第六章卡方檢驗

第六章卡方檢驗第一頁，共六十六頁，2022年，8月28日本章主要介紹卡方檢驗的基本概念、獨立性檢驗方法、適合性檢驗方法第二頁，共六十六頁，2022年，8月28日在科研工作和實際生產(chǎn)中，我們經(jīng)常會碰到許多質(zhì)量性狀方面的資料，這些資料可以轉(zhuǎn)化成百分率后使用t-test方法進行檢驗，但這僅限于一個樣本率與總體率的比較、兩個樣本率間的比較除此之外，我們還可以用檢驗來完成檢驗工作特別當有多個樣本進行比較時，必須用檢驗來完成第三頁，共六十六頁，2022年，8月28日第一節(jié)檢驗的意義和原理概念第四頁，共六十六頁，2022年，8月28日遺傳學(xué)中，研究某一性狀是否受一對等位基因的控制，該性狀在后代的分離比例是否符合某種規(guī)律例1孟德爾的豌豆花試驗（紅花

705朵、白花224朵），這一分離是否符合3：1的分離比例的假設(shè)？如果這一3：1的理論比例是正確的，那么這一試驗所出現(xiàn)的紅花和白花的理論比例應(yīng)當是：紅花：696.75白花：232.25顯然，實際出現(xiàn)的紅花、白花的朵數(shù)與理論值之間有一定的差異，即observedfrequency和expectedfrequency

（如何用t-test來完成這一檢驗？）第五頁，共六十六頁，2022年，8月28日連續(xù)進行多次試驗，每一次的結(jié)果都不會相同，每一次的結(jié)果都不會剛好符合理論值可以這樣設(shè)想：觀察值與理論值之間的差距越小，表示試驗結(jié)果與理論值越相符；反之，觀察值與理論值之間的距離越大，表示試驗結(jié)果與理論值越不符，當這一差值大到一定程度時，我們就可以認為豌豆花的顏色是不受一對等位基因控制的，可能是另外一種遺傳模式但如何來界定這種相符或不相符？第六頁，共六十六頁，2022年，8月28日從數(shù)據(jù)上看，實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)存在一定的差異，這個差異是屬于抽樣誤差、還是性狀在后代的分離比例發(fā)生了實質(zhì)性的變化?要回答這個問題，首先需要確定一個統(tǒng)計量用以表示實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)偏離的程度；然后判斷這一偏離程度是否屬于抽樣誤差，即進行顯著性檢驗。第七頁，共六十六頁，2022年，8月28日為了度量實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)偏離的程度，最簡單的辦法是求出實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)的差數(shù)。當將這兩個差值相加，（705-696.75）+（224-232.25）=0?？梢哉f，任何類似的問題其結(jié)果都是0。為了避免正、負抵消，可將兩個差數(shù)平方后再相加，即計算∑(O-E)2，且由于平方，使得原來較大的差變得更大了，因而增大了分析問題的靈敏性但利用∑(O-E)2表示實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)的偏離程度尚有不足。未考慮觀察次數(shù)（與理論次數(shù)）的大小對偏離程度的影響。為了彌補這一不足，可先將各差數(shù)平方除以相應(yīng)的理論次數(shù)后再相加（轉(zhuǎn)化為相對比值）并記之為，即第八頁，共六十六頁，2022年，8月28日上例中：紅花：白花：兩者之和：=值越小，表示試驗結(jié)果與理論值越相符；反之，越大，表示試驗結(jié)果與理論值越不符，∑第九頁，共六十六頁，2022年，8月28日分布是一種連續(xù)型分布，可用于檢驗資料的實際頻數(shù)和按檢驗假設(shè)計算的理論頻數(shù)是否相符等問題。早在1875年，F(xiàn).Helmet即得出來自正態(tài)總體的樣本方差的分布服從卡方分布。1900年，K.Pearson也獨立地從檢驗分布的擬合優(yōu)度發(fā)現(xiàn)這一相同的卡方分布。KarlPearson(1857-1936)第十頁，共六十六頁，2022年，8月28日■

χ2分布χ2分布的概率密度函數(shù)：

第十一頁，共六十六頁，2022年，8月28日■

χ2分布χ2分布的概率密度函數(shù)：

第十二頁，共六十六頁，2022年，8月28日連續(xù)性校正

由于χ2分布是連續(xù)性分布，被檢驗的資料是離散型的分類資料，而從離散型資料得到的統(tǒng)計量只是近似地服從χ2分布，因此，為了保證有足夠的近似程度，一般要求：①自由度必須大于1②理論頻數(shù)不少于5若某組的理論次數(shù)小于5，則應(yīng)把它與其相鄰的一組或幾組合并，直到理論次數(shù)大于5為止。當自由度大于1時，分布與連續(xù)型隨機變量分布相近似，這時，可不作連續(xù)性矯正，但要求各組內(nèi)的理論次數(shù)不小于5。第十三頁，共六十六頁，2022年，8月28日當自由度為1時，Yates(1934)提出了一個矯正公式，矯正后的2值記為

c2第十四頁，共六十六頁，2022年，8月28日例2

正常情況下，中國嬰兒的性別比為：♂51：♀49即每出生

100個女嬰，就有103~105

個男嬰統(tǒng)計某地區(qū)連續(xù)3年的嬰兒性別比，得：男嬰4691人：女嬰4159人，試問該地區(qū)的新生兒性別比正常嗎？我們用列表的方式檢查之：嬰兒性別實際值（O）理論值（E）

O-E

男嬰46914513.5177.56.98

女嬰41594336.5-177.57.27

合計88508850.0014.25

第十五頁，共六十六頁，2022年，8月28日顯然，這一值較大，有可能這一地區(qū)的嬰兒出生性別比不太正常（請用t-test

進行檢驗，看這一性別比是否符合常規(guī)性別比）第十六頁，共六十六頁，2022年，8月28日例3

長翅灰身（LLGG）的果蠅與殘翅黑檀體（llgg）果蠅交配，其后代F1全為長翅灰身，F(xiàn)1自群繁育，結(jié)果出現(xiàn)了4種表現(xiàn)型：長灰（1477）、長黑（493）、殘灰（446）、殘黑（143），現(xiàn)假定控制翅膀長度和身體顏色的兩對基因是相互獨立的，且都是顯隱性關(guān)系，則四種類型的果蠅其比例應(yīng)當是9：3：3：1現(xiàn)需驗證這次試驗的結(jié)果是否符合這一分離比例第十七頁，共六十六頁，2022年，8月28日

長翅灰身（LLGG）×殘翅黑檀體（llgg）

長翅灰身（L_G_）

長灰長黑殘灰殘黑

(1477)(493)(446)(143)第十八頁，共六十六頁，2022年，8月28日1477+493+446+143=2559以上二個例子都要求我們判斷觀測值與理論值之間是否相符，而我們都可以得到一個值第十九頁，共六十六頁，2022年，8月28日檢驗的一般步驟：首先提出假設(shè)其次計算值最后根據(jù)值出現(xiàn)的概率判斷無效假設(shè)是否成立自由度不同，分布是不同的卡方分布的自由度僅與性狀的類別有關(guān)，而與次數(shù)無關(guān)，例1中有兩類花，因此其自由度為2-1=1例3中有4

類果蠅，因此其自由度為4-1=3不同檢驗自由度的計算也不一樣第二十頁，共六十六頁，2022年，8月28日第二節(jié)適合性檢驗

一、適合性檢驗的意義判斷實際觀察的屬性類別分配是否符合已知屬性類別分配理論或?qū)W說的假設(shè)檢驗稱為適合性檢驗。下一張

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第二十一頁，共六十六頁，2022年，8月28日

1.在適合性檢驗中，H0：實際屬性類別分配符合已知屬性類別分配；HA：實際屬性類別分配不符合已知屬性類別

2.在無效假設(shè)成立的條件下，按已知屬性類別分配的理論或?qū)W說計算理論值。

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第二十二頁，共六十六頁，2022年，8月28日3.因各個屬性類別理論次數(shù)的總和應(yīng)等于其實際觀察次數(shù)的總和，適合性檢驗的自由度等于屬性類別分類數(shù)減1

。若屬性類別分類數(shù)為k，則適合性檢驗的自由度為k-1。4.計算出2或2c，并與臨界的2值（20.05、20.01）比較：下一張

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第二十三頁，共六十六頁，2022年，8月28日適合性檢驗適用于某一實際資料是否符合一理論值，因此適合性檢驗常用于遺傳學(xué)研究、質(zhì)量鑒定、規(guī)范化作業(yè)、一批數(shù)據(jù)是否符合某種理論分布等。我們以例3

來說明適合性檢驗的一般步驟第二十四頁，共六十六頁，2022年，8月28日設(shè)立無效假設(shè)，果蠅的分類觀測值與理論值相符兩者不符計算值，前面已經(jīng)得到df=4-1=3

查值表，得接受無效假設(shè)，即果蠅的這四種類型分離符合自由組合定律9：3：3：1第二十五頁，共六十六頁，2022年，8月28日例2的值需重新計算，因為性別比只有兩類，因此其自由度為1，應(yīng)作連續(xù)性校正連續(xù)性校正公式是：先作無效假設(shè)：本例男女嬰性別比符合常規(guī)比例不符常規(guī)比例計算值查值表，得第二十六頁，共六十六頁，2022年，8月28日否定無效假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即該地區(qū)嬰兒出生的性別比極顯著偏離正常性別比，應(yīng)查找原因（例1

是否需要作連續(xù)性校正？）第二十七頁，共六十六頁，2022年，8月28日的分割有時候，經(jīng)檢驗，被推翻，而接受了，即表示整個資料不符合某一理論比例。問題：但這總的值是反映全部資料均不符合理論比例？還是其中部分資料不符合比例？下面我們看一個例題第二十八頁，共六十六頁，2022年，8月28日兩對性狀F2分離的四種表現(xiàn)型觀測資料分別為154、43、53、6，試問該批資料是否符合9：3：3：1？該例的自由度為4-1=3（不需要進行校正）先計算理論次數(shù)：154+43+53+6=256A-B-：144A-bb：48aaB-：48aabb：16

設(shè)立無效假設(shè)（略）第二十九頁，共六十六頁，2022年，8月28日否定無效假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即這批資料與設(shè)定的理論分離比例9：3：3：1不符是整批資料都不符？還是部分不符？我們需作進一步的分析，因此應(yīng)對作分割這種分割是建立在具有可加性的特點上的，而這種可加性只有在次數(shù)資料各部分相互獨立、且不作連續(xù)性校正的基礎(chǔ)上才能成立第三十頁，共六十六頁，2022年，8月28日卡方檢驗再分割具體步驟1.用檢驗確定實際值與理論值是否有差異2.確定值最大的屬性類別項3.檢驗其余項是否符合理論分配比例4.再檢驗值最大項與其余項的合并組是否符合理論分配比例第三十一頁，共六十六頁，2022年，8月28日該例的四個分值分別為：0.694+0.521+0.521+6.25=7.986顯然，前面三個分值較小，因此先取前三部分的比例作檢驗：154+43+53=250A-B-：150A-bb：50aaB-：50提假設(shè)，計算統(tǒng)計量接受無效假設(shè)，即這三部分資料的實際觀測值符合9：3：3的理論比例第三十二頁，共六十六頁，2022年，8月28日再檢查aabb

與這三部分之和是否符合1：15前三部分之和（理論值）：240aabb：16這說明aabb

不符合理論比例第三十三頁，共六十六頁，2022年，8月28日

檢驗中的適合性檢驗一般要求樣本量應(yīng)大一些，樣本較小會影響到檢驗的正確性，特別是當理論比例中有較小值時（上一例中的aabb），更應(yīng)當注意樣本容量，這一例即有樣本偏小的傾向第三十四頁，共六十六頁，2022年，8月28日第三節(jié)獨立性檢驗第三十五頁，共六十六頁，2022年，8月28日

一、獨立性檢驗的意義

對次數(shù)資料，除進行適合性檢驗外，有時需要分析兩類因子是相互獨立還是彼此相關(guān)。根據(jù)次數(shù)資料判斷兩類因子彼此相關(guān)或相互獨立的假設(shè)檢驗就是獨立性檢驗。第三十六頁，共六十六頁，2022年，8月28日這時需要分析藥物種類與療效是否相關(guān)，若兩者彼此相關(guān)，表明療效因藥物不同而異，即兩種藥物療效不相同；若兩者相互獨立，表明兩種藥物療效相同。這種根據(jù)次數(shù)資料判斷兩類因子彼此相關(guān)或相互獨立的假設(shè)檢驗就是獨立性檢驗。獨立性檢驗實際上是基于次數(shù)資料對子因子間相關(guān)性的研究。下一張

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第三十七頁，共六十六頁，2022年，8月28日獨立性檢驗是檢查兩個變量、兩個事件是否相互獨立的這么一種檢驗例如：魚池清塘與否與魚病的發(fā)生是否有關(guān)？若兩者相互獨立，即表示清塘無效，清塘后魚的發(fā)病率與沒有清塘是一樣的；如果清塘后魚的發(fā)病率顯著降低了，表示清塘與魚的發(fā)病率這兩者間是有關(guān)系的因此，獨立性檢驗的無效假設(shè)是兩變量相互獨立，其備擇假設(shè)是兩變量相關(guān)（即兩者之間有依存關(guān)系）第三十八頁，共六十六頁，2022年，8月28日在設(shè)立無效假設(shè)的前提下，計算值，當時，接受無效假設(shè)，即兩變量相互獨立；當否定無效假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即兩變量之間存在相關(guān)獨立性檢驗沒有理論比率，因此必須用列表的方式從現(xiàn)有的觀測值次數(shù)來推算理論比值，這種用表的方式來推算理論次數(shù)的方法是建立在兩因子無關(guān)（兩因子相互獨立），即兩因子齊性的基礎(chǔ)上的第三十九頁，共六十六頁，2022年，8月28日獨立性檢驗與適合性檢驗是兩種不同的檢驗方法，除了研究目的不同外，還有以下區(qū)別：（一）獨立性檢驗的次數(shù)資料是按兩因子屬性類別進行歸組。根據(jù)兩因子屬性類別數(shù)的不同而構(gòu)成2×2、2×c、r×c列聯(lián)表（r為行因子的屬性類別數(shù)，c為列因子的屬性類別數(shù)）。而適合性檢驗只按某一因子的屬性類別將如性別、表現(xiàn)型等次數(shù)資料歸組。第四十頁，共六十六頁，2022年，8月28日（二）適合性檢驗按已知的屬性分類理論或?qū)W說計算理論次數(shù)。獨立性檢驗在計算理論次數(shù)時沒有現(xiàn)成的理論或?qū)W說可資利用，理論次數(shù)是在兩因子相互獨立的假設(shè)下進行計算。（三）在適合性檢驗中確定自由度時，只有一個約束條件：各理論次數(shù)之和等于各實際次數(shù)之和，自由度為屬性類別數(shù)減1。而在r×c列聯(lián)表的獨立性檢驗中，共有rc個理論次數(shù)，但受到以下條件的約束：下一張

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第四十一頁，共六十六頁，2022年，8月28日

1、rc個理論次數(shù)的總和等于rc個實際次數(shù)的總和；

2、r個橫行中的每一個橫行理論次數(shù)總和等于該行實際次數(shù)的總和。但由于r個橫行實際次數(shù)之和的總和應(yīng)等于rc個實際次數(shù)之和，因而獨立的行約束條件只有r-1個；

3、類似地，獨立的列約束條件有c-1個。因而在進行獨立性檢驗時，自由度為rc-1-(r-1)-(c-1)=(r-1)(c-1)，即等于（橫行屬性類別數(shù)-1）×（直列屬性類別數(shù)-1）。第四十二頁，共六十六頁，2022年，8月28日獨立性檢驗一、2×2表結(jié)合實際例子來說明這種表的使用將魚苗放進魚池前先將魚池消毒，能否減輕魚苗的發(fā)病情況，在此之前先作一試驗，得數(shù)據(jù)如下：發(fā)病不發(fā)病合計消毒300（a）920（b）1220不消毒580（c）630（d）1210合計88015502430第四十三頁，共六十六頁，2022年，8月28日這張表共2行、2列，因此稱為2×2

表從這張表中我們可以看出，消毒的魚池中，有發(fā)病的魚苗，也有不發(fā)病的魚苗；沒消毒的魚池中，魚也有發(fā)病和不發(fā)病兩種假設(shè)魚池是否消毒不影響魚的發(fā)病情況（這是無效假設(shè)的前提和內(nèi)容），那么，消毒魚池和不消毒魚池中魚的發(fā)病率應(yīng)當是一樣的，所產(chǎn)生的誤差是抽樣誤差，即第四十四頁，共六十六頁，2022年，8月28日得：同樣的道理，我們可得：第四十五頁，共六十六頁，2022年，8月28日我們將上述數(shù)據(jù)制成一張表：發(fā)病不發(fā)病合計消毒300（441.81）920（778.19）1220不消毒580（438.19）630（771.81）1210

合計88015502430表中，括弧內(nèi)的就是理論值需要注意的是，這種結(jié)構(gòu)的檢驗其自由度是橫行數(shù)減1

乘以縱列數(shù)減1：因此這里應(yīng)該使用校正公式計算值第四十六頁，共六十六頁，2022年，8月28日設(shè)立無效假設(shè)設(shè)魚苗的發(fā)病與魚池消毒與否無關(guān)（或：魚池消毒與否不影響魚苗是否發(fā)?。~苗的發(fā)病與魚池消毒與否有關(guān)（或：魚池消毒與否直接影響魚苗的發(fā)?。┑茫旱谒氖唔?，共六十六頁，2022年，8月28日否定無效假設(shè)，即魚池消毒與否極顯著地影響著魚苗的發(fā)病（或魚苗的發(fā)病情況直接受魚池消毒與否的影響）第四十八頁，共六十六頁，2022年，8月28日二、R×C表（R：行

C：列）R×C表是2×2

表的擴展，反之，2×2

表也可以看成是R×C

表的一個特例當行>2、列>2時，2×2表就成為了R×C

表這樣的表稱為列聯(lián)表（contingencytable）R×C

表的自由度為（R-1）×（C-1）實例：檢查魚的飼養(yǎng)方式與魚的等級是否有關(guān)，設(shè)計了如下試驗：按不同方式分為三種網(wǎng)箱飼養(yǎng)類型：A、B、C，統(tǒng)計不同飼養(yǎng)方式下魚的等級情況，得如下數(shù)據(jù)，試分析第四十九頁，共六十六頁，2022年，8月28日

等飼養(yǎng)方式合級ABC

計甲22（9.32）18（18.99）16（17.68）56

乙18（16.56）16（16.28）14（15.16）48

丙11（13.11）13（12.89）14（12.0）38

丁8（10.01）11（9.84）10（9.16）29

和595854171計算上表中各理論值（即括弧內(nèi)的數(shù)值，如何計算？）第五十頁，共六十六頁，2022年，8月28日設(shè)魚的等級與飼養(yǎng)方式無關(guān)魚的等級與魚苗的飼養(yǎng)方式有關(guān)將計算得到的理論值填入上表中，并計算值：接受無效假設(shè)，即商品魚的規(guī)格與飼養(yǎng)方式無關(guān)第五十一頁，共六十六頁，2022年，8月28日獨立性檢驗的公式可以使用簡易公式，即不需要計算理論值，但這種公式較難記憶。三、配對資料的獨立性檢驗第五十二頁，共六十六頁，2022年，8月28日甲種屬性乙種屬性+-合計+aba+b-cdc+d合計a+cb+dn=a+b+c+d注意：a、b、c、d代表對子數(shù)！表1配對四格表基本結(jié)構(gòu)的第五十三頁，共六十六頁，2022年，8月28日甲種屬性乙種屬性++a+-b-+c--d甲屬性的陽性率：(a+b)/n乙屬性的陽性率：(a+c)/n若H0成立，則有(a+b)/n-(a+c)/n=0，即(b-c)/n=0可見，兩個變量陽性率的比較只和b、c有關(guān)，而與a、d無關(guān)。若H0成立，兩種屬性不一致的兩個格子理論頻數(shù)都應(yīng)該是(b+c)/2第五十四頁，共六十六頁，2022年，8月28日例4現(xiàn)有198份痰標本，每份標本分別用A、B兩種培養(yǎng)基培養(yǎng)結(jié)核菌，結(jié)果如下表，A培養(yǎng)基的陽性培養(yǎng)率為36.36%，B培養(yǎng)基的陽性培養(yǎng)率為34.34%，試問A、B兩種培養(yǎng)基的陽性培養(yǎng)率是否相等？B培養(yǎng)基A培養(yǎng)基+-合計+482472-20106126合計68130198表2兩種培養(yǎng)基的培養(yǎng)結(jié)果第五十五頁，共六十六頁，2022年，8月28日第四節(jié)理論分布的檢驗第五十六頁，共六十六頁，2022年，8月28日我們有時候需要知道，某一個試驗其結(jié)果是否符合某一理論分布，或希望知道符合什么樣的理論分布，這關(guān)系到試驗的結(jié)果是否正?；蚴欠窈侠硐旅嫖覀冇靡粋€實例來說明這種檢驗顯微鏡下檢查某奶樣中結(jié)核菌的分布情況，根據(jù)視野內(nèi)小方格中結(jié)核菌數(shù)進行統(tǒng)計，并將不同結(jié)核菌數(shù)將格子歸類，記錄每類的格子數(shù)結(jié)果見下表：第五十七頁，共六十六頁，2022年，8月28日格子內(nèi)結(jié)核菌數(shù)（x）a0123456789T格子數(shù)b519262621135111118我們先計算每格子內(nèi)結(jié)核菌數(shù)的加權(quán)平均值：計算每一種結(jié)核菌數(shù)目的概率值P（x）和理論格子數(shù)：

第五十八頁，共六十六頁，2022年，8月28日將每一類型的概率值和理論格子數(shù)填入表下，并計算值：a0123456789Tb519262621135111118c

0.051

0.1510.2250.2240.1670.1000.0500.0290.0080.0031.00d5.9817.8326.5926.4419.7111.765.852.490.930.31118e0.1590.0770.0130.0070.0840.1310.1230.142上表中，a為前一表中的“格子內(nèi)結(jié)核菌數(shù)（x）”

，b為格子數(shù)，c為概率值P(x)，d為理論格子數(shù)，e為各個值，最后一個值0.142

是合并值得=0.736即該樣本內(nèi)結(jié)核菌的分布十分符合泊松分布第五十九頁，共六十六頁，2022年，8月28日利用分布，還可以對樣本的方差進行同質(zhì)性檢驗：一個樣本的方差與總體方差的同質(zhì)性檢驗公式為：兩個樣本的方差同質(zhì)性檢驗公式為：第六十頁，共六十六頁，2022年，8月28日三個或以上樣本的方差同質(zhì)性檢驗公式為：其中為合并均方

為校正值為自由度