高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)-計(jì)數(shù)原理

數(shù)學(xué)直通車----計(jì)數(shù)原理知識(shí)體系編輯課件第一節(jié)兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理基礎(chǔ)梳理1.分類加法計(jì)數(shù)原理(加法原理)完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理(乘法原理)完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.典例分析題型一分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用編輯課件【例1】甲同學(xué)有若干本課外參考書，其中有5本不同的數(shù)學(xué)書，4本不同的物理書，3本不同的化學(xué)書.現(xiàn)在乙同學(xué)向甲同學(xué)借書,試問：（1）若借一本書，則有多少種不同的借法？（2）若每科各借一本，則有多少種不同的借法？（3）若借兩本不同學(xué)科的書，則有多少種不同的借法？分析仔細(xì)區(qū)分是“分類”還是“分步”.解（1）因?yàn)樾柰瓿傻氖虑槭恰敖枰槐緯?，所以借給他數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)書中的任何一本，都可以完成這件事情.故用分類加法計(jì)數(shù)原理，共有5+4+3=12（種）不同的借法.（2）需完成的事情是“每科各借一本書”，意味著要借給乙3本書，只有從數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科中各借一本，才能完成這件事情.故用分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5×4×3=60（種）不同的借法.（3）需完成的事情是“從三種學(xué)科的書中借兩本不同學(xué)科的書”，要分三種情況：編輯課件①借一本數(shù)學(xué)書和一本物理書，只有兩本書都借，事情才能完成.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有5×4=20（種）借法；②借一本數(shù)學(xué)書和一本化學(xué)書，同理由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有5×3=15（種）借法；③借一本物理書和一本化學(xué)書，同理由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有4×3=12（種）借法.而上述的每一種借法都可以獨(dú)立完成這件事情，由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有20+15+12=47（種）不同的借法.學(xué)后反思正確區(qū)分和使用兩個(gè)原理是學(xué)好本章的關(guān)鍵.區(qū)分“分類”與“分步”的依據(jù)在于能否“一次性”完成.若能“一次性”完成，則不需“分步”，只需分類；否則就分步處理.舉一反三編輯課件1.5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有()A.10種B.20種C.25種D.32種解析:5位同學(xué)中，每位同學(xué)均有2種報(bào)名方法，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，報(bào)名方法共有=32(種).答案:D題型二兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用【例2】（12分）現(xiàn)有高一四個(gè)班學(xué)生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組.（1）選其中一人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？（2）每班選一名組長(zhǎng)，有多少種不同的選法？（3）推選二人作中心發(fā)言，這二人需來自不同的班級(jí)，有多少種不同的選法？編輯課件分析（1）是從四個(gè)班的34人中選一人，應(yīng)分類求解；（2）從各班中選一人，共選4人，應(yīng)分步求解；（3）是先根據(jù)不同班級(jí)分類，再分步從兩個(gè)班級(jí)中各選1人.解（1）分四類，第一類，從一班學(xué)生中選1人，有7種選法；第二類，從二班學(xué)生中選1人，有8種選法；第三類，從三班學(xué)生中選1人，有9種選法；第四類，從四班學(xué)生中選1人，有10種選法.所以，不同的選法共有N=7+8+9+10=34（種）……3′(2)分四步，第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長(zhǎng)，所以，不同的選法共有N=7×8×9×10=5040（種）……………6′（3）分六類，每類又分兩步，從一班、二班學(xué)生中各選1人，有7×8種不同的選法；從一、三班學(xué)生中各選1人，有7×9種不同的選法；從一、四班學(xué)生中各選1人，有7×10種不同的選法；從二、三班學(xué)生中各選1人，有8×9種不同的選法；從二、四班學(xué)生中各選1人，有8×10種不同的選法；從三、四班學(xué)生中各選1人，有9×10種不同的選法…………..10′所以，不同的選法共有N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431（種）……………………..12′編輯課件學(xué)后反思對(duì)于復(fù)雜問題，不能只用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理解決時(shí)，可以綜合應(yīng)用兩個(gè)原理，可以先分類，在某一類中再分步；也可先分步，在某一步中再分類.舉一反三2.某通訊公司推出一組手機(jī)卡號(hào)碼，卡號(hào)的前七位數(shù)字固定，從“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000個(gè)號(hào)碼.公司規(guī)定：凡卡號(hào)的后四位帶有數(shù)字“4”或“7”的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號(hào)碼中“優(yōu)惠卡”的個(gè)數(shù)為（）A.2000B.4006C.5904D.8320解析:10000個(gè)號(hào)碼中不含4、7的有=4096（個(gè)），故這組號(hào)碼中“優(yōu)惠卡”的個(gè)數(shù)為10000-4096=5904.答案:C編輯課件【例3】（2009·沈陽模擬）一生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看.現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有()A.24種B.36種C.48種D.72種分析首先根據(jù)第一道工序?qū)栴}分為兩類，對(duì)兩類問題分別求解，再由分步計(jì)數(shù)原理求解.解依題意知,若第一道工序由甲來完成，則第四道工序必由丙來完成，故完成方案共有4×3=12(種)；若第一道工序由乙來完成，則第四道工序必由甲、丙二人之一來完成，故完成方案共有1×2×4×3=24(種).所以不同的安排方案共有12+24=36(種).學(xué)后反思有些較復(fù)雜的問題，既要“分類”又要“分步”，應(yīng)明確按標(biāo)準(zhǔn)“分類”、“分步”，不同的標(biāo)準(zhǔn)可以有不同的解法，解題時(shí)應(yīng)擇優(yōu)而行.編輯課件舉一反三3.（2008·重慶）某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如圖所示的6個(gè)點(diǎn)A、B、C、上各裝一個(gè)燈泡.要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個(gè)的安裝方法共有種（用數(shù)字作答）.解析:處4種，處3種，處2種，則底面共4×3×2=24（種）.根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)兩處燈泡的顏色相同或不相同分為兩類：(1)若A,相同，則B處有3種，C處有1種，則共有3種;(2)若A,不同，則A處有3種,B處有2種，C處有1種，則共有3×2=6（種）.由分類計(jì)數(shù)原理得上底面共9種，再由分步計(jì)數(shù)原理得共有24×9=216（種）.答案:216編輯課件易錯(cuò)警示【例1】植樹節(jié)那天，四位同學(xué)植樹，現(xiàn)有三棵不同的樹，則不同的植法結(jié)果為()A.3！B.4！C.D.錯(cuò)解C錯(cuò)解分析在利用分步計(jì)數(shù)原理解決此題時(shí)，不少同學(xué)搞錯(cuò)了事件的主體，這里應(yīng)該是把樹植完，對(duì)植的樹分步，而不是對(duì)人分步.有很多同學(xué)分四步，即得3×3×3×3=（種），錯(cuò)選C.正解完成這件事分三步，即第一步植第一棵樹，共4種不同的方法；第二步，植第二棵樹，共4種不同的方法；第三步，植第三棵樹，共4種不同的方法.由分步計(jì)數(shù)原理得N=4×4×4=（種）.故選D.編輯課件【例2】在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上有4項(xiàng)比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況種數(shù)為()A.B.C.D.錯(cuò)解把4個(gè)冠軍排在甲、乙、丙三個(gè)位置上，故選A.錯(cuò)解分析錯(cuò)解是沒有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式.正解4項(xiàng)比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項(xiàng)冠軍都有3種選取方法，由乘法原理共有3×3×3×3=(種).故選C.說明：本題還有這樣的錯(cuò)解，甲、乙、丙奪冠均有4種情況，由乘法原理得.這是由于沒有考慮到某項(xiàng)冠軍一旦被一人奪得后，其他人就不再有4種奪冠可能.編輯課件考點(diǎn)演練10.某公共汽車上有10名乘客，要求在沿途的5個(gè)車站全部下完，乘客下車的可能方式有——種.解析:由題意易知每名乘客都有5種不同的下法，依據(jù)乘法計(jì)數(shù)原理共有（種）.答案:

11.（改編題）由1，2，3，4可以組成多少個(gè)自然數(shù)？（數(shù)字可以重復(fù)，最多只能是四位）編輯課件解析：組成的自然數(shù)可分以下四類：第一類：組成一位自然數(shù)共有4個(gè)；第二類：組成二位自然數(shù)，可分兩步來完成，先取十位上的數(shù)字，再取出個(gè)位上的數(shù)字，共有4×4=16（個(gè)）；第三類：組成三位自然數(shù)，可分三步來完成，先取百位，再取十位，最后取個(gè)位，共有4×4×4=64（個(gè)）；第四類：組成四位自然數(shù)，方法同上，共有4×4×4×4=256（個(gè)）.由分類計(jì)數(shù)原理可組成的不同自然數(shù)的個(gè)數(shù)為4+16+64+256=340.12.用5種不同的顏色給圖中4個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，若要求相鄰（有公共邊）的區(qū)域不同色，那么共有多少種不同的涂色方法？解析：第一類：1號(hào)區(qū)域與3號(hào)區(qū)域同色時(shí)，有5×4×1×4＝80(種)涂法；第二類：1號(hào)區(qū)域與3號(hào)區(qū)域異色時(shí)，有5×4×3×3＝180(種)涂法.依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知不同的涂色方法有80＋180＝260(種).編輯課件第二節(jié)排列組合基礎(chǔ)梳理排列與排列數(shù)組合與組合數(shù)定義1.排列的概念：從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素,

，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.2.排列數(shù)的概念：從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的

叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)

表示.1.組合的概念：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素

，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.2.組合數(shù)的概念：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的

，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),用符號(hào)

表示.編輯課件公式排列數(shù)公式：組合數(shù)公式：性質(zhì)(1)0!=1;(2)=.(1)規(guī)定：備注

m,n∈N*,m≤n.n(n-1)…2·1編輯課件典例分析題型一基本排列問題【例1】從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，則不同的選法共有___種（用數(shù)字作答）.分析先選甲、乙以外的人擔(dān)任文娛委員，然后再選其他委員.解先從其余3人中選出1人擔(dān)任文娛委員，再從4人中選2人擔(dān)任學(xué)習(xí)委員和體育委員，3=3×4×3=36(種).學(xué)后反思解決某些特殊元素不能排在某些特殊位置的排列問題，主要方法是將這些特殊元素排在其他位置，或?qū)⑵渌翘厥庠嘏旁谶@些特殊位置來進(jìn)行解決.編輯課件舉一反三1.（2008·全國）如圖，一環(huán)形花壇分成A、B、C、D四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊地里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為（）A.96B.84C.60D.48解析:分三類：種兩種花有種種法；種三種花有2種種法；種四種花有種種法.故共有+2+=84（種）.答案:B編輯課件題型二有限制條件的排列【例2】記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（）A.1440種B.960種C.720種D.480種分析解決本題的關(guān)鍵是將2位老人相鄰捆綁，作為一個(gè)特殊元素排列.解5名志愿者先排成一排，有種方法，2位老人作為一組插入其中，且兩位老人有左右順序，共有2×4×=960（種）不同的排法.學(xué)后反思解決要求幾個(gè)元素相鄰的問題，一般是將這幾個(gè)元素進(jìn)行捆綁看成一個(gè)“元素”參與排列，然后這個(gè)“元素”的內(nèi)部再進(jìn)行排列.舉一反三編輯課件2.從5位同學(xué)中選派4位同學(xué)在星期五、星期六、星期日參加公益活動(dòng)，每人一天，要求星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，則不同的選派方法共有（）A.40種B.60種C.100種D.120種解析:星期五有2人參加，則從5人中選2人的組合數(shù)為，星期六和星期天從剩余的3人中選2人進(jìn)行排列，有種，則共有·=60（種）.答案:B

題型三基本組合問題【例3】(12分)男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長(zhǎng)各1名，選派5人外出比賽.在下列情形中各有多少種選派方法？（1）男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名；（2）至少有1名女運(yùn)動(dòng)員；（3）隊(duì)長(zhǎng)中至少有1人參加；（4）既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員.編輯課件分析（1）分步.（2）可分類也可用間接法.（3）可分類也可用間接法.（4）分類.解（1）第一步：選3名男運(yùn)動(dòng)員，有種選法.第二步：選2名女運(yùn)動(dòng)員，有種選法.共有·=120（種）選法……………3′（2）方法一：“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”包括以下幾種情況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得總選法數(shù)為………………...6′編輯課件方法二：“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面為“全是男運(yùn)動(dòng)員”，可用間接法求解.從10人中任選5人有種選法，其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有種.所以“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法數(shù)為-=246……..6′(3)方法一（可分類求解）:“只有男隊(duì)長(zhǎng)”的選法數(shù)為;“只有女隊(duì)長(zhǎng)”的選法數(shù)為.“男、女隊(duì)長(zhǎng)都入選”的選法數(shù)為.所以共有2+=196（種）選法………………….9′方法二（間接法）：從10人中任選5人有種選法.其中不選隊(duì)長(zhǎng)的方法有種.所以“至少1名隊(duì)長(zhǎng)”的選法為-=196（種）………………….9′（4）當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，其他人選任意，共有種選法.不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，必選男隊(duì)長(zhǎng)，共有種選法.其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有種，所以當(dāng)不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，共有-種選法.所以既有隊(duì)長(zhǎng)又有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有+-=191（種）….12′編輯課件學(xué)后反思解組合題時(shí)，常遇到至多、至少問題，可用直接法分類求解，也可用間接法求解以減少運(yùn)算量.當(dāng)限制條件較多時(shí)，要恰當(dāng)分類，逐一滿足.舉一反三3.某校開設(shè)9門課程供學(xué)生選修，其中A,B,C3門由于上課時(shí)間相同，至多選一門，學(xué)校規(guī)定每位同學(xué)選修4門，共有——種不同選修方案.（用數(shù)值作答）

解析:分兩類：第一類：A,B,C3門選1門，其他選3門，有種;第二類：A,B,C3門都不選，其他選4門，有種.共＋＝75（種）.答案:75編輯課件題型四排除法【例4】從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三項(xiàng)不同的工作，若這3人中至少有1名女生，則選派方案共有（）A.108種B.186種C.216種D.270種分析逆向思考，“這3人中至少有1名女生”的否定為“這3人中沒有女生”.解全部方案有種，減去只選派男生的方案數(shù)，合理的選派方案共有-=186(種).學(xué)后反思關(guān)于“至少”類型組合問題，用間接法較方便，即用總的方案數(shù)減去“至少”的否定的方案數(shù).同時(shí)要注意：“至少一個(gè)”的否定為“一個(gè)沒有”;“至多一個(gè)”的否定為“至少兩個(gè)”;“至少N個(gè)”的否定為“至多N-1個(gè)”;“至多N個(gè)”的否定為“至少N+1個(gè)”.編輯課件舉一反三4.從6臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取出4臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同取法共有()A.310種B.200種C.190種D.135種解析:至少各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào)，不取另一種型號(hào)的電視機(jī)，故不同取法共有=310(種).答案:A題型五多元問題分類法【例5】由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有()A.210個(gè)B.300個(gè)C.464個(gè)D.600個(gè)編輯課件分析按題意，個(gè)位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況.解個(gè)位數(shù)字只是0，有個(gè);個(gè)位數(shù)字是1，有個(gè);個(gè)位數(shù)字是2，有個(gè);個(gè)位數(shù)字是3，有個(gè);個(gè)位數(shù)字是4，有個(gè).共有++++=300(個(gè)).學(xué)后反思參與排列的元素多，取出的情況也有多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情況分別計(jì)算，最后總計(jì).編輯課件舉一反三5.從1，2，3，…,100這100個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個(gè)數(shù)的取法(不計(jì)順序)共有多少種？解析：被取的兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)能被7整除時(shí)，它們的乘積就能被7整除.將這100個(gè)數(shù)組成的集合視為全集I，能被7整除的數(shù)的集合記作A，則A＝{7，14，…,98}共有14個(gè)元素，故不能被7整除的數(shù)的集合={1,2,…,99,100}共有86個(gè)元素.由此可知，從A中任取兩數(shù)的取法，共有種；從A中任取一個(gè)數(shù)又從中任取一個(gè)數(shù)的取法，共有種，兩種情形共得符合要求的取法有=1295（種）.編輯課件易錯(cuò)警示【例1】有大小形狀相同的3個(gè)紅色小球和5個(gè)白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？錯(cuò)解因?yàn)槭?個(gè)小球的全排列，所以共有種方法.錯(cuò)解分析錯(cuò)解中沒有考慮3個(gè)紅色小球是完全相同的，5個(gè)白色小球也是完全相同的，同色球之間互換位置是同一種排法.正解8個(gè)小球排好后對(duì)應(yīng)著8個(gè)位置，題中的排法相當(dāng)于在8個(gè)位置中選出3個(gè)位置給紅球，剩下的位置給白球，由于這3個(gè)紅球完全相同，所以沒有順序，是組合問題.這樣共有=56(種)排法.【例2】如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有——種（以數(shù)字作答）.編輯課件錯(cuò)解先著色第一區(qū)域，有4種方法，剩下3種顏色涂四個(gè)區(qū)域，即有一種顏色涂相對(duì)的兩塊區(qū)域，有=12（種）.由乘法原理可得有4×12=48（種）不同的著色方法.錯(cuò)解分析原因主要是沒有看清題設(shè)“有4種顏色可供選擇”，不一定需要4種顏色全部使用，用3種也可以完成任務(wù).因此，在解排列組合問題時(shí)一定要注意題目中的每一句話甚至每一個(gè)字和符號(hào)，否則就可能多解或漏解.正解當(dāng)使用4種顏色時(shí)，由“錯(cuò)解”知有48種著色方法；當(dāng)使用3種顏色時(shí)，從4種顏色中選取3種有種方法，先著色第一區(qū)域，有3種方法，剩下2種顏色涂四個(gè)區(qū)域，只能是一種顏色涂第2、4區(qū)域，另一種顏色涂第3、5區(qū)域，有2種著色方法，由乘法原理可得有×3×2=24（種）不同的著色方法.綜上所述，共有48+24=72（種）不同的著色方法.考點(diǎn)演練編輯課件10.（2009·重慶）將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有——種（用數(shù)字作答）.解析:先選出兩人組成整體，再作全排列，即=36（種）.答案:3611.（創(chuàng)新題）在一次文藝演出中，需要給舞臺(tái)上方安裝一排完全相同的彩燈15只，以不同的點(diǎn)亮方式增加舞臺(tái)效果，設(shè)計(jì)要求如下：恰好有6只是關(guān)的，且相鄰的燈不能同時(shí)被關(guān)掉，兩端的燈必須點(diǎn)亮，求不同的點(diǎn)亮方式.解析：15只彩燈中有6只是關(guān)的，9只是開的，且相鄰的燈不能同時(shí)被關(guān)掉，則在9只開著的燈的8個(gè)空中（因兩端燈必須點(diǎn)亮）取6個(gè)空安排關(guān)著的彩燈，共有點(diǎn)亮方式=28（種）.編輯課件12.某學(xué)習(xí)小組有8個(gè)同學(xué)，從男生中選2人，女生中選1人參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三種競(jìng)賽，要求每科均有1人參加，共有180種不同的選法，那么該小組中男、女同學(xué)各有多少人？解析：設(shè)男生有x人，則女生有8-x人，依題意得即即（x-5）(x-6)(x+2)=0,∴(舍去).即男生有5人，女生有3人，或男生有6人，女生有2人.編輯課件第三節(jié)二項(xiàng)式定理基礎(chǔ)梳理1.二項(xiàng)式定理及其特例特別是當(dāng)x=1時(shí)，得2.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式(r=0,1,2,…,n).編輯課件3.二項(xiàng)式系數(shù)表（楊輝三角）展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)n依次取1,2,3,…時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)表中每行兩端都是1，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和.4.二項(xiàng)式系數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)(1)對(duì)稱性與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等（）.(2)增減性與最大值當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)取得最大值.編輯課件典例分析題型一求二項(xiàng)式中的n【例1】（2007·湖北）如果的展開式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n的最小值為（）A.3B.5C.6D.10分析根據(jù)展開式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，求得n,r之間的關(guān)系，從而求出n.解展開式通項(xiàng)由題意得2n-5r=0(r=0,1,2,…,n),故當(dāng)r=2時(shí)，正整數(shù)n的最小值為5.學(xué)后反思常數(shù)項(xiàng)即變量的指數(shù)為0，有理項(xiàng)即變量的指數(shù)為整數(shù)，這都是列方程的依據(jù)，根據(jù)方程求得關(guān)系再解題.編輯課件舉一反三已知展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64，則n等于（）A.4B.5C.6D.7解析:展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和為，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為，由已知,得=64，所以n=6.答案:C題型二求項(xiàng)的系數(shù)編輯課件【例2】展開式中的系數(shù)為——.分析利用通項(xiàng)公式分別寫出常數(shù)項(xiàng)，含x、項(xiàng)，從而求出系數(shù).解∵展開式中項(xiàng)為∴所求系數(shù)為學(xué)后反思此題重點(diǎn)考查二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)的系數(shù)，以及組合思想；展開式中的常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)、二次項(xiàng)分別和展開式中的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)相乘再求和得整個(gè)展開式中的二次項(xiàng).要注意二項(xiàng)展開式中某項(xiàng)的系數(shù)與該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是不同的概念，其項(xiàng)的系數(shù)是指該單項(xiàng)式的系數(shù)，而二項(xiàng)式系數(shù)僅為,這點(diǎn)要注意區(qū)分.編輯課件舉一反三2.（2008·天津）的二項(xiàng)展開式中，的系數(shù)是——（用數(shù)字作答）.解析:，所以r=2.所以的系數(shù)為答案:40題型三求展開式中的特定項(xiàng)【例3】(12分)在二項(xiàng)式的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列.（1）求展開式的第四項(xiàng)；（2）求展開式的常數(shù)項(xiàng)；3）求展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和.編輯課件分析根據(jù)前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列，列出關(guān)于n的方程，求出n.解第一項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值為，第二項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值為，第三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值為，依題意有+=×2，解得n=8…2′（1）第四項(xiàng)……..4′（2）通項(xiàng)公式為展開式的常數(shù)項(xiàng)有8-2r=0，即r=4，所以常數(shù)項(xiàng)為………………..8′（3）令x=1，得展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為……………..12′編輯課件學(xué)后反思本題旨在訓(xùn)練二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式的運(yùn)用，但要注意通項(xiàng)是而不是，這是最容易出錯(cuò)的地方.舉一反三3.