2021-2022學(xué)年湖南省常德市大湖口中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年湖南省常德市大湖口中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)，給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題為

（

）①若②的最小正周期是；③在區(qū)間上是增函數(shù)；④的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；⑤當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/p>

A．①②④

B．③④⑤

C．②③

D．③④參考答案：D2.設(shè)全集，集合{或}，，則

A．B．

C．

D．參考答案：B略3.下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在區(qū)間(-1，1)內(nèi)是減函數(shù)的是(

)．

(A)

(B)(C)

(D)參考答案：B4.在中，角的對(duì)邊分別為，則“”是“是等腰三角形”的（A）充分不必要條件

（B）必要不充分條件

（C）充分必要條件

（D）既不充分也不必要條件參考答案：A若，由正弦定理得，即，所以，即，所以，即，所以是等腰三角形。若是等腰三角形，當(dāng)時(shí)，不一定成立，所以“”是“是等腰三角形”的充分不必要條件，選A.5.某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個(gè)半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是（）A．3π B． C． D．4π參考答案：B【考點(diǎn)】構(gòu)成空間幾何體的基本元素．【分析】根據(jù)三視圖可知幾何體是組合體：上面是半個(gè)圓錐、下面是半個(gè)圓柱，并求出底面圓的半徑以及幾何體的高，由椎體、柱體的體積公式求出此幾何體的體積．【解答】解：根據(jù)三視圖可知幾何體是組合體：上面是半個(gè)圓錐、下面是半個(gè)圓柱，且圓錐的底面圓的半徑r=2、高是2，圓柱的底面圓的半徑r=2、高是1，所以此幾何體的體積V==，故選B．6.設(shè)向量，，若，則的值為A．

B．

C．

D．參考答案：D7.已知平面區(qū)域在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)M，且點(diǎn)恰好在區(qū)域上的概率為，若，則的取值范圍為（A）

（B）

（C）

（D）

參考答案：B【知識(shí)點(diǎn)】幾何概型．解析：依題意可在平面直角坐標(biāo)系中作出集合D1所表示的平面區(qū)域是三角形與D2所表示的平面區(qū)域是陰影部分的三角形（如圖），由圖可知D1=，由于，則0＜D2≤2．由于直線恒過(guò)點(diǎn)（0，2），則的斜率k＞0的取值范圍是：（0，1]．故選B【思路點(diǎn)撥】找出D1、D2對(duì)應(yīng)面積的大小，然后將其代入幾何概型的計(jì)算公式進(jìn)行求解．在解題過(guò)程中，注意三角形面積的應(yīng)用．8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的n值為（

）A．9

B．10

C.11

D．12參考答案：C執(zhí)行程序框圖過(guò)程如下：第一次循環(huán)，是；第二次循環(huán)，是；第三次循環(huán)，是；…第九次循環(huán),是；第十次循環(huán)，否，結(jié)束循環(huán).輸出，故選C.

9.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形為如下圖的一個(gè)正方形，則原來(lái)圖形的形狀是（）參考答案：A.解析：考慮在y軸上的截距應(yīng)為的兩倍.10.下列四個(gè)函數(shù)中,既是奇函數(shù)又在定義域上單調(diào)遞增的是（）

A．

B.

C．

D．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．B3B4

【答案解析】C解析：y=x﹣1非奇非偶函數(shù)，故排除A；y=tanx為奇函數(shù)，但在定義域內(nèi)不單調(diào)，故排除B；y=log2x單調(diào)遞增，但為非奇非偶函數(shù)，故排除D；令f（x）=x3，定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3=﹣f（x），所以f（x）為奇函數(shù)，又f（x）在定義域R上遞增，故選C．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為_(kāi)_______.參考答案：2【分析】根據(jù)均值不等式得到，再計(jì)算得到答案.【詳解】，當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立.，實(shí)數(shù)的最大值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了均值不等式，意在考查學(xué)生對(duì)于不等式的應(yīng)用能力.12.已知實(shí)數(shù)滿足則的最大值為；參考答案：

13.如圖，PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，PO交圓O于B,C兩點(diǎn)，，則=_________.參考答案：3014.已知函數(shù)則,則實(shí)數(shù)的值等于

. 參考答案：-3或115.不等式對(duì)于任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

。參考答案：由a2+8b2≥λb(a+b)得a2+8b2-λb(a+b)≥0變成a2-λba-(λ-8)b2≥0

則Δ=λ2+4(λ-8)=λ2+4λ-32<=0

(λ+8)(λ-4)<=0

所以λ∈[-8,4]。16.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是線段AA1的中點(diǎn)，M是平面BB1D1D內(nèi)的點(diǎn)，則|AM|+|ME|的最小值是；若|ME|≤1，則點(diǎn)M在平面BB1D1D內(nèi)形成的軌跡的面積等于

．參考答案：【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用．【專題】運(yùn)動(dòng)思想；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】（1）由圖形可知AC⊥平面BB1D1D，且A到平面BB1D1D的距離與C到平面BB1D1D的距離相等，故MA=MC，所以EC就是|AM|+|ME|的最小值；（2）設(shè)點(diǎn)E在平面BB1D1D的射影為O，則EO=AC=，令ME=1，則△EMO是直角三角形，所以點(diǎn)M在平面BB1D1D上的軌跡為圓，有勾股定理求得OM=，即點(diǎn)M的軌跡半徑為，代入圓面積公式即可求得面積．【解答】解：連接AC交BD于N，連接MN，MC，則AC⊥BD，∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC，∴AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥MN，∴△AMN≌△CMN，∴MA=MC，連接EC，∴線段EC的長(zhǎng)就是|AM|+|ME|的最小值．在Rt△EAC中，AC=，EA=，∴EC==．過(guò)E作平面BB1D1D的垂線，垂足為O，則EO=AN=AC=，令EM=1，則M的軌跡是以O(shè)為圓心，以O(shè)M為半徑的圓，∴OM==，∴S=π?（）2=．故答案為，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間幾何中的最值問(wèn)題，找到MA與MC的相等關(guān)系是本題的關(guān)鍵．17.在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折疊，其正視圖和俯視圖如圖所示，此時(shí)連接頂點(diǎn)B、D形成三棱錐B-ACD，則其側(cè)視圖的面積為_(kāi)_____．參考答案：

解：由題意可知幾何體是三棱錐，底面是直角三角形，直角邊長(zhǎng)為4，3，一個(gè)側(cè)面是直角三角形與底面垂直，AB=4，BC=3，B到AC的距離為：側(cè)視圖如圖：是等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為：．所以側(cè)視圖的面積為：．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本大題12分）

已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，討論在上的單調(diào)性；

（Ⅱ）若在上為單調(diào)遞減函數(shù)，求的取值范圍.參考答案：當(dāng)時(shí)，

（1）遞增；遞減

（2）

19.如圖，AB為圓O的直徑，CB是圓O的切線，弦AD∥OC．（Ⅰ）證明：CD是圓O的切線；（Ⅱ）AD與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，若DE=3OA，求∠AEB的大?。畢⒖即鸢福骸究键c(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段；圓的切線的判定定理的證明．【專題】選作題；推理和證明．【分析】（Ⅰ）連接OD，由弦AD∥OC，易證得∠COB=∠COD，繼而證得△COB≌△COD（SAS），即可得∠ODC=∠OBC，然后由BC與⊙O相切于點(diǎn)B，可得∠ODC=90°，即可證得CD是⊙O的切線．（Ⅱ）利用射影定理，求出AD，即可求∠AEB的大小．【解答】（Ⅰ）證明：連接OD∵AD∥OC，∴∠A=∠COB，∠ADO=∠COD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠COB=∠COD，在△COB和△COD中，OB=OD，∠COB=∠COD，OC=OC，∴△COB≌△COD（SAS），∴∠ODC=∠OBC，∵BC與⊙O相切于點(diǎn)B，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，即OD⊥CD，∴CD是⊙O的切線；（Ⅱ）解：設(shè)OA=1，AD=x，則AB=2，AE=x+3，由AB2=AD?AE得x（x+3）=4，∴x=1，∴∠OAD=60°，∠AEB=30°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及射影定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．20.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）。曲線C2的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程；（2）在極坐標(biāo)系中，射線與曲線C1交于點(diǎn)M，射線與曲線C2交于點(diǎn)N，求的面積（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.參考答案：解：（1）由曲線：（為參數(shù)），消去參數(shù)得：化簡(jiǎn)極坐標(biāo)方程為：曲線：（為參數(shù)）消去參數(shù)得：化簡(jiǎn)極坐標(biāo)方程為：（2）聯(lián)立即聯(lián)立即故

21.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右準(zhǔn)線方程為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，斜率為的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)到直線的距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它與橢圓相交于另一點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，試確定直線的斜率.參考答案：（1）由題意知，直線的方程為，即，

……2分右焦點(diǎn)到直線的距離為，，

………4分又橢圓的右準(zhǔn)線為，即，所以，將此代入上式解得，，橢圓的方程為；

……………6分（2）由（1）知，，直線的方程為，

……………8分聯(lián)立方程組，解得或（舍），即，…12分直線的斜率.

……………14分其他方法：方法二:由（1）知，，直線的方程為，由題，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得，代入橢圓解得：或，又由題意知，得或，所以.方法三：由題，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，得，，所以,，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)有，，即，解得或，又由題意知，得或，所以.22.（13分）如圖，在四邊形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=，cos∠ADB=．（Ⅰ）求BD的長(zhǎng)；（Ⅱ）求△BCD的面積．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由已知可求sin∠ADB的值，根據(jù)正弦定理即可解得BD的值．（Ⅱ）根據(jù)已知及余弦定理可求cos∠C=﹣，結(jié)合范圍∠C∈（0，π）可求∠C，利用三角形面積公式即可得解．【解答】解：（Ⅰ）在△ABD中，因?yàn)閏os∠ADB=，∠ADB∈（0，π），所以sin∠ADB=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣根據(jù)正弦定理，有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣