2015屆高考文科數(shù)學第一輪開卷速查檢測題12

開卷速查

規(guī)范特訓課時作業(yè)開卷速查(51)

實效精華圓錐曲線的綜合問題一、選擇題1．直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個公共點，則k的值為( )A．1B．1或3C．0D．1或0y＝kx＋2，分析：由得ky2－8y＋16＝0，若k＝0，則y＝2，y2＝8x若k≠0，若

＝0，即

64－64k＝0，解得

k＝1，所以直線

y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個公共點，則答案：D

k＝0或

k＝1.x2y22．已知AB為過橢圓a2＋b2＝1中心的弦，F(xiàn)(c,0)為它的焦點，則△FAB的最大面積為( )A．b2B．a(chǎn)bC．a(chǎn)cD．bc分析：設A、B兩點的坐標為(x1，y1)、(－x1，－y1)，1則S△FAB＝2|OF||2y1|＝c|y1|≤bc.答案：D3．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F且傾斜角為60°的直線l與拋物線在第一、四象限分別交于

A、B兩點，則

|AF||BF|的值等于

(

)A．5B．4C．3D．2分析：記拋物線y2＝2px的準線為l，作AA1⊥l，BB1⊥l，BC⊥AA1，垂足分別是A1、B1|AC||AA1|－|BB1|、C，則有cos60＝°＝＝|AB||AF|＋|BF||AF|－|BF|1|AF||AF|＋|BF|＝2，由此得|BF|＝3，選C.答案：C4．設M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準線訂交，則y0的取值范圍是( )A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)分析：∵x2＝8y，∴焦點F的坐標為(0,2)，準線方程為y＝－2.由拋物線的定義知|MF|＝y(tǒng)0＋2.因為以F為圓心、|FM|為半徑的圓與準線訂交，又圓心F到準線的距離為4，故4<y0＋2，∴y0>2.答案：C5．已知雙曲線E的中心為原點，F(xiàn)(3,0)是E的焦點，過F的直線l與E訂交于A，B兩點，且AB的中點為N(－12，－15)，則E的方程為()x2y2x2y2A.3－6＝1B.4－5＝1x2y2x2y2C.6－3＝1D.5－4＝10＋15分析：∵kAB＝＝1，3＋12∴直線AB的方程為y＝x－3.因為雙曲線的焦點為F(3,0)，∴c＝3，c2＝9.x2y2＝1(a>0，b>0)，設雙曲線的標準方程為a2－b22x－32則x2－b2＝1.整理，得a(b2－a2)x2＋6a2x－9a2－a2b2＝0.設A(x1，)，B(x，)，則x＋＝6a2＝2×－，∴2＝－y12y21x2a2－b2(12)a4a2＋4b2，∴5a2＝4b2.又a2＋b2＝9，∴a2＝4，b2＝5，x2y2∴雙曲線E的方程為4－5＝1.答案：B6．已知拋物線＝－2＋3上存在對于直線x＋y＝0對稱的相異yx兩點A、B，則|AB|等于()A．3B．4C．32D．42分析：設直線AB的方程為y＝x＋b.y＝－x2＋3，由

?x2＋x＋b－3＝0?x1＋x2＝－1，y＝x＋b11得AB的中點M－2，－2＋b.11又M－2，－2＋b在直線x＋y＝0上，可求出b＝1，∴x2＋x－2＝0，則|AB|＝1＋12·－12－4×－2＝32.答案：C7．如圖，已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線x－my＋m＝0與拋物線交于A、B兩點，且△OAB(O為坐標原點)的面積為22，則m6＋m4的值是()A．1B.2C．2D．4p分析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意可知，2＝－m，將x＝mym代入拋物線方程y2＝2px(p>0)中，整理得y2－2pmy＋2pm＝0，由根與系數(shù)的關系，得y1＋y2＝2pm，y1y2＝2pm，∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)24y1y2＝(2pm)2－8pm＝16m4＋16m2，又△OAB的面積S＝12×p2|y1－y2|12(－m)×4m4＋m2＝22，兩邊平方即可得m6＋m4＝2.答案：C．直線：＝＋y2x·|x|交點的個數(shù)為( )8lyx394A．0個B．1個C．2個D．3個2222分析：當x≥0時，曲線為y－x＝；當＜0時，曲線為y＋x＝941x941，如下圖，y2x23直線l：y＝x＋3過(0,3)，又因為雙曲線9－4＝1的漸近線y＝2x3y2x2的斜率2＞1，故直線l與曲線9－4＝1(x≥0)有兩個交點，明顯l與y2x2半橢圓9＋4＝1(x≤0)有兩個交點，(0,3)記了兩次，所以共3個交點.答案：Dx2y29．已知雙曲線a2－b2＝1(a＞0，b＞0)，M，N是雙曲線上對于原點對稱的兩點，P是雙曲線上的動點，且直線PM，PN的斜率分別為k1，k2，k1k2≠0，若|k1|＋|k2|的最小值為1，則雙曲線的離心率為( )A.2B.5233C.2D.2分析：設M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)，y－y0y＋y0則k1＝，k2＝.x－x0x＋x0x2y2又∵M、N、P都在雙曲線a2－b2＝1上，b2x20－a2y20＝a2b2，∴b2x2－a2y2＝a2b2.∴b2(x2－x20)＝a2(y2－y20)．x－x0a2y＋y0∴＝2.y－y0bx＋x0221ab2b又∵|k1|＋|k2|≥2|k1||k2|＝a.2b＝a2.∴a＝1，即4b2∴4(c2－a2)＝a2，即4c2＝5a2.c25552∴a2＝4，即e＝4，∴e＝2.答案：B210．已知雙曲線x2－y3＝1的左極點為A1，右焦點為F2，P為雙→→曲線右支上一點，則PA1·PF2的最小值為( )81A．－2B．－16C．1D．0分析：設點P(x，y)，此中x≥1.依題意得A1(－1,0)，F(xiàn)2(2,0)，由雙曲線方程得y2＝3(x2－1)．→→PA1·PF2＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋y22221281－x－2＝x＋3(x－1)－x－2＝4x－x－5＝4x－8－16，此中x≥1.→→所以，當x＝1時，PA1·PF2獲得最小值－2.答案：A二、填空題11．設拋物線x2＝4y的焦點為F，經(jīng)過點P(1,4)的直線l與拋物→→線訂交于A、B兩點，且點P恰為AB的中點，則|AF|＋|BF|＝__________.分析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知x1＋x2＝2，且x12＝4y1，x22＝4y2，兩式相減整理得，y1－y2x1＋x21，所以直線AB的方程＝4＝x為x－2y＋7＝0.將x＝2y－7代入x2＝4y整理得4y2－32y＋49＝0，所→→以y1＋y2＝8，又由拋物線定義得|AF|＋|BF|＝y(tǒng)1＋y2＋2＝10.答案：102已知橢圓x4＋y2＝1的兩個焦點為F1、F2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓訂交，一個交點為P，則|PF2|＝__________.1分析：將x＝－3代入橢圓方程得yp＝2，由|PF1|＋|PF2|＝47|PF2|＝4－|PF1|＝4－2＝2.7答案：213．直線y＝kx－2與拋物線y2＝8x交于不一樣兩點A、B，且AB的中點橫坐標為2，則k的值是__________．y＝kx－2，分析：設A(x1，y1)、B(x2，y2)，由y2＝8x，消去y得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，＝－4＋2－×2×4>0，[k2]4k由題意得＋2＝4k＋2＝2×2，x12xkk>－1，∴即k＝2.k＝－1或k＝2，答案：2x2y214．已知雙曲線a2－b2＝1(a>1，b>0)的焦距為2c，離心率為e，若點(－1,0)與(1,0)到直線x－y＝1的距離之和s≥4，則e的取值范圍ab5c是__________．分析：由題意知|－b－ab||b－ab|＝2ab4s＝＋c≥c，222＋b25a＋ba2∴2≤5ab，∴2c2≤5b.2caabc2－a22－，∴2≤5e2－，aae12e1∴4e4≤25(e2－1)，∴4e4－25e2＋25≤0，∴54≤e2≤5，∴25≤e≤5.5答案：2，5三、解答題x2y215．[2013·徽安]設橢圓E：a2＋1－a2＝1的焦點在x軸上．(1)若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；(2)設F1、F2分別是橢圓E的左、右焦點，P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點，直線F2P交y軸于點Q，而且F1P⊥F1Q.證明：當a變化時，點P在某定直線上．分析：(1)因為焦距為1，所以21252a14a88x28y2故橢圓E的方程為5＋3＝1.(2)證明：設P(x0，y0)，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，此中c＝2a2－1.≠c，則直線F1P的斜率＝y(tǒng)0，x0＋c直線F2P的斜率kF2P＝y(tǒng)0，x0－c故直線F2P的方程為y＝y(tǒng)0(x－c)．x0－c當＝時，＝cy0，即點Q坐標為0，cy0.x0yc－x0c－x0y0所以，直線F1Q的斜率為kF1Q＝.因為F1P⊥F1Q，y0y0所以kF1P·kF1Q＝·＝－1.化簡得y20＝x20－(2a2－1)．①將①代入橢圓E的方程，因為點P(x0，y0)在第一象限，解得x0a2，y0＝1－a2，即點P在定直線x＋y＝1上．答案：

8x2(1)5

＋8y2＝1；(2)證明略．316．[2013

·江西]如圖，橢圓

x2y2C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)經(jīng)過點

3P1，2，離心率

1e＝2，直線

l的方程為

x＝4.(1)求橢圓C的方程；(2)AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦(不經(jīng)過點P)，設直線AB與直線訂交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3.問：能否存在常數(shù)λ，使得k1＋k2＝λk？若存在，求3λ的值；若不存在，說明理由．分析：(1)由P1，3在橢圓上得，19＝1，①2a2＋24b依題設知a＝2c，則b2＝3c2，②②代入①解得c2＝1，a2＝4，b2＝3.x2y2故橢圓C的方程為4＋3＝1.(2)方法一：由題意可設AB的斜率為k，則直線AB的方程為y＝k(x－1)，③代入橢圓方程3x2＋4y2＝12并整理，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1＋x2＝8k24k2－3，x1x2＝4k2，④4k2＋3＋3在方程③中令x＝4得，M的坐標為(4,3k)．333進而1＝y(tǒng)1－22＝y(tǒng)2－23k－21kkkk2x1－1x2－14－1注意到A，F(xiàn)，B共線，則有k＝kAF＝kBF，即有y1＝y(tǒng)2＝k.x1－1x2－133y1－2y2－2所以k1＋k2＝＋2－1xx＝y(tǒng)1＋y2－311＋x2－1x1－1x2－12x1－1＝－3·x1＋x2－2.⑤2k212－x1＋x2＋1xx④代入⑤得8k2－2k134k2＋3＋k2＝2k－·＝2k－1，24k2－38k2－＋14k2＋34k2＋31又k3＝k－2，所以k1＋k2＝2k3.故存在常數(shù)λ＝2切合題意．方法二：設B(x0，y0)(x0≠1)，y0則直線FB的方程為y＝(x－1)，3y0令x＝4，求得M4，x0－1，進而直線的斜率為2y0－x0＋1PM3＝.k2x0－1y＝y(tǒng)0x－1，5x0－8聯(lián)立x0－1得A3y0，y2，x22x0－52x0－54＋3＝1，2y0－2x0＋5則直線PA的斜率為：k1＝，直線PB的斜率為：k22x0－12y0－3＝，2x0－1所以k1＋k2＝2y0－2x0＋52y0－32y0－x0＋1＋＝＝2k3，2x0－12x0－1x0－1故存在常數(shù)λ＝2切合題意．x2y2答案：(1)4＋3＝1；(2)存在，λ＝2.創(chuàng)新試題教師備選教課累積資源共享1．[2013·課標全國Ⅰ]已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動圓P與圓M外切而且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程．l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當圓P的半徑最長時，求|AB|.分析：由已知得圓M的圓心為M(－1,0)，半徑r1＝1；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r2＝3.設圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.(1)因為圓P與圓M外切而且與圓N內(nèi)切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點，長半軸x2y2長為2，短半軸長為3的橢圓(左極點除外)，其方程為4＋3＝1(x≠2)．(2)對于曲線C上隨意一點P(x，y)，因為|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，當且僅當圓P的圓心為(2,0)時，R＝2.所以當圓P的半徑最長時，其方程為(x－2)2＋y2＝4.若l的傾斜角為90°，則l與y軸重合，可得|AB|＝23.若l的傾斜角不為90°，由r1≠R知l不平行于x軸，設l與x軸|QP|R的交點為Q，則|QM|＝r1，可求得Q(－4,0)，所以可設l：y＝k(x＋4)．由l與圓

M相切得

|3k|1＋k2

＝1，解得

2k＝±4.22x2y2當k＝4時，將y＝4x＋2代入4＋3＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝－4±627.18所以|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝7.當＝－218k4|AB|7綜上，＝或＝18.|AB|23|AB|72．[2013·廣東]已知拋物線C的極點為原點，其焦點F(0，c)(c32＞0)到直線l：x－y－2＝0的距離為2，設P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，此中A，B為切點．(1)求拋物線C的方程；(2)當點P(x0，y0)為直線l上的定點時，求直線AB的方程；(3)當點P在直線l上挪動時，求|AF|·|BF|的最小值．|0－c－2|32分析：(1)由題設條件，可得：2＝2，由c＞0得c＝1.所以C的方程為：x2＝4y.(2)設過點P(x0，y0)的兩切線的切點分別為A(x1，y1)和B(x2，y2)，則直線AB的方程可表示為：y2－y1y－y1＝(x－x1)．①x2－x1x因為y′＝2，x1x2∴過A，B的切線的斜率分別為kA＝2和kB＝2.所以直線PA的方程可表示為：y－1＝x1(x－x1)，y2聯(lián)合12＝1得＋1＝x1x；x4yyy2x2同理PB的方程可表示為：y＋y2＝2x.因為P(x0，y0)在這兩條直線上，y0＋y1＝x1x0，所以2x2y0＋y2＝2x0，y2－y1②＝x0，所以x2－x12x1y1＝2x0－y0.③將②③代入①獲得直線AB的方程為：111y＝2x0x－y0(或y＝2x0x－x0＋2或y＝2(y0＋2)x－y0)．(3)因為y＝－1為拋物線C的準線，所以|AF|·|BF|＝|y1－－·2－－1)|(1)||y(|y1y2＋y1＋y2＋1|.由(2)可知(x1，y1)，(x2，y2)是方程組x2＝，④4yx0的兩解，y＝2x－y0⑤由⑤得＋2＝x022＋2＝x0222＋20)x，將④代入0)x獲得：0－0)y(yy4(yy4y(2yx＋y20＝0.易得：y1＋y2＝x20－2y0，y1y2＝y(tǒng)20.∴|AF||BF|·＝|y1y2＋y1＋y2＋1||x20＋(y0－1)2||PF|2.2因為點F到直線l的距離為2，9故|AF||BF|·的最小值為2.23．[2013·湖南]已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x5＋y2＝1的左、右焦點，F(xiàn)1，F(xiàn)2對于直線x＋y－2＝0的對稱點是圓C的一條直徑的兩個端點．(1)求圓C的方程；(2)設過點F2的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長分別為a，b，當ab最大時，求直線l的方程．分析：(1)由題設知，F(xiàn)1，F(xiàn)2的坐標分別為(－2,0)，(2,0)，圓C的半徑為2，圓心為原點O對于直線x＋y－2＝0的對稱點．設圓心的坐標為(x0，y0)，y0x0＝1，由x0y02＋2－2＝0x0＝2，解得y0＝2.所以圓C的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝4.(2)由題意，可設直線l的方程為x＝my＋2，則圓心到直線l的距離d＝|2m|.1＋m2所以b＝222－d2＝4.1＋m2x＝my＋2，得(m2＋5)y2＋4my－1＝0.由x25＋y2＝1設l與E的兩個交點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則y1＋y2＝－4m1，y1y2＝－2.m＋5m＋5于是a＝x1－x22＋y1－y221＋m2y1－y221＋m2[y1＋y22－4y1y2]1＋m216m24＝22＋2m＋5m＋55m2＋1m2＋5.進而ab＝85·m2＋185·m2＋1＝m2＋1＋4m2＋55m2＋1＋4m2＋1≤8542m2＋1·m2＋125.當且僅當m2＋1＝4，m2＋1即m＝±3時等號建立．故當m＝±3時，ab最大，此時，直線l的方程為x＝3y＋2或x＝－3y＋2，即x－3y－2＝0，或x＋3y－2＝0.4．[2013·重慶]如圖，橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，離2心率e＝2，過左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于A，A′兩點，|AA′|4.(1)求該橢圓的標準方程；(2)取平行于y軸的直線與橢圓訂交于不一樣的兩點P，P′，過P，P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其他點均在圓Q外．求△PP′Q的面積S的最大值，并寫出對應的圓Q的標準方程．分析：(1)由題意知點A(－c,2)在橢圓上，則c222a2＋b2＝1.進而e24＝1.＋2b24b2由e＝2得b2＝1－e2＝8，進而a2＝1－e2＝16.故該橢圓的標準方程為x2＋y2＝1.168(2)由橢圓的對稱性，可設Q(x0,0)．又設M(x，y)是橢圓上隨意一點，則|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0＋02＋81－x2xx1612(x－2x0)2－x20＋8(x∈[－4,4])．設P(x1，y1)，由題意，P是橢圓上到Q的距離最小的點，所以，上式當x＝x1時取最小值，又因x1∈(－4,4)，所以上式當x＝2x0時取最小值，進而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x20.由對稱性知P′(x1，－y1)，故|PP′|＝|2y1|，1所以S＝2|2y1||x1－x0|1x12＝2×281－16|x0|＝24－x02x202－x20－22＋4.當x0＝±2時，△PP′Q的面積S取到最大值22.此時對應的圓Q的圓心坐標為Q(±2，0)，半徑|QP|＝8－x02＝6，所以，這樣的圓有兩個，其標準方程分別為(x＋2)2＋y2＝6，(x－2)2＋y2＝6.x2y25．[2013·山東]橢圓C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別是3F1，F(xiàn)2，離心率為2，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.(1)求橢圓C的方程；(2)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連結PF1，PF2.設∠F1PF2的角均分線PM交C的長軸于點M(m,0)，求m的取值范圍；(3)在(2)的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點．設直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2.若k≠0，11試證明kk1＋kk2為定值，并求出這個定值．分析：(1)因為c2＝2－2，將＝－c代入橢圓方程x2y2，abxab1b2得y＝±a，由題意知2b2a＝1，即a＝2b2.3又e＝a＝2，所以a＝2，b＝1.x22所以橢圓C的方程為4＋y＝1.(2)方法一：設P(x0，y0)(y0≠0)．又F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)，所以直線PF1，PF2的方程分別為lPF∶x－(x＋＋3y0＝0，1y003)ylPF∶x－(x－－3y0＝0.2y003)y|my0＋3y0|＝|my0－3y0|由題意知.y02＋x0＋32y02