2020年九年級數(shù)學(xué)中考類比探究專練（帶圖解答案）

類比探究專練訓(xùn)練

1、（2020年輝縣，一摸）問題發(fā)現(xiàn)：如圖，在正方形ABCD中，點E

是BC上的動點，點F是CD上的動點，ZEAF=45°,貝!）線段BE,EF,DF

之間的數(shù)量關(guān)系是（）

（截長補短）

延長CB到G,使得BG=DF,再證全等

（2）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,NB+/D=180°,點E是

BC上的動點，點F是CD上的動點，ZEAF=|ZBAD,則線段BE,EF,DF

之間有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由

（3）①如第二個圖，點E在CB的延長線上，F(xiàn)是直線CD上的動點,

（2）中的其他條件不變，請直接寫出線段BE,EF,DF之間的數(shù)量關(guān)系

是（)

D

②如下圖，若NB+NDW180。（2）中的其他條件不變，請直接寫出

線段BE,EF,DF之間的數(shù)量關(guān)系是（）

旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)

1、在aABC和4ADE中，BA=BC,DA=DE,且NABC=NADE=a,點E在

△ABC的內(nèi)部，連接EC,EB,EA,BD,并且NACE+NABE=90°

B

D

觀察猜想：（1）如圖，當(dāng)a=60。時，線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系為

)

（2）如圖，當(dāng)a=90°時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證

明，若不成立，請說明理由

（3）在（2）的條件下，當(dāng)點E在線段CD上時，若BC=2右,請直接

寫出aBDE的面積

rXADBsXAEC

BDAD1

"EC-72

T7BD1

又：——=-7=

DE41

：.DE=EC=AD

BC=2舊TAB=2屈

m=2-72BD=2

/2（2019年鄭州一中三模）等腰直角三角形ABC中，AC=BC=4痣，E

為AC中點，以CE為斜邊作如圖所示等腰直角三角形CED,

（1）觀察猜想：如圖，過點D作DFLAE于點F,交AB于點G,線段

CD與BG的關(guān)系為（）

延長CD交AB于

點H,CD±BG,且CD=BG

(2)如圖，將4CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置，過點D作

DF±AE于點F,過點B作DE的平行線與直線FD交于點G,(1)中

結(jié)論是否成立？請說明理由

過點C作GH1CE,交ED的延長線于點H,ABCH和4ACE屬于旋轉(zhuǎn)全

等，易證BH_LAE,〈DFLAE,，BH〃DF,，BHDG是平行四

邊形，???CD_LBG,且CD=BG

（3）拓展延伸：如圖所示，點E,D,G共線時，直接寫出DG的長度

3、（2019年周口二模）在AABC中，NA8C是銳角，點M在射線

上運動，連接CM,將線段CM繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得至（JCN,

連接

（1）問題初現(xiàn)：若BC=AC,NABC=90。，當(dāng)M在線段A3上時

（不與點A重合），如圖1所示，請你直接寫出線段BN和AM的

位置關(guān)系是,數(shù)量關(guān)系是;

（2）深入探究：當(dāng)M在線段A3的延長線上時，如圖2所示，請

你判斷（1）中結(jié)論是否成立，并證明你的判斷；

c

(3)類比拓展：如圖，N4CBW90。，點M在線段A3上運動且

不與點A重合，交線段8N于點尸，且NCBA=45°,

BC=4亞,當(dāng)BM=()時，BP的最大值為()

過點C作CE垂直C皎&I的延長線于點E

是等腰直角三角形

.一△CET儕口ZkCBA唆等

CE=CB

CM=CN

NECM=ABCN

:.^CBN=Z￡=45。

:.AB±BN

CD=A^BM=m

:.DM=4-w

CD_BAf

DM~^P

_BM?DM_m(4-FM)

JJ1-------------=------------

CD4

/4、在△A3。中，AB=AC,ZBAC=90°,0為直線3。上一動點

（不與點B,C重合），以AD為腰作等腰直角三角形DAE,使N

DAE=90°,連接CE

（1）觀察猜想：如圖1所示，當(dāng)。在線段BC上時，BC和CE

的位置關(guān)系是（），CE,DC,BC之間的數(shù)量關(guān)系為

（)

A

E

BDC

(2)數(shù)學(xué)思考：當(dāng)。在線段CB的延長線上時，請你判斷(1)

中結(jié)論是否成立，并證明你的判斷；

(3)拓展延伸：當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，將aDAF

沿線段DE翻折，使得點A與點E重合，連接CE,CF,若

4CD=BC,AC=2忘，請直接寫出線段CF的長

E

5、在菱形ABCD中，ZABC=60°,點P在射線BD上，以AP為

邊向右側(cè)作等邊4APF,點F的位置隨著點P的位置變化而變化

（1）當(dāng)點F在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時，連接CF,BP與CF的數(shù)

量關(guān)系是（）CF與AD的位置關(guān)系是（）

當(dāng)點F在菱形ABCD外部時，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立請

證明；若不成立，請說明理由

F

F

6、如圖，在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點D為射線BC

上任意一點，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE,連接

CE

(1)如圖，當(dāng)點D在BC邊上(不與點B,C重合)時，請直接寫出

ZBCE的度數(shù)

(2)如圖，當(dāng)點D在BC的延長線上時，(1)中的結(jié)論是否還成立?

若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由

(3)如圖，在(2)的條件下，連接ED并延長，交AC的延長線于

點F,若AC=4,AD=6,請直接寫出線段CF的長

DA6AC4DC

：.FA=9

：.FC=5

7、(2015年河南中考卷22題)如圖1,在Rt^ABC中，ZB=90°,

BC=2AB=8,點O,￡分別是邊SC,AC的中點，連接?！?將△EDC

繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a.

(1)問題發(fā)現(xiàn)

①當(dāng)a=0。時，=;

②當(dāng)a=180。時，—=.

AC=46CE=2^

:.AE=645

80=12

.AE6A/5V5

（2）拓展探究

試判斷：當(dāng)0。在“<36（）。時，裝的大小有無變化？請僅就圖2的

情況給出證明.

???DE=2,DC=4:.CE=275

AB=4,BC=8,AC=4行

CD_1

圖2~BC~2

<ZACE=ZBCD

CE_1

,G4-2

.?.△ACEs△BQ)

AEAC475V5

?__________________

'BD~BC~82

（3）問題解決

當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A,D,E三點共線時，直接寫出線段3。的長.

BC

備用圖

AB=CD1=4,DIE=2

AC=445

由勾股定理算出4Q1=8

：.AB=CD\=4,AD1=BC=S

.?.A8CD1是矩形

BD\=AC=445

/B、(2019年南陽模擬)(1)在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角

形CFE中，NBAC=NEFC=90°,當(dāng)點E,A重合時，BE,AF的數(shù)量關(guān)系是

()

(2)將4CEF繞點C旋轉(zhuǎn)，連接BE,AF,線段BE和AF的數(shù)量關(guān)系有

無變化？僅就下圖給出證明

A

:.△BCEsXACF

(3)當(dāng)AB=AC=2,ACEF旋轉(zhuǎn)到B,E,F三點共線時,直角寫出線段AF

的長

A

BC

BF=R

<BE,=V6-V2

BE2=屈+五

子母三角形

a1+b2>lab

'：(a-Z?)2>0

3

當(dāng)且僅當(dāng)加=?時，底P。最小

m

9、（2019年焦作一模）如圖1,在中，ZBAC=90°,AB=AC,

點D,E分別在邊AB,AC上，AD=AE,連接。C,BE,點、P為DC

的中點.

（1）觀察猜想

圖1中，線段4P與BE的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是

（2）探究證明

把△AQE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，小航猜想（1）

中的結(jié)論仍然成立，請你證明小航的猜想；

（3）拓展延伸

把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4,AB=\0,請直接

寫出線段4P的取值范圍.

E

(1)AP=gcD=；BE,APLBE

E

AE=CF

<NBAE=ZACF

AB=AC

：DBAE^QACF

（3）AP=g8E

10-4<BE<10+4

/10、（2019年鎮(zhèn)平三模）如圖，已知直角三角形ABC,Z

ACB=90°,NBAC=30°,點D是AC邊上一點，過點D作DE_L

AB于點E,連接BD,點F是BD的中點，連接EF,CF

（1）發(fā)現(xiàn)問題：線段EF,CF之間的數(shù)量關(guān)系為（）；Z

EFC的度數(shù)為（）

（2）拓展與探究:若將4AED繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)a角（0°

<a<30°）如圖所示，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由

B

取AB,AD的中點M,N,易證ANFM是平行四邊形

.,.MF=AN=NE=ND

NF=AM=MB=MC

NBMF=NMAN=NFND

.?.ZENF=60°-ZFND=ZFMC=60°-ZBMF

MF=NE

<NFMC=ZENF..口ENF

MC=NF

：.EF=FC

NEFC=NEFN+ZNFD+NDFC

=ZMCF+ZABD+ZDFC

=NMCF+ZABD+NFBC+NFCB

=(ZMCF+ZFCB)+(ZABD+ZFBC)

=120°

(3)拓展與運用：如圖所示，將4AED繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中,

當(dāng)點D落在AB邊上時，AB邊上另有一個點G,

AD=DG=GB,BC=3,連接EG,請直接寫出EG的長度

11、（2019年新鄉(xiāng)模擬）

在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，ZBAC=Z

DAE=90°,AB=4,AE=2,其中^ABC固定，4ADE繞點A做旋轉(zhuǎn)，點

F,M,N分別為線段BE,BC,CD的中點，連接MN,NF

（1）問題提出：如圖，當(dāng)AD在線段AC上，NMNF的度數(shù)為（）

線段MN和NF的數(shù)量關(guān)系為（）

輔助線作法：連接CE,BD,并延長BD交CE于點G

易證△BADg^CAE,得至IjBD=CE,BD_LCE

由中位線定理知：MN和MF相等且垂直，AZMNF=45°

(2)深入討論：如圖，當(dāng)AD不在線段AC上時，請求出NMNF的

度數(shù)，線段MN和NF的數(shù)量關(guān)系

輔助線作法：連接CE,BD,

易證4BAD絲ZXCAE,得至I」BD=CE,BD_LCE

由中位線定理知：MN和MF相等且垂直，ZMNF=45°

(3)拓展延伸：如圖，4ADE持續(xù)旋轉(zhuǎn)過程中，若CE與BD交點為

P,則4BCP面積的最小值為()

D2E

以點A為圓心AD長為半徑作圓,

當(dāng)PB與圓相切時，點P到BC的距離最小，4BCP的面積最小

△ABD^AACE

可證出ADPE為正方形

12、（2019年宛城一模）已知在4ABC中，CA=CB,0°<ZACB^90°。

點M,N分別在邊CA,CB上（不與端點重合）。BN=AM,射線AG〃BC

交BM延長線于點D。點E在直線AN上，EA=ED

（1）如圖，點E在射線NA上，當(dāng)NACB=45°時，線段BM和AN

的數(shù)量關(guān)系是（）ZBDE的度數(shù)是（)

用SAS證烏△ACN

所有標(biāo)有x的角度都一樣

NBDE=ZADM+ZAMD

=180。-/。

=135°

(2)點E在射線AN上，當(dāng)NACB=30°時一，判定并證明線段BM和

AN的數(shù)量關(guān)系，求NBDE的度數(shù)

用S4S證ABCM四△ACN

所有標(biāo)有x的角度都一樣

EA=ED

：.ZEAD=NEDA

ZBDE=30°

(3)點E在直線AN上，當(dāng)NACB=60°時，AB=3,點N為BC邊上

的三等分點，直線ED與直線BC交于點F,請直接寫出線段CF的長

BM=41MC=2BC=3

BFFD

BD空

71

BF=-,CF=-

22