第一章 線性空間和線性映射

第一章線性空間和線性映射北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第一頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日其中為維輸入變量，維狀態(tài)向量，為矩陣?yán)碚摰暮?jiǎn)單應(yīng)用一矩陣在線性系統(tǒng)與多變量控制中的應(yīng)用線性系統(tǒng)狀態(tài)空間的線性微分方程組為第一章線性空間和線性映射北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第二頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日分別為m維輸出向量，矩陣為型矩陣且均為時(shí)間的函數(shù)。定義：如果上述方程中的矩陣都是常數(shù)矩陣，則稱該系統(tǒng)是線性定常系統(tǒng)。其狀態(tài)空間線性方程為考慮一個(gè)線性定常系統(tǒng)

北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第三頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日定義

對(duì)于上述系統(tǒng)，如果從狀態(tài)空間中的任意一點(diǎn)開(kāi)始，可以找到一個(gè)輸入，在有限的時(shí)間內(nèi)將狀態(tài)變量驅(qū)動(dòng)到原點(diǎn)，則稱該系統(tǒng)是可控的；否則，稱該系統(tǒng)是不可控的。定義

對(duì)于上述系統(tǒng)，如果在任一時(shí)刻的狀態(tài)可以由從這一時(shí)刻開(kāi)始的一個(gè)有限時(shí)間間隔上對(duì)輸入為零的輸出的觀測(cè)來(lái)決定，則稱該系統(tǒng)是可觀測(cè)的;否則，稱該系統(tǒng)是不可觀測(cè)的。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第四頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日我們首先以單輸入單輸出系統(tǒng)為例?？紤]下面的單輸入單輸出系統(tǒng)：其中和是維矢量，是矩陣，及是標(biāo)量。定理1上面的單輸入單輸出系統(tǒng)是可控的充分必要條件是可控性判別矩陣是可逆（非奇異）矩陣。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第五頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日由于矩陣是可逆矩陣，所以相應(yīng)的系統(tǒng)是可控的。例1

設(shè)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第六頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日由于矩陣?yán)?設(shè)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第七頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日是不可逆（奇異）矩陣，所以對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是不可控的。定理2上面的單輸入單輸出系統(tǒng)是可觀測(cè)的充分必要條件是可觀測(cè)性判別矩陣是可逆（非奇異）矩陣。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第八頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日例3由于矩陣是可逆矩陣，所以相應(yīng)的系統(tǒng)是可觀測(cè)的。例4設(shè)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第九頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日由于矩陣是不可逆（奇異）矩陣，所以對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是不可觀測(cè)的。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第十頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日我們?cè)僖远噍斎攵噍敵鱿到y(tǒng)為例?？紤]下面的多輸入多輸出系統(tǒng)：定理3多輸入多輸出系統(tǒng)是可控制的充分必要條件是可控制性判別矩陣是行滿秩的。該系統(tǒng)是可觀測(cè)的充分必要條件是可觀測(cè)性判別矩陣是列滿秩的。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第十一頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日由于矩陣是行滿秩的，所以相應(yīng)的系統(tǒng)是可控的。例5設(shè)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第十二頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日二矩陣?yán)碚撛谏飻?shù)學(xué)中的應(yīng)用在花的花瓣中存在一種特殊的生物模式。幾乎所有花，其花瓣數(shù)都是一種有規(guī)律的級(jí)數(shù)。例如百合花的花瓣有3瓣；毛茛屬的植物有5瓣花；許多翠雀屬的植物花有8瓣；萬(wàn)壽菊的花有13瓣；紫菀屬植物的花有21瓣；大多數(shù)雛菊的花有34，55，89瓣。另外，在向日葵的花盤內(nèi)葵花籽的螺旋式排列中也可以發(fā)現(xiàn)類似的排列模式，同時(shí)植物的葉序中也存在此種現(xiàn)象。這就是著名的Fibonacci級(jí)數(shù)模式。我們稱下面的數(shù)列為Fibonacci級(jí)數(shù)。它滿足下述遞推公式：北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第十三頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日以及初始條件：試求該數(shù)列的通項(xiàng)公式，并且求出極限

解設(shè)因?yàn)?，所以北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第十四頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日令那么我們有于是我們?yōu)榱饲驠ibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式只需求出即可，我們利用的相似標(biāo)準(zhǔn)形來(lái)化簡(jiǎn)的計(jì)算。的特征多項(xiàng)式為，它的兩個(gè)特征根為：北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第十五頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日同理可得基礎(chǔ)解系的一個(gè)向量為:由此可以看出可以對(duì)角化。解齊次線性方程組可以得到基礎(chǔ)解系的一個(gè)向量為：北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第十六頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日令那么從而由遞推公式以及初始條件可得北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第十七頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日比較上式的第二個(gè)分量得這就是著名的Fibonacci數(shù)列通項(xiàng)公式，容易計(jì)算出：0.618這個(gè)數(shù)在最優(yōu)化中有重要的應(yīng)用，在最優(yōu)化中我們經(jīng)常運(yùn)用這個(gè)數(shù)來(lái)迅速縮短搜索區(qū)間，以便找出最優(yōu)點(diǎn)，這種方法經(jīng)常稱為黃金分割法。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第十八頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)線性空間的概念一線性空間的定義與例子定義

設(shè)是一個(gè)非空的集合，是一個(gè)數(shù)域，在集合中定義兩種代數(shù)運(yùn)算,一種是加法運(yùn)算,用來(lái)表示;另一種是數(shù)乘運(yùn)算,用來(lái)表示,并且這兩種運(yùn)算滿足下列八條運(yùn)算律：（1）加法交換律（2）加法結(jié)合律

北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第十九頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日（3）零元素在中存在一個(gè)元素，使得對(duì)于任意的都有（4）負(fù)元素對(duì)于中的任意元素都存在一個(gè)元素使得

則稱是的負(fù)元素.（5）數(shù)1

北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第二十頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日（6）（7）（8）稱這樣的集合為數(shù)域上的線性空間。例1全體實(shí)函數(shù)集合構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間。例2

復(fù)數(shù)域上的全體型矩陣構(gòu)成的集合為上的線性空間。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第二十一頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日

例3實(shí)數(shù)域上全體次數(shù)小于或等于的多項(xiàng)式集合構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.例4全體正的實(shí)數(shù)在下面的加法與數(shù)乘的定義下構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間：

例5表示實(shí)數(shù)域上的全體無(wú)限序列組成的的集合。即北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第二十二頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日在中定義加法與數(shù)乘：則為實(shí)數(shù)域上的一個(gè)線性空間。例6在中滿足Cauchy條件的無(wú)限序列組成的子集合也構(gòu)成上的線性空間。Cauchy條件是：使得對(duì)于都有北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第二十三頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日例7在中滿足Hilbert條件的無(wú)限序列組成的子集合不構(gòu)成上的線性空間。Hilbert條件是：級(jí)數(shù)收斂例8在中有界的無(wú)限序列組成的子集也構(gòu)成上的線性空間。一個(gè)無(wú)限序列稱為有界的，如果存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得二線性空間的基本概念及其性質(zhì)定義

線性組合；線性表出；線性相關(guān)；線性無(wú)關(guān)；向量組的極大線性無(wú)關(guān)組；向量組的秩.北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第二十四頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日基本性質(zhì)：（1）含有零向量的向量組一定線性相關(guān)；（2）整體無(wú)關(guān)部分無(wú)關(guān)；部分相關(guān)整體相關(guān)；（3）如果含有向量多的向量組可以由含有向量少的向量組線性表出，那么含有向量多的向量組一定線性相關(guān)；（4）向量組的秩是唯一的，但是其極大線性無(wú)關(guān)組并不唯一；（5）如果向量組（I）可以由向量組（II）線性表出，那么向量組（I）的秩小于等于向量組（II）的秩；（6）等價(jià)的向量組秩相同。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第二十五頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日例1實(shí)數(shù)域上的線性空間中，函數(shù)組是一組線性無(wú)關(guān)的函數(shù)，其中為一組互不相同的實(shí)數(shù)。例2實(shí)數(shù)域上的線性空間中，函數(shù)組是一組線性無(wú)關(guān)的函數(shù)，其中為一組互不相同的實(shí)數(shù)。例3實(shí)數(shù)域上的線性空間中，函數(shù)組也是線性無(wú)關(guān)的。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第二十六頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日例4實(shí)數(shù)域上的線性空間空間中，函數(shù)組與函數(shù)組都是線性相關(guān)的函數(shù)組。線性空間的基底，維數(shù)與坐標(biāo)變換定義設(shè)為數(shù)域上的一個(gè)線性空間。如果在中存在個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量使得北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第二十七頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日中的任意一個(gè)向量都可以由線性表出:則稱為的一個(gè)基底；為向量在基底下的坐標(biāo)。此時(shí)我們稱為一個(gè)維線性空間，記為例1實(shí)數(shù)域上的線性空間中向量組與向量組北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第二十八頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日

都是的基。是3維線性空間。例2實(shí)數(shù)域上的線性空間中的向量組與向量組都是的基。是4維線性空間。例3實(shí)數(shù)域上的線性空間中的向量組北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第二十九頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日

與向量組都是的基底。的維數(shù)為注意：

通過(guò)上面的例子可以看出線性空間的基底并不唯一，但是維數(shù)是唯一確定的。由維數(shù)的定義,線性空間可以分為有限維線性空間和無(wú)限維線性空間。目前，我們主要討論有限維的線性空間。例4在4維線性空間中，向量組北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第三十頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日

與向量組是其兩組基，求向量在這兩組基下的坐標(biāo)。解：設(shè)向量在第一組基下的坐標(biāo)為北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第三十一頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日于是可得解得同樣可解出在第二組基下的坐標(biāo)為北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第三十二頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日由此可以看出：一個(gè)向量在不同基底下的坐標(biāo)是不相同的?；儞Q與坐標(biāo)變換設(shè)（舊的）與（新的）是維線性空間的兩組基底，它們之間的關(guān)系為

北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第三十三頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日將上式矩陣化可以得到下面的關(guān)系式：稱階方陣北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第三十四頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日是由舊的基底到新的基底的過(guò)渡矩陣，那么上式可以寫成定理：過(guò)渡矩陣是可逆的。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第三十五頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日任取，設(shè)在兩組基下的坐標(biāo)分別為

與，那么我們有：稱上式為坐標(biāo)變換公式。例1

在4維線性空間中，向量組北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第三十六頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日與向量組北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第三十七頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日為其兩組基，求從基到基的過(guò)渡矩陣，并求向量在這兩組基下的坐標(biāo)。解：容易計(jì)算出下面的矩陣表達(dá)式北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第三十八頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日向量第一組基下的坐標(biāo)為利用坐標(biāo)變換公式可以求得在第二組基下的坐標(biāo)為北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第三十九頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日

線性空間的子空間定義設(shè)為數(shù)域上的一個(gè)維線性空間，為的一個(gè)非空子集合，如果對(duì)于任意的以及任意的都有那么我們稱為的一個(gè)子空間。例1對(duì)于任意一個(gè)有限維線性空間，它必有兩個(gè)平凡的子空間，即由單個(gè)零向量構(gòu)成的子空間以及線性空間本身.北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第四十頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日例2設(shè)，那么線性方程組的全部解為維線性空間的一個(gè)子空間，我們稱其為齊次線性方程組的解空間。當(dāng)齊次線性方程組有無(wú)窮多解時(shí)，其解空間的基底即為其基礎(chǔ)解系；解空間的維數(shù)即為基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)。例3設(shè)為維線性空間中的一組向量，那么非空子集合

北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第四十一頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日構(gòu)成線性空間的一個(gè)子空間，稱此子空間為有限生成子空間，稱為該子空間的生成元。的基底即為向量組的維數(shù)即為向量組的秩。例4實(shí)數(shù)域上的線性空間中全體上三角矩陣集合，全體下三角矩陣集合，全體對(duì)稱矩陣集合，全體反對(duì)稱矩陣集合分別都構(gòu)成的子空間，北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第四十二頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日子空間的交與和兩個(gè)子空間的交:

兩個(gè)子空間的和:子空間交與和的性質(zhì):1.若和都是的子空間,則和也是的子空間.2.3.4.兩個(gè)子空間的直和:如果中的任一向量只能唯一表示為子空間的一個(gè)向量與子空間的一個(gè)向量的和,則稱為與的直和.北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第四十三頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日

矩陣（或線性變換）的特征值與特征向量

定義設(shè)是數(shù)域上的線性空間的一個(gè)線性變換，如果對(duì)于數(shù)域中任一元素，中都存在一個(gè)非零向量，使得

那么稱為的一個(gè)特征值，而稱為的屬于特征值的一個(gè)特征向量?，F(xiàn)在設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，中取定一組基，設(shè)線性變換在這組基下的矩陣是，向量在這組基下的坐標(biāo)是，。那么我們有

北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第四十四頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日由此可得定理：

是的特征值是的特征值.

是的屬于的特征向量是的屬于的特征向量.因此，只要將的全部特征值求出來(lái)，它們就是線性變換的全部特征值；只要將矩陣的屬于的全部特征向量求出來(lái)，分別以它們?yōu)樽鴺?biāo)的向量就是的屬于的全部特征向量。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第四十五頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日例1設(shè)是數(shù)域上的3維線性空間，是上的一個(gè)線性變換，在的一個(gè)基下的矩陣是求的全部特征值與特征向量。解：的特征多項(xiàng)式為北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第四十六頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日所以的特征值是（二重）與。對(duì)于特征值，解齊次線性方程組得到一個(gè)基礎(chǔ)解系：北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第四十七頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日從而的屬于的極大線性無(wú)關(guān)特征向量組是于是屬于3的全部特征向量是

這里為數(shù)域中不全為零的數(shù)對(duì)。對(duì)于特征值，解齊次線性方程組得到一個(gè)基礎(chǔ)解系：

北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第四十八頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日從而的屬于的極大線性無(wú)關(guān)特征向量組是于是的屬于的全部特征向量這里為數(shù)域中任意非零數(shù)。

矩陣的相似與相似對(duì)角化相似矩陣的性質(zhì)：相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，有相同的特征北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第四十九頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的跡，有相同的譜。矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)：（1）階矩陣的屬于特征值的全部特征向量再添上零向量，可以組成的一個(gè)子空間，稱之為矩陣的屬于特征值的特征子空間，記為，不難看出正是特征方程組的解空間。（2）屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*第五十頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日（3）設(shè)是的個(gè)互不同的特征值，的幾何重?cái)?shù)為，是對(duì)應(yīng)于的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則的所有這些特征向量仍然是線性無(wú)關(guān)的。（4）任意一個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)