平均變化率及其求法演示

（優(yōu)選）平均變化率及其求法當(dāng)前1頁(yè)，總共24頁(yè)。微積分的創(chuàng)立者-----牛頓、萊布尼茨牛頓（1643--1727）萊布尼茨（1646----1716）一微積分簡(jiǎn)史當(dāng)前2頁(yè)，總共24頁(yè)。微積分創(chuàng)立背景微積分的創(chuàng)立主要與四類問(wèn)題處理有關(guān)：瞬時(shí)變化率、切線問(wèn)題、函數(shù)極值、幾何求積當(dāng)前3頁(yè)，總共24頁(yè)。第一類問(wèn)題求物體瞬時(shí)速度、加速度及運(yùn)動(dòng)距離已知物體運(yùn)動(dòng)的路程作為時(shí)間的函數(shù)，求物體任意時(shí)刻的速度和加速度；以及已知物體的加速度作為時(shí)間的函數(shù)，求速度和路程。困難在于：十七世紀(jì)所涉及的速度和加速度每時(shí)每刻都在變化。例如，計(jì)算瞬時(shí)速度，就不能象計(jì)算平均速度那樣，用運(yùn)動(dòng)的距離除以運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，因?yàn)樵诮o定的瞬刻，移動(dòng)的距離和所用的時(shí)間都是0，而0/0是無(wú)意義的。但根據(jù)物理學(xué)，每個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體在它運(yùn)動(dòng)的每一時(shí)刻必有速度，是不容懷疑的。當(dāng)前4頁(yè)，總共24頁(yè)。第二類問(wèn)題求曲線的切線。這個(gè)問(wèn)題的重要性來(lái)源于好幾個(gè)方面：純幾何問(wèn)題、光學(xué)中研究光線通過(guò)透鏡的通道問(wèn)題、運(yùn)動(dòng)物體在它的軌跡上任意一點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)方向問(wèn)題等。困難在于：曲線的“切線”的定義本身就是一個(gè)沒(méi)有解決的問(wèn)題。古希臘人把圓錐曲線的切線定義為“與曲線只接觸于一點(diǎn)而且位于曲線的一邊的直線”。這個(gè)定義對(duì)于十七世紀(jì)所用的較復(fù)雜的曲線已經(jīng)不適應(yīng)了。當(dāng)前5頁(yè)，總共24頁(yè)。第三類問(wèn)題求已知函數(shù)的最大最小值。十七世紀(jì)初期，伽利略斷定，在真空中以角發(fā)射炮彈時(shí)，射程最大。研究行星運(yùn)動(dòng)也涉及最大最小值問(wèn)題。困難在于：原有的初等計(jì)算方法已不適于解決研究中出現(xiàn)的問(wèn)題，但新的方法尚無(wú)眉目。當(dāng)前6頁(yè)，總共24頁(yè)。abxyo第四類問(wèn)題求曲線長(zhǎng)、曲面面積、物體重心及物體之間的引力（求曲線的長(zhǎng)度、曲線所圍成的面積、曲面所圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一個(gè)物體上的引力。）困難在于：歐多克斯的窮竭法雖然被阿基米德熟練地用來(lái)求出了很多圖形的面積及幾何體的體積，但它畢竟是一種有限且相當(dāng)復(fù)雜的幾何方法，已不能解決第四類問(wèn)題。當(dāng)前7頁(yè)，總共24頁(yè)。二變化率問(wèn)題當(dāng)前8頁(yè)，總共24頁(yè)。

問(wèn)0—2時(shí)與2—21時(shí)，哪段時(shí)間的成交額變化快,為什么?501001502002503003504001234567891011121314151617181920212223成交額Q(t)(億元)t問(wèn)題12013年11月11日淘寶天貓成交額隨時(shí)間變化趨勢(shì)圖如下：B(2,100)A(0,0)C(21,300)當(dāng)前9頁(yè)，總共24頁(yè)。2-0=2(小時(shí))100-0=100(億元)100/2

=50(億元/小時(shí))成交額隨時(shí)間變化關(guān)系Q=Q（t）時(shí)間的改變量t2-t1成交額的改變量Q2-Q1成交額差/時(shí)間差成交額變化快慢快慢問(wèn)：怎么量化0—2時(shí)與2—21時(shí)成交額變化快(圖象陡峭)、慢(圖象平緩)？200/1921-2=19(小時(shí))300-100=200(億元)10.53(億元/小時(shí))>當(dāng)前10頁(yè)，總共24頁(yè)。

為什么該人的運(yùn)動(dòng)s-t圖不是直線段？如何從該s-t圖分析他路程隨時(shí)間的變化快慢？問(wèn)題2當(dāng)前11頁(yè)，總共24頁(yè)。t1t2S(t1)S(t2)A（21,70）B（24,100）O（0,0）問(wèn)：為什么0---t1圖像比t1---t2“平緩”？21-0=21(s)70-0=70(m)慢快路程隨時(shí)間變化關(guān)系S=S（t）時(shí)間的改變量

Δt=t2-t1路程的改變量Δs=S2-S1路程差/時(shí)間差(Δs/Δt)速度變化快慢24-21=3(s)100-70=30(m)30/3=10(m/s)70/21=3.3(m/s)<如何量化圖象“平緩（變化慢）”“陡峭（變化快）”？當(dāng)前12頁(yè)，總共24頁(yè)。9-0=9(s)60-0=60(m)慢快路程隨時(shí)間變化關(guān)系S=S（t）時(shí)間的改變量

Δt=t2-t1路程的改變量Δs=S2-S1路程差/時(shí)間差(Δs/Δt)路程變化快慢11-9=2(s)100-60=40(m)40/2=20(m/s)60/96.7(m/s)<成交額隨時(shí)間變化關(guān)系Q=Q（t）時(shí)間的改變量t2-t1成交額的改變量T2-T12-0=2(小時(shí))21-2=19(小時(shí))100-0=100(億元)300-100=200(億元)成交額差/時(shí)間差100/2200/19

=50(億元/小時(shí))成交額變化快慢快慢>問(wèn)題210.53(億元/小時(shí))問(wèn)題1當(dāng)前13頁(yè)，總共24頁(yè)。兩個(gè)變化率（快慢）問(wèn)題如何刻畫一般的函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1，x2]上隨x變化（增加或減少）的“快”與“慢”？(1)成交額［t1,t2］平均變化率(快慢)問(wèn)題：(2)路程在［t1,t2］平均變化率(快慢)問(wèn)題：當(dāng)前14頁(yè)，總共24頁(yè)。亦即：平均變化率等于函數(shù)的增量與自變量的增量之比值。三平均變化率的定義當(dāng)前15頁(yè)，總共24頁(yè)。f(x2)-f(x1)x2-x1f(x2)f(x1)x1x2割線斜率這是平均變化率的幾何意義（x1

，f(x1)

）（x2

，f(x2)

）當(dāng)前16頁(yè)，總共24頁(yè)。求函數(shù)f(x)平均變化率的步驟：一、求自變量的增量Δx=x2-x1二、求函數(shù)的增量Δy=f(x2)-f(x1)當(dāng)前17頁(yè)，總共24頁(yè)。已知f(x)=2x2+1，求：

(1)從x=1到x=2的平均變化率；

(2)從x1到x2的平均變化率。例題1變式訓(xùn)練:求函數(shù)在下列區(qū)間的平均變化率(1)[1,1.0003](2)[1,1.0002](3)[1,1.0001]4.00064.00044.0002當(dāng)前18頁(yè)，總共24頁(yè)。

某物體的運(yùn)動(dòng)速度隨時(shí)間的變化情況如下圖所示

(1)求0s-3s的速度平均變化率？（2）求3s-7s的速度平均變化率？（3）求7s-14s的速度平均變化率？（4）求14s-20s的速度平均變化率？提示：例題2V(m/s)t(s)0203714166812當(dāng)前19頁(yè)，總共24頁(yè)。平均變化率的變化與函數(shù)圖象的形狀有何聯(lián)系？探究.拓展：平均變化率是曲線陡峭程度的

數(shù)量化曲線陡峭程度是平均變化率的

視覺(jué)化當(dāng)前20頁(yè)，總共24頁(yè)。例1變式訓(xùn)練：求函數(shù)發(fā)現(xiàn)Δx越接近于0，ΔyΔx越接近4Δx=0.0003Δx=0.0002Δx=0.0001在下列區(qū)間的平均變化率：（1）[1,1.0003]（2）[1,1.0002]（3）[1,1.0001]4.00064.00044.0002當(dāng)前21頁(yè)，總共24頁(yè)。記憶保持量（百分?jǐn)?shù)）天數(shù)10204060801002345

……

……21.1%一個(gè)月后25.4%6天后27.8%2天后33.7%1天后35.8%8-9小時(shí)之后44.2%1小時(shí)之后58.2%20分鐘之后100%剛剛記憶完畢記憶保持量時(shí)間間隔德國(guó)著名心理學(xué)家艾賓浩斯的