2019年數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題突破練5.3.1空間中的平行與空間角 專題突破練15

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題突破練15空間中的平行與空間角1。如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1⊥底面ABC，∠A1AC=60°,AC=2AA1=4，點(diǎn)D,E分別是AA1，BC的中點(diǎn)。(1）證明：DE∥平面A1B1C；（2）若AB=2，∠BAC=60°，求直線DE與平面ABB1A1所成角的正弦值.2。(2018河南安陽一模，理19)如圖，在空間直角坐標(biāo)系O—xyz中，正四面體（各條棱均相等的三棱錐)ABCD的頂點(diǎn)A,B，C分別在x軸,y軸，z軸上.(1)求證:CD∥平面OAB；(2)求二面角C—AB-D的余弦值。3。如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中點(diǎn).(1）證明：直線CE∥平面PAB;（2）點(diǎn)M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M-AB—D的余弦值.4.(2018江蘇鹽城模擬，25)如圖,在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=4,AB=2,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)。（1)求異面直線AC1與DM所成角的余弦值；（2)求直線AC1與平面AD1M所成角的正弦值。5。如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD,點(diǎn)M在線段PB上，PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4.（1）求證：M為PB的中點(diǎn);(2)求二面角B—PD—A的大小;（3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.6.（2018江蘇卷,22)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,點(diǎn)P,Q分別為A1B1，BC的中點(diǎn)。(1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值;(2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值.7.如圖1,在邊長為2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,將△BCD沿對角線BD折起到△BC’D的位置，使平面BC'D⊥平面ABD,E是BD的中點(diǎn)，F(xiàn)A⊥平面ABD,且FA=2，如圖2.(1）求證：FA∥平面BC’D;（2)求平面ABD與平面FBC'所成角的余弦值;(3)在線段AD上是否存在一點(diǎn)M,使得C'M⊥平面FBC’?若存在，求的值；若不存在，請說明理由.參考答案專題突破練15空間中的平行與空間角1.（1)證明取AC的中點(diǎn)F，連接DF，EF,∵E是BC的中點(diǎn),∴EF∥AB?！逜BC—A1B1C1是三棱柱，∴AB∥A1B1，∴EF∥A1B1,∴EF∥平面A1B1C.∵D是AA1的中點(diǎn),∴DF∥A1C，∴DF∥平面A1B1C.又EF∩DF=F，∴平面DEF∥平面A1B1C,∴DE∥平面A1B1C.(2）解過點(diǎn)A1作A1O⊥AC,垂足為O,連接OB,∵側(cè)面ACC1A1⊥底面ABC,∴A1O⊥平面ABC，∴A1O⊥OB,A1O⊥OC?！摺螦1AC=60°,AA1=2,∴OA=1,OA1=AB=2,∠OAB=60°，由余弦定理得OB2=OA2+AB2—2OA·AB·cos∠BAC=3，∴OB=，∴∠AOB=90°,∴OB⊥AC。分別以O(shè)B,OC，OA1為x軸、y軸、z軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，由題設(shè)可得A（0,-1,0），C（0,3，0）,B（，0,0）,A1(0，0，）,D0,-,E設(shè)m=(x1,y1，z1）是平面ABB1A1的一個法向量,則令z1=1，則m=（1,—，1），∴cos<m，〉=，∴直線DE與平面ABB1A1所成角的正弦值為2。解（1）由AB=BC=CA,易知OA=OB=OC.設(shè)OA=a，則AB=a，A(a,0,0）,B（0，a,0），C(0，0,a），如圖：設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y,z）,則由DA=DB=DC=a，可得(x—a)2+y2+z2=x2+（y-a）2+z2=x2+y2+（z-a）2=2a2,解得x=y=z=a，所以=（a，a,0）.又平面OAB的一個法向量為=（0，0,a），所以=0，所以CD∥平面OAB.（2)設(shè)F為AB的中點(diǎn),連接CF，DF,則CF⊥AB,DF⊥AB,∠CFD為二面角C-AB—D的平面角.由（1)知，在△CFD中,CF=DF=aa，CD=a，則由余弦定理知cos∠CFD=,即二面角C—AB-D的余弦值為3.（1)證明取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF.因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以EF∥AD,EF=AD.由∠BAD=∠ABC=90°得BC∥AD,又BC=AD，所以EFBC,四邊形BCEF是平行四邊形,CE∥BF,又BF?平面PAB，CE?平面PAB,故CE∥平面PAB.（2)解由已知得BA⊥AD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,｜｜為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A（0，0，0),B（1，0,0)，C(1,1，0)，P（0,1，）,=(1，0,-)，=(1,0,0）.設(shè)M(x，y,z)(0〈x〈1),則=(x—1,y,z）,=（x，y-1,z-)。因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45°,而n=（0,0,1）是底面ABCD的法向量，所以|cos〈,n〉|=sin45°,,即（x-1)2+y2—z2=0.①又M在棱PC上,設(shè)=，則x=λ，y=1,z=②由①②解得(舍去),所以M,從而設(shè)m=(x0,y0，z0）是平面ABM的法向量,則即所以可取m=(0，—,2）。于是cos〈m,n>=因此二面角M—AB—D的余弦值為4。解在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，以D為原點(diǎn),DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D-xyz.∵M(jìn)（1，2,0),A(2,0,0),C1(0,2,4),=(1,2,0)，=(—2，2,4），所以cos<〉=，所以異面直線AC1與DM所成角的余弦值為（2）=(2,0,4），設(shè)平面A1DM的一個法向量為n=(x，y,z）.則取y=1,得x=—2,z=1,故平面A1DM的一個法向量為n=(-2,1,1).于是cos<n，〉=,所以直線AC1與平面A1DM所成角的正弦值為5.（1)證明設(shè)AC，BD交點(diǎn)為E,連接ME.因?yàn)镻D∥平面MAC,平面MAC∩平面PDB=ME，所以PD∥ME.因?yàn)锳BCD是正方形,所以E為BD的中點(diǎn).所以M為PB的中點(diǎn)。(2)解取AD的中點(diǎn)O,連接OP,OE。因?yàn)镻A=PD,所以O(shè)P⊥AD.又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，且OP?平面PAD，所以O(shè)P⊥平面ABCD.因?yàn)镺E?平面ABCD,所以O(shè)P⊥OE。因?yàn)锳BCD是正方形，所以O(shè)E⊥AD。如圖建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz，則P(0，0,)，D（2,0，0),B（-2，4,0）,=(4,—4,0）,=（2，0，—）.設(shè)平面BDP的法向量為n=(x,y,z),則令x=1，則y=1，z=于是n=(1,1,）,平面PAD的法向量為p=(0,1,0).所以cos〈n,p>=由題知二面角B-PD-A為銳角，所以它的大小為（3)解由題意知M，C（2，4，0),設(shè)直線MC與平面BDP所成角為α，則sinα=|cos〈n，>｜=所以直線MC與平面BDP所成角的正弦值為6。解如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，設(shè)AC，A1C1的中點(diǎn)分別為O，O1，則OB⊥OC,OO1⊥OC,OO1⊥OB，以｛}為基底,建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz。因?yàn)锳B=AA1=2,所以A(0，—1，0),B（,0,0)，C(0,1,0)，A1（0,-1,2），B1(,0，2），C1（0，1,2).(1)因?yàn)镻為A1B1的中點(diǎn)，所以P，從而=（0，2,2),故|cos〈〉｜=因此,異面直線BP與AC1所成角的余弦值為(2)因?yàn)镼為BC的中點(diǎn),所以Q，因此=（0,2,2),=（0，0,2）。設(shè)n=（x，y，z)為平面AQC1的一個法向量，則即不妨取n=(,-1,1).設(shè)直線CC1與平面AQC1所成角為θ，則sinθ=｜c(diǎn)os〈，n>｜=,所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為7。（1)證明∵BC’=C’D，E為BD的中點(diǎn),∴C'E⊥BD。又平面BC’D⊥平面ABD,且平面BC’D∩平面ABD=BD，∴C’E⊥平面ABD?！逨A⊥平面ABD，∴FA∥C’E。又C'E?平面BC’D，F(xiàn)A?平面BC’D，∴FA∥平面BC'D.(2)解以DB所在直線為x軸，AE所在直線為y軸,EC'所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B（1,0,0)，A(0，-，0）,D(—1,0，0），F(xiàn)（0，-，2）,C'(0,0，),=（-1，-，2）,=（—1,0,）.設(shè)平面FBC'的一個法向量為m=(x，y,z），則取z=1,則m=(，1,1).∵平面ABD的一個法向量為n=（0,0,1）,∴cos〈m，n>=則平面ABD與平面FBC'所成角的余弦值為(3)解假設(shè)在線段AD上存在M（x,y，z），使得C’