平均變化率及其求法演示

（優(yōu)選）平均變化率及其求法當前1頁，總共24頁。微積分的創(chuàng)立者-----牛頓、萊布尼茨牛頓（1643--1727）萊布尼茨（1646----1716）一微積分簡史當前2頁，總共24頁。微積分創(chuàng)立背景微積分的創(chuàng)立主要與四類問題處理有關：瞬時變化率、切線問題、函數(shù)極值、幾何求積當前3頁，總共24頁。第一類問題求物體瞬時速度、加速度及運動距離已知物體運動的路程作為時間的函數(shù)，求物體任意時刻的速度和加速度；以及已知物體的加速度作為時間的函數(shù)，求速度和路程。困難在于：十七世紀所涉及的速度和加速度每時每刻都在變化。例如，計算瞬時速度，就不能象計算平均速度那樣，用運動的距離除以運動的時間，因為在給定的瞬刻，移動的距離和所用的時間都是0，而0/0是無意義的。但根據(jù)物理學，每個運動的物體在它運動的每一時刻必有速度，是不容懷疑的。當前4頁，總共24頁。第二類問題求曲線的切線。這個問題的重要性來源于好幾個方面：純幾何問題、光學中研究光線通過透鏡的通道問題、運動物體在它的軌跡上任意一點處的運動方向問題等。困難在于：曲線的“切線”的定義本身就是一個沒有解決的問題。古希臘人把圓錐曲線的切線定義為“與曲線只接觸于一點而且位于曲線的一邊的直線”。這個定義對于十七世紀所用的較復雜的曲線已經(jīng)不適應了。當前5頁，總共24頁。第三類問題求已知函數(shù)的最大最小值。十七世紀初期，伽利略斷定，在真空中以角發(fā)射炮彈時，射程最大。研究行星運動也涉及最大最小值問題。困難在于：原有的初等計算方法已不適于解決研究中出現(xiàn)的問題，但新的方法尚無眉目。當前6頁，總共24頁。abxyo第四類問題求曲線長、曲面面積、物體重心及物體之間的引力（求曲線的長度、曲線所圍成的面積、曲面所圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一個物體上的引力。）困難在于：歐多克斯的窮竭法雖然被阿基米德熟練地用來求出了很多圖形的面積及幾何體的體積，但它畢竟是一種有限且相當復雜的幾何方法，已不能解決第四類問題。當前7頁，總共24頁。二變化率問題當前8頁，總共24頁。

問0—2時與2—21時，哪段時間的成交額變化快,為什么?501001502002503003504001234567891011121314151617181920212223成交額Q(t)(億元)t問題12013年11月11日淘寶天貓成交額隨時間變化趨勢圖如下：B(2,100)A(0,0)C(21,300)當前9頁，總共24頁。2-0=2(小時)100-0=100(億元)100/2

=50(億元/小時)成交額隨時間變化關系Q=Q（t）時間的改變量t2-t1成交額的改變量Q2-Q1成交額差/時間差成交額變化快慢快慢問：怎么量化0—2時與2—21時成交額變化快(圖象陡峭)、慢(圖象平緩)？200/1921-2=19(小時)300-100=200(億元)10.53(億元/小時)>當前10頁，總共24頁。

為什么該人的運動s-t圖不是直線段？如何從該s-t圖分析他路程隨時間的變化快慢？問題2當前11頁，總共24頁。t1t2S(t1)S(t2)A（21,70）B（24,100）O（0,0）問：為什么0---t1圖像比t1---t2“平緩”？21-0=21(s)70-0=70(m)慢快路程隨時間變化關系S=S（t）時間的改變量

Δt=t2-t1路程的改變量Δs=S2-S1路程差/時間差(Δs/Δt)速度變化快慢24-21=3(s)100-70=30(m)30/3=10(m/s)70/21=3.3(m/s)<如何量化圖象“平緩（變化慢）”“陡峭（變化快）”？當前12頁，總共24頁。9-0=9(s)60-0=60(m)慢快路程隨時間變化關系S=S（t）時間的改變量

Δt=t2-t1路程的改變量Δs=S2-S1路程差/時間差(Δs/Δt)路程變化快慢11-9=2(s)100-60=40(m)40/2=20(m/s)60/96.7(m/s)<成交額隨時間變化關系Q=Q（t）時間的改變量t2-t1成交額的改變量T2-T12-0=2(小時)21-2=19(小時)100-0=100(億元)300-100=200(億元)成交額差/時間差100/2200/19

=50(億元/小時)成交額變化快慢快慢>問題210.53(億元/小時)問題1當前13頁，總共24頁。兩個變化率（快慢）問題如何刻畫一般的函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1，x2]上隨x變化（增加或減少）的“快”與“慢”？(1)成交額［t1,t2］平均變化率(快慢)問題：(2)路程在［t1,t2］平均變化率(快慢)問題：當前14頁，總共24頁。亦即：平均變化率等于函數(shù)的增量與自變量的增量之比值。三平均變化率的定義當前15頁，總共24頁。f(x2)-f(x1)x2-x1f(x2)f(x1)x1x2割線斜率這是平均變化率的幾何意義（x1

，f(x1)

）（x2

，f(x2)

）當前16頁，總共24頁。求函數(shù)f(x)平均變化率的步驟：一、求自變量的增量Δx=x2-x1二、求函數(shù)的增量Δy=f(x2)-f(x1)當前17頁，總共24頁。已知f(x)=2x2+1，求：

(1)從x=1到x=2的平均變化率；

(2)從x1到x2的平均變化率。例題1變式訓練:求函數(shù)在下列區(qū)間的平均變化率(1)[1,1.0003](2)[1,1.0002](3)[1,1.0001]4.00064.00044.0002當前18頁，總共24頁。

某物體的運動速度隨時間的變化情況如下圖所示

(1)求0s-3s的速度平均變化率？（2）求3s-7s的速度平均變化率？（3）求7s-14s的速度平均變化率？（4）求14s-20s的速度平均變化率？提示：例題2V(m/s)t(s)0203714166812當前19頁，總共24頁。平均變化率的變化與函數(shù)圖象的形狀有何聯(lián)系？探究.拓展：平均變化率是曲線陡峭程度的

數(shù)量化曲線陡峭程度是平均變化率的

視覺化當前20頁，總共24頁。例1變式訓練：求函數(shù)發(fā)現(xiàn)Δx越接近于0，ΔyΔx越接近4Δx=0.0003Δx=0.0002Δx=0.0001在下列區(qū)間的平均變化率：（1）[1,1.0003]（2）[1,1.0002]（3）[1,1.0001]4.00064.00044.0002當前21頁，總共24頁。記憶保持量（百分數(shù)）天數(shù)10204060801002345

……

……21.1%一個月后25.4%6天后27.8%2天后33.7%1天后35.8%8-9小時之后44.2%1小時之后58.2%20分鐘之后100%剛剛記憶完畢記憶保持量時間間隔德國著名心理學家艾賓浩斯的