第五章第二型曲面積分

第五章第二型曲面積分第一頁，共四十頁，2022年，8月28日3.1第二型曲面積分概念與性質(zhì)1.曲面的側(cè)雙側(cè)曲面：有上、下側(cè)，前、后側(cè)，左、右側(cè)之分。單側(cè)曲面：無上下側(cè)，前后側(cè)，左右側(cè)之分。也無內(nèi)側(cè)和外側(cè)之分。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束在光滑曲面∑上任取一點(diǎn)M，曲面在點(diǎn)M處的法線有兩個方向：當(dāng)取定其中一個方向為正方向時，則另一個就是負(fù)方向。例如封閉曲面：內(nèi)側(cè)和外側(cè)之分。第二頁，共四十頁，2022年，8月28日單側(cè)曲面莫比烏斯帶封閉曲面(單側(cè)曲面的典型)

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束分內(nèi)側(cè)和外側(cè)第三頁，共四十頁，2022年，8月28日雙側(cè)曲面曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束xyzxyzxyz曲面分前側(cè)和后側(cè)第四頁，共四十頁，2022年，8月28日其方向用法向量指向表示:方向余弦>0為前側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)>0為上側(cè)外側(cè)側(cè)向的規(guī)定設(shè)單位法向量機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束<0為后側(cè)<0為左側(cè)<0為下側(cè)內(nèi)側(cè)

指定了側(cè)向的曲面叫有向曲面。第五頁，共四十頁，2022年，8月28日引例設(shè)不可壓縮流體（假設(shè)密度為1）在空間中穩(wěn)定求單位時間流過光滑曲面的流量.若

是指定了側(cè)向平面，面積為S則流量平面的法向量:

流速為常向量:

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1.流體流向曲面一側(cè)的流量問題流動，流速為從給定曲面∑的一側(cè)流向另一側(cè)，P,Q,R是連續(xù)函數(shù)，流量等于斜柱體體積，等于直柱體體積第六頁，共四十頁，2022年，8月28日則用“分割,替代,求和,取極限”方法。把曲面分割成n個有向小曲面，小曲機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束若流速為向量值函數(shù):

面分別記為當(dāng)為指定了側(cè)向曲面時,每個小曲面的面積記為（近似看做小平面）當(dāng)很小時，任取一點(diǎn)以速度代替上各點(diǎn)的速度，流體流過的流量近似等于：流量第七頁，共四十頁，2022年，8月28日則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束從而單位時間內(nèi)流過曲面指定一側(cè)的流量第八頁，共四十頁，2022年，8月28日機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束即單位時間內(nèi)流過曲面指定一側(cè)的流量第九頁，共四十頁，2022年，8月28日?設(shè)為有向曲面,有向小曲面在oxy面，oyz面，ozx面上的帶有符號的投影分別則規(guī)定機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義為其絕對值定義為面，ozx面投影域的面積。則其投影的符號分別與符號相同。在oxy面，oyz可知第十頁，共四十頁，2022年，8月28日機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束流量又可表示為于是定義二型曲面積分：第十一頁，共四十頁，2022年，8月28日機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束面積記為任取一點(diǎn)設(shè)2.定義.側(cè)向的有向光滑曲面

上的有界函數(shù)，是取定了n個有向小曲面把曲面分割成帶有符號的投影面積分別為在oyz面，ozx面，oxy面上的怎樣選取，極限如果無論對∑怎樣分割，也無論點(diǎn)總是存在且相等，則稱此極限值為向量值函數(shù)第十二頁，共四十頁，2022年，8月28日其中P,Q,R叫做被積函數(shù);叫做積分曲面.又稱為第二類曲面積分.在有向曲面∑上的第二型曲面積分，記作機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十三頁，共四十頁，2022年，8月28日稱為Q在有向曲面上對

z,x的曲面積分;稱為R在有向曲面上對

x,y

的曲面積分.稱為P在有向曲面上對

y,z

的曲面積分;機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十四頁，共四十頁，2022年，8月28日(1)若則(2)用－表示與曲面的側(cè)向相反的側(cè)向的曲面，則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.性質(zhì)引例中,流過有向曲面的流體的流量為第十五頁，共四十頁，2022年，8月28日若記正向的單位法向量則第二型曲面積分也常寫成如下形式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束和向量值函數(shù)為則第十六頁，共四十頁，2022年，8月28日機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束即兩類曲面積分的關(guān)系是：其中第十七頁，共四十頁，2022年，8月28日機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.2第二型曲面積分的計算（1）計算為上側(cè)時,取“+”，為下側(cè)時,取“－”，曲面上的連續(xù)函數(shù),1.分面投影法函數(shù)R(x,y,z)是光滑則第十八頁，共四十頁，2022年，8月28日證:由于機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束法向量當(dāng)取上側(cè)時,當(dāng)取下側(cè)時,,取“+”，取“－”。第十九頁，共四十頁，2022年，8月28日

?若則有?若則有(前側(cè)取正，后側(cè)取負(fù))(右側(cè)取正，左側(cè)正負(fù))同理:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十頁，共四十頁，2022年，8月28日如果垂直于oxy平面，機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束如果垂直于坐標(biāo)面oyz面如果垂直于ozx面xyzxyzxyz第二十一頁，共四十頁，2022年，8月28日其中是正方體整個表面的外側(cè).解:

注意到都垂直于oyz平面與x軸的夾角都是機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.計算第二十二頁，共四十頁，2022年，8月28日解:把分為分析:需要向xy投影，其中為球面取下側(cè)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.計算曲面積分取上側(cè)第二十三頁，共四十頁，2022年，8月28日機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十四頁，共四十頁，2022年，8月28日機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十五頁，共四十頁，2022年，8月28日其中解:利用兩類曲面積分的聯(lián)系,有是介于平面z=0及z=h之間部分的外側(cè).機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

計算曲面積分h第二十六頁，共四十頁，2022年，8月28日機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十七頁，共四十頁，2022年，8月28日機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.合一投影法曲面投影域第二十八頁，共四十頁，2022年，8月28日機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束為上側(cè)時,取“+”，為下側(cè)時,取“－”，第二十九頁，共四十頁，2022年，8月28日機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束類似地曲面投影域為前側(cè)時,取“+”，為后側(cè)時,取“－”，第三十頁，共四十頁，2022年，8月28日機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束類似地曲面投影域為右側(cè)時,取“+”，為左側(cè)時,取“－”，第三十一頁，共四十頁，2022年，8月28日其中解:用合一投影法旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面z=0及z=2之間部分的下側(cè).機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.

計算曲面積分下側(cè).第三十二頁，共四十頁，2022年，8月28日原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十三頁，共四十頁，2022年，8月28日例5.設(shè)上側(cè)。計算解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十四頁，共四十頁，2022年，8月28日內(nèi)容小結(jié)定義:1.兩類曲面積分及其聯(lián)系

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十五頁，共四十頁，2022年，8月28日性質(zhì):聯(lián)系:思考:的方向有關(guān),上述聯(lián)系公式是否矛盾?兩類曲線積分的定義一個與的方向無關(guān),一個與機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十六頁，共四十頁，2022年，8月28日2.常用計算公式及方法面積分第一類(對面積)第二類(對坐標(biāo))二重積分(1)統(tǒng)一積分變量代入曲面方程(方程不同時分片積分)(2)積分元素投影第一類：面積投影第二類：有向投影(4)確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉(zhuǎn)化機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十七頁，共四十頁，2022年，8月28日當(dāng)時，（上側(cè)取“+”,下側(cè)取“”)類似可考慮在yoz面及zox面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式.機(jī)動目錄上頁