2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2章函數(shù)導(dǎo)數(shù)其應(yīng)用第6節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)教學(xué)案理新人教版

第六節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)[考綱傳真]1.理解對數(shù)的觀點及其運算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)變成自然對數(shù)或常用對數(shù)；認識對數(shù)在簡化運算中的作用.2.理解對數(shù)函數(shù)的觀點及其單一性，掌握對數(shù)函1數(shù)圖象經(jīng)過的特別點，會畫底數(shù)為2,10，2的對數(shù)函數(shù)的圖象.3.領(lǐng)會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.4.認識指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)．1．對數(shù)的觀點假如ax＝(＞0且≠1)，那么x叫作以a為底N的對數(shù)，記作x＝loga，此中a叫做對數(shù)NaaN的底數(shù)，N叫做真數(shù)．2．對數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運算性質(zhì)對數(shù)的性質(zhì)：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)．logcb換底公式：logab＝logca(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．(3)對數(shù)的運算性質(zhì)：假如a＞0，且a≠1，＞0，＞0，那么：MNloga(M·N)＝logaM＋logaN；MlogaN＝logaM－logaN；nM(n∈R)．Mnaa3．對數(shù)函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)定義函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)叫作對數(shù)函數(shù)a＞10＜＜1a圖象定義域：(0，＋∞)值域：R當(dāng)x＝1時，y＝0，即過定點(1,0)性質(zhì)當(dāng)0＜x＜1時，y＞0；當(dāng)0＜x＜1時，y＜0；當(dāng)x＞1時，y＞0當(dāng)x＞1時，y＜0在(0，＋∞)上為增函數(shù)在(0，＋∞)上為減函數(shù)反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝x(＞0且≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝loga(＞0且≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)aaaxaa于直線y＝x對稱．[常用結(jié)論]1．換底公式的兩個重要結(jié)論(1)logab＝1nn；(2)logamb＝logab.logbam此中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R.2．對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可獲得以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)漸漸增大．[基礎(chǔ)自測]1．(思慮辨析)判斷以下結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝log2(x＋1)是對數(shù)函數(shù)．()(2)log2x2＝2log2x.( )1＋x(3)函數(shù)y＝ln1－x與y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定義域同樣．( )1對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)的圖象過定點(1,0)，且過點(a,1)，a，－1，函數(shù)圖象不在第二、三象限．( )[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(log29)·(log34)＝()11A.B.42C．2D．4lg9lg42lg32lg2D[原式＝lg2·lg3＝lg2×lg3＝4.]已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，此中a＞0，且a≠1)的圖象如圖，則以下結(jié)論建立的是( )A．a(chǎn)＞1，c＞1B．a(chǎn)＞1,0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1,0＜c＜1D[由圖可知0＜＜1，又f(0)＝logc＞0，∴0＜＜1.]a4．函數(shù)f(x)＝log21(x2－4)的單一遞加區(qū)間為( )A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)D[由x2－4＞0得x＞2或x＜－2，由復(fù)合函數(shù)的單一性可知，f(x)＝log21(x2－4)的單一遞增區(qū)間，即為y＝x2－4在{x|x＞2或x＜－2}上的單一遞減區(qū)間，應(yīng)選D.]5．若a＝log43，則2a＋2－a＝________.43log43log233[∵a＝loga＝2－a＝343，∴2＝2＝3，∴23，a－a343∴2＋2＝3＋3＝3.]對數(shù)的運算ab111．設(shè)2＝5＝m，且a＋b＝2，則m等于( )A.10B．10C．20D．100abA[∵2＝5＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，1111＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴＋＝＋log52∴＝10.]m2．化簡以下各式：32(1)lg7＋lg70－lg3－－lg9＋1；4122723(2)log33·log5[4log210－(33)－7log72]；(3)(log32＋log92)·(log43＋log83)．3[解](1)7×702－2lg3＋1原式＝lg3－＝lg10－－21－|lg3－1|＝lg3.343223(2)原式＝log33·log5[10－(3)－7log72]334(log33－1)·log5(10－3－2)34－1·log551＝－4.(3)原式＝lg2lg2lg3lg3lg2lg2lg3lg33lg25lg3lg3＋·lg4＋＝lg3＋·2lg2＋＝2lg3·6lg2lg9lg82lg33lg254.[規(guī)律方法]在解決對數(shù)的化簡與求值問題時，要理解并靈巧運用對數(shù)的定義、對數(shù)的運算性質(zhì)、對數(shù)恒等式和對數(shù)的換底公式注意化簡過程中的等價性和對數(shù)式與指數(shù)式的互化化異底為同底.對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例

1】

(1)函數(shù)

y＝2log

4(1－x)的圖象大概是

(

)ABCD(2)當(dāng)x∈(1,2)時，不等式(x－1)2＜logax恒建立，則a的取值范圍是()A．(0,1)B．(1,2)C．(1,2]D．10，2(1)C(2)C[(1)函數(shù)＝2log4(1－)的定義域為(－∞，1)，清除A，B；函數(shù)y＝2log4(1yx－x)在定義域上單一遞減，清除D.應(yīng)選C.122ax∈(1,2)時，不等式(x－1)2ax恒建立，(2)設(shè)f(x)＝(x－1)，f(x)＝logx，要使當(dāng)＜log只要f1(x)＝(x－1)2在區(qū)間(1,2)上的圖象在f2(x)＝logax的圖象的下方即可．當(dāng)0＜a＜1時，明顯不建立．當(dāng)a＞1時，如下圖，要使在區(qū)間(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的圖象在f(x)＝logx的圖象的下方，只要22，aa212因此loga2≥1，即1＜a≤2.][規(guī)律方法]利用對數(shù)函數(shù)的圖象可求解的兩類問題對一些可經(jīng)過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù)，在求解其單一性單一區(qū)間、值域最值、零點時，常利用數(shù)形聯(lián)合思想求解.一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄳?yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形聯(lián)合法求解.a知足f(2)＝4，那么函數(shù)g(x)＝|loga的圖象大概為(1)函數(shù)f(x)＝x(x＋1)|()ABCD(2)已知函數(shù)f( )＝log2x，x＞0，且對于x的方程f(x)＋－＝0有且只有一個實根，則3x，x≤0，xxa實數(shù)a的取值范圍是________．(1)C(2)(1，＋∞)[(1)法一：∵f(2)＝4，∴2a＝4，解得a＝2，∴g(x)＝|log2(x＋1)|log2x＋，x≥0，＝x＋，－1＜x＜0，－log2∴當(dāng)x≥0時，函數(shù)()單一遞加，且g(0)＝0；當(dāng)－1＜x＜0時，函數(shù)()單一遞減．應(yīng)選gxgxC.法二：由f(2)＝4，即2a＝4得＝2，ag(x)＝|log2(x＋1)|，函數(shù)g(x)是由函數(shù)y＝|log2x|向左平移一個單位獲得的，只有C項切合，應(yīng)選C.(2)如圖，在同一坐標(biāo)系中分別作出y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象，其中a表示直線在y軸上截距，由圖可知，當(dāng)a＞1時，直線y＝－x＋a與y＝log2只有一個交點．]x對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用11【例2】(1)(2018·天津高考)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log23，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞b(2)若函數(shù)f(x)＝log2(x2－ax－3a)在區(qū)間(－∞，－2]上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，4)B．(－4,4]C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D．[－4,4)(1)D(2)D[由于a＝loge＞1，b＝ln2∈(0,1)12，c＝log213＝log23＞log2e＞1，因此c＞a＞b，應(yīng)選D.a(2)由題意可知2≥－2，解得－4≤a＜4.2＋2a－3a＞0，故所務(wù)實數(shù)

a的取值范圍為

[－4,4)

．][規(guī)律方法

]

利用對數(shù)函數(shù)單一性時要注意真數(shù)一定為正，明確底數(shù)對單一性的影響

.解決與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，第一要確立函數(shù)的定義域，依據(jù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單一性，利用函數(shù)的最值解決恒建立問題.(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，則f(x)是( )A．奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)B．奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)C．偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)D．偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)log2x，x＞0，(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝1－x，x＜0.若f(a)＞f(－a)，則實數(shù)a的取值范圍是( )log2A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)13(3)已知偶函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單一遞加，a＝flog23，b＝f2，c＝f(log32)，則以下關(guān)系式中正確的選項是()A．a(chǎn)＜b＜cB．a(chǎn)＜c＜bC．c＜a＜bD．c＜b＜a(1)A(2)C(3)D[(1)f(x)的定義域為(－1,1)，且f(x)＝ln1＋x由題意可知，函數(shù)1－x＝22ln1－x－1，易知y＝1－x－1在(0,1)上為增函數(shù)，故f(x)在(0,1)上為增函數(shù)，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，因此f(x)為奇函數(shù)，應(yīng)選A.a＞0，a＜0，(2)由題意得或log1解得a＞1或－1＜a＜log2a＞－log2a－a＞log2－a，20.應(yīng)選C.139＝log23.∵函數(shù)f(x)是偶函(3)log23＝－log23，而0＜log32＜1＜2＝log28＜log2數(shù)，且在(0，＋∞)上單一遞加，∴f(log32)＜f3＜f(log23)＝f(－log23)＝f1，∴c＜b＜a，應(yīng)選D.]2log231．(2018·全國卷Ⅲ)設(shè)a＝log0.20.3，b＝log0.3，則()2A．a(chǎn)＋b＜ab＜0B．a(chǎn)b＜a＋b＜0C．a(chǎn)＋b＜0＜abD．a(chǎn)b＜0＜a＋bB[由a＝log0.20.3得a＝log0.30.2，由b＝log0.3得b＝log0.32，因此a＋b＝log0.30.2＋log0.321211111a＋b＝log0.30.4，因此0＜a＋b＜1，得0＜ab＜1.又a＞0，b＜0，因此ab＜0，因此ab＜a＋b＜0.]2．(2016·全國卷Ⅰ)若>>1,0<<1，則( )abcA．a(chǎn)c＜bcB．a(chǎn)bc＜bacC．logb＜logaD．loga＜logbacbccc[∵y＝xα，α∈(0,1)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴當(dāng)a＞b＞1,0＜c＜1時，ac＞bc，選項A不正確．∵y＝xα，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴當(dāng)a＞b＞1,0＜c＜1，即－1＜c－1＜0時，ac－1＜bc－1，即abc＞bac，選項B不正確．∵a＞b＞1，∴l(xiāng)ga＞lgb＞0，∴alga＞blgb＞0，blgb