第三章隨機(jī)過(guò)程

第三章隨機(jī)過(guò)程第一頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日3.1引言隨機(jī)信號(hào)如果信號(hào)的某個(gè)或某幾個(gè)參數(shù)不能預(yù)知或不能完全預(yù)知，這種信號(hào)就稱為隨機(jī)信號(hào)。隨機(jī)噪聲通信系統(tǒng)中不能預(yù)測(cè)的噪聲就稱為隨機(jī)噪聲，簡(jiǎn)稱噪聲。隨機(jī)噪聲和隨機(jī)信號(hào)統(tǒng)稱為隨機(jī)過(guò)程第二頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日隨機(jī)變量在概率論中，將每次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果用一個(gè)變量來(lái)表示，如果變量的取值是隨機(jī)的，則稱變量為隨機(jī)變量。例如，在一定時(shí)間內(nèi)電話交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量。當(dāng)隨機(jī)變量的取值個(gè)數(shù)是有限個(gè)時(shí)，則稱它為離散隨機(jī)變量。否則就稱為連續(xù)隨機(jī)變量。

第三頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日概率分布函數(shù)F(x)定義隨機(jī)變量X的概率分布函數(shù)F(x)是X取小于或等于某個(gè)數(shù)值x的概率P(X≤x)，即F(x)=P(X≤x)上述定義中，隨機(jī)變量X可以是連續(xù)隨機(jī)變量，也可以是離散隨機(jī)變量。對(duì)于離散隨機(jī)變量，其分布函數(shù)可表示為

式中，是隨機(jī)變量X取值為xi的概率。隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征第四頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日概率密度函數(shù)f(x)概率密度函數(shù)是分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。從圖形上看，概率密度就是分布函數(shù)曲線的斜率。概率密度函數(shù)有如下性質(zhì)：（1）（2）（3）第五頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日第六頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日第七頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日第八頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日隨機(jī)變量的數(shù)字特征前面討論的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，能夠較全面地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性。然而，在許多實(shí)際問(wèn)題中，我們往往并不關(guān)心隨機(jī)變量的概率分布，而只想了解隨機(jī)變量的某些特征，例如隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)平均值，以及隨機(jī)變量的取值相對(duì)于這個(gè)平均值的偏離程度等。這些描述隨機(jī)變量某些特征的數(shù)值就稱為隨機(jī)變量的數(shù)字特征。第九頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)字期望

數(shù)字期望（簡(jiǎn)稱均值）是用來(lái)描述隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)平均值，它反映隨機(jī)變量取值的集中位置。對(duì)于離散隨機(jī)變量X，設(shè)是其取值xi的概率，則其數(shù)字期望定義為對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量X，其數(shù)學(xué)期望定義為式中，f(x)為隨機(jī)變量X的概率密度。第十頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)如下：（1）若C為一常數(shù)，則常數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于常數(shù)，即E(C)=C；（2）若有兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y，它們的數(shù)學(xué)期望E(X)和E(Y)存在，則E(X+Y)=E(X)+E(Y)。若隨即變量X1,X2,…,Xn的數(shù)學(xué)期望都存在，則E(X1+X2+…+Xn)也存在，且有E(X1+X2+…+Xn)＝E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)第十一頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日（3）若隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且E(X)和E(Y)存在，則E(XY)也存在，且有E(XY)=E(X)E(Y)方差

方差反映隨機(jī)變量的取值偏離均值的程度。方差定義為隨機(jī)變量X與其數(shù)學(xué)期望E(X)之差的平方的數(shù)學(xué)期望，即D[X]=E[X-E(X)]2第十二頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于離散隨機(jī)變量，上式方差的定義可表示為式中，Pi是隨機(jī)變量X取值為xi的概率。對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量，方差的定義可表示為

另外，還可以表示為第十三頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日方差的性質(zhì)如下：（1）常數(shù)的方差等于0，即D[X]=0；（2）設(shè)D[X]存在，C為常數(shù)，則D[X+C]=D[X]D(CX)=C2D(X)；（3）設(shè)D[X]和D[Y]都存在，且X和Y相互獨(dú)立，則D[X+Y]=D[X]+D[Y]。對(duì)于多個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn，不難證明有D(X1+X2+…+Xn)＝D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)第十四頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)試驗(yàn)E的可能結(jié)果為(s,t)，試驗(yàn)的樣本空間S為{x1(t)、x2(t)…xi(t)…},xi(t)為第i個(gè)樣本函數(shù)。每次實(shí)驗(yàn)之后，(s,t)取空間S中的某一個(gè)樣本函數(shù)，于是用(s,t)表示該隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)記為(t)。幾個(gè)基本概念隨機(jī)過(guò)程：所有樣本函數(shù)的集合，t與s均可變；樣本函數(shù)：確定的時(shí)間函數(shù)，t是變量，s是固定的；樣本隨機(jī)變量：t固定時(shí)，隨機(jī)信號(hào)的狀態(tài);樣本值：確定的數(shù)值，t與s均固定3.2隨機(jī)過(guò)程的基本概念第十五頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日(si,t)=xi(t),樣本函數(shù);(s,tk)=(tk),隨機(jī)變量;(si,tk)=確定實(shí)數(shù)x1(t)x2(t)xi(t)xN(t)實(shí)數(shù)值樣本函數(shù)tkt(si,tk)第十六頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日隨機(jī)過(guò)程的兩種基本表征樣本函數(shù)集合隨機(jī)變量集合第十七頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日隨機(jī)過(guò)程的概率密度函數(shù)一階概率分布與密度函數(shù)二階概率分布與密度函數(shù)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特征

第十八頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日隨機(jī)過(guò)程(t)的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望方差自相關(guān)函數(shù)第十九頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日自協(xié)方差自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)描述同一隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)程度，與選擇時(shí)刻t1和t2有關(guān)。如果t2>t1并令t2=t1+，有即相關(guān)函數(shù)是時(shí)間起點(diǎn)t1以及時(shí)間間隔的函數(shù)互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)描述不同隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)程度第二十頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日第二十一頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日第二十二頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日3.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)特性（概率密度函數(shù)，相關(guān)函數(shù)等）具有平穩(wěn)性的隨機(jī)信號(hào)稱為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程觀測(cè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的相應(yīng)統(tǒng)計(jì)特性時(shí)，不受觀察時(shí)刻的影響嚴(yán)格平穩(wěn)：全部統(tǒng)計(jì)特性平穩(wěn)廣義平穩(wěn)：部分統(tǒng)計(jì)特性平穩(wěn)均值平穩(wěn)自相關(guān)平穩(wěn)第二十三頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日第二十四頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日各態(tài)歷經(jīng)性（遍歷性）統(tǒng)計(jì)平均等于樣本函數(shù)的時(shí)間平均均值各態(tài)歷經(jīng)性：統(tǒng)計(jì)均值等于時(shí)間均值時(shí)間均值：設(shè)x(t)為(t)的一個(gè)樣本函數(shù)相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng):統(tǒng)計(jì)相關(guān)函數(shù)等于樣本的時(shí)間相關(guān)函數(shù)樣本的時(shí)間相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過(guò)程是平穩(wěn)的，但平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。第二十五頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度自相關(guān)函數(shù)主要性質(zhì)：實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程(t)第二十六頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的頻譜特性隨機(jī)信號(hào)的頻譜特性用功率譜密度P()來(lái)表示廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系維納-辛欽定理第二十七頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日第二十八頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日第二十九頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日第三十頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日3.5高斯過(guò)程若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)可表示成則稱為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。a及2是兩個(gè)常量（均值及方差）第三十一頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日高斯隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì)(1)若高斯過(guò)程是廣義平穩(wěn)的,則它也是嚴(yán)平穩(wěn)的;(2)若幾個(gè)高斯過(guò)程中的隨機(jī)變量之間互不相關(guān),則這些高斯過(guò)程也是互不相關(guān)的;(3)若干個(gè)高斯過(guò)程之和的過(guò)程仍是高斯過(guò)程;(4)高斯過(guò)程經(jīng)過(guò)線性變換后的過(guò)程仍是高斯型。第三十二頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日概率密度函數(shù)圖a0xf

(x)f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱f(x)在（-，a）內(nèi)單調(diào)上升，在（a，）內(nèi)單調(diào)下降，且在a點(diǎn)最大對(duì)不同的a，表現(xiàn)為f(x)的左右平移，對(duì)不同的，f(x)圖形隨的減小而變高變窄第三十三頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布誤差函數(shù)(P.473附錄B)定義主要性質(zhì)erf(0)=0erf()=1erf(-)=-erf()第三十四頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日補(bǔ)誤差函數(shù)定義主要性質(zhì)erfc(0)=1erfc()=0erfc(-)=2-erfc()第三十五頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日概率積分函數(shù)定義Q函數(shù)的主要性質(zhì)Q(0)=1/2;Q()=0;Q(-）=1-Q()，>0;第三十六頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日誤差函數(shù)和概率積分函數(shù)的關(guān)系第三十七頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日3.6窄帶隨機(jī)過(guò)程定義帶寬B遠(yuǎn)小于中心頻率fc的隨機(jī)過(guò)程為窄帶隨機(jī)過(guò)程。P()c0-cc+m-c-m-c+mc-m第三十八頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日一般表達(dá)式a(t)為(t)的包絡(luò)函數(shù)(t)為(t)的相位函數(shù)窄帶隨機(jī)過(guò)程可以表示成兩個(gè)相互正交的分量之和第三十九頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程，它的同相分量和正交分量同樣是平穩(wěn)高斯過(guò)程，而且均值都為零，方差也相同；在同一時(shí)刻得到的同相分量c和正交分量s是不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的；一個(gè)均值為零、方差為2的平穩(wěn)高斯窄帶過(guò)程，其包絡(luò)a(t)的一維分布是瑞利分布，而相位的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言，相位和包絡(luò)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。第四十頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日3.7正弦載波加窄帶高斯過(guò)程通信系統(tǒng)中傳輸?shù)男盘?hào)通常是一個(gè)正弦波作為載波的已調(diào)信號(hào)，信號(hào)經(jīng)過(guò)信道傳輸時(shí)總會(huì)受到噪聲的干擾，為了減少噪聲的影響，通常在接收機(jī)前端設(shè)置一個(gè)帶通濾波器，以濾除信號(hào)頻帶以外的噪聲。因此，帶通濾波器的輸出是正弦波信號(hào)與窄帶噪聲的合成信號(hào)。這是通信系統(tǒng)中常會(huì)遇到的一種情況，所以有必要了解合成信號(hào)的包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性。第四十一頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)正弦波加窄帶高斯噪聲的合成信號(hào)為第四十二頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日式中，分別為合成信號(hào)的隨機(jī)包絡(luò)和隨機(jī)相位?？梢宰C明，正弦信號(hào)加窄帶高斯噪聲所形成的合成信號(hào)，具有如下統(tǒng)計(jì)特性：第四十三頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日正弦信號(hào)加窄帶高斯噪聲的隨機(jī)包絡(luò)服從廣義瑞利分布（也稱萊斯（Rice）分布），即其包絡(luò)的概率密度函數(shù)為式中，是的方差，為零階修正貝賽爾函數(shù)。x≥0時(shí)，是單調(diào)上升函數(shù)，且有。第四十四頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日3.8隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)輸入i(t)輸出o(t)第四十五頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程i(t)通過(guò)線性系統(tǒng)后,其輸出過(guò)程o(t)也是平穩(wěn)的,且高斯過(guò)程經(jīng)過(guò)線性變換后的過(guò)程仍為高斯過(guò)程。第四十六頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日白噪聲若噪聲的功率譜密度P()在所有頻率上為一常數(shù),則稱為白噪聲.即白噪聲只有在=0點(diǎn)是相關(guān)的，而在任何兩個(gè)時(shí)刻上的隨機(jī)變量都是不相關(guān)的。P()第四十七頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日白噪聲通過(guò)理想低通濾波器傳遞函數(shù)功率傳遞函數(shù)輸出功率譜第四十八頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日0-/