連續(xù)介質(zhì)力學(xué)第二講

（優(yōu)選）連續(xù)介質(zhì)力學(xué)第二講當(dāng)前1頁，總共35頁。當(dāng)前2頁，總共35頁。當(dāng)前3頁，總共35頁。2．第一類P-K(Piola-Kirchhoff)應(yīng)力P又稱名義應(yīng)力即時(shí)構(gòu)形中的面元矢量對(duì)應(yīng)于參考構(gòu)形中的面元矢量P稱為第一類P-K應(yīng)力根據(jù)Nanson公式:令:其中:注意內(nèi)力不是真正作用在面元上.其中:也是兩點(diǎn)張量當(dāng)前4頁，總共35頁。3.Kirchhoff應(yīng)力張量Kirchhoff應(yīng)力張量與Cauchy應(yīng)力張量一樣,也是對(duì)稱張量根據(jù)定義有:分量形式:同理:定義在即時(shí)構(gòu)形中的張量當(dāng)前5頁，總共35頁。4．第二類P-K應(yīng)力T定義:根據(jù)定義:所以:可證如果Cauchy應(yīng)力（或Kirchhoff應(yīng)力張量)為對(duì)稱張量,則第二類P-K應(yīng)力也是對(duì)稱張量。由于:分量形式當(dāng)前6頁，總共35頁。當(dāng)前7頁，總共35頁。有:作用于即時(shí)構(gòu)形中面元上的內(nèi)力通常有三種表示方法:當(dāng)前8頁，總共35頁。當(dāng)前9頁，總共35頁。當(dāng)前10頁，總共35頁。當(dāng)前11頁，總共35頁。當(dāng)前12頁，總共35頁。當(dāng)前13頁，總共35頁。四、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基本方程1、質(zhì)量守恒以

與

各表示初始構(gòu)形與即時(shí)構(gòu)形中的質(zhì)量密度根據(jù)質(zhì)量守恒率:所以:其中:對(duì)方程兩邊求物質(zhì)導(dǎo)數(shù):可證明:所以:率形式的質(zhì)量守恒律當(dāng)前14頁，總共35頁。證明:引理:設(shè)矩陣a的行列式為:,

元素的代數(shù)余子式記作將行列式看作它的9個(gè)元素的函數(shù)，則有:

則有:而:所以:當(dāng)前15頁，總共35頁?，F(xiàn)在把J看作其9個(gè)元素的函數(shù)，對(duì)時(shí)間求物質(zhì)導(dǎo)數(shù)

而:所以:當(dāng)前16頁，總共35頁。當(dāng)前17頁，總共35頁。當(dāng)前18頁，總共35頁。當(dāng)前19頁，總共35頁。當(dāng)前20頁，總共35頁。2.

動(dòng)量方程（Balanceoflinearmomentum

）在即時(shí)構(gòu)形中，任意取一個(gè)域，體積元記為

對(duì)此域運(yùn)用動(dòng)量定理:由GREEN公式:由于域是任意的:對(duì)于體積力為零的靜力學(xué)問題:2.1以前的推導(dǎo)當(dāng)前21頁，總共35頁。2.2第二種方法引理：在即時(shí)構(gòu)型上體積分的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)所以：動(dòng)量矩定理:當(dāng)前22頁，總共35頁。當(dāng)前23頁，總共35頁。當(dāng)前24頁，總共35頁。3.

角動(dòng)量方程（Balanceofangularmomentum

）所以：當(dāng)前25頁，總共35頁。4.守恒率的一般形式如果采用歐拉描述，上述三個(gè)守恒率可表達(dá)為：當(dāng)前26頁，總共35頁。固體力學(xué)常采用拉格朗日描述：其中：拉格朗日描述中，體元體積不變：當(dāng)前27頁，總共35頁。對(duì)物質(zhì)坐標(biāo)求散度當(dāng)前28頁，總共35頁。5.能量平衡律在即時(shí)構(gòu)型中任意v域內(nèi)的總能量P由動(dòng)能K與內(nèi)能E組成，即

根據(jù)熱力學(xué)第一定律，總能量P的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，即對(duì)時(shí)間的變化率等于作用于v域的外力功率與每單位時(shí)間從v域外部所加的熱：式中h表示熱流矢量（或稱熱通量），即每單位時(shí)間每單位面積的熱流，k表示每單位質(zhì)量接受外部的熱（稱為熱源）當(dāng)前29頁，總共35頁。而其中K為動(dòng)能.動(dòng)能其中由質(zhì)量守恒知:的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)為零所以:又根據(jù)平衡方程:而所以:當(dāng)前30頁，總共35頁。又:其中:為變形率張量旋率張量反對(duì)稱所以:由于上式對(duì)任意域成立,所以有:微分形式的熱力學(xué)第一定律積分形式的熱力學(xué)第一定律其中:為即時(shí)構(gòu)形中單位體積的內(nèi)力功率當(dāng)前31頁，總共35頁。定義變形功率w為

它表示參考構(gòu)形中每單位體積（也就是即時(shí)構(gòu)形中單位體積的J倍)的變形功率.引理1:設(shè)a與b為二階張量,則:即:引理2:即:可以推廣于多個(gè)二階張量點(diǎn)積的情況，例如

當(dāng)前32頁，總共35頁。的其它表達(dá)形式由于:有:我們稱:和為一對(duì)功共軛的應(yīng)力應(yīng)變張量.當(dāng)前33頁，總共35頁。微分形式的熱力學(xué)第一定律Reddy書當(dāng)前34頁，總共35頁。6.熵不等式,熵平衡律(熱力學(xué)第二定律）以η表示每單位質(zhì)量的熵,則在即時(shí)構(gòu)形中,v域的總熵為:以θ表示溫度（絕對(duì)溫度,θ＞0），則由熱力學(xué)第