大學(xué)熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理期末復(fù)習(xí)筆記1

《熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理》期末復(fù)習(xí)一、簡答題1、寫出焓、自由能、吉布斯函數(shù)的定義式及微分表達(dá)式（只考慮體積變化功）答：焓的定義H=U+PV，焓的全微分dH=TdS+VdP；自由能的定義F=U-TS，自由能的全微分dF=-SdT-PdV；吉布斯函數(shù)的定義G=U-TS+PV，吉布斯函數(shù)的全微分dG=-SdT+VdP。2、什么是近獨(dú)立粒子和全同粒子？描繪近獨(dú)立子系統(tǒng)均衡態(tài)分布有哪幾種？答：近獨(dú)立子系統(tǒng)指的是粒子之間的互相作用很弱，互相作用的均勻能量遠(yuǎn)小于單個(gè)粒子的均勻能量，因此能夠忽視粒子之間的互相作用。全同粒子構(gòu)成的系統(tǒng)就是由擁有完整相同的屬性（相同的質(zhì)量、電荷、自旋等）的同類粒子構(gòu)成的系統(tǒng)。描繪近獨(dú)立子系統(tǒng)均衡態(tài)散布有費(fèi)米-狄拉克散布、玻色-愛因斯坦散布、玻耳茲曼散布。3、簡述均衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的基本假定。答：均衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的基本假定是等概率原理。等概率原理以為，關(guān)于處于均衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。它是統(tǒng)計(jì)物理的基本假定，它的正確性由它的各種推論都與客觀實(shí)質(zhì)符合而獲得一定。4、什么叫特征函數(shù)？請寫出簡單系統(tǒng)的特征函數(shù)。答：馬休在1869年證明，假如適入選擇獨(dú)立變量（稱為自然變量），只需知道一個(gè)熱力學(xué)函數(shù)，就能夠經(jīng)過求偏導(dǎo)數(shù)而求得均勻系統(tǒng)的所有熱力學(xué)函數(shù)，從而把均勻系統(tǒng)的均衡性質(zhì)完整確定。這個(gè)熱力學(xué)函數(shù)稱為特征函數(shù)。簡單系統(tǒng)的特征函數(shù)有內(nèi)能U=U（S、V），焓H=H（S、P），自由能F=F（T、V），吉布斯函數(shù)G=G（T、P）。5、什么是μ空間？并簡單介紹粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描繪。答：為了形象的描繪粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，用q1,,qr；p1,,pr共2r個(gè)變量為直角坐標(biāo)，構(gòu)成一個(gè)一時(shí)刻的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)q1,示。

2r維空間，稱為μ空間。粒子在某,qr；p1,,pr可用μ空間的一個(gè)點(diǎn)表6、試說明應(yīng)用經(jīng)典能量均分定理求得的理想氣體的內(nèi)能和熱容量中哪些結(jié)論與實(shí)驗(yàn)不符（起碼例舉三項(xiàng)）。答：第一、原子內(nèi)的電子對氣體的熱容量為何沒有貢獻(xiàn)；第二、雙原子分子的振動(dòng)在常溫范圍內(nèi)為何對熱容量沒有貢獻(xiàn)；第三、低溫下氫的熱容量所得結(jié)果與實(shí)驗(yàn)不符。這些結(jié)果都要用量子理論才能解說。7、寫出玻耳茲曼關(guān)系，并據(jù)此給出熵函數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義。答：玻耳茲曼關(guān)系：S=klnΩ熵函數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義：微觀態(tài)數(shù)的多少反應(yīng)系統(tǒng)有序程度的高低。微觀態(tài)數(shù)增添就是有序程度的降低或是雜亂程度增添，相應(yīng)地熵增添；反之，微觀態(tài)數(shù)減少就是有序程度的增添或雜亂度減少，相應(yīng)地熵減少?！办厥切貞严到y(tǒng)有序程度的量”有了明確立量意義。8、簡述開系、閉系以及孤立系的定義。答：熱力學(xué)研究的對象是由大批微觀粒子（分子或其余粒子）構(gòu)成的宏觀物質(zhì)系統(tǒng)。與系統(tǒng)發(fā)生互相作用的其余物體成為外界。依據(jù)系統(tǒng)與外界互相作用的狀況，能夠作以下劃分：與其余物體既沒有物質(zhì)互換也沒有能量互換的系統(tǒng)稱為孤立系；與外界有能量互換，但沒有物質(zhì)互換的系統(tǒng)稱為閉系；與外界極有能量互換，又有物質(zhì)互換的系統(tǒng)稱為開系。9、判斷孤立系統(tǒng)能否處于均衡態(tài)的基來源則以及熵判據(jù)。答：基來源則：能夠假想系統(tǒng)環(huán)繞該狀態(tài)發(fā)生各樣可能的虛改動(dòng)，而比較由此惹起熱力學(xué)函數(shù)的變化，依據(jù)熱力學(xué)函數(shù)處在均衡態(tài)時(shí)的性質(zhì)來判斷系統(tǒng)的狀態(tài)。熵判據(jù)：孤立系統(tǒng)中發(fā)生的任何宏觀過程，都朝著使系統(tǒng)的熵增添的方向進(jìn)行。假如孤立系統(tǒng)已經(jīng)達(dá)到了熵為極大的狀態(tài)，就不行能再發(fā)生任何宏觀的變化，系統(tǒng)就達(dá)到了均衡態(tài)。所以孤立系統(tǒng)/處在穩(wěn)固均衡狀態(tài)的必需和充分條件為：12SSS0。10、寫出熵判據(jù)的內(nèi)容。答：孤立系統(tǒng)的熵永不減少，過程進(jìn)行時(shí)熵增添，直到熵達(dá)到最大值，系統(tǒng)處于均衡態(tài)。11、試寫出熱力學(xué)第二定律的克氏表述和開氏表述內(nèi)容.答：克勞修斯表述：不行能把熱量從低溫物體傳到高溫物體而不惹起其余變化。開爾文表述：不行能從單調(diào)熱源汲取熱量使之完整變成實(shí)用功而不惹起其余變化。12、寫出等概率原理的內(nèi)容。答：處于均衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，各個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。13、熱力學(xué)第二定律的兩種表述及其數(shù)學(xué)表達(dá)式。答：（開爾文表述）不行能制造出這樣一種循環(huán)工作的熱機(jī)，它只使單調(diào)熱源冷卻來做功，而不放出熱量給其余物體，或者說不是外界發(fā)生任何變化。（克勞修斯表述）不行能把熱量從低溫物體自動(dòng)傳到高溫物體而不惹起外界的變化。用數(shù)學(xué)式表示為：dUTdSdW。14、簡述等概率原理答：關(guān)于處在均衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。該原理是統(tǒng)計(jì)物理中一個(gè)基本的假定。15、什么是能量均分定理？答：關(guān)于處在溫度為T的均衡狀態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng)，粒子能量中的每一個(gè)平方項(xiàng)的均勻值等于1kT。這是依據(jù)經(jīng)典玻耳茲曼散布導(dǎo)2出的一個(gè)重要定理。16、什么是微觀粒子的全同性原理？答：該原理指出，全同粒子是不行分辨的，在含有多個(gè)全同粒子的系統(tǒng)中，將任何兩個(gè)全同粒子加以對調(diào)，不改變整個(gè)系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。17、寫出玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費(fèi)米系統(tǒng)這三個(gè)系統(tǒng)散布{al}的表達(dá)式答：三個(gè)系統(tǒng)的散布{al}的表達(dá)式分別為：玻耳茲曼系統(tǒng)：allel；玻色系統(tǒng)：allle

費(fèi)米系統(tǒng)：1lalel118、簡述卡諾定理的內(nèi)容。答：卡諾定理指出：所有工作于相同高溫?zé)嵩春偷蜏責(zé)嵩吹目ㄖZ機(jī)，以可逆的卡諾機(jī)的效率為最大，可任。19、吉布斯函數(shù)的定義及其物理意義答：吉布斯函數(shù)定義為：GUTSPV。吉布斯函數(shù)是一個(gè)態(tài)函數(shù),它的變化能夠用可逆的等溫等壓過程中的除體積功之外的功來量度。20、統(tǒng)計(jì)物理基本假定是什么？答：統(tǒng)計(jì)物理基本假定是就是等概率原理,即孤立系統(tǒng)均衡態(tài)時(shí)各樣可能的微觀態(tài)出現(xiàn)的概率均等。21、簡述熱力學(xué)均衡態(tài)答：孤立系統(tǒng)，無論其初態(tài)怎樣復(fù)雜，經(jīng)過足夠長的時(shí)間后，將會(huì)達(dá)到各樣宏觀性質(zhì)長時(shí)間內(nèi)不隨時(shí)間變化的狀態(tài)，這樣的狀態(tài)叫熱力學(xué)均衡態(tài)。22、表達(dá)自由能的定義及其物理意義答：自由能的定義FUTS。自由能是個(gè)態(tài)函數(shù)，它的變化能夠用可逆等溫過程中的功來量度。23、簡述等概率原理的基本內(nèi)容答：孤立系統(tǒng)處于均衡態(tài)時(shí)，所有可能出現(xiàn)的微觀態(tài)的概率均相等。24、玻耳茲曼關(guān)系及其物理意義kln，系統(tǒng)愈趨于均衡態(tài)，微觀態(tài)數(shù)愈多，熵越大，所以熵是雜亂度的量度。25、寫出熱力學(xué)第二定律的開爾文表述內(nèi)容。有人利用地球表面和地球內(nèi)部溫度不一樣，做一個(gè)熱機(jī)來發(fā)電，稱地?zé)岚l(fā)電，把地球內(nèi)部能量邊為實(shí)用的電能，這能否違反熱力學(xué)第二定律。答：開爾文表述：不行能從單調(diào)熱源汲取熱量使之完整變成實(shí)用功而不惹起其余變化。因?yàn)榈厍虮砻婧偷厍騼?nèi)部的溫度不一樣，不是單調(diào)熱源，所以不違反熱力學(xué)第二定律26、簡述玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)有什么差別和聯(lián)系？差別：由費(fèi)米子構(gòu)成的系統(tǒng)稱為費(fèi)米系統(tǒng)，遵照泡利不相容原理；由玻色子構(gòu)成的系統(tǒng)稱為玻色系統(tǒng)，不受泡利不相容原理的拘束；把可分辨的全同近獨(dú)立粒子構(gòu)成，且處在一個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)稱為玻耳茲曼系統(tǒng)。聯(lián)系：在知足經(jīng)典極限條件ea>>1時(shí)，玻色（費(fèi)米）系統(tǒng)中的近獨(dú)立粒子在均衡態(tài)遵照玻耳茲曼散布。27、經(jīng)典能量均分定理的內(nèi)容是什么？舉出不知足經(jīng)典能量均分定理的三種情況。關(guān)于處在溫度為T的均衡狀態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng)，粒子能量中每一個(gè)平方項(xiàng)的均勻值等于1kT。2（1）原子內(nèi)的電子對氣體的熱容量沒有貢獻(xiàn)。（2）雙原子分子的振動(dòng)在常溫范圍內(nèi)對熱容量沒有貢獻(xiàn)。（3）低溫下氫的熱容量所得結(jié)果與實(shí)驗(yàn)不符。28、為何在熵和體積不變的狀況下，均衡態(tài)的內(nèi)能最小？由熱力學(xué)第二定律有：dUTdSpdV可得：當(dāng)S、V不變時(shí)，即dS=0，dV=0。所以，dU0因而可知，在系統(tǒng)由非均衡態(tài)趨勢均衡態(tài)的過程中，系統(tǒng)的內(nèi)能向來在減少dU0。當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到均衡時(shí)，dU=0，內(nèi)能取極小值。29、什么是熵增添原理？答：絕熱過程中系統(tǒng)的熵永不減少。關(guān)于可逆絕熱過程，系統(tǒng)的熵不變。對不行逆絕熱過程，系統(tǒng)的熵增添?；蚬铝⑾到y(tǒng)的熵永不減少，這個(gè)結(jié)論叫做熵增添原理。二、計(jì)算題1、已知粒子遵照經(jīng)典玻耳茲曼散布散布，其能量表達(dá)式為：1px2py2pz2ax2bx，此中a,b是粒子常量，求粒子的均勻能量。2m解：應(yīng)用能量均分定理求粒子的均勻能量時(shí)，需要注意所給能量表達(dá)式中ax2和bx兩項(xiàng)都是x的函數(shù)，不可以直接將能量均分定理應(yīng)用于ax2項(xiàng)而得出ax21kT的結(jié)論。要經(jīng)過配方將表達(dá)為21222axb2b22mpxpypza4a在上式中，僅第四項(xiàng)是x的函數(shù)，又是平方項(xiàng)。由能量均分定理知12b2b2b222b2pxpypzax4a2kT2kT2ma4a4a2、系統(tǒng)由N個(gè)無互相作用的線性諧振子構(gòu)成.a)若其能量表達(dá)式為：px21kx22m2時(shí)，求系統(tǒng)的內(nèi)能；b)若其能量表達(dá)式為：解：a)由能均分定理

n(n1),n0,1,2時(shí)，求系統(tǒng)的內(nèi)能。2UNkTb)UN,lnZ1,Z1nenn111nnZ1e2e2ee2nnlnZ11ln1e2

11elnZ1112e12e11NUN2e1議論：高溫極限和低溫極限。3、試求雙原子分子理想氣體的振動(dòng)熵。解：雙原子分子理想氣體的振動(dòng)配分函數(shù)：Z1ven0

n

12

e2/1elnZ1vβωln1eβω2vvβvNkβω1ln1eβωSNklnZ1lnZ1eβωβ1vθ1θ/T引入vNkNkln1e/k，得：STθT1ev三、證明題1、試證明一個(gè)均勻物體在準(zhǔn)靜態(tài)等壓過程中熵隨體積的增減取決于等壓下溫度隨體積的增減。S證明：等壓過程中熵隨體積的變化率為：，溫度隨體積的VP變化率為：TVP方法一：由雅可比隊(duì)列式可得：S=S，P=S，PT，P=ST（1）VPV，PT，PV，PTPVPdQS可得：SCP（2）由CPTTPTdTTP將（2）式代入（1）式可得：SCPT證畢VPTVP因?yàn)椋篊P0，T0，所以：S的增減取決于T的增減。VVPP方法二：由SSP，VSP，TP，V可得：SVP

STCPTTPVPTVP2、試證明，關(guān)于二維自由粒子，在長度L2內(nèi)，在到d的能量范圍內(nèi)，量子態(tài)數(shù)為Dd2L22md。h證明：關(guān)于二維自由粒子，在體積元dxdydpxdpy內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為：1dxdydpxdpy，h2用極坐標(biāo)描繪時(shí)，二維動(dòng)量空間的體積元為pdpd。在面積SL2內(nèi)，量大小在p到pdp范內(nèi)，量方向在到d范內(nèi)，二自由粒子的可能狀數(shù)：的SS－面)dn2dPxdPyh2PdPd(sh因P22m

只與P相關(guān)（P>0）,故分可得：Dd2S2SP22mSdD2mS2h2PdPh22m，mh2h2，(s=L)3、明：(CV)TT(2p)V，(Cp)TT(2V)p，并由此出：VT2pT2V2p；Cpp2VCV0T(0T(CVT2)VdVCpT2)pdpV0p0明：CVUTS???????????⑴TVTV以T,V狀參量，將上式求V的偏數(shù)，有CVT2ST2S2p?????⑵T2VTVTTVTV此中，第二步交了偏數(shù)的求序次，第三步用了麥?zhǔn)详P(guān)系，由理想氣體的物方程pVnRT知，在V不，p是T的性函2p0，所以CV0。意味著，理想氣體的定容數(shù)，即T2VVT容量不過溫度T的函數(shù)。在恒定溫度下將式⑵分，得CC0V2pdVT???????⑶VVV同理式（）：Cp2V?????????????pT2TT⑷以以T,p狀參量，將上式再求p的偏數(shù)，有CpT2ST2ST2V⑸pTpTTpT2p此中，第二步互換了偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)序次，第三步應(yīng)用了麥?zhǔn)详P(guān)系，由理想氣體的物態(tài)方程pVnRT知，在p不變時(shí)，V是T的線性函2V0，所以Cp0。這意味著，理想氣體的定容熱數(shù)，即T2ppT容量不過溫度T的函數(shù)。在恒定溫度下將式⑵積分，得0Tp2VdpCpCpp0T2p4、氣柱的高度為H，處在重力場中，試證明此氣柱的內(nèi)能和熱NmgHN(mgH)2emgHkT1容量為UU0NkT，CVC0VNk(emgHkT1)mgHkT1)2kT2(e證明：假定氣體是單原子分子理想氣體。重力場中分子的能量為：1px2py2pz2mgz，粒子的配分函數(shù)為：2m11(px2py2pz2)mgzZ1e2mdxdydzdPXdPYdPZ3h1(2m32dxdyHe1mgzdz12m32A1e1mgH)h3)h3()(10mg此中dxdy是氣柱的截面積。氣柱的內(nèi)能為：UNlnZ13NkTNkTNmgHU0NkTNmgH1)β2mgHkT1)(eβmgH(e式中U03NkT2mgHUN(mgH)2ekT1氣體的熱容量為CVC0VNkTmgHkT1)2kT2(e5、試求絕對零度下金屬電子氣體中電子的均勻速率v。解：由εPF2T0K可得時(shí)電子的散布。2mf1，εμ0εFf0，εεFεFPF2此中εF是費(fèi)米能級，PF是費(fèi)米動(dòng)量。2m因?yàn)樵隗w積V內(nèi)，動(dòng)量大小在P-PdP范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為：4V2P2dP，考慮到電子自旋在動(dòng)量方向的投影有兩個(gè)可能h3值。8VPF214PPdPPF303PF所以，動(dòng)量的均勻值為：Ph248VPF134PdPPFh303由：Pmv可得，均勻速率為：v3PF4m四、推論題1、設(shè)系統(tǒng)含有兩種粒子，其粒子數(shù)分別為N和N’.粒子間的相互作用很弱，可看作是近獨(dú)立的。假定粒子可分辨，處在一個(gè)個(gè)體量子態(tài)的粒子數(shù)不受限制。試證明，在均衡態(tài)下兩種粒子的最概然散布分別為：allel和allel。此中l(wèi)和l是兩種粒子的能級，l和l是能級簡并度。解：粒子A能級，粒子數(shù)散布：l——{al}——簡并度l粒子B能級，粒子數(shù)散布：’l——{al}——簡并度l系統(tǒng)兩種粒子散布要知足的條件為：alN，alNallallEllll散布al，對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為N!al1lal!ll散布al，對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為N!al2al!lll則系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)為12上式表示：當(dāng)?shù)谝活惲Ｗ拥纳⒉紴閧al}，而同時(shí)第二類粒子的散布為{a’l}時(shí)系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)。在均衡下兩種粒子的最可幾散布是對應(yīng)于在限制條件alN，lalNallallE下使lnln12為極大的散布。利lll用斯特林公式可得：lnln12NlnNallnalallnlNlnNallnalallnlllll由ln120，得ln1ala