高數(shù)下第十二章級(jí)數(shù)

高數(shù)下第十二章級(jí)數(shù)演示文稿當(dāng)前1頁(yè)，總共72頁(yè)。高數(shù)下第十二章級(jí)數(shù)當(dāng)前2頁(yè)，總共72頁(yè)。一、級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)1.級(jí)數(shù)的定義:(常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和當(dāng)前3頁(yè)，總共72頁(yè)。2.級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散:當(dāng)前4頁(yè)，總共72頁(yè)。解當(dāng)前5頁(yè)，總共72頁(yè)。

收斂

發(fā)散

發(fā)散

發(fā)散

綜上當(dāng)前6頁(yè)，總共72頁(yè)。解當(dāng)前7頁(yè)，總共72頁(yè)。當(dāng)前8頁(yè)，總共72頁(yè)。3、基本性質(zhì)結(jié)論:級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù),斂散性不變.結(jié)論:收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.當(dāng)前9頁(yè)，總共72頁(yè)。證明類似地可以證明在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性.當(dāng)前10頁(yè)，總共72頁(yè)。證明當(dāng)前11頁(yè)，總共72頁(yè)。注意收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.

收斂

發(fā)散當(dāng)前12頁(yè)，總共72頁(yè)。證明級(jí)數(shù)收斂的必要條件:性質(zhì)5當(dāng)前13頁(yè)，總共72頁(yè)。注意1.如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級(jí)數(shù)發(fā)散;

發(fā)散2.必要條件不充分.但發(fā)散.當(dāng)前14頁(yè)，總共72頁(yè)。當(dāng)前15頁(yè)，總共72頁(yè)。二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件:定理正項(xiàng)級(jí)數(shù)當(dāng)前16頁(yè)，總共72頁(yè)。3.比較審斂法當(dāng)前17頁(yè)，總共72頁(yè)。解由圖可知當(dāng)前18頁(yè)，總共72頁(yè)。重要參考級(jí)數(shù):幾何級(jí)數(shù),P-級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù).當(dāng)前19頁(yè)，總共72頁(yè)。證明當(dāng)前20頁(yè)，總共72頁(yè)。4.比較審斂法的極限形式:設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果則(1)當(dāng)時(shí),二級(jí)數(shù)有相同的斂散性;(2)當(dāng)時(shí)，若收斂,則收斂;(3)當(dāng)時(shí),若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;當(dāng)前21頁(yè)，總共72頁(yè)。解原級(jí)數(shù)發(fā)散.故原級(jí)數(shù)收斂.當(dāng)前22頁(yè)，總共72頁(yè)。當(dāng)前23頁(yè)，總共72頁(yè)。比值審斂法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級(jí)數(shù).注意:當(dāng)前24頁(yè)，總共72頁(yè)。解當(dāng)前25頁(yè)，總共72頁(yè)。比值審斂法失效,改用比較審斂法當(dāng)前26頁(yè)，總共72頁(yè)。級(jí)數(shù)收斂.當(dāng)前27頁(yè)，總共72頁(yè)。三、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法定義:

正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).當(dāng)前28頁(yè)，總共72頁(yè)。當(dāng)前29頁(yè)，總共72頁(yè)。四、絕對(duì)收斂與條件收斂定義:正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).證明當(dāng)前30頁(yè)，總共72頁(yè)。上定理的作用：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)當(dāng)前31頁(yè)，總共72頁(yè)。解故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.當(dāng)前32頁(yè)，總共72頁(yè)。四、小結(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);當(dāng)前33頁(yè)，總共72頁(yè)。思考題當(dāng)前34頁(yè)，總共72頁(yè)。思考題解答由比較審斂法知收斂.反之不成立.例如：收斂,發(fā)散.當(dāng)前35頁(yè)，總共72頁(yè)。當(dāng)前36頁(yè)，總共72頁(yè)。當(dāng)前37頁(yè)，總共72頁(yè)。五、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念1.定義:當(dāng)前38頁(yè)，總共72頁(yè)。2.收斂點(diǎn)與收斂域:當(dāng)前39頁(yè)，總共72頁(yè)。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和3.和函數(shù):當(dāng)前40頁(yè)，總共72頁(yè)。解由達(dá)朗貝爾判別法原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.當(dāng)前41頁(yè)，總共72頁(yè)。原級(jí)數(shù)發(fā)散.收斂;發(fā)散;當(dāng)前42頁(yè)，總共72頁(yè)。六、冪級(jí)數(shù)及其收斂性1.定義:2.收斂性:當(dāng)前43頁(yè)，總共72頁(yè)。當(dāng)前44頁(yè)，總共72頁(yè)。幾何說(shuō)明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域當(dāng)前45頁(yè)，總共72頁(yè)。推論當(dāng)前46頁(yè)，總共72頁(yè)。定義:正數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.冪級(jí)數(shù)的收斂域稱為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.規(guī)定當(dāng)前47頁(yè)，總共72頁(yè)。當(dāng)前48頁(yè)，總共72頁(yè)。例2求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間:解該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)前49頁(yè)，總共72頁(yè)。當(dāng)前50頁(yè)，總共72頁(yè)。發(fā)散收斂故收斂區(qū)間為(0,1].當(dāng)前51頁(yè)，總共72頁(yè)。解缺少偶次冪的項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,當(dāng)前52頁(yè)，總共72頁(yè)。級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散,原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為當(dāng)前53頁(yè)，總共72頁(yè)。3、冪級(jí)數(shù)的分析運(yùn)算當(dāng)前54頁(yè)，總共72頁(yè)。(收斂半徑不變)當(dāng)前55頁(yè)，總共72頁(yè)。(收斂半徑不變)當(dāng)前56頁(yè)，總共72頁(yè)。解兩邊積分得當(dāng)前57頁(yè)，總共72頁(yè)。當(dāng)前58頁(yè)，總共72頁(yè)。練習(xí)題當(dāng)前59頁(yè)，總共72頁(yè)。當(dāng)前60頁(yè)，總共72頁(yè)。練習(xí)題答案當(dāng)前61頁(yè)，總共72頁(yè)。七、泰勒級(jí)數(shù)上節(jié)例題存在冪級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)以f(x)為和函數(shù)問(wèn)題:1.如果能展開(kāi),是什么?2.展開(kāi)式是否唯一?3.在什么條件下才能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)?當(dāng)前62頁(yè)，總共72頁(yè)。當(dāng)前63頁(yè)，總共72頁(yè)。問(wèn)題定義泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)?不一定.當(dāng)前64頁(yè)，總共72頁(yè)。當(dāng)前65頁(yè)，總共72頁(yè)。二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)1.直接法(泰勒級(jí)數(shù)法)步驟:（2）驗(yàn)證：當(dāng)前66頁(yè)，總共72頁(yè)。例1解由于M的任意性,即得當(dāng)前67頁(yè)，總共72頁(yè)。例2解當(dāng)前68頁(yè)，總共72頁(yè)。2.間接法根