第七章 連續(xù)小波變換

第七章連續(xù)小波變換第一頁，共三十一頁，2022年，8月28日基本小波定義：則稱為基本小波，或母小波。，其Fourier變換為滿足設(shè)允許條件性質(zhì)：(1)帶通性質(zhì)(2)零均值和波動性(3)局部化特性第二頁，共三十一頁，2022年，8月28日尺度因子平移因子歸一化因子連續(xù)小波變換的定義定義：對任意，它的連續(xù)小波變換定義為：稱為小波基函數(shù)一般可簡記為第三頁，共三十一頁，2022年，8月28日連續(xù)小波變換的性質(zhì)

(4)自相似性:對應(yīng)不同尺度參數(shù)a和不同的平移參數(shù)b的連續(xù)小波變換之間是自相似的

線性性:一個多分量信號的連續(xù)小波變換等于各個分量的小波變換之和(2)平移不變性:若的小波變換為，則的小波變換為(3)伸縮共變性:若的小波變換為的，則小波變換為(5)冗余性:連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余第四頁，共三十一頁，2022年，8月28日連續(xù)小波變換的逆變換逆變換存在的可能性：窗口寬度任意調(diào)節(jié)，在時域上或頻域上能完全恢復(fù)出信號的信息。連續(xù)小波變換結(jié)果有很大的冗余度。以a,b(t)為變換核的連續(xù)小波變換的逆變換：假設(shè)f(t)、(t)L2(R)：第五頁，共三十一頁，2022年，8月28日常用的基本小波

Haar小波第六頁，共三十一頁，2022年，8月28日2.Daubechies小波D4尺度函數(shù)與小波

D6尺度函數(shù)與小波

常用的基本小波

第七頁，共三十一頁，2022年，8月28日3、雙正交小波雙正交B樣條小波（5-3）、（9-7）小波濾波器bior2.2,bior4.4（7-5）小波濾波器:常用于圖形學(xué)中。其中尺度函數(shù)是一個三次B樣條。常用的基本小波

第八頁，共三十一頁，2022年，8月28日4.Morlet小波Morlet小波不存在尺度函數(shù);快速衰減但非緊支撐.Morlet小波是Gabor小波的特例。Gabor小波Morlet小波常用的基本小波

第九頁，共三十一頁，2022年，8月28日5.高斯小波這是高斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，在信號與圖象的邊緣提取中具有重要的應(yīng)用。主要應(yīng)用于階梯型邊界的提取。

特性：指數(shù)級衰減，非緊支撐；具有非常好的時間頻率局部化；關(guān)于0軸反對稱。常用的基本小波

第十頁，共三十一頁，2022年，8月28日6.Marr小波（也叫墨西哥草帽小波）

這是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，在信號與圖象的邊緣提取中具有重要的應(yīng)用。主要應(yīng)用于屋脊型邊界和Dirac邊緣的提取。

特性：指數(shù)級衰減，非緊支撐；具有非常好的時間頻率局部化；關(guān)于0軸對稱。常用的基本小波

第十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日7.Meyer小波它的小波函數(shù)與尺度函數(shù)都是在頻域中進(jìn)行定義的。具體定義如下：常用的基本小波

第十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日8.Shannon小波在時域，Shannon小波是無限次可微的，具有無窮階消失矩，不是緊支的，具有漸近衰減性但較緩慢；在頻域，Shannon小波是頻率帶限函數(shù)，具有好的局部化特性。常用的基本小波

第十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日9.Battle-Lemarie樣條小波

常用的基本小波

第十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日連續(xù)小波變換的再生核尺度和位移連續(xù)變化的連續(xù)小波基函數(shù)構(gòu)成了一組非正交的過度完全基，小波展開系數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系可表示為1.CWT系數(shù)具有很大的冗余，計算量比較大2.利用冗余性可以實現(xiàn)去噪和數(shù)據(jù)恢復(fù)的目的。重建核方程重建核第十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日小波時頻分析

小波分析能提供隨頻率改變的時-頻窗(自適應(yīng)窗口)。

假設(shè)是任一基本小波，并且都是窗函數(shù)，它們的中心

與半徑分別為。不妨設(shè)和尺度a都是正數(shù)。給出了在頻域窗內(nèi)的局部化信息。給出了在時間窗內(nèi)的局部化信息。第十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日小波時頻分析

內(nèi)的局部化信息,若用作為頻率變量，則給出了信號在時間—頻率平面(平面）中一個矩形的時間—頻率窗

即小波變換具有時—頻局部化特征。窗寬:面積:的寬度是寬度的a倍。對信號的高頻成分需用尺度較小的分析小波。信號進(jìn)行分析。

這時時間窗會自動變窄，并在高頻區(qū)域?qū)Φ谑唔?，共三十一頁?022年，8月28日“恒Q性質(zhì)”：小波函數(shù)a,b(t)的頻率具有帶通特性，帶通濾波特性的品質(zhì)因數(shù)Q為小波時頻分析

第十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日各種變換的比較

小波變換的特性分解種類：時間-尺度或時間-頻率分析函數(shù)：具有固定震蕩次數(shù)的時間有限的波。小波函數(shù)的伸縮改變其窗口大小。變量：尺度，小波的位置信息：窄的小波提供好的時間局部化及差的頻率局部化，寬的小波提供好的頻率局部化及差的時間局部化。適應(yīng)場合：非平穩(wěn)信號短時Fourier變換的特性

分解種類：時間-頻率分析函數(shù)：由三角震蕩函數(shù)復(fù)合而成的時間有限的波變量：頻率，窗口的位置

信息：窗口越小，時間局部化越好，其結(jié)果是濾掉低頻成分；窗口越大，頻率局部化越好,此時時間局部化較差.適應(yīng)場合：次穩(wěn)定信號Fourier變換變換的特性分解種類：頻率分析函數(shù)：正弦函數(shù)，余弦函數(shù)

變量：頻率信息：組成信號的頻率

適應(yīng)場合：平穩(wěn)信號第十九頁，共三十一頁，2022年，8月28日CWT的變換過程示例CWT的變換過程示例，見圖，可分如下5步小波ψ(t)和原始信號f(t)的開始部分進(jìn)行比較計算系數(shù)C——該部分信號與小波的近似程度；C值越高表示信號與小波相似程度越高小波右移k得到的小波函數(shù)為ψ(t-k)

，然后重復(fù)步驟1和2，……直到信號結(jié)束擴展小波，如擴展一倍，得到的小波函數(shù)為ψ(t/2)

重復(fù)步驟1~4圖2-1連續(xù)小波變換的過程第二十頁，共三十一頁，2022年，8月28日對于含噪聲的周期性信號noissin進(jìn)行連續(xù)小波分解，首先使用db4小波對比小波對信號進(jìn)行不同尺度的分解，重新選擇分解尺度后腳明顯地顯示出了信號的周期性特征，最后使用復(fù)小波cgau4對信號進(jìn)行分解，分別得到信號的實部、虛部、模和相位。結(jié)果如圖2-2、2-3和圖2-4所示。連續(xù)小波變換的數(shù)值積分結(jié)果演示第二十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日連續(xù)小波變換的數(shù)值積分結(jié)果演示圖2-2原始信號第二十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日連續(xù)小波變換的數(shù)值積分結(jié)果演示圖2-3不同尺度下的連續(xù)小波分解第二十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日連續(xù)小波變換的數(shù)值積分結(jié)果演示圖2-4信號的復(fù)連續(xù)小波分解第二十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日

正弦信號在位置500處有一間斷點，由于間斷點持續(xù)的時間很短，因此在波形圖中無法辨識出間斷點來。如圖2-5。連續(xù)小波變換用于斷點分析圖2-5原始信號第二十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日

對該信號進(jìn)行快速Fourier變換，得到信號的頻譜圖。觀察信號的頻譜，除了正弦信號的基頻之外，無任何額外的信息。如圖2-6。

連續(xù)小波變換用于斷點分析圖2-6頻譜圖第二十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日

選取db4小波，尺度a=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，對信號實施連續(xù)小波變換，得到小波系數(shù)分布圖。在空間位置500處間斷點的信息一目了然地顯現(xiàn)出來。在尺度為1處，在整個時間范圍（空間位置）內(nèi)分布的小波系數(shù)是正弦信號的基頻信息。而空間位置500處的間斷點在時間上是局部的，小波系數(shù)集中發(fā)生在間斷位置的各個尺度上，將間斷信息凸現(xiàn)了出來。如圖2-7。連續(xù)小波變換用于斷點分析

傳統(tǒng)的快速Fourier變換對此卻無能為力，究其原因在于間斷分布的能量在整個信號中所占的比例太小，而Fourier變換并無時間局部化能力。第二十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日連續(xù)小波變換用于斷點分析圖2-7連續(xù)小波變換第二十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日連續(xù)小波變換用于自相似性檢測

直觀上講，小波分解可通過計算信號和小波之間的自相似指數(shù)(小波系數(shù))得到。自相似指數(shù)大，則信號的自相似程度就高；反之亦然。若一個信號在不同的尺度上都相似于它本身，那么，其自相似指數(shù)在不同的尺度上也是相似的。

對自相似信號vonkoch進(jìn)行連續(xù)小波變換。由圖2-8可見，在小波分解后顯示的自相似指數(shù)圖中，在許多尺度上，小波系數(shù)看上去是相似的，另外，垂直軸線上顯示的線條就是由于信號的自相似性產(chǎn)生的。小波系數(shù)越大，則灰度越深。由于