yōu)榛?Ⅱ)的過渡矩陣2也能夠直接寫出.5.求在兩個(gè)基下坐標(biāo)向量成比例的非零元素設(shè)線性空間Vn的兩個(gè)基分別為(Ⅰ)1,2,?,n和(Ⅱ)1,2,?,n,z∈Vn在基(Ⅰ)和基(Ⅱ)下的坐標(biāo)向量=λ為給定常數(shù)),求元素z的步驟如下:(1)求出由基(Ⅰ)改變?yōu)榛?Ⅱ)的過渡矩陣.(2)求出齊次線性方程組I-Cβ=0的基礎(chǔ)解系β1,2,?,l.(3)寫出滿足要求的全體線性無關(guān)的元素組1=(1,2,?,yn1,?,l=(1,2,?,nl那么,滿足要求的全體非零元素為z=11+22+?+lzl(1,2,?,l不全為0)6.求線性變換的矩陣設(shè)線性空間Vn的一個(gè)基為x1,2,?,xn,線性變換T在該基下的矩陣為A,那么求線性變換的矩陣有下述方法.(1)直接法:1)計(jì)算Txj,并求出Txj在基x1,2,?,xn下的坐標(biāo)βj(j=1,2,?,n);—13—2)寫出A=1,2,?,n).(2)中介法:1)選取V12,?,n,使Vn的簡單基,記作εn中的元素在該基下的坐標(biāo)能夠直接寫出;2)寫出由簡單基改變?yōu)榻o定基的過渡矩陣;3)計(jì)算j,并寫出j在簡單基下的坐標(biāo)βj(j=1,2,?,n),得到T在簡單基下的矩陣B=1,2,?,n);4)計(jì)算T在給定基下的矩陣A=-1.評注〕中介法的第3步是采用直接法求線性變換在簡單基下的矩陣.(3)混合法:1)選取V1,2,?n;n的簡單基,記作ε2)寫出由簡單基改變?yōu)榻o定基的過渡矩陣;3)計(jì)算Txj,并寫出Txj在簡單基下的坐標(biāo)βj(j=1,2,?,n),得到矩陣B=1,2,?,n),即T(1,2,?,n)=1,2,?,n)B;4)計(jì)算T在給定基下的矩陣A=C-1B.7.求線性變換的特征值與特征向量(1)選取線性空間V1,2,?,n,n的一個(gè)基(通常是簡單基)x并求出線性變換T在該基下的矩陣A.(2)求出矩陣A的全體互異特征值λ1,2,?,s(1≤s≤n).(3)求出特征方程iI-A)x=0的基礎(chǔ)解系1,2,?,()(i)βl).(4)寫出線性變換T的對應(yīng)于特征值λi的全體線性無關(guān)的特征向量1=(1,2,?,xn()()()(i)1,?,li=(x1,2,?,xnβli那么,T的對應(yīng)于特征值λi的全體特征向量為()()()y=11+22+?+l1,2,?,liyli(ki不全為0)—14—8.求線性空間的基使線性變換的矩陣為對角矩陣(1)選取線性空間V1,2,?,n,n的一個(gè)基(通常是簡單基)x并求出線性變換T在該基下的矩陣A.(2)求可逆矩陣P,使P-1=(對角矩陣).(3)構(gòu)造V1,2,?,yn,使?jié)M足n的另一個(gè)基y(1,2,?,yn)=(1,2,?,xn)P那么,T在基1,2,?,yn下的矩陣為.評注〕并非對于任何線性變換T,都存在線性空間Vn的一個(gè)基,使T在該基下的矩陣為對角矩陣.但是在復(fù)數(shù)域上,任何n階方陣都相似于Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,因此總存在Vn的一個(gè)基,使T在該基下的矩陣為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形特殊的準(zhǔn)對角矩陣.9.求方陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形設(shè)A∈Ci)×n的全體初等因子為λ-λ×n的全體初等因子為λ-λmi(i=1,2,?,s;m1+2+?+s=n),對應(yīng)第i個(gè)初等因子λ-i)mi的Jordan塊為i,那么A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為J=diag(1,2,?,Js),求A的全體初等因子常用下面三種方法.(1)行列式因子法:1)計(jì)算I-A的行列式因子Dk)(k=1,2,?,n);2)計(jì)算I-A的不變因子k)=k)k-1)(k=1,2,?,n;0)=1)3)對1),2),?,n)分解因式,全體不可約因式(一次因式方冪)為A的全體初等因子.(2)初等變換法:1)用初等變換將λI-A化為對角矩陣diag(f1),f2),?,fn)),其中fk)(k=1,2,?,)是首1多項(xiàng)式;2)對f1),f2),?,fn)分解因式,全體不可約因式為A的全體初等因子.—15—(3)特征多項(xiàng)式分析法:1)計(jì)算A的特征多項(xiàng)式φ)=detI-A);2)求出)的全體不可約因式λ-i)ri(i=1,2,?,l;1+2+?+l=n)3)對于)的第i個(gè)不可約因式λ-i)ri,有i=1時(shí),λ-i是A的一個(gè)初等因子;i>1時(shí),λ-i)iI-A)個(gè)初等因子的ri是A的n-rankλ乘積.評注〕在特征多項(xiàng)式分析法中,當(dāng)i≤3時(shí),一定能夠確定出λ-i)ri是幾個(gè)初等因子的乘積;而當(dāng)i>3時(shí),不一定能夠確定出λ-i)ri是幾個(gè)初等因子的乘積,此時(shí)該方法可能失效?！?6—四、內(nèi)容結(jié)構(gòu)框圖—17—五、課后習(xí)題全解習(xí)題1.11.設(shè)1?2,證明1∩2=1,1∪2=2.證任取a∈1,由1?2知a∈(1∩2),從而1?(1∩2);又(1∩2)?1,所以(1∩2)=1.任取a∈(1∪2),由1?2知a∈2,故(1∪2)?2;又2?(1∪2),所以(1∪2)=2.2.判別數(shù)集{a+b2|,b∈Q}是否形成數(shù)域.解令S={a+b2|,b∈},任取S中兩個(gè)數(shù)1+12和2+22,由于(1+12)±(2+22)=(1±2)+(1±2)2∈S(1+12)(2+22)=(12+212)+(12+21)2∈S1+122+22=12-212222-2b2+21-12222-2b22∈S所以S形成數(shù)域.3.判別下列集合對所指運(yùn)算是否構(gòu)成R上的線性空間.(1)次數(shù)等于m(m≥1)的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的集合,對于多項(xiàng)式的加法和數(shù)與多項(xiàng)式的乘法;(2)實(shí)對稱矩陣的集合,對于矩陣的加法和實(shí)數(shù)與矩陣的乘法;(3)平面上全體向量的集合,對于通常的加法和如下定義的數(shù)乘運(yùn)算?x=解(1)否.因?yàn)閮蓚€(gè)m次多項(xiàng)式相加不一定還是m次多項(xiàng)—18—式,所以加法運(yùn)算不封閉.(2)是.(3)否.因?yàn)閤≠0時(shí)1?x=0≠x,所以定義中的性質(zhì)(8)不能成立.4.證明:在實(shí)函數(shù)空間中,函數(shù)組1,cos2t,cos2t是線性相關(guān)的.證因?yàn)?-2cos2t+cos2t=0,所以1,cos2t,cos2t線性相關(guān).5.求第3題之(2)中線性空間的維數(shù)與基.解用ij表示第i行第j列元素為1,而其余元素為0的n階方陣,則(i=1,2,?,n),ij=ij+ji(i<j;i,j=1,2,?,n)線性無關(guān),且當(dāng)ij=ji時(shí),有nA=(ij)n×n=∑i=1iiE+∑i<jaijFij因此,該線性空間的一個(gè)基為ii(i=1,2,?,n),ij(i<j;i,j=1,2,?,n),其維數(shù)為n(n+1).26.求3中向量x=(3,7,1)在基1=(1,3,5),2=(6,3,2),3=(3,1,0)下的坐標(biāo).解設(shè)x=11+22+33,比較等號兩端向量的對應(yīng)分量可得線性方程組163133312=752031其惟一解為1=33,2=-82,3=154.因此,x的坐標(biāo)為(33,-82,154)T.7.求2[t]中向量1+t+2在基1,t-1,(t-2)(t-1)下—19—的坐標(biāo).解設(shè)1+t+2=1·1+2(t-1)+3(t-2)(t-1),比較等號兩端關(guān)于t的同次冪的系數(shù)可得1-2+23=12-33=13=1求解得3=1,2=4,1=3.因此,1+t+2的坐標(biāo)為(3,4,1)T.8.設(shè)線性空間V4的基(Ⅰ)1,2,3,4和基(Ⅱ)1,2,3,4滿足1+22=32+23=41+22=32+23=4(1)求由基(Ⅰ)改變?yōu)榛?Ⅱ)的過渡矩陣;(2)求向量x=21-2+3+4在基(Ⅰ)下的坐標(biāo).解(1)解出1,2,可得1=41+82+3-24,2=-21-42+43=1+22,4=2+23于是,由基(Ⅰ)改變基(Ⅱ)的過渡矩陣為4-210C=8-4211002-2100(2)x在基(Ⅱ)下的坐標(biāo)為(2,-1,1,1)T,由坐標(biāo)變換公式計(jì)算x在基(Ⅰ)下的坐標(biāo)為211C-11=2341-5—20—9.在R4中有兩個(gè)基1=1,2=2,3=3,4=41=(2,1,-1,1),2=(0,3,1,0)3=(5,3,2,1),4=(6,6,1,3)(1)求由前一基改變?yōu)楹笠换倪^渡矩陣;(2)求向量x=12,34)在后一基下的坐標(biāo);(3)求對兩個(gè)基有相同坐標(biāo)的非零向量.解(1)設(shè)(1,2,3,4)=(1,2,3,4),直接寫出2056C=1336-11211013(2)x在基x1,2,3,4下的坐標(biāo)為1,23,4)T,而x在基1,2,3,4下的坐標(biāo)為-11,23,4)T.111(3)由23-1=C23得(C-I)23=0,該方程組的通解為444(1,1,1,-1)1+2+3T,對兩個(gè)基有相同坐標(biāo)的非零向量為k(x-4),k為非零常數(shù).10.設(shè)1,2,3是3的一個(gè)基,試求由1=1-22+33,2=21+32+23,3=41+132生成的子空間L(1,2,3)的基.解L(1,2,3)的基為1,2,3的一個(gè)最大無關(guān)組.在基1,2,3下,1,2,3的坐標(biāo)依次為(1,-2,3)T,(2,3,2)T,(4,13,0)T該列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組為(1,-2,3)T,(2,3,2)T.因此,1,2,3的一個(gè)最大無關(guān)組為1,2,即L(1,2,3)的一個(gè)基為—21—1,2.11.求R4的子空間V1={(12,3,4)|1-2+3-4=0}V2={(12,3,4)|1+2+3+4=0}的交V1∩V2的基.解設(shè)x=1,2,34)∈(V1∩V2),則x的分量滿足1-2+3-4=01+2+3+4=0該方程組的基礎(chǔ)解系為(1,0,-1,0)T,(0,1,0,-1)T,從而V1∩V2的一個(gè)基為(1,0,-1,0),(0,1,0,-1).12.給定×2={A=(ij)×2|ij∈R}(數(shù)域R上的二階實(shí)方陣按通常矩陣的加法與數(shù)乘矩陣構(gòu)成的線性空間)的子集V={A=(ij)2×2|11+22=0,ij∈R}(1)證明V是R×2的子空間;(2)求V的維數(shù)和基.解(1)設(shè)A=(ij)×2∈V,B=(ij)×2∈V,則有11+22=0,11+22=0因?yàn)锳+B=(ij+ij)×2,(11+11)+(22+22)=0=(ij)2×2,(ka11)+(22)=0所以A+B∈V,kA∈V.又×2∈V,所以V是R×2的子空間.(2)在V中1=100-1,2=0100,3=0010線性無關(guān).任意A=(ij)×2∈V,有11+22=0,即22=-11,于是A=111+122+213因此,V的一個(gè)基是A1,2,3,從而dimV=3.—22—13.證明所有二階矩陣之集合形成的實(shí)線性空間,是所有二階實(shí)對稱矩陣之集合形成的子空間與所有二階反對稱矩陣之集合形成的子空間的直和.證設(shè)V=R×2,令V1={A=(ij)×2|ij=ji,ij∈R}V2={B=(ij)×2|ij=-ji,ij∈R}容易驗(yàn)證,V1與V2都是V的子空間.任意C∈V,有C=12(C+CT)+1T)+12(C-T)且12(C-CT)∈VT)∈V1,12(C-C2,所以V=V1+V2.因?yàn)門)∈VT)∈VD=(dij)×2∈V1∩V2?D∈V1且D∈V2?ij=dji且dij=-ji?ij=0(i,j=1,2)?D=O所以V1∩V2={},即V=V1īV2.習(xí)題1.21.判別下列變換中哪些是線性變換.3中,設(shè)x=ξ2(1)在R1,2,3),Tx=11+2,3);(2)在矩陣空間R×n中,TX=BXC,這里B,C是給定矩陣;(3)在線性空間Pn[]中,Tf()=f(t+1).解(1)否.因?yàn)門(2x)=(ξ22(21,21+2,3),所以當(dāng)ξ1≠0時(shí),T(2x)≠2(Tx).(2)是.設(shè)X,Y∈R×n,k∈R,則有T(X+Y)=B(X+Y)C=BXC+BYC=TX+TYT(kX)=B(kX)C=k(BXC)=(TX)(3)是.設(shè)f(t),g(t)∈Pn[t],k∈R,則有—23—T[f(t)+g(t)]=f(t+1)+g(t+1)=Tf(t)+Tg()T[kf()]=kf(t+1)=kTf()2.在2中,設(shè)x=1,2),證明T1x=2,-1)與2x=1,-2)是R1+2,T12及21.2的兩個(gè)線性變換,并求T解設(shè)k,l∈R,y=1,2)∈R2,則kx+=(1+l1,2+l2)于是有1(kx+ly)=(2+l2,-1-l1)=2,-1)+l2,-1)=(1x)+l(T1y)所以1是線性變換.同理可得2是線性變換.(1+2)x=1x+2x=1+2,-1-2)(12)x=1(2x)=11,-2)=(-2,-1)(21)x=2(1x)=22,-1)=21)3.在Pn[t]中,1f(t)=f(),2f(t)=tf(),證明12-T2T1=Te證設(shè)f(t)∈Pn[t],則(12-T2T1)f(t)=T1[2f(t)]-2[T1f(t)]=T1[tf(t)]-2[(t)]=f(t)+tf()-tf()=f(t)=Tef(t)故12-21=Te.4.在R1,23),定義Tx=(21-22+3,3中,設(shè)x=ξ1),試求T在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩陣.解1=(2,0,1)=21+02+132=(-1,1,0)=(-1)1+12+03—24—3=(0,1,0)=01+12+032-10故A=0111005.設(shè)1,2是線性空間V1與2是V2的基,T2的線性變換,11=1,12=2,且2(1+2)=1+2,2(1-2)=1-2,證明1=2.證設(shè)x∈V11+22.由于2,則x=k21+22=T2(1+2)=1+221-22=T2(1-2)=1-2所以21=1,22=2.于是1x=111+2T12=11+22=121+2T22=2x故1=2.6.六個(gè)函數(shù)1=ecos,2=esin,3=eatcos4=esin,x5=15=122eatcos,x6=16=122eatsin的所有實(shí)系數(shù)線性組合構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的一個(gè)六維線性空間V6=L(1,2,3,4,5,6),求微分變換D在基x1,2,?,6下的矩陣.解因?yàn)镈x1=eatcos-eatsin=ax1-2Dx2=e1+ax2atsin+eatbcos=Dx3=e1+3-4atcos+eatcos-esin=xDx4=e2+3+ax4atsin+taeatsin+eatbcos=xDx5=eatcos+1atcos+122eatcos-1atcos-122esin=—25—3+5-6Dx6=eatsin+1atsin+122eatsin+1atsin+122eatcos=4+5+ax6故ab1000-ba0100A=00ab1000-ba010000ab0000-ba7.已知3的線性變換T在基x1=(-1,1,1),2=(1,0,-1),3=(0,1,1)下的矩陣為101110-121求T在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩陣.解設(shè)基(Ⅰ)為1,2,3;基(Ⅱ)為1,2,3.直接寫出由基(Ⅱ)改變?yōu)榛?Ⅰ)的過渡矩陣-110-1=1011-11則由基(Ⅰ)改變?yōu)榛?Ⅱ)的過渡矩陣為.于是T在基(Ⅱ)下的矩陣為101-11-2-1C110C=220-1213028.在2×2中定義線性變換—26—1X=abcdX,2X=Xabcd3X=abcdXabcd求1,2,3在基11,12,21,22下的矩陣.解111=a0c0=11+21112=0a0c=12+22121=b0d0=11+dE21122=0b0d=12+dE22故1在該基下的矩陣為a0b01=0a0bc0d00c0d類似地,可得2在該基下的矩陣為ac002=bd0000ac00bd由于3=1T2,所以3在該基下的矩陣為2abbca3=12=2bdadb2adcdcdbdd2—27—9.設(shè)T是線性空間V的線性變換,且Tk-1x≠0,但Tkx=0,求證x,Tx,?,Tk-1x(k>0)線性無關(guān).證設(shè)一組數(shù)0,1,?,k-1,使得0x+1Tx+?+k-1Tk-1x=0兩端用Tk-1變換,并利用Tkx=0可得0Tk-1x=0因?yàn)門0=0.k-1x≠0,所以c同理可得1=?=k-1=0,故x,Tx,?,Tk-1x線性無關(guān).10.設(shè)T是3的線性變換,x=1,23)∈3,而Tx=(0,12),求T2的象子空間R(T2)和核子空間N(2)的基與維數(shù).解由T12)=(0,0,1)可得2x=T(Tx)=T(0,ξR(2)={(0,0)|R}N(T2,3)|2,3∈R}2)={(0,ξ因此,dimR(2)=1,R(2)的一個(gè)基為(0,0,1);dimN(2)=2,N(T2)的一個(gè)基為(0,1,0),(0,0,1).11.給定3的兩個(gè)基1=(1,0,1),2=(2,1,0),3=(1,1,1)1=(1,2,-1),2=(2,2,-1),3=(2,-1,-1)定義線性變換Txi=i(i=1,2,3)(1)寫出由基1,2,3改變?yōu)榛?,2,3的過渡矩陣.(2)寫出T在基x1,2,3下的矩陣.(3)寫出T在基y1,2,3下的矩陣.解(1)引進(jìn)基1,2,3,則有121(1,2,3)=(1,2,3)1,1=011101—28—122(1,2,3)=(1,2,3)2,2=22-1-1-1-1所以(1,2,3)=(1,2,3),其中C=C-112=112=12-4-3323321-5(2)由T(1,2,3)=(1,2,3)=(1,2,3)C知,T在基1,2,3下的矩陣為.(3)T在基1,2,3下的矩陣為C-1=.12.設(shè)T是數(shù)域C上線性空間V3的線性變換,已知T在V3的基1,2,3下的矩陣310A=-4-104-8-2求T的特征值與特征向量.解求得A的特征值和特征向量為1=2=1,k(3,-6,20)T(k≠0)3=-2,k(0,0,1)T(k≠0)故T的特征值和特征向量為1=2=1,k(31-62+203)(k≠0)3=-2,kx3(k≠0)13.把矩陣-110A=-430102相似的變換為上三角矩陣.解第一步:detI-A)=λ-2)λ-1)2.—29—3-101=2,2I-A=4-100000001特征向量為0,取1=010,可求得1100201-11=03-401-1第2步:1=3-41-1,detI-1)=λ-1)2.1=1,1I-1=-24-12特征向量為21,取2=2011,可求得212=-11-20112=011020100,則P-1=-1=2111-21令P=1.14.試計(jì)算2A8-35+4+2-4I,其中102A=0-110103-λ+1,利用長除法或待定系數(shù)法

解detI-A)=λ求得λ8-5+4+2-4=3-λ+1)f)+(242-37λ+10)—30—其中f)=λ5+3-2+λ-14.由于3-2A+I=,所以-348-26原式=24A095-612-37A+10I=0-613415.設(shè)A=1-125,試求(24-123+192-29A+37I)-12-λ+7,利用長除法或待定系數(shù)法

解detI-A)=λ求得4-3+2-λ+37=2-λ+7)(22+5)+λ+2)由于A2-6A+7I=O,所以原式=(A+2I)-1=3-127-1=12371-2316.求下列矩陣的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式.74-44-8-1-4-1-8;(2)0123-10-32-230-1-3-210(1).解(1))=detI-A)=λ-9)+9)2,m)是φ)的因式,檢驗(yàn)知m)=λ-9)λ+9)=2-81.(2)利用[detI-A)]2=det[I-A)TI-A)]可求得)=detI-A)=2-20λ+(a22222m)是)的因式,檢驗(yàn)知2-2a2222m)=λ0λ+(0+1+2+3)17.證明任意矩陣與它的轉(zhuǎn)置矩陣有相同的最小多項(xiàng)式.證設(shè)A的最小多項(xiàng)式為mA),B=AT的最小多項(xiàng)式為—31—B).由A(A)=O可得A(B)=A(T)=[A(A)]T=O故B)|A).同理可得A)|B).因此A)=B).18.設(shè)1,2是數(shù)域C上的線性空間Vn的線性變換,且T1T21T2=21,證明:如果λ0是1的特征值,那么0是2的不變子空間.證對任意x∈V1x=0.由于0,有T1(2x)=2(1x)=20x)=0(2x)所以2x∈0,故0是T2的不變子空間.19.求下列各矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.12037-3(1)020;(2)-2-52;-2-1-1-4-1033100(3)-4-1007121.-7-6-10解(1)detI-A)=λ-1)λ-2)λ+1),A有3個(gè)不同1的特征值,從而A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為2.-1(2)detI-A)=λ-1)λ-j)+j),A有3個(gè)不同的特征1值,從而A的Jordan的標(biāo)準(zhǔn)形為j.-j(3)寫出特征矩陣—32—λ-3-100I-A=4λ+100-7-1λ-2-1761λ容易求得A的行列式因子41)=1,2)=1,4)=λ-1)位于λI-A的第2,3,4行與第1,2,4列處的三階子式為4λ+10-7-1-1=2-λ+1776λ它與4)互質(zhì),所以3)=1,從而A的不變因子為1,1,1,λ-1)4.于是A的初等因子為λ-1)4,A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為11J=1111120.設(shè)有正整數(shù)m使Am=I,證明A與對角矩陣相似.證設(shè)A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為11)J=wss)i1ii)=iww1im×mii即存在可逆矩陣P,使-1=.由于Jm=-1mP=-1IP=I所以[ii)]m=Imi,從而mmi,從而mi=1,即ii)=i,也就是A與對角—33—矩陣相似.21.求解常微分方程組1dt=-1+22dt=-1+23dt=-1+2-3這里ξ1,23都是t的未知函數(shù).解對方程組的系數(shù)矩陣A求可逆矩陣P,使P-1=.-110110100A=-430,J=10,P=210-88-1-142111作代換2=P2,將原方程化為331′11+22′=J2=23′3-3可求得η1=1et+2et,2=2t,3=3e-t,于是1()=1e2et+ct2()=21e2(2t+1)et+ct3()=41t+2(4t+2)t+3e-t其中1,2,3為任意常數(shù).習(xí)題1.31.設(shè)x=1,2,?,n),y=1,2,?,n)是Rn的任意兩個(gè)向量,A=(ij)×n是正定矩陣,定義(x,y)=xAyT.—34—(1)證明在該定義下Rn構(gòu)成歐氏空間;(2)求R1=(1,0,?,0),2=(0,1,0,n中由單位坐標(biāo)向量e?,0),?,n=(0,?,0,1)構(gòu)成的基的度量矩陣;(3)寫出Rn中Cauchy-不等式.T=[xAyT]T=yAxT=(y,x)

解(1)(x,y)=xAyT=k[yT]=k(x,y)

(kx,y)=()T=(x+y,)=(x+y)AzxAzT+yAzT=(x,)+(y,)當(dāng)x=0時(shí),(x,x)=xAxT=0;當(dāng)x≠0時(shí),由A正定知(x,x)=xAxT>因此,(x,y)是Rn中的內(nèi)積,且在該內(nèi)積定義下Rn構(gòu)成歐氏空間.Tn中基e(2)由(i,j)=iAej=ij知,R1,2,?,n的度量矩陣為.nn(3)(x,y)=∑i,j=1ijξηij,|x|2=(x,x)=∑2=(x,x)=∑i,j=1ijj,|y|2=2=n(y,y)=∑i,j=1ijj,由|(x,y)|≤|x||y|得nnn∑i,j=1ij≤∑i,j=1ijij∑i,j=1ijj2.設(shè)1,2,?,xn是實(shí)線性空間V11+22n的基,向量x=ξ+?+nxn和y=11+22+?+nxn對應(yīng)于實(shí)數(shù)n(x,y)=∑i=1ii.試問Vn是否構(gòu)成歐氏空間.n是否構(gòu)成歐氏空間.解設(shè)z∈V11+22+?+nxn,則有n,且z=cnn(x,y)=∑i=1ii=∑i=1iii=(y,x)nn(kx,y)=∑i=1i(ii=∑i=1iii=k(x,y)—35—n(x+y,)=∑i=1ii+i)i=nn∑i=1ii+∑ii=1iii=(x,)+(y,z)當(dāng)x=0時(shí),i=?=n=0,(x,x)=0;當(dāng)x≠0時(shí),實(shí)數(shù)ξ1,?,n不全為零,(x,x)>0.因此,(x,y)是Vn中的內(nèi)積,且在該內(nèi)積定義下Vn構(gòu)成歐氏空間.3.在4中,求下面向量x與y的夾角〈x,,其內(nèi)積按式(1.3.1)給出.(1)x=(2,1,3,2),y=(1,2,-2,1);(2)x=(1,2,2,3),y=(3,1,5,1).解(1)(x,y)=0,x,〉=π2;(2)(x,y)=18,|x|2=18,|y|2=3