2022-2023學(xué)年重慶市江津區(qū)京師實驗學(xué)校等四校聯(lián)考九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年重慶市江津區(qū)京師實驗學(xué)校等四校聯(lián)考九年級第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：（每小題4分，共48分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將正確答案的代號填在題后的括號中．1．下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（）A．y＝2x+1 B．y＝（x﹣1）2﹣x2 C．y＝2x2﹣7 D．2．下列圖形是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．方程x2+x﹣12＝0的兩根的情況是（）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．有兩個相同的實數(shù)根 D．不能確定4．如圖，△ABC是等邊三角形，D為BC邊上的點，∠BAD＝20°，△ABD經(jīng)旋轉(zhuǎn)后到達△ACE的位置，那么旋轉(zhuǎn)了（）A．65° B．60° C．55° D．20°5．拋物線y＝3x2向右平移1個單位，再向下平移2個單位，所得到的拋物線是（）A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2 C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+26．下列說法中正確的是（）A．全等的兩個圖形成中心對稱 B．能夠完全重合的兩個圖形成中心對稱 C．繞某點旋轉(zhuǎn)后能夠重合的兩個圖形成中心對稱 D．繞某點旋轉(zhuǎn)180°后能夠重合的兩個圖形成中心對稱7．二次函數(shù)y＝x2+4x+a的最小值是5，則a的值是（）A．5 B．6 C．7 D．98．若方程ax2+bx+c＝0的兩個根是﹣3和1，那么二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象的對稱軸是直線（）A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝﹣1 D．x＝19．用大小相同的圓點擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規(guī)律擺放，則第9個圖案中共有圓點的個數(shù)是（）A．59 B．65 C．70 D．7110．已知二次函數(shù)y＝ax2+bc+c的圖象如圖所示，則在“①a＜0；②b＞0；③c＞0；④b2﹣4ac＞0”中正確的判斷是（）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④11．使得關(guān)于x的不等式組有且只有4個整數(shù)解，且關(guān)于x的一元二次方程（a﹣5）x2+4x+1＝0有實數(shù)根的所有整數(shù)a的值之和為（）A．35 B．30 C．26 D．2112．對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列說法：①若a+b+c＝0，則b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有兩個不相等的實根，則方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有兩個不相等的實根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一個根，則一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，則b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題：（本大題共4個小題，每小題4分，共16分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上.13．拋物線的頂點坐標(biāo)是．14．已知x＝a是x2﹣3x﹣6＝0的根，則代數(shù)式7+6a﹣2a2的值為．15．如圖，已知鈍角三角形ABC，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)110°得到△AB′C′，連接BB′，若AC′∥BB′，則∠CAB′的度數(shù)為．16．新新面粉廠現(xiàn)有小麥若干千克和面粉500千克準(zhǔn)備一邊繼續(xù)將小麥生產(chǎn)成面粉，一邊將生產(chǎn)好的面粉加工成面條，現(xiàn)將全部10名工人，分為A、B兩組，A組負責(zé)將小麥加工成面粉，B組負責(zé)將面粉加工成面條．已知每位工人每天可將100千克小麥生產(chǎn)成75千克面粉或?qū)?5千克面粉加工成50千克面條．生產(chǎn)m天后，面粉質(zhì)量與面條質(zhì)量之比為13：2，又生產(chǎn)了若干天后，小麥全部用完，此時面粉質(zhì)量與面條質(zhì)量之比為6：1，若繼續(xù)將所有面粉都加工成面條再出售，且每千克面條售出后可獲利3元，則所有面條售出后，新新面粉廠共可獲利元．三、解答題：（本大題共9個小題，17-18每小題8分，共16分、19-25每題各10分，共70分）請把答案寫在答題卡上對應(yīng)的空白處，解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟．17．計算：（1）x2+4x﹣5＝0；（2）（x﹣5）2＝16．18．計算：（1）（x﹣y）2﹣y（y﹣2x）；（2）÷（1﹣）．19．如圖，四邊形ABCD是矩形，連接AC、BD交于點O，AE平分∠BAO交BD于點E．（1）用尺規(guī)完成基本作圖：作∠ACD的角平分線交BD于點F，連接AF，EC；（保留作圖痕跡，不寫作法，不寫結(jié)論）（2）猜想四邊形AECF是哪種特殊四邊形，并完成下列證明．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝OC，AB∥CD．∴∠＝∠．∵AE平分∠BAO，CF平分∠DCO，∴∠EAO＝∠BAO，∠FCO＝∠DCO．∴．∵在△AEO和△CFO中，，．．又∵AO＝CO，∴四邊形AECF是．20．閱讀與理解：法國數(shù)學(xué)家韋達在研究一元二次方程時有一項重大發(fā)現(xiàn)：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根分別是x1和x2，那么，．例如：方程2x2+3x﹣5＝0的兩根分別是x1和x2，則，．請同學(xué)們閱讀后利用上述結(jié)論完成下列問題：（1）已知方程3x2﹣7＝11x的兩根分別是x1和x2，則x1+x2＝，x1x2＝．（2）已知方程x2+5x﹣3＝0的兩根分別是x1和x2，求的值．21．如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c過點A（1，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）在拋物線上存在一點P，使△ABP的面積為10，請求出點P的坐標(biāo)．22．2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一開售時，就深受大家的喜歡．某供應(yīng)商今年2月第一周購進一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一個冰墩墩的進價比一個“雪容融”的進價多40元，進貨20個“冰墩墩”和30個“雪容融”的金額相同．（1）今年2月第一周每個“冰墩墩”和“雪容融”的進價分別是多少元？（2）今年2月第一周，供應(yīng)商以150元每個售出“冰墩墩”120個，以100元每個售出“雪容融”150個．第二周供應(yīng)商決定調(diào)整價格，每個“冰墩墩”的價格不變，每個“雪容融”的售價在第一周的基礎(chǔ)上下降了m元，由于冬奧賽事的火熱進行，第二周“冰墩墩”的銷量比第一周增加了個，“雪容融”的銷量比第一周增加了m個，最終商家獲利6600元，求m．23．對于各位數(shù)字均不相同的三位自然數(shù)m＝，交換百位數(shù)字和個位數(shù)字后得到m1＝，記F（m）＝，若F（m）能被5整除，則稱m為“五好數(shù)”．例如：621是“五好數(shù)”，因為F（621）＝＝5，5能被5整除，所以621是“五好數(shù)”；743不是“五好數(shù)”，因為F（743）＝＝4，4不能被5整除，所以743不是“五好數(shù)”．（1）判斷409、678是否是“五好數(shù)”？并說明理由；（2）m是“五好數(shù)”，若a＞c且滿足|a﹣b|+|b﹣c|能被7整除，求出所有符合題意的m值．24．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于A，B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標(biāo)是（1，0），C點坐標(biāo)是（4，﹣3）．（1）求拋物線解析式；（2）點E是（1）中拋物線對稱軸上的動點，點F是x軸上的動點，點M是（1）中拋物線上的一動點且位于直線AC上方．①試求△ACM的最大面積以及此時點M的坐標(biāo)；②在①的條件下求ME+EF+AF的最小值．（3）拋物線上是否存在點P，平面內(nèi)一點Q，使得以P、A、C、Q為頂點的四邊形是以AC為邊的矩形？如果存在，求出Q點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．25．如圖在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°；（1）如圖1，若AB＝2，求BC的長；（2）如圖2，在△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝120°，連接BD、CE，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，①當(dāng)點D、E、C三點共線時，求證：CD＝AD+BD；②若DE交AB于點F，且AE⊥CE，AD＝DF，請直接寫出的值．

參考答案一、選擇題：（每小題4分，共48分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將正確答案的代號填在題后的括號中．1．下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（）A．y＝2x+1 B．y＝（x﹣1）2﹣x2 C．y＝2x2﹣7 D．【分析】根據(jù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的定義判斷各選項即可得出答案．解：A、是一次函數(shù)，故本選項錯誤；B、整理后是一次函數(shù)，故本選項錯誤；C、y＝2x2﹣7是二次函數(shù)，故本選項正確；D、y與x2是反比例函數(shù)關(guān)系，故本選項錯誤．故選：C．【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的定義條件：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的定義條件是：a、b、c為常數(shù)，a≠0，自變量最高次數(shù)為2．2．下列圖形是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義旋轉(zhuǎn)180°后能夠與原圖形完全重合即是中心對稱圖形，以及軸對稱圖形的定義即可判斷出．解：A、該圖形是中心對稱圖形，正確，B、該圖形不是中心對稱圖形，錯誤；C、該圖形不是中心對稱圖形，錯誤；D、該圖形是軸對稱圖形，錯誤；故選：A．【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱的定義，根據(jù)定義得出圖形形狀是解決問題的關(guān)鍵．3．方程x2+x﹣12＝0的兩根的情況是（）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．有兩個相同的實數(shù)根 D．不能確定【分析】先求出Δ的值，再判斷出其符號即可．解：∵方程x2+x﹣12＝0中，Δ＝12﹣4×（﹣12）＝49＞0，∴此方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：B．【點評】本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．4．如圖，△ABC是等邊三角形，D為BC邊上的點，∠BAD＝20°，△ABD經(jīng)旋轉(zhuǎn)后到達△ACE的位置，那么旋轉(zhuǎn)了（）A．65° B．60° C．55° D．20°【分析】由△ABD經(jīng)旋轉(zhuǎn)后到達△ACE的位置，而AB＝AC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BAC等于旋轉(zhuǎn)角，即旋轉(zhuǎn)角等于60°．解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵△ABD經(jīng)旋轉(zhuǎn)后到達△ACE的位置，∴∠BAC等于旋轉(zhuǎn)角，即旋轉(zhuǎn)角等于60°．故選：B．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．5．拋物線y＝3x2向右平移1個單位，再向下平移2個單位，所得到的拋物線是（）A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2 C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2【分析】根據(jù)圖象向下平移減，向右平移減，可得答案．解：拋物線y＝3x2向右平移1個單位，再向下平移2個單位，所得到的拋物線是y＝3（x﹣1）2﹣2，故選：A．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”直接代入函數(shù)解析式求得平移后的函數(shù)解析式．6．下列說法中正確的是（）A．全等的兩個圖形成中心對稱 B．能夠完全重合的兩個圖形成中心對稱 C．繞某點旋轉(zhuǎn)后能夠重合的兩個圖形成中心對稱 D．繞某點旋轉(zhuǎn)180°后能夠重合的兩個圖形成中心對稱【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義（繞某點旋轉(zhuǎn)180度后能夠重合的兩個圖形成中心對稱）解決此題．解：A．全等的兩個圖形不一定成中心對稱，如：底邊在同一條直線上且腰長大于底邊長的兩個全等等腰三角形不成中心對稱，那么A錯誤，故A不符合題意．B．能夠完全重合的圖形是全等圖形，不一定成中心對稱，那么B錯誤，故B不符合題意．C．根據(jù)中心對稱圖形的定義，繞某點旋轉(zhuǎn)180度后能夠重合的兩個圖形成中心對稱，那么C錯誤，故C不符合題意．D．根據(jù)中心對稱圖形的定義，繞某點旋轉(zhuǎn)180°后能夠重合的兩個圖形成中心對稱，那么D正確，故D符合題意．故選：D．【點評】本題主要考查中心對稱圖形，熟練掌握中心對稱圖形的定義是解決本題的關(guān)鍵．7．二次函數(shù)y＝x2+4x+a的最小值是5，則a的值是（）A．5 B．6 C．7 D．9【分析】直接用二次函數(shù)的最值公式代入計算可得．解：由二次函數(shù)y＝x2+4x+a的最小值為5可知＝＝5，解得a＝9，故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．若方程ax2+bx+c＝0的兩個根是﹣3和1，那么二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象的對稱軸是直線（）A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝﹣1 D．x＝1【分析】先根據(jù)題意得出拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，再由兩點坐標(biāo)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱即可得出結(jié)論．解：∵方程ax2+bx+c＝0的兩個根是﹣3和1，∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的交點分別為（﹣3，0），（1，0）．∵此兩點關(guān)于對稱軸對稱，∴對稱軸是直線x＝＝﹣1．故選：C．【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點，熟知拋物線與x軸的交點與一元二次方程根的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．9．用大小相同的圓點擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規(guī)律擺放，則第9個圖案中共有圓點的個數(shù)是（）A．59 B．65 C．70 D．71【分析】觀察圖形可知，第1個圖形共有圓點5+2個；第2個圖形共有圓點5+2+3個；第3個圖形共有圓點5+2+3+4個；第4個圖形共有圓點5+2+3+4+5個；…；則第n個圖形共有圓點5+2+3+4+…+n+（n+1）個；由此代入n＝9求得答案即可．解：根據(jù)圖中圓點排列，當(dāng)n＝1時，圓點個數(shù)5+2；當(dāng)n＝2時，圓點個數(shù)5+2+3；當(dāng)n＝3時，圓點個數(shù)5+2+3+4；當(dāng)n＝4時，圓點個數(shù)5+2+3+4+5，…∴當(dāng)n＝10時，圓點個數(shù)5+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝4+（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）＝4+×10×（10+1）＝59．故選：A．【點評】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出數(shù)量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結(jié)論，利用規(guī)律解決問題．10．已知二次函數(shù)y＝ax2+bc+c的圖象如圖所示，則在“①a＜0；②b＞0；③c＞0；④b2﹣4ac＞0”中正確的判斷是（）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④【分析】有拋物線開口方向，對稱軸位置，拋物線與x軸交點位置，拋物線與x軸交點個數(shù)求解．解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線對稱軸在y軸左側(cè)，∴b＜0，∵拋物線與y軸交點在x軸上方，∴c＞0，∵拋物線與x軸有2個交點，∴b2﹣4ac＞0，∴①③④正確，故選：D．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．11．使得關(guān)于x的不等式組有且只有4個整數(shù)解，且關(guān)于x的一元二次方程（a﹣5）x2+4x+1＝0有實數(shù)根的所有整數(shù)a的值之和為（）A．35 B．30 C．26 D．21【分析】解不等式組得到4＜a≤10，由關(guān)于x的一元二次方程（a﹣5）x2+4x+1＝0有實數(shù)根，得到a≤9，于是得到結(jié)論．解：解不等式組的≤x＜4，∵關(guān)于x的不等式組有且只有4個整數(shù)解，∴﹣1＜≤0，解得4＜a≤10，∵關(guān)于x的一元二次方程（a﹣5）x2+4x+1＝0有實數(shù)根，∴△＝16﹣4（a﹣5）≥0，解得：a≤9且a≠5，∵a為整數(shù)，∴a＝6，7，8，9，∴所有整數(shù)a的值之和＝6+7+8+9＝30，故選：B．【點評】本題主要考查了根的判別式、及解不等式組，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的判別式、不等式組的解法．12．對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列說法：①若a+b+c＝0，則b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有兩個不相等的實根，則方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有兩個不相等的實根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一個根，則一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，則b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)解決此題．解：①當(dāng)x＝1時，a×12+b×1+c＝a+b+c＝0，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個不相等的實數(shù)根或有兩個相等的實數(shù)根，此時b2﹣4ac≥0成立，那么①一定正確．②方程ax2+c＝0有兩個不相等的實根，則﹣4ac＞0，那么b2﹣4ac＞0，故方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有兩個不相等的實根，進而推斷出②正確．③由c是方程ax2+bx+c＝0的一個根，得ac2+bc+c＝0．當(dāng)c≠0，則ac+b+1＝0；當(dāng)c＝0，則ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正確．④，由b2﹣4ac＝，得．由x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，則成立，那么④正確．綜上：正確的有①②④，共3個．故選：C．【點評】本題主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)，熟練掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題：（本大題共4個小題，每小題4分，共16分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上.13．拋物線的頂點坐標(biāo)是（5，3）．【分析】二次函數(shù)的一般形式中的頂點式是：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常數(shù)），它的對稱軸是直線x＝h，頂點坐標(biāo)是（h，k）．解：拋物線的頂點坐標(biāo)是（5，3），故答案為：（5，3）．【點評】本題主要是對一般形式中對稱軸，頂點坐標(biāo)的考查．14．已知x＝a是x2﹣3x﹣6＝0的根，則代數(shù)式7+6a﹣2a2的值為﹣5．【分析】先根據(jù)一元二次方程根的定義得到a2﹣3a＝6，再把7+6a﹣2a2變形為7﹣2（a2﹣3a），然后利用整體代入的方法計算．解：∵x＝a是方程x2﹣3x﹣6＝0的根，∴a2﹣3a﹣6＝0，∴a2﹣3a＝6，∴7+6a﹣2a2＝7﹣2（a2﹣3a）＝7﹣2×6＝﹣5．故答案為：﹣5．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．15．如圖，已知鈍角三角形ABC，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)110°得到△AB′C′，連接BB′，若AC′∥BB′，則∠CAB′的度數(shù)為75°．【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BAB′＝∠CAC′＝110°，AB＝AB′，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)易得∠AB′B＝35°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠C′AB′＝∠AB′B＝35°，然后利用∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′進行計算即可得出答案．解：∵將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)110°得到△AB′C′，∴∠BAB′＝∠CAC′＝110°，AB＝AB′，∴∠AB′B＝（180°﹣110°）＝35°，∵AC′∥BB′，∴∠C′AB′＝∠AB′B＝35°，∴∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′＝110°﹣35°＝75°．故答案為：75°．【點評】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：掌握旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角是本題的關(guān)鍵．16．新新面粉廠現(xiàn)有小麥若干千克和面粉500千克準(zhǔn)備一邊繼續(xù)將小麥生產(chǎn)成面粉，一邊將生產(chǎn)好的面粉加工成面條，現(xiàn)將全部10名工人，分為A、B兩組，A組負責(zé)將小麥加工成面粉，B組負責(zé)將面粉加工成面條．已知每位工人每天可將100千克小麥生產(chǎn)成75千克面粉或?qū)?5千克面粉加工成50千克面條．生產(chǎn)m天后，面粉質(zhì)量與面條質(zhì)量之比為13：2，又生產(chǎn)了若干天后，小麥全部用完，此時面粉質(zhì)量與面條質(zhì)量之比為6：1，若繼續(xù)將所有面粉都加工成面條再出售，且每千克面條售出后可獲利3元，則所有面條售出后，新新面粉廠共可獲利39000元．【分析】設(shè)有x名工人分在A組，則有（10﹣x）名工人分在B組，根據(jù)題意列出方程求出m及x的值，設(shè)又生產(chǎn)了t天后，小麥全部用完，根據(jù)此時面粉質(zhì)量與面條質(zhì)量之比為6：1，列出關(guān)于t的方程，解方程求出t的值，進而得出最后生產(chǎn)的面條質(zhì)量，即可求出答案．解：設(shè)有x名工人分在A組，則有（10﹣x）名工人分在B組，生產(chǎn)m天后，面粉質(zhì)量為：500+75mx﹣25m（10﹣x）（kg），面條質(zhì)量為：50m（10﹣x）（kg），∵生產(chǎn)m天后，面粉質(zhì)量與面條質(zhì)量之比為13：2，∴，∴x＝，∵m、x為正整數(shù)，且x＜10，∴7m﹣1為17的倍數(shù)，∴m＝5，∴x＝＝＝8，∴生產(chǎn)m天后，面粉質(zhì)量為：500+75mx﹣25m（10﹣x）＝500+75×5×8﹣25×5×（10﹣8）＝3250（kg），面條質(zhì)量為：50m（10﹣x）＝50×5×（10﹣8）＝500（kg），設(shè)又生產(chǎn)了t天后，小麥全部用完，此時面粉質(zhì)量與面條質(zhì)量之比為6：1，∴面粉質(zhì)量為：3250+75×8t﹣25t×（10﹣8）＝3250+600t﹣50t＝（3250+550t）（kg），面條質(zhì)量為：500+50t×（10﹣8）＝（500+100t）（kg），∴，解得：t＝5，∴最后生產(chǎn)面條質(zhì)量為：（3250+550×5）×2+500+100×5＝13000（kg），故所有面條售出后可獲利：13000×3＝39000（元），故答案為：39000．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意在不同條件下分別表示出面粉和面條的質(zhì)量，從而列出方程是解決問題的關(guān)鍵．三、解答題：（本大題共9個小題，17-18每小題8分，共16分、19-25每題各10分，共70分）請把答案寫在答題卡上對應(yīng)的空白處，解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟．17．計算：（1）x2+4x﹣5＝0；（2）（x﹣5）2＝16．【分析】（1）根據(jù)因式分解法解方程即可求解；（2）根據(jù)因式分解法解方程即可求解．解：（1）x2+4x﹣5＝0，（x+5）（x﹣1）＝0，解得x1＝﹣5，x2＝1；（2）（x﹣5）2＝16，（x﹣5）2﹣16＝0，（x﹣5﹣4）（x﹣5+4）＝0，（x﹣9）（x﹣1）＝0，解得x1＝9，x2＝1．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．18．計算：（1）（x﹣y）2﹣y（y﹣2x）；（2）÷（1﹣）．【分析】（1）根據(jù)完全平方公式和單項式乘多項式的運算法則先計算乘方和乘法，然后合并同類項進行化簡；（2）先將括號內(nèi)的式子進行通分計算，然后再算括號外面的除法．解：（1）原式＝x2﹣2xy+y2﹣y2+2xy＝x2；（2）原式＝÷＝＝．【點評】本題考查整式的混合運算，分式的混合運算，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的結(jié)構(gòu)，分式混合運算的運算順序（先算乘方，然后算乘除，最后算加減，有小括號先算小括號里面的）和計算法則是解題關(guān)鍵．19．如圖，四邊形ABCD是矩形，連接AC、BD交于點O，AE平分∠BAO交BD于點E．（1）用尺規(guī)完成基本作圖：作∠ACD的角平分線交BD于點F，連接AF，EC；（保留作圖痕跡，不寫作法，不寫結(jié)論）（2）猜想四邊形AECF是哪種特殊四邊形，并完成下列證明．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝OC，AB∥CD．∴∠BAO＝∠DCO．∵AE平分∠BAO，CF平分∠DCO，∴∠EAO＝∠BAO，∠FCO＝∠DCO．∴∠EAO＝∠FCO．∵在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA）．∴OE＝OF．又∵AO＝CO，∴四邊形AECF是平行四邊形．【分析】（1）利用尺規(guī)作出圖形即可；（2）證明△AEO≌△CFO（ASA），推出OE＝OF，可得結(jié)論．【解答】（1）解：圖形如圖所示：（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝OC，AB∥DC，∴∠BAO＝∠DCO，∵AE平分∠BAO，CF平分∠DCO，∴∠EAO＝∠BAO，∠FCO＝∠DCO．∴∠EAO＝∠FCO，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE＝OF，又∵AO＝CO，∴四邊形AECF是平行四邊形．故答案為：∠BAO＝∠DCO，∠EAO＝∠FCO，△AEO≌△CFO（ASA），OE＝OF，平行四邊形．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．20．閱讀與理解：法國數(shù)學(xué)家韋達在研究一元二次方程時有一項重大發(fā)現(xiàn)：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根分別是x1和x2，那么，．例如：方程2x2+3x﹣5＝0的兩根分別是x1和x2，則，．請同學(xué)們閱讀后利用上述結(jié)論完成下列問題：（1）已知方程3x2﹣7＝11x的兩根分別是x1和x2，則x1+x2＝，x1x2＝﹣．（2）已知方程x2+5x﹣3＝0的兩根分別是x1和x2，求的值．【分析】（1）將原方程轉(zhuǎn)化為一般形式，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出x1+x2及x1x2的值；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣3，再將其代入＝（x1+x2）2﹣2x1x2中即可求出結(jié)論．解：（1）∵原方程化為一般形式為3x2﹣11x﹣7＝0，∴a＝3，b＝﹣11，c＝﹣7，∵x1和x2是原方程的兩個實數(shù)根，∴x1+x2＝﹣＝，x1x2＝＝﹣．故答案為：；﹣．（2）∵方程x2+5x﹣3＝0的兩根分別是x1，x2，∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣3，∴＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣5）2﹣2×（﹣3）＝31．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及數(shù)學(xué)常識，牢記“兩根之和等于﹣，兩根之積等于”是解題的關(guān)鍵．21．如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c過點A（1，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）在拋物線上存在一點P，使△ABP的面積為10，請求出點P的坐標(biāo)．【分析】（1）把A、C兩點坐標(biāo)代入y＝x2+bx+c得b、c的方程組，然后解方程即可；（2）設(shè)P（x，x2+2x﹣3），先解方程x2+2x﹣3＝0得B（﹣3，0），利用三角形面積公式得到?4?|x2+2x﹣3|＝10，然后解絕對值方程可確定P點坐標(biāo)．解：（1）根據(jù)題意得，解得，所以拋物線解析式為y＝x2+2x﹣3；（2）設(shè)P（x，x2+2x﹣3），當(dāng)y＝0時，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，則B（﹣3，0），A（1，0），∵△ABP的面積為10，∴?4?|x2+2x﹣3|＝10，解方程x2+2x﹣3＝5得x1＝﹣4，x2＝2，此時P點坐標(biāo)為（﹣4，5），（2，5）；方程x2+2x﹣3＝﹣5沒有實數(shù)解，∴P點坐標(biāo)為（﹣4，5），（2，5）．【點評】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．22．2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一開售時，就深受大家的喜歡．某供應(yīng)商今年2月第一周購進一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一個冰墩墩的進價比一個“雪容融”的進價多40元，進貨20個“冰墩墩”和30個“雪容融”的金額相同．（1）今年2月第一周每個“冰墩墩”和“雪容融”的進價分別是多少元？（2）今年2月第一周，供應(yīng)商以150元每個售出“冰墩墩”120個，以100元每個售出“雪容融”150個．第二周供應(yīng)商決定調(diào)整價格，每個“冰墩墩”的價格不變，每個“雪容融”的售價在第一周的基礎(chǔ)上下降了m元，由于冬奧賽事的火熱進行，第二周“冰墩墩”的銷量比第一周增加了個，“雪容融”的銷量比第一周增加了m個，最終商家獲利6600元，求m．【分析】（1）設(shè)今年2月第一周每個“冰墩墩”的進價是x元，每個“雪容融”的進價是y元，根據(jù)一個冰墩墩的進價比一個“雪容融”的進價多40元且進貨20個“冰墩墩”和30個“雪容融”的金額相同，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）利用總利潤＝每個的銷售利潤×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．解：（1）設(shè)今年2月第一周每個“冰墩墩”的進價是x元，每個“雪容融”的進價是y元，依題意得：，解得：．答：今年2月第一周每個“冰墩墩”的進價是120元，每個“雪容融”的進價是80元．（2）依題意得：（150﹣120）（120+m）+（100﹣m﹣80）（150+m）＝6600，整理得：m2﹣10m＝0，解得：m1＝10，m2＝0（不符合題意，舍去）．答：m的值為10．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．23．對于各位數(shù)字均不相同的三位自然數(shù)m＝，交換百位數(shù)字和個位數(shù)字后得到m1＝，記F（m）＝，若F（m）能被5整除，則稱m為“五好數(shù)”．例如：621是“五好數(shù)”，因為F（621）＝＝5，5能被5整除，所以621是“五好數(shù)”；743不是“五好數(shù)”，因為F（743）＝＝4，4不能被5整除，所以743不是“五好數(shù)”．（1）判斷409、678是否是“五好數(shù)”？并說明理由；（2）m是“五好數(shù)”，若a＞c且滿足|a﹣b|+|b﹣c|能被7整除，求出所有符合題意的m值．【分析】（1）由“五好數(shù)”的定義即可判斷；（2）根據(jù)m是“五好數(shù)”和a與c的取值范圍，求出a﹣c＝5，進而求出a，c的值，根據(jù)1≤|a﹣b|≤9，1≤|b﹣c|≤9和|a﹣b|+|b﹣c|能被7整除，確定|a﹣b|+|b﹣c|為7或14進而求解．解：（1）F（m）＝＝＝|a﹣c|，∵F（409）＝|4﹣9|＝5，5能被5整除，∴409為“五好數(shù)”，∵F（678）＝|6﹣8|＝2，2不能被5整除，∴678不是“五好數(shù)”；（2）∵1≤a≤9，1≤c≤9，a＞c，∴1≤|a﹣c|≤8，∵m是“五好數(shù)”，∴|a﹣c|能被5整除，∴a﹣c＝5，∴a＝9，c＝4或a＝8，c＝3或a＝7，c＝2或a＝6，c＝1，∵1≤|a﹣b|≤9，1≤|b﹣c|≤9，∴2≤|a﹣b|+|b﹣c|≤18，∵|a﹣b|+|b﹣c|能被7整除，∴|a﹣b|+|b﹣c|＝7或14，1°當(dāng)a＝9，c＝4時，|9﹣b|+|b﹣4|＝7或14，解得b＝3，此時m＝934，2°當(dāng)a＝8，c＝3時，|8﹣b|+|b﹣3|＝7或14，解得b＝2或9，此時m＝823或8933°當(dāng)a＝7，c＝2時，|7﹣b|+|b﹣2|＝7或14，解得b＝1或8，此時m＝712或782，4°當(dāng)a＝6，c＝1時，|6﹣b|+|b﹣1|＝7或14，解得b＝0或7，此時m＝601或671，綜上：所有符合題意的m值為601，671，712，782，823，893，934．【點評】本題以新定義為背景考查了學(xué)生們的閱讀能力，關(guān)鍵是能夠根據(jù)新定義列出關(guān)系式進而求解．24．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于A，B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標(biāo)是（1，0），C點坐標(biāo)是（4，﹣3）．（1）求拋物線解析式；（2）點E是（1）中拋物線對稱軸上的動點，點F是x軸上的動點，點M是（1）中拋物線上的一動點且位于直線AC上方．①試求△ACM的最大面積以及此時點M的坐標(biāo)；②在①的條件下求ME+EF+AF的最小值．（3）拋物線上是否存在點P，平面內(nèi)一點Q，使得以P、A、C、Q為頂點的四邊形是以AC為邊的矩形？如果存在，求出Q點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）①過點M作MN∥y軸交AC于點N，設(shè)M（t，﹣t2+4t﹣3），則N（t，﹣t+1），可得S△ACM＝﹣（t﹣）2+，當(dāng)t＝時，△ACM的面積有最大值，此時M（，）；②過M點作MG⊥AC交于點G，交對稱軸于點E，交x軸于點F，當(dāng)M、E、F、G四點共線時，ME+EF+AF有最小值，利用等積法S△ACM＝＝×AC×MG，求出MG＝，即為所求；（3）分兩種情況討論：當(dāng)P點在AC上方時，過點P作PG⊥x軸交于點G，過點Q作QH⊥x軸交于點H，則有AG＝PG，設(shè)P（x，﹣x2+4x﹣3），Q（a，b），則x﹣1＝﹣x2+4x﹣3，求出P（2，1），再由BH＝HQ，得到﹣b＝a﹣3①，由AC＝PQ，得到3＝②，聯(lián)立①②求出Q（5，﹣2）；當(dāng)P點在直線AC的下方時，過點Q作QK⊥x軸交于K點，過C點作MN⊥x軸交于N點，過P作PM⊥MN交于M點，則有PM＝CM，即4﹣x＝﹣3﹣（﹣x2+4x﹣3），求出P（﹣1，﹣8），再由KQ＝AK，得到﹣b＝1﹣a，由QP＝AC，得到3＝，聯(lián)立求出Q（﹣4，﹣5）．解：（1）將A（1，0），C（4，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝﹣x2+4x﹣3；（2）①設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+1，過點M作MN∥y軸交AC于點N，設(shè)M（t，﹣t2+4t﹣3），則N（t，﹣t+1），∴MN＝﹣t2+4t﹣3+t﹣1＝﹣t2+5t﹣4，∴S△ACM＝×3×（﹣t2+5t﹣4）＝﹣（t﹣）2+，∴當(dāng)t＝時，△ACM的面積有最大值，此時M（，）；②∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴拋物線的對稱軸為直線x＝2，過M點作MG⊥AC交于點G，交對稱軸于點E，交x軸于點F，∵直線AC的解析式為y＝﹣x+1，∴∠FAG＝45°，∴FG＝AF，∴ME+EF+AF＝ME+EF+FG≥MG，∴當(dāng)M、E、F、G四點共線時，ME+EF+AF有最小值，∵S△ACM＝＝×AC×MG，∴MG＝，∴ME+EF+AF的最小值為；（3）存在點P，使得以P、A、C、Q為頂點的四邊形是以AC為邊的矩形，理由如下：當(dāng)P點在AC上方時，過點P作PG⊥x軸交于點G，過點Q作QH⊥x軸交于點H，∵∠BAC＝45°，∠PAC＝90°，∴∠PAG＝45°，∴