離散系統(tǒng)狀態(tài)空間分析

離散系統(tǒng)狀態(tài)空間分析第一頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日6.1線性離散系統(tǒng)狀態(tài)方程離散時(shí)間系統(tǒng)可以用差分方程或脈沖傳遞函數(shù)來(lái)描述，它們都是基于系統(tǒng)輸入輸出特性的描述。如何根據(jù)系統(tǒng)的差分方程和Z傳遞函數(shù)描述得到它的基于輸入——狀態(tài)——輸出的狀態(tài)空間描述，是本節(jié)所要討論的內(nèi)容。第二頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日6.1.1由高階差分方程求狀態(tài)方程設(shè)n階線性定常差分方程的一般形式為式中ai，bj（i=1,2,…,n，j=0,1,…,m）由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的常系數(shù)，一般有n≥m。1．差分方程不含輸入函數(shù)的高階差分當(dāng)m=0時(shí)，差分方程的形式為:第三頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日若選取狀態(tài)變量為則可得到離散狀態(tài)方程和輸出方程分別為

或第四頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日式中x(k)是n維狀態(tài)向量，A、B、C

分別為n×n、n×1、1×n矩陣稱(chēng)為系數(shù)矩陣。表示為例6.1設(shè)線性定常差分方程為試寫(xiě)出狀態(tài)方程和輸出方程。解：由已知條件知a1=5，a2=3，a3=6，b=2，得到狀態(tài)方程和輸出方程分別為第五頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日第六頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日2．差分方程包含輸入函數(shù)的高階差分

當(dāng)m=n（也適用于m<n）時(shí)，差分方程的形式為若選取狀態(tài)變量為

其中

第七頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日其狀態(tài)方程和輸出方程可表示為式中系數(shù)矩陣A、B、C、D分別為

第八頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日以上針對(duì)線性定常差分方程介紹了狀態(tài)方程的列寫(xiě)方法，由于狀態(tài)變量的選擇不是惟一的，因此狀態(tài)方程也不是惟一的，上面只介紹了線性定常差分方程，而對(duì)于線性時(shí)變差分方程也可以用上述類(lèi)似的方法寫(xiě)出狀態(tài)方程，且可以得到形式上與時(shí)不變狀態(tài)方程相同的時(shí)變狀態(tài)方程，只是由于時(shí)變差分方程的系數(shù)ai，bj（i=1,2,…,n；j=0,1,…,m）都是k的函數(shù)，即ai(k)，bj(k)，因此，系數(shù)矩陣A，B，C，D也都是k的函數(shù)，即A(k)，B(k)，C(k)，D(k)。于是，對(duì)于線性時(shí)變差分方程所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程和輸出方程的一般形式為：第九頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日6.1.2由Z傳遞函數(shù)求狀態(tài)方程

設(shè)離散系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)的一般形式為

式中n≥m，ai，bj為常系數(shù)。1．并行程序法也稱(chēng)為部分分式法，當(dāng)Z傳遞函數(shù)G(z)的極點(diǎn)已知時(shí)，將G(z)表示成部分分式和的形式，用這種方法比較簡(jiǎn)便。下面分單極點(diǎn)和重極點(diǎn)兩種情況，分別舉例說(shuō)明這種方法求狀態(tài)方程和輸出方程。

第十頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日例6.3設(shè)Z傳遞函數(shù)為試用并行法求狀態(tài)方程和輸出方程。

解：將G(z)表示成極點(diǎn)形式

于是，得到

則對(duì)應(yīng)的方塊圖如圖6.1所示。

第十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日選取的狀態(tài)變量為則對(duì)應(yīng)的差分方程為

圖6.1例6.3方塊圖x1(z)Y(z)U(z)x2(z)1-4第十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程為

系數(shù)矩陣A的對(duì)角線上的兩個(gè)元素即為G(z)的兩個(gè)極點(diǎn)。

由于

則有于是得到輸出方程為

第十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日例6.4設(shè)Z傳遞函數(shù)為試用并行法求狀態(tài)方程和輸出方程。

解：將G(z)表示成極點(diǎn)形式是，得到

則對(duì)應(yīng)的方塊圖如圖6.2所示。

第十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日選取的狀態(tài)變量為

x3(z)圖6.2例6.4方塊圖x1(z)Y(z)U(z)x2(z)-1第十五頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日因而有關(guān)系式

對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程為

由于

則有或

第十六頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日2．串行程序法串行程序法也叫迭代程序法，當(dāng)G(z)的零極點(diǎn)都已知時(shí)，用這種方法比較方便。因此，在串行程序法中，應(yīng)將Z傳遞函數(shù)G(z)表示成零極點(diǎn)形式。例6.5設(shè)Z傳遞函數(shù)為試用串行法求狀態(tài)方程和輸出方程。解：將G(z)表示成零極點(diǎn)形式于是，得到

則對(duì)應(yīng)的方塊圖如圖6.3所示。

第十七頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日選取的狀態(tài)變量為：對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程和輸出方程為：圖6.3例6.5方塊圖x1(z)Y(z)U(z)x2(z)第十八頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日3．直接程序法

當(dāng)G(z)以有理分式表示，且零極點(diǎn)不便于求出時(shí)，用直接程序法比較方便。例6.6設(shè)Z傳遞函數(shù)為試用直接程序法求狀態(tài)方程和輸出方程。解：將G(z)表示成如下形式

則由上式可得到

第十九頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日則對(duì)應(yīng)的方塊圖如圖6.4所示。選取的狀態(tài)變量為則對(duì)應(yīng)的差分方程和輸出方程為

Q(z)圖6.4例6.6方塊圖x1(z)Y(z)U(z)x2(z)-3-24第二十頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日4．嵌套程序法當(dāng)G(z)以有理分式表示，且零極點(diǎn)不便于求出時(shí)，除了可用直接程序法外，還可以用嵌套程序法求狀態(tài)方程。例6.7設(shè)Z傳遞函數(shù)為試用嵌套程序法求狀態(tài)方程和輸出方程。解：將G(z)表示成如下形式

則則對(duì)應(yīng)的方塊圖如圖6.5所示。

第二十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日于是得到對(duì)應(yīng)的差分方程和輸出方程為

圖6.5例6.7方塊圖x1(z)Y(z)U(z)x2(z)4-2-3第二十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日6.2連續(xù)狀態(tài)方程的離散化

對(duì)于一個(gè)完整的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，除了有離散部分外還有連續(xù)部分，即它是由離散和連續(xù)兩部分所組成的混合系統(tǒng)。如圖6.6所示是一個(gè)典型的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，它的離散部分是數(shù)字控制器，其狀態(tài)方程可用上一節(jié)介紹的方法列寫(xiě)，它的連續(xù)部分是由零階保持器與控制對(duì)象串聯(lián)而成，其離散狀態(tài)方程可由其離散化的差分方程或Z傳遞函數(shù)用上一節(jié)介紹的方法列寫(xiě)，也可由其連續(xù)狀態(tài)方程離散化得到。本節(jié)介紹連續(xù)狀態(tài)方程的離散化方法。

第二十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日

控制對(duì)象的輸入信號(hào)是零階保持器的輸出信號(hào)u(t)，為梯形的分段常值的連續(xù)函數(shù)如圖6.7所示，

TT數(shù)字控制器y(t)u(t)u*(t)u(kT)e(kT)r(t)保持器被控對(duì)象e*(t)e(t)圖6.6典型計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖6.7零階保持器的輸出特性t0u(t)3T4T5T2TT第二十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日即有

，其中u(kT)為在某一采樣時(shí)刻kT時(shí)的數(shù)字控制器的輸出信號(hào)u*(t)在kT時(shí)刻的值。上式表示零階保持器將數(shù)值控制器輸出的數(shù)字信號(hào)在一個(gè)采樣周期內(nèi)保持恒定不變，直至下一個(gè)采樣時(shí)刻才變?yōu)樾碌臄?shù)值。于是，連續(xù)狀態(tài)方程的離散化問(wèn)題就變成在階梯信號(hào)作用下控制對(duì)象的連續(xù)狀態(tài)方程的離散化問(wèn)題了。

設(shè)控制對(duì)象的連續(xù)狀態(tài)方程和輸出方程為式中x(t)為n1狀態(tài)向量，u(t)為m1控制向量，y(t)為p1輸出向量，系數(shù)矩陣F、G、C、D分別為nn、nm、pn、pm矩陣。第二十五頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)初始狀態(tài)為x(t0)=x0，則可解得考慮到在一個(gè)采樣周期T的時(shí)間間隔內(nèi)，有在此時(shí)間區(qū)間的開(kāi)始時(shí)刻的初始狀態(tài)是為了確定這個(gè)時(shí)間區(qū)間結(jié)束時(shí)刻狀態(tài)x(t)可以將t0=KT和t=(k+1)T代入，得到第二十六頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日

由于積分對(duì)所有k值均成立。取變量置換t=(k+1)T-τ，則有dt=-dτ，以及當(dāng)τ=kT時(shí)t=0，故上式變?yōu)樯鲜骄褪钦麄€(gè)連續(xù)部分（包括零階保持器和控制對(duì)象在內(nèi)）的離散化狀態(tài)方程式。式中系數(shù)矩陣分別為

第二十七頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日顯然，它們均與采樣周期T有關(guān)，是T的函數(shù)矩陣。但當(dāng)采樣周期T為恒定值時(shí)，則A(T)和B(T)就是常數(shù)矩陣，這時(shí)仍然可表示成A(T)=A，B(T)=B的常數(shù)矩陣形式。輸出方程的離散化可以容易寫(xiě)出y(kT)=Cx(kT)+Du(kT)通常也把狀態(tài)方程和輸出方程簡(jiǎn)寫(xiě)為第二十八頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日例6.8設(shè)連續(xù)控制對(duì)象的狀態(tài)空間方程為

使用零階保持器，采樣周期T=1秒，試求離散化狀態(tài)空間方程。解：由給定對(duì)象的連續(xù)狀態(tài)方程可知可以求出連續(xù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t)為

第二十九頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日離散化狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣為

第三十頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)T=1秒，則得到

于是，得到離散化狀態(tài)空間方程為

第三十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日6.3計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的閉環(huán)離散狀態(tài)方程

由于計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)實(shí)質(zhì)上是離散系統(tǒng)，下面以一個(gè)離散系統(tǒng)個(gè)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)為例，介紹閉環(huán)離散狀態(tài)方程的列寫(xiě)。例6.11試列寫(xiě)圖6.8離散系統(tǒng)的閉環(huán)離散狀態(tài)方程。

Tr(t)e(t)u(t)y(t)ZOHK圖6.8例6.11的離散系統(tǒng)第三十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日解：對(duì)于給定的連續(xù)控制對(duì)象的傳遞函數(shù)所對(duì)應(yīng)的連續(xù)狀態(tài)方程和輸出方程為

由于控制對(duì)象的輸入信號(hào)是零階保持器的輸出信號(hào)u(t)，它是階梯形分段常值的連續(xù)函數(shù)，因此，可用上節(jié)的方法求連續(xù)部分的離散化狀態(tài)方程。求得系數(shù)矩陣為

第三十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日于是，得到連續(xù)部分的離散化狀態(tài)方程為式中考慮了在一個(gè)采樣周期T內(nèi)，零階保持器的輸出u(t)的值恒定不變，且等于采樣周期T的時(shí)間區(qū)間的開(kāi)始瞬時(shí)的e(kT)的值。將e(kT)=r(kT)-y(kT)和y(kT)=x1(kT)代入上式，便可得到閉環(huán)離散狀態(tài)方程為

第三十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日其輸出方程為

例6.12試列寫(xiě)圖6.9離散系統(tǒng)的閉環(huán)離散狀態(tài)方程。

Tr(t)e(t)u(t)y(t)Tu(kT)ZOHk1s圖6.9例6.12的離散系統(tǒng)k2第三十五頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日解：先求數(shù)字控制器的狀態(tài)方程。用直接程序法得

設(shè)數(shù)字控制器的狀態(tài)變量為x3(kT)，則可求得其狀態(tài)方程為：

數(shù)字控制器的輸出方程為：

再求連續(xù)部分的狀態(tài)方程，即求零階保持器與控制對(duì)象串聯(lián)的離散化狀態(tài)方程。得到

第三十六頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日

由于u(kT)是分段常值函數(shù)，故可用上節(jié)的方法求得上式的離散化狀態(tài)方程和輸出方程為

為了書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)單起見(jiàn)，可以表示為

其中第三十七頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日則可得到閉環(huán)離散狀態(tài)方程為

第三十八頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日6.4離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣與特征值

設(shè)線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程的一般形式為式中x(k)為n維狀態(tài)向量，u(k)為m維控制向量，y(k)為p維輸出向量，系數(shù)矩陣A，B，C，D分別為nn，nm，pn和pm矩陣。設(shè)初始狀態(tài)x(0)=0，對(duì)上式取Z變換，得到

第三十九頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日采用如下記號(hào)

則稱(chēng)矩陣Gx(z)為輸入——狀態(tài)傳遞函數(shù)矩陣，矩陣Gy(z)為輸入——輸出傳遞函數(shù)矩陣，而方程det(zI-A)=0稱(chēng)為離散系統(tǒng)的特征方程。特征方程的根即為特征值也為系統(tǒng)的極點(diǎn)。

第四十頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日例6.13設(shè)已知離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

試求Z傳遞函數(shù)。解：由已知條件得到系數(shù)矩陣分別為

可以求得逆矩陣為

第四十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日

本例為單輸入單輸出離散系統(tǒng)，因此，輸出與輸入之間的Z傳遞函數(shù)矩陣就是通常的Z傳遞函數(shù)，是標(biāo)量函數(shù)而不是函數(shù)矩陣。其傳遞函數(shù)求得如下

第四十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日例6.14設(shè)已知離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為試求Z傳遞函數(shù)矩陣

解：由已知條件得到系數(shù)矩陣分別為

第四十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日可以求得逆矩陣為

于是，得到Z傳遞函數(shù)矩陣G(z)為

第四十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日6.5離散狀態(tài)方程的求解

6.5.1遞推法

設(shè)線性定常離散狀態(tài)空間方程的一般形式為式中x(k)為n維狀態(tài)向量，u(k)為m維控制向量，y(k)為p維輸出向量，系數(shù)矩陣A，B，C，D分別為nn，nm，pn和pm矩陣。在狀態(tài)方程中，設(shè)給定初始條件為x(0)和u(0)，給定u(k)則依次取k=0,1,2,…,便可用遞推法得到

第四十五頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日或表示成或由上式可見(jiàn)，由狀態(tài)方程的解所表達(dá)的狀態(tài)軌跡是離散軌跡，由初始狀態(tài)和輸入控制作用兩部分所引起的狀態(tài)轉(zhuǎn)移而構(gòu)成。在第k時(shí)刻的狀態(tài)只由k時(shí)刻以前的輸入決定，而與第k時(shí)刻及其后的輸入無(wú)關(guān)，這正是物理可實(shí)現(xiàn)的基本條件。

第四十六頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日在上式中，若用記號(hào)表示的矩陣稱(chēng)為離散狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，且有成立，則上式可表示為

或?qū)⑸鲜酱胼敵龇匠蹋玫?/p>

或

第四十七頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日例6.15試用遞推法求例6.11的閉環(huán)離散狀態(tài)方程的解，設(shè)k=1，T=1秒，x1(0)=x2(0)=0，r(kT)=1。解：該閉環(huán)離散狀態(tài)方程和輸出方程為根據(jù)給定的x1(0)=x2(0)=0，和r(kT)=1，令k=0,1,2,…,對(duì)狀態(tài)方程進(jìn)行迭代求解，則可得到第四十八頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日于是，根據(jù)輸出方程，便可得到

第四十九頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日6.5.2Z變換法

將離散狀態(tài)方程兩邊取Z變換，得兩邊取Z反變換得

則應(yīng)有

第五十頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日例6.17試用Z變換法求如下?tīng)顟B(tài)方程的解

設(shè)

解：

第五十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日于是可以算出

解得

第五十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日6.6線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性和可測(cè)性

在自動(dòng)控制系統(tǒng)中，被控對(duì)象是由控制器發(fā)出的控制信息控制的，而這個(gè)控制信息又是控制器根據(jù)被控對(duì)象的輸出信息以及所規(guī)定的控制規(guī)律產(chǎn)生的。顯然，要使上述控制過(guò)程成為物理上可實(shí)現(xiàn)的，就面臨著這樣兩個(gè)基本問(wèn)題：第一，控制作用是否必然可使系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)從起始狀態(tài)指引到所要求的狀態(tài)。即可控性問(wèn)題。第二，是否能夠通過(guò)觀測(cè)有限時(shí)間內(nèi)輸出的觀測(cè)值來(lái)識(shí)別系統(tǒng)的狀態(tài)，以便反饋。即可測(cè)性問(wèn)題。

第五十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日6.6.1線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性

在第三章中已知，線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)的全部特征值位于單位圓內(nèi)，或全部特征值的模小于1。設(shè)線性離散系統(tǒng)的特征方程為其特征值為zi，則線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是

│zi│<1。

第五十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日例6.18試確定例6.11中離散系統(tǒng)在如下情況下的穩(wěn)定性。(1)k=1，T=1(2)k=5，T=1(3)k=1，T=4(4)k=1，T=0.1(5)k=5，T=0.1解：求得閉環(huán)離散系統(tǒng)的系數(shù)矩陣為

則系統(tǒng)的特征方程為

第五十五頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日(1)當(dāng)k=1，T=1時(shí)，該閉環(huán)系統(tǒng)的特征值為此時(shí)有│z1,2│=0.795<1，故該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(2)當(dāng)k=5，T=1時(shí)，該閉環(huán)系統(tǒng)的特征值為此時(shí)有│z1,2│=1.744>1，故該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(3)當(dāng)k=1，T=4時(shí)，該閉環(huán)系統(tǒng)的特征值為此時(shí)有│z2│=1.235>1，故該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第五十六頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日(4)當(dāng)k=1，T=0.1時(shí)，該閉環(huán)系統(tǒng)的特征值為此時(shí)有│z1,2│=0.954<1，且z1,2幾乎在正實(shí)軸上，故該系統(tǒng)是穩(wěn)定的且?guī)缀鯖](méi)有超調(diào)。(5)當(dāng)k=5，T=0.1時(shí)，該閉環(huán)系統(tǒng)的特征值為此時(shí)有│z1,2│=0.963<1，和(4)相比，特征值的虛部增大，會(huì)使系統(tǒng)的階躍響應(yīng)出現(xiàn)超調(diào)現(xiàn)象，但該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。上述各種情況說(shuō)明，線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與系統(tǒng)的k和T有關(guān)。一般來(lái)說(shuō)，k增大或T增大系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差；反之，k減小或T減小系統(tǒng)的穩(wěn)定性變好。因此，為了使線性離散系統(tǒng)有良好的動(dòng)態(tài)特性，必須適當(dāng)選擇k和T。第五十七頁(yè)，共六十二頁(yè)，2022年，8月28日6.6.2線性離散系統(tǒng)的可控性

設(shè)線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程的一般形式為

式中x(k)為n維狀態(tài)向量，u(k)為m維控制向量，y(k)為p維輸出向量，系數(shù)矩陣A，B，C，D分別為nn，nm，pn和pm矩陣。1．線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)可控性對(duì)于線性離散系統(tǒng)，如果存在著