2022-2023學年吉林省第二實驗學校八年級（上）第一次達標檢測數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年吉林省第二實驗學校八年級第一學期第一次達標檢測數(shù)學試卷一、選擇題（每題3分，共24分）1．若△ABC≌△DEF，則根據(jù)圖中提供的信息，可得出x的值為（）A．30 B．27 C．35 D．402．如圖，在平分角的儀器中，AB＝AD，BC＝DC，將點A放在一個角的頂點，AB和AD分別與這個角的兩邊重合，能說明AC就是這個角的平分線的數(shù)學依據(jù)是（）A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS3．如圖，在△ABC和△DEF中，點A，E，B，D在同一直線上，BC∥EF，AC＝DF，只添加一個條件，能判定△ABC≌△DEF的是（）A．BC＝EF B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠A＝∠D4．在△ABC中，∠A的相鄰外角是70°，要使△ABC為等腰三角形，則∠B為（）A．70° B．35° C．110°或35° D．110°5．如圖，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝30°．若△ABC≌△ADE，∠DAC＝32°，則∠EAC的度數(shù)為（）A．18° B．30° C．32° D．38°6．已知在△ABC中，點D為線段BC邊上一點，則按照順序，線段AD分別是△ABC的（）A．①中線，②角平分線，③高線 B．①高線，②中線，③角平分線 C．①角平分線，②高線，③中線 D．①高線，②角平分線，③中線7．如圖，直線m∥n，△ABC是等邊三角形，頂點B在直線n上，直線m交AB于點E，交AC于點F，若∠1＝140°，則∠2的度數(shù)是（）A．80° B．100° C．120° D．140°8．如圖所示的五邊形花環(huán)是用五個全等的等腰三角形拼成的，則∠BAC的度數(shù)為（）A．28° B．36° C．45° D．72°二、填空題（每題3分，共18分）9．已知，如圖，AD＝AE，BD＝CE，那么圖中△ADC≌．10．如圖，在2×2的方格中，∠1+∠2＝°．11．用一條長18cm的細繩圍成一個腰長是底邊長的2倍的等腰三角形，那么這個三角形的各邊長分別是、、．12．如圖，△ABC中，AB＝13cm，BC＝11cm，AC＝6cm，點E是BC邊的中點，點D在AB邊上，現(xiàn)將△DBE沿著BA方向向左平移至△ADF的位置，則四邊形DECF的周長為cm．13．由于木質衣架沒有柔性，在掛置衣服的時候不太方便操作．小敏設計了一種衣架，在使用時能輕易收攏，然后套進衣服后松開即可．如圖1，衣架桿OA＝OB＝18cm，若衣架收攏時，∠AOB＝60°，如圖2，則此時A，B兩點之間的距離是cm．14．如圖，∠AOB＝60°，C是BO延長線上的一點，OC＝10cm，動點P從點C出發(fā)沿CB以2cm/s的速度移動，動點Q從點O發(fā)沿OA以1cm/s的速度移動，如果點P、Q同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間，當t＝時，△POQ是等腰三角形．三、解答題（共72分）15．如圖，已知等腰△ABC一腰上的中線BD把這個三角形的周長分成12cm和21cm兩部分，求這個等腰三角形的底邊BC的長．16．已知：如圖，AC，BD交于點O，AB＝CD，AC⊥AB，BD⊥CD，垂足分別為A，D．求證：OB＝OC．17．如圖，C、E分別在AB、DF上，O是CF的中點，EO＝BO，求證：∠ACE+∠DEC＝180°．證明：∵O是CF的中點，∴＝，在△COB和△FOE中，．∴△COB≌△FOE（），∴∠＝∠，（）．∴AB∥DF，（）．∴∠ACE+∠DEC＝180°．（）．18．課本中有一探究活動：如圖1，有甲、乙兩個三角形，甲三角形內角分別為10°，20°，150°；乙三角形內角分別為80°，25°，75°．你能把每一個三角形分成兩個等腰三角形嗎？畫一畫，并標出每個等腰三角形頂角的度數(shù)．（1）小明按要求畫出了圖1中甲圖的分割線，請你幫他作出圖1中乙圖的分割線；（2）小明進一步探究發(fā)現(xiàn)：能將一個頂角為108°的等腰三角形分成三個等腰三角形；請在圖2中用兩種不同的方法畫出分割線，并標注每個等腰三角形頂角的度數(shù)；（若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形，則視為同一種方法）19．如圖，AB∥CD，以點A為圓心，小于AC長為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點，再分別以E，F(xiàn)為圓心，大于EF長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點P，作射線AP，交CD于點M．（1）求證：AP平分∠CAB；（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度數(shù)．20．如圖，△ABC是等邊三角形．（1）如圖①，DE∥BC，分別交AB、AC于點D、E．求證：△ADE是等邊三角形；（2）如圖②，△ADE仍是等邊三角形，點B在ED的延長線上，連接CE，判斷∠BEC的度數(shù)及線段AE、BE、CE之間的數(shù)量關系，并說明理由．21．圖1中所示的遮陽傘，傘柄垂直于地面，其示意圖如圖2．當傘收緊時，點P與點A重合；當傘慢慢撐開時，動點P由A向B移動；當點P到過點B時，傘張得最開．已知傘在撐開的過程中，總有PM＝PN＝CM＝CN＝6.0分米，CE＝CF＝18.0分米，BC＝2.0分米（1）求AP長的取值范圍；（2）當∠CPN＝60°時，求AP的值．22．通過對如圖數(shù)學模型的研究學習，解決下列問題：[模型呈現(xiàn)]如圖1，∠BAD＝90°，AB＝AD，過點B作BC⊥AC于點C，過點D作DE⊥AC于點E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．進而得到AC＝，BC＝AE．我們把這個數(shù)學模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；[模型應用]如圖2，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，請按照圖中所標注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所圍成的圖形的面積為．A.50B.62C.65D.68[深入探究]如圖3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點F，DE與直線AF交于點G．求證：點G是DE的中點；23．如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，現(xiàn)有一動點P，從點A出發(fā)，沿著三角形的邊AC→CB→BA運動，回到點A停止，速度為3cm/s，設運動時間為ts．（1）如圖（1），當t＝時，△APC的面積等于△ABC面積的一半；（2）如圖（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的邊上，若另外有一個動點Q，與點P同時從點A出發(fā)，沿著邊AB→BC→CA運動，回到點A停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好△APQ≌△DEF，求點Q的運動速度．

參考答案一、選擇題（每題3分，共24分）1．若△ABC≌△DEF，則根據(jù)圖中提供的信息，可得出x的值為（）A．30 B．27 C．35 D．40解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝30，故選：A．【點評】此題主要考查了全等三角形的性質，正確得出對應邊是解題關鍵．2．如圖，在平分角的儀器中，AB＝AD，BC＝DC，將點A放在一個角的頂點，AB和AD分別與這個角的兩邊重合，能說明AC就是這個角的平分線的數(shù)學依據(jù)是（）A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS解：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC，故選：A．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．3．如圖，在△ABC和△DEF中，點A，E，B，D在同一直線上，BC∥EF，AC＝DF，只添加一個條件，能判定△ABC≌△DEF的是（）A．BC＝EF B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠A＝∠D解：添加∠A＝∠D，理由如下：∵BC∥EF，∴∠ABC＝∠DEF，∵AC＝DF，∠A＝∠D，根據(jù)“AAS”判定△ABC≌△DEF．故選：D．【點評】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的根據(jù)，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．4．在△ABC中，∠A的相鄰外角是70°，要使△ABC為等腰三角形，則∠B為（）A．70° B．35° C．110°或35° D．110°解：∵∠A的相鄰外角是70°，∴∠A＝180°﹣70°＝110°，∵△ABC為等腰三角形，∴∠B＝（180°﹣110°）＝35°．故選：B．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質，主要利用了等腰三角形兩底角相等的性質，根據(jù)求出的∠A是鈍角可知∠B是底角是解題的關鍵．5．如圖，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝30°．若△ABC≌△ADE，∠DAC＝32°，則∠EAC的度數(shù)為（）A．18° B．30° C．32° D．38°解：∵∠B＝80°，∠C＝30°，∴∠BAC＝70°，∵∠DAC＝32°，∴∠BAD＝38°，∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠EAC＝∠BAD＝38°，故選：D．【點評】本題考查了全等三角形的性質，三角形的內角和定理等，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．6．已知在△ABC中，點D為線段BC邊上一點，則按照順序，線段AD分別是△ABC的（）A．①中線，②角平分線，③高線 B．①高線，②中線，③角平分線 C．①角平分線，②高線，③中線 D．①高線，②角平分線，③中線解：在△ABC中，點D為線段BC邊上一點，則按照順序，線段AD分別是△ABC的①高線，②角平分線，③中線．故選：D．【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖，三角形的角平分線、中線和高，解決本題的關鍵是掌握三角形的角平分線、中線和高的作法．7．如圖，直線m∥n，△ABC是等邊三角形，頂點B在直線n上，直線m交AB于點E，交AC于點F，若∠1＝140°，則∠2的度數(shù)是（）A．80° B．100° C．120° D．140°解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°．對于△AEF，∵∠1＝∠A+∠AEF＝140°，∴∠AEF＝140°﹣60°＝80°，∴∠DEB＝∠AEF＝80°，∵m∥n，∴∠2+∠DEB＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°，故選：B．【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質，平行線的性質，三角形外角的性質，題目比較基礎，熟練掌握性質是解題的關鍵．8．如圖所示的五邊形花環(huán)是用五個全等的等腰三角形拼成的，則∠BAC的度數(shù)為（）A．28° B．36° C．45° D．72°解：如圖所示，五個全等的等腰三角形拼成內外兩個正五邊形，∴∠EAB＝∠ACD＝，∴∠ACB＝∠EAC＝180°﹣108°＝72°，∴∠BAC＝∠EAB﹣∠EAC＝108°﹣72°＝36°，故選：B．【點評】主要考查正多邊形內角和及等腰三角形的性質，鄰補角等，理解題意，熟練掌握運用正多邊形內角和的計算公式是解題關鍵．二、填空題（每題3分，共18分）9．已知，如圖，AD＝AE，BD＝CE，那么圖中△ADC≌△AEB．解：∵AD＝AE，BD＝CE，∴AD+BD＝AE+CE，即AB＝AC，在△ADC和△AEB中，，∴△ADC≌△AEB（SAS）．故答案為：△AEB．【點評】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關鍵．選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．10．如圖，在2×2的方格中，∠1+∠2＝90°．解：如圖，由題意得：AB＝DE＝2，∠ADE＝∠CBA＝90°，AD＝CB＝1，∴△ADE≌△CBA（SAS），∴∠2＝∠BAC，∵∠ABC＝90°，∴∠BAC+∠1＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故答案為：90．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關鍵．11．用一條長18cm的細繩圍成一個腰長是底邊長的2倍的等腰三角形，那么這個三角形的各邊長分別是7.2cm、7.2cm、3.6cm．解：設底邊長為xcm，∵腰長是底邊的2倍，∴腰長為2xcm，∴2x+2x+x＝18，解得x＝3.6，∴2x＝2×3.6＝7.2．故答案為：7.2cm，7.2cm，3.6cm．【點評】本題考查的是等腰三角形的性質，熟記等腰三角形的兩腰相等是解題的關鍵．12．如圖，△ABC中，AB＝13cm，BC＝11cm，AC＝6cm，點E是BC邊的中點，點D在AB邊上，現(xiàn)將△DBE沿著BA方向向左平移至△ADF的位置，則四邊形DECF的周長為17cm．解：連接EF．由平移的性質可知，AF＝DE．EF＝AD，AF∥DE，EF∥AD，DF∥BC，∴∠CEF＝∠DFE，∠CFE＝∠DEF，在△CEF和△DFE中，，∴△CEF≌△DFE（ASA），∴DE＝CF，∴AF＝CF＝DE＝3cm∵E是BC的中點，∴EC＝EB＝DF＝5.5cm，∴四邊形DECF的周長＝2（3+5.5）＝17cm．故答案為：17．【點評】本題考查平移變換，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意靈活運用所學知識解決問題．13．由于木質衣架沒有柔性，在掛置衣服的時候不太方便操作．小敏設計了一種衣架，在使用時能輕易收攏，然后套進衣服后松開即可．如圖1，衣架桿OA＝OB＝18cm，若衣架收攏時，∠AOB＝60°，如圖2，則此時A，B兩點之間的距離是18cm．解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝OA＝OB＝18cm，故答案為：18【點評】此題考查等邊三角形問題，關鍵是根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形的等邊三角形進行分析．14．如圖，∠AOB＝60°，C是BO延長線上的一點，OC＝10cm，動點P從點C出發(fā)沿CB以2cm/s的速度移動，動點Q從點O發(fā)沿OA以1cm/s的速度移動，如果點P、Q同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間，當t＝或10時，△POQ是等腰三角形．解：分兩種情況：（1）當點P在線段OC上時，設t時后△POQ是等腰三角形，有OP＝OC﹣CP＝OQ，即10﹣2t＝t，解得，t＝s；（2）當點P在CO的延長線上時，此時經過CO時的時間已用5s，當△POQ是等腰三角形時，∵∠POQ＝60°，∴△POQ是等邊三角形，∴OP＝OQ，即2（t﹣5）＝t，解得，t＝10s故填或10．【點評】本題考查了等腰三角形的判定；解題時把幾何問題轉化為方程求解，是常用的方法，注意要分類討論，當點P在點O的左側還是在右側是解答本題的關鍵．三、解答題（共72分）15．如圖，已知等腰△ABC一腰上的中線BD把這個三角形的周長分成12cm和21cm兩部分，求這個等腰三角形的底邊BC的長．解：AB＝AC，BD為腰AC上的中線，設AD＝DC＝x，BC＝y(tǒng)，根據(jù)題意得或，解得或，當x＝4，y＝17時，等腰三角形的三邊為8，8，17，顯然不符合三角形的三邊關系，舍去；當x＝7，y＝5時，等腰三角形的三邊為14，14，5，答：這個等腰三角形的底邊BC長是5．【點評】本題考查了等腰三角形的性質：等腰三角形的兩腰相等等腰三角形的兩個底角相等；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．16．已知：如圖，AC，BD交于點O，AB＝CD，AC⊥AB，BD⊥CD，垂足分別為A，D．求證：OB＝OC．【解答】證明：∵AC⊥AB，BD⊥CD，∴∠A＝∠D＝90°，在△ABO和△DCO中，，∴△ABO≌△DCO（AAS），∴OB＝OC．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關鍵．17．如圖，C、E分別在AB、DF上，O是CF的中點，EO＝BO，求證：∠ACE+∠DEC＝180°．證明：∵O是CF的中點，∴CO＝FO，在△COB和△FOE中，．∴△COB≌△FOE（SAS），∴∠OBC＝∠OEF，（全等三角形對應角相等）．∴AB∥DF，（內錯角相等，兩直線平行）．∴∠ACE+∠DEC＝180°．（兩直線平行，同旁內角互補）．【解答】證明：∵O是CF的中點，∴CO＝FO，在△COB和△FOE中，，∴△COB≌△FOE（SAS），∴∠OBC＝∠OEF（全等三角形對應角相等），∴AB∥DF（內錯角相等，兩直線平行），∴∠ACE+∠DEC＝180°（兩直線平行，同旁內角互補）．故答案為：CO；FO；SAS；OBC；OEF；全等三角形對應角相等；內錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內角互補．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，平行線的判定和性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．18．課本中有一探究活動：如圖1，有甲、乙兩個三角形，甲三角形內角分別為10°，20°，150°；乙三角形內角分別為80°，25°，75°．你能把每一個三角形分成兩個等腰三角形嗎？畫一畫，并標出每個等腰三角形頂角的度數(shù)．（1）小明按要求畫出了圖1中甲圖的分割線，請你幫他作出圖1中乙圖的分割線；（2）小明進一步探究發(fā)現(xiàn)：能將一個頂角為108°的等腰三角形分成三個等腰三角形；請在圖2中用兩種不同的方法畫出分割線，并標注每個等腰三角形頂角的度數(shù)；（若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形，則視為同一種方法）解：（1）按要求作圖如圖：（2）按要求作圖如圖：或（視為同一種）；【點評】本題主要考查了等腰三角形的判定以及作圖，確定分割三角形中的哪一個角是解題的關鍵．19．如圖，AB∥CD，以點A為圓心，小于AC長為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點，再分別以E，F(xiàn)為圓心，大于EF長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點P，作射線AP，交CD于點M．（1）求證：AP平分∠CAB；（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度數(shù)．解：（1）連接PF，PE，由作圖過程可知AE＝AF，PE＝PF，AP＝AP，∴△AFP≌△AEP，∴∠FAP＝∠EAP，∴AP平分∠CAB．（2）∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB＝180°，又∵∠ACD＝114°，∴∠CAB＝180°﹣114°＝66°，由（1）知AP平分∠CAB，即∠MAB＝∠MAC，∴∠MAB＝∠CAB＝33°．【點評】本題考查了三角形全等的判定、角平分線的性質和平行線的性質，做題關鍵是掌握三角形全等的判定、角平分線的性質和平行線的性質．20．如圖，△ABC是等邊三角形．（1）如圖①，DE∥BC，分別交AB、AC于點D、E．求證：△ADE是等邊三角形；（2）如圖②，△ADE仍是等邊三角形，點B在ED的延長線上，連接CE，判斷∠BEC的度數(shù)及線段AE、BE、CE之間的數(shù)量關系，并說明理由．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°，∴△ADE是等邊三角形；（2）解：AE+CE＝BE．∵∠BAD+∠DAC＝60°，∠CAE+∠DAC＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，∴BE＝BD+DE＝AE+CE，∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝60°．【點評】本題考查的是等邊三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質，掌握相關的判定定理和性質定理是解題的關鍵．21．圖1中所示的遮陽傘，傘柄垂直于地面，其示意圖如圖2．當傘收緊時，點P與點A重合；當傘慢慢撐開時，動點P由A向B移動；當點P到過點B時，傘張得最開．已知傘在撐開的過程中，總有PM＝PN＝CM＝CN＝6.0分米，CE＝CF＝18.0分米，BC＝2.0分米（1）求AP長的取值范圍；（2）當∠CPN＝60°時，求AP的值．解：（1）∵BC＝2.0分米，AC＝CN+PN＝12分米，∴AB＝12﹣2＝10（分米），∴AP的取值范圍為：0分米≤AP≤10分米．（2）∵CN＝PN，∠CPN＝60°，∴△PCN等邊三角形．∴CP＝6分米．∴AP＝AC﹣PC＝12﹣6＝6（分米）．即當∠CPN＝60°時，AP＝6分米．【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質．解答該題時，需要弄清楚遮陽傘的工作原理．22．通過對如圖數(shù)學模型的研究學習，解決下列問題：[模型呈現(xiàn)]如圖1，∠BAD＝90°，AB＝AD，過點B作BC⊥AC于點C，過點D作DE⊥AC于點E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．進而得到AC＝DE，BC＝AE．我們把這個數(shù)學模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；[模型應用]如圖2，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，請按照圖中所標注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所圍成的圖形的面積為50．A.50B.62C.65D.68[深入探究]如圖3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點F，DE與直線AF交于點G．求證：點G是DE的中點；【解答】[模型呈現(xiàn)]解：∵△ABC≌△DAE，∴AC＝DE．故答案為：DE；[模型應用]解：如圖2中，由“K字”模型可知，△EPA≌△AGB，△BGC≌△CHD，∴EP＝AG＝6，PA＝BG＝3，BG＝CH＝3，GC＝DH＝4，∴PH＝PA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16，∴圖中實線所圍成的圖形的面積＝梯形EPHD的面積﹣△EPE的面積﹣△ABG的面積﹣△BGC的面積﹣△CHD的面積＝×（6+4）×16﹣2××3×6﹣2××3×4＝50．故答案為：50；