第二章第三節(jié)初等多值解析函數(shù)

第二章第三節(jié)初等多值解析函數(shù)第一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日定義2.9若z=wn,則稱w為z的n次根式函數(shù)，記為：,根式函數(shù)為冪函數(shù)z=wn的反函數(shù).

(1)根式函數(shù)的多值性.1、根式函數(shù)第二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日第三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日

(2)分出根式函數(shù)的單值解析分支.從原點(diǎn)O起到點(diǎn)∞任意引一條射線將z平面割破，該直線稱為割線，在割破了的平面(構(gòu)成以此割線為邊界的區(qū)域，記為G)上，argz<2，從而可將其轉(zhuǎn)化為單值函數(shù)來(lái)研究。第四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日

wk在其定義域上解析,且分成如下的n個(gè)單值函數(shù)：

(3)的支點(diǎn)及支割線定義1設(shè)為多值函數(shù)，為一定點(diǎn)，作小圓周，若變點(diǎn)沿轉(zhuǎn)一周，回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值發(fā)生了變化，則稱為的支點(diǎn)，如就是其一個(gè)支點(diǎn)，這時(shí)繞轉(zhuǎn)一周也可看作繞點(diǎn)轉(zhuǎn)一周，故點(diǎn)也是其一個(gè)支點(diǎn).常用方法：從原點(diǎn)起沿著負(fù)實(shí)軸將z平面割破,即可將根式函數(shù):第五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日定義2設(shè)想把平面割開(kāi)，借以分出多值函數(shù)的單值分支的割線，稱為多值函數(shù)的支割線.如可以以負(fù)實(shí)軸為支割線.注a)支割線可以有兩岸.b)單值解析分支可連續(xù)延拓到岸上.c)支割線改變各單值分支的定義域，值域也隨之改變.d)對(duì)，當(dāng)以負(fù)實(shí)軸為支割線時(shí)，當(dāng)時(shí)取正值的那個(gè)分支稱為主值支.上岸下岸第六頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日例2.9設(shè)定義在從原點(diǎn)起沿負(fù)實(shí)軸，割開(kāi)了的平面上，且.求的值.解：

求：當(dāng)時(shí)，

由知

第七頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日2、對(duì)數(shù)函數(shù)1.定義2.計(jì)算公式：第八頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日說(shuō)明：w=Lnz是指數(shù)函數(shù)ew=z的反函數(shù)，Lnz一般不能寫(xiě)成lnz,其余各值為特別,當(dāng)z=x>0時(shí),Lnz的主值lnz=lnx,就是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù).

對(duì)數(shù)函數(shù)是實(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)自然延伸。第九頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日用z軸作虛部，顏色作實(shí)部，更能形象地表現(xiàn)多值函數(shù)的圖像。第十頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日例解例：求Ln2,Ln(-1)以及它們相應(yīng)的主值.

解：因?yàn)?/p>

Ln2=ln2+2ki,

所以它的主值就是ln2.而

Ln(-1)=ln1+iArg(-1)=(2k+1)i(k為整數(shù)),

所以它的主值是ln(-1)=i.

第十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日3.對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)變函數(shù)中,負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù),此例說(shuō)明在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不再成立.而且正實(shí)數(shù)的對(duì)數(shù)也是無(wú)窮多值的.因此,復(fù)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的拓廣.利用幅角的性質(zhì)不難證明:第十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)數(shù)函數(shù)的解析性.就主值lnz而言,其中l(wèi)n|z|除原點(diǎn)外在其它點(diǎn)都是連續(xù)的,而argz在原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸上都不連續(xù).因?yàn)槿粼O(shè)z=x+iy,則當(dāng)x<0時(shí),所以,除去原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸,在復(fù)平面內(nèi)其它點(diǎn)lnz處處連續(xù).由反函數(shù)求導(dǎo)法則可知:第十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)論：

lnz在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)解析.Lnz的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)也解析,并且有相同的導(dǎo)數(shù)值.

應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz時(shí),指的都是它在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)的某一單值分支.第十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日4.分出w=Lnz的單值解析分支從原點(diǎn)起沿著負(fù)實(shí)軸將z平面割破，就可將對(duì)數(shù)函數(shù)w=Lnz分成如下無(wú)窮多個(gè)單值解析分支：

wk在定義域上解析,且

以

為支點(diǎn)，連接的任一（廣義）簡(jiǎn)單曲線可作為其支割線.第十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日例1設(shè)定義在沿負(fù)實(shí)軸割破的平面上，且解：求值：

（是下岸相應(yīng)點(diǎn)的函數(shù)值）求的值.第十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日3、乘冪與冪函數(shù)1.乘冪:第十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日第十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日第十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日第二十頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日第二十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日第二十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日zn在復(fù)平面內(nèi)是單值解析函數(shù),(zn)'=nzn-1.3、冪函數(shù)的解析性第二十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日第二十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日第二十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日例2解它是無(wú)窮多個(gè)獨(dú)立的、在z平面上單值解析的函數(shù)。第二十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日例：1）求解：2）求解：第二十七頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日1.反三角函數(shù)的定義兩端取對(duì)數(shù)得同樣可以定義反正弦函數(shù)和反正切函數(shù),重復(fù)以上步驟,可以得到它們的表達(dá)式:4、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)第二十八頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日反雙曲函數(shù)定義為雙曲函數(shù)的反函數(shù).用與推導(dǎo)反三角函數(shù)表達(dá)式完全類似的步驟,可以得到各反雙曲函數(shù)的表達(dá)式:它們都是多值函數(shù).2、反雙曲函數(shù)的定義第二十九頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日例1解第三十頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日1、反正切例：求解：2、反正弦例：求解：

第三十一頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日5、具有有限個(gè)支點(diǎn)的情形設(shè)有任意N次多項(xiàng)式：分別為P(z)的一切相異零點(diǎn)，對(duì)應(yīng)重?cái)?shù)為且有則函數(shù)的支點(diǎn)有以下結(jié)論：(1)的可能支點(diǎn)為和；(2)當(dāng)且僅當(dāng)不能整除時(shí)，是的支點(diǎn)；(3)當(dāng)且僅當(dāng)不能整除時(shí)，是的支點(diǎn)；(4)若能整除中若干個(gè)之和，則中對(duì)應(yīng)的幾個(gè)就可以聯(lián)結(jié)成割線，即變點(diǎn)z沿只包含它們?cè)谄鋬?nèi)部的簡(jiǎn)單閉曲線轉(zhuǎn)一整周后，函數(shù)值不變.第三十二頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日例1作出一個(gè)含i的區(qū)域,使得函數(shù)在此區(qū)域內(nèi)可分解成單值解析分支,求一個(gè)分支在i點(diǎn)解可能的支點(diǎn)為易知函數(shù)因0,1,2與無(wú)窮，具體分析見(jiàn)下圖結(jié)論：0、1、2與無(wú)窮都是支點(diǎn)。的值,使其滿足第三十三頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日支點(diǎn)確定后，我們作區(qū)域，將函數(shù)分解成單值解析分支。首先，在復(fù)平面內(nèi)作一條連接0,1,2及無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的任意無(wú)界簡(jiǎn)單連續(xù)曲線作為割線,在所得區(qū)域內(nèi),可以把w分解成連續(xù)分支。例如,可取作為割線,得到區(qū)域D。其次,也可以取線段[0,1]及從2出發(fā)且不與[0,1]相交的射線為割線,在所得區(qū)域內(nèi),可以把w分解成連續(xù)分支。例如，可取[0,1]及作為割線,得到區(qū)域。第三十四頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日例2驗(yàn)證函數(shù)內(nèi)可以分解成解析分支;求出這個(gè)分支函數(shù)在(0,1)解由于故0,1是支點(diǎn)，無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)不是支點(diǎn)。在區(qū)域D=C\[0,1]上沿取正實(shí)值的一個(gè)分支在z=-1處的值。第三十五頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)論:0,1是支點(diǎn),無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)不是支點(diǎn)。因此，在區(qū)域D=C-[0,1]內(nèi)函數(shù)可以分解成解析分支；若在（0，1）的上沿規(guī)定其四個(gè)解析分支為：則對(duì)應(yīng)的解析分支為k=0。在z=-1處，有，所以第三十六頁(yè)，共三十七頁(yè)，2022年，8月28日例2.15試證在將平面