第十八次課二次型

第十八次課二次型演示文稿當(dāng)前1頁，總共25頁。（優(yōu)選）第十八次課二次型當(dāng)前2頁，總共25頁。只含有平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）．例如都為二次型；為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.當(dāng)前3頁，總共25頁。1．用和號表示二、二次型的表示方法當(dāng)前4頁，總共25頁。取則則二次型可以表示為二次型用和號表示二、二次型的表示方法當(dāng)前5頁，總共25頁。當(dāng)前6頁，總共25頁。令則其中為對稱矩陣。二次型的矩陣表示（重點(diǎn)）注1、對稱矩陣A的寫法：A一定是方陣。2、其對角線上的元素恰好是的系數(shù)。3、的系數(shù)的一半分給可保證當(dāng)前7頁，總共25頁。解例１當(dāng)前8頁，總共25頁。例如：二次型注：二次型對稱矩陣把對稱矩陣稱為二次型的矩陣也把二次型稱為對稱矩陣的二次型對稱矩陣的秩稱為二次型的秩二次型定義2：當(dāng)前9頁，總共25頁。設(shè)三化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形．當(dāng)前10頁，總共25頁。定義6.12（正交變換）y=(y1,y2,…,yn)T,x=(x1,x2,…,xn)T,如果Q為正交矩陣，則稱線性變換y=Qx為正交變換.設(shè)y=Qx是歐氏空間V的一個線性變換，定理6.7設(shè)y=Qx是正交變換，則y=Qx保持向量的內(nèi)積不變，y=Qx保持向量的長度不變.證明設(shè)y=Qx，QTQ=E.設(shè)y1=Qx1，y2=Qx2于是，正交變換保持向量內(nèi)積不變.得到，向量長度經(jīng)正交變換不變.特別地，令y1=y2，可有當(dāng)前11頁，總共25頁。當(dāng)前12頁，總共25頁。證明即為對稱矩陣.當(dāng)前13頁，總共25頁。(1)自反性：A與A合同；(2)對稱性：若B與

A合同，則A與B合同;(3)傳遞性：若A與B合同,B

與C合同，則A與C合同.矩陣的合同等價相當(dāng)于二次型可以互化(也稱二次型等價).性質(zhì)6.5在實(shí)對稱集合中，合同關(guān)系是一個等價關(guān)系，即當(dāng)前14頁，總共25頁。說明當(dāng)前15頁，總共25頁。當(dāng)前16頁，總共25頁。當(dāng)前17頁，總共25頁。用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟3對每一個特征值λi,

解方程(λiE-A)X=0,求出基礎(chǔ)解系，利用施密特正交化方法將基礎(chǔ)解系正交化，然后單位化。當(dāng)前18頁，總共25頁。解例3當(dāng)前19頁，總共25頁。當(dāng)前20頁，總共25頁。當(dāng)前21頁，總共25頁。當(dāng)前22頁，總共25頁。當(dāng)前23頁，總共25頁。通過正交變換Ｘ＝ＰＹ化為標(biāo)準(zhǔn)型，求a,b的值及正交矩陣Ｐ．解：f的矩陣Ａ及標(biāo)準(zhǔn)型的矩陣Λ分別為：由已知條件知：

P-1AP=PTAP=Λ故Ａ相似于對角陣Λ，所以｜Ａ｜＝｜Λ｜

tr(A)=tr(Λ)即：-(b-1)2=0

a+2=5解得：a=3,b=1

由Ａ相似于對角陣Λ，得Ａ的特征值為λ1=0，λ2=1,λ3=4．對于λ1=0，解方程組

(0E-A)X=0得基礎(chǔ)解系例3

已知二次型當(dāng)前24頁，總共25頁。例3

已知二次型通過正交變換Ｘ＝ＰＹ化為標(biāo)準(zhǔn)型，求a,b的值及相似變換矩陣Ｐ．把ξ１單位化，得