實驗設(shè)計與數(shù)據(jù)處理第二部分

實驗設(shè)計與數(shù)據(jù)處理第二部分第1頁/共47頁第三章方差分析第2頁/共47頁3.1數(shù)據(jù)處理的概念和意義數(shù)據(jù)處理主要研究實驗測量或觀察數(shù)據(jù)分析計算的處理方法，從而得出可靠或規(guī)律性的結(jié)果。依據(jù)這個規(guī)律和結(jié)果對工業(yè)生產(chǎn)、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、天氣、地震等進行預(yù)報和控制，從而掌握和主宰客觀事物的發(fā)展規(guī)律，使之服從和服務(wù)于人類。數(shù)據(jù)處理的方法很多，如參數(shù)估計、假設(shè)檢驗、方差分析和回歸分析等。第3頁/共47頁3.2方差分析的概述方差分析(AnalysisofVariance)由英國統(tǒng)計學家R.A.Fisher首創(chuàng)，為紀念Fisher，以F命名，故方差分析又稱

F

檢驗。第4頁/共47頁3.2.1方差分析的概念和意義方差分析的中心點是把實驗觀測數(shù)據(jù)總的波動分解為反映因素水平變化引起的波動和反映實驗誤差引起的波動兩部分。方差分析亦即把實驗觀測數(shù)據(jù)的總的偏差平方和（ST）分解為反映必然性的各個因素的偏差平方和（SA、SB、…、SN）與反映偶然性的誤差偏差平方和（Se），并計算比較它們的平均偏差平方和，以找出對實驗觀測數(shù)據(jù)起決定性影響的因素作為進行定量分析判斷的依據(jù)。第5頁/共47頁方差分析能把實驗過程中實驗條件改變所引起的數(shù)據(jù)波動與實驗誤差引起的數(shù)據(jù)波動區(qū)分開，同時對影響實驗結(jié)果的各因素的重要程度給以精確的數(shù)量估計。方差分析類型很多，概括起來有以下幾種：（1）單因素實驗的方差分析（2）多因素實驗的方差分析（3）正交實驗設(shè)計的方差分析（4）SN比實驗設(shè)計法第6頁/共47頁3.2.2單因素實驗的方差分析在一項實驗中，若只有一個因素的水平在改變，而其他因素的水平固定不變，這就叫做單因素實驗。3.2.2.1方差分析的基本思想例3.1

考察生產(chǎn)某化工產(chǎn)品時反應(yīng)溫度A（℃）對收率y（％）的影響。為此，比較兩個反應(yīng)溫度A1＝30℃，A2＝40℃。12345平均值A(chǔ)1（30℃）757860618371.4A2（40℃）896293718580.0實驗號水平表3.1某化工產(chǎn)品收率實驗數(shù)據(jù)表第7頁/共47頁條件誤差：由于實驗條件的不同而引起的差異叫“條件誤差”。實驗誤差：即同一條件（同水平）下，存在偶然因素而引起的差異叫“實驗誤差”，即“隨機誤差”。為了考察某個因素對指標的作用，必須將總誤差分解為條件誤差和實驗誤差，并比較之，作出因素對指標的作用是否顯著的結(jié)論，這種分析方法稱為方差分析法。條件誤差、實驗誤差、總誤差之間有什么關(guān)系呢？第8頁/共47頁用全部10個實驗數(shù)據(jù)與總的平均值（75.7）之差的偏差平方和來估計總的誤差，這個平方和稱為總的偏差平方和，記為ST，即

ST＝(75-75.7)2+(78-75.7)2+…+(85-75.7)2＝1294.10用同一條件（水平）下5次實驗的數(shù)據(jù)與其平均值之差的偏差平方和來估計實驗誤差，即對A1（30℃）條件下：

S1＝(75-71.4)2+(78-71.4)2+…+(83-71.4)2＝429.20

對A2（40℃）條件下：

S2＝(89-80.0)2+(62-80.0)2+…+(85-80.0)2＝680.00

這兩個偏差平方和相加，反映了實驗誤差的大小，稱為組內(nèi)偏差平方和或誤差平方和（Se）:Se

＝

S1

+S2

＝429.20+680.00＝1109.20第9頁/共47頁用每種條件（水平）的數(shù)據(jù)平均值與總的平均值差的偏差平方和來估計條件誤差。因每種條件重復(fù)了5次，故將此平方和5倍，稱為組間偏差平方和或因素的偏差平方和（

SA

）：SA＝5(71.4-75.7)2+5(80.0–75.7)2＝184.90

可以看出，此處有ST＝SA

+Se＝184.90+1109.20＝1294.10即總的偏差平方和可以分解為組間偏差平方和與組內(nèi)偏差平方和。第10頁/共47頁有了SA和Se之后，是否就能直接比較出由于因素水平的變化引起的數(shù)據(jù)波動與實驗誤差引起的數(shù)據(jù)波動之間的差異呢？偏差平方和不僅與數(shù)據(jù)本身有關(guān)，而且還與數(shù)據(jù)的個數(shù)有關(guān)。為此，必須消除數(shù)據(jù)個數(shù)的影響，采用平均偏差平方和SA/fA（組間方差）與Se/fe（組內(nèi)方差）進行比較，并以此作出推斷。其中，fA和fe分別稱為SA與Se的自由度（即偏差平方和式中獨立數(shù)據(jù)的個數(shù)）。對Se而言，因為其中的10個數(shù)據(jù)滿足兩個關(guān)系式(75+78+60+61+83)/5=71.4(89+62+93+71+85)/5=80.0

所以Se的自由度fe=10-2＝8.第11頁/共47頁對SA而言，因為其中的2個數(shù)據(jù)有一個關(guān)系式(71.4+80.0)/2=75.7

所以SA的自由度fA=2-1=1.對ST而言，因為其中的10個數(shù)據(jù)有一個關(guān)系式(75+78+60+61+83+89+62+93+71+85)/10=75.7

所以ST的自由度fT=10-1=9.

顯然fT=fA+fe=1+8=9.如果平方和是由n項組成，它的自由度就是n－1，如果一個平方和是由幾部分的平方和組成，則總的自由度等于各部分自由度之和。第12頁/共47頁計算F值：然后對因素進行顯著性檢驗。

F值的大小，可以用來判斷因素水平對考察指標影響的顯著性。F值接近1，說明因素水平改變對考察指標的影響在誤差范圍內(nèi)，即水平間無顯著差異；F值越大，說明因素水平的改變對指標的影響超過了實驗誤差造成的影響，即條件誤差相對實驗誤差大得多。F多大時，可以說因素的水平改變對考察指標的影響是顯著的呢？小到多小，認為實驗結(jié)果的誤差主要是實驗誤差引起的，這就需要有一個標準。這個標準由F表給出。第13頁/共47頁在F表上，橫行n1代表F值中分子的自由度，豎行n2代表F值中分母的自由度，相交后的數(shù)值即為F比的臨界值。本例中，因?qū)Ζ粒?.05，查得F0.05(1,8)＝5.3，α為置信度（顯著水平），表示在作出某種判斷時犯錯誤的概率。因F＝1.33<5.3，故可以認為在水平α＝0.05下，反應(yīng)溫度A對指標收率的影響不顯著，或反應(yīng)溫度30℃和40℃對收率的影響沒有顯著差異，實驗結(jié)果出現(xiàn)的波動主要是由實驗誤差造成的。第14頁/共47頁3.2.2.2單因素實驗方差分析的一般步驟設(shè)有一單因素實驗，因素A有m個水平，每個水平均重復(fù)k次實驗，水平Ai的第j次實驗值為xij(i=1,2,…,m；j=1,2,…,k)。水平數(shù)重復(fù)數(shù)12

…

j

…

k合計平均值A(chǔ)1x11x12…

x1j…

x1kT1A2x21x22…

x2j…

x2kT2Aixi1xi2…

xij…

xikTiAmxm1xm2…

xmj…

xmkTm總和T………………………………表3.2

數(shù)據(jù)計算表……第15頁/共47頁Ti表示Ai水平下k次實驗數(shù)據(jù)的合計，表示Ai水平下k次實驗數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值。共進行了mk次實驗，令n=mk，用T表示n個實驗值的總和，即用表示n個實驗值的總平均值，即第16頁/共47頁1.偏差平方和的分解把整個實驗結(jié)果所得的每一個觀測值xij對其總平均值求偏差平方和，用ST表示，可用下式計算：IIIIII第17頁/共47頁式中I項是在同一條件（水平）下，k次實驗的數(shù)據(jù)與其平均值的偏差平方和，稱為組內(nèi)偏差平方和，因為它反映了實驗過程引起的誤差，所以也稱誤差平方和，用Se表示。

式中II項第18頁/共47頁式中III項是每一種條件（水平）下，k次實驗數(shù)據(jù)的平均值與km次實驗總的平均值的偏差平方和，稱為組間偏差平方和，因為它反映了條件（水平）引起的誤差，所以也稱條件誤差。用SA或S1表示。所以ST＝Se+SA

總偏差平方和分解公式在實際計算中，往往先算出ST及SA，而Se由ST－SA求得。第19頁/共47頁2.平均偏差平方和與自由度（1）自由度令f、fe及fA分別為總自由度、組內(nèi)自由度和組間自由度，則它們之間的關(guān)系為

f=fe+fA偏差平方和的自由度分解式第20頁/共47頁（2）方差令V、Ve和VA分別為總方差、組內(nèi)方差和組間方差，則3.用F檢驗法進行顯著性檢驗第21頁/共47頁為了計算方便，計算ST，Se，SA時經(jīng)常采用以下簡化公式ST＝R－P，Se＝R－Q，SA＝Q－P第22頁/共47頁例3.2某4個實驗室同用碘量法測定一種黃銅合金試樣中的銅含量，均測定5次，結(jié)果如下表所示。實驗室測定結(jié)果/Cu%A60.3760.8560.5060.9260.22B60.8660.9861.0460.5360.71C60.6360.4760.8260.3960.77D61.4461.2461.6761.0461.15試分析各實驗室的測定結(jié)果之間是否存在顯著性差異。fe=n-m=20-4=16fA=m-1=4-1=3f=n-1=20-1=19f=fA+fe=16+3=19第23頁/共47頁為了方便計算，可對數(shù)據(jù)進行簡化。將整數(shù)部分去掉（不影響計算結(jié)果）。(1)偏差平方和實驗室簡化數(shù)據(jù)A0.370.850.500.920.22B0.860.981.040.530.71C0.630.470.820.390.77D1.441.241.671.041.15第24頁/共47頁ST＝Se＋SA＝0.9278+1.7044=2.6322(2)

方差第25頁/共47頁(3)

F－檢驗(4)

方差分析表誤差來源偏差平方和自由度方差F值F臨界值實驗室間1.704430.56819.80F0.05（3,16）=3.24實驗誤差0.927160.05799總和2.6322190.1385方差分析表即各實驗室的測定結(jié)果之間存在顯著性差異。因此，實驗室間存在系統(tǒng)誤差，應(yīng)仔細查找原因，采取有效措施加以消除。第26頁/共47頁作業(yè)現(xiàn)有四種型號Ａ1、Ａ2、Ａ3、Ａ4的輪胎，欲比較各型號輪胎在運行20km后支撐瓦的磨損情況，為此，從每型號輪胎中任取四只，并隨機地安裝于四輛汽車上，汽車運行20km后，對各支撐瓦進行檢測得表中所示的數(shù)據(jù)，問四種型號的輪胎是否具有明顯的差別？Ａ1Ａ2Ａ3Ａ4114141210213141193178121341313911型號實驗號第27頁/共47頁3.2.3正交實驗設(shè)計方差分析的基本原理在正交表上進行方差分析的基本步驟與格式如下:(1)偏差平方和的計算與分解現(xiàn)以L4（23）正交表上安排實驗來說明123實驗結(jié)果1111x12122x23212x34221x4k1x1+x2x1+x3x1+x4T=x1+x2+x3+x4k2x3+x4x2+x4x2+x3(x1+x2)/2(x1+x3)/2(x1+x4)/2(x3+x4)/2(x2+x4)/2(x2+x3)/2列號實驗號L4（23）正交表第28頁/共47頁總的偏差平方和ST為化簡為第29頁/共47頁第一列各水平的偏差平方和第30頁/共47頁同理，第二列、第三列各水平的偏差平方和分別為第31頁/共47頁由此可得L4（23）正交表總偏差平方和的分解公式若將L4（23）正交表的第1列和第2列分別安排A、B因素，在不考慮A×B的情況下，在第3列為誤差列。第32頁/共47頁一般地，若用正交表安排N個因素的實驗（包括存在交互作用因素），則有要計算某因素的偏差平方和，只要把該因素所在列偏差平方和計算出來即可（交互作用的偏差平方和，同樣是它所在列的列偏差平方和），空白列的列偏差平方和就是誤差平方和。第33頁/共47頁今用正交表安排N個因素的實驗，設(shè)總的試驗次數(shù)為n，實驗結(jié)果為x1、x2

、…

、xn，每個因素的水平數(shù)為m，每個水平做r次試驗（水平重復(fù)數(shù)r），則n=mr。稱為各數(shù)據(jù)平方之和稱為修正項第34頁/共47頁因素的偏差平方和（如因素A）為誤差的偏差平方和Se為或者Se=ST–各因素（含交互作用）的偏差平方和之和。第35頁/共47頁(2)

計算平均偏差平方和與自由度平均偏差平方和自由度分解公式fT=

總的實驗次數(shù)-1＝n－1fA=

因素A的水平數(shù)-1＝m－1fB=因素B的水平數(shù)-1＝m

－1

fe=fT

–(fA+fB

)第36頁/共47頁若A、B兩因素存在交互作用，則SA×B的自由度fA×B等于兩因素自由度之積、即fA×B＝fA

×fB

此時，fe=fT–(fA+fB+fA×B

)

(3)

F值計算及F檢驗例如，對因素A來說，當FA>Fα（f1

，f2

）時，如α＝0.1，就有90％的把握說因素A的水平改變對實驗結(jié)果有顯著影響。第37頁/共47頁根據(jù)正交表的特點，其方差分析可以按下述原則進行：總的平方和恰好等于各列的平方和之和。方差分析的優(yōu)點是能把總平方和分解成因素與誤差平方和。計算規(guī)格化。在正交設(shè)計中每個因素列（包括交互作用列和誤差列）的計算步驟完全一樣。因此，方差分析的基本計算可逐列進行。第38頁/共47頁3.2.4正交實驗設(shè)計的方差分析3.2.4.1相同水平正交實驗設(shè)計的方差分析例3.3用兩種不同蒸養(yǎng)時間和振搗方式進行混凝土增強效果的比較試驗。試驗中的因素與水平列于下表。因素水平因素水平表A水灰比B振搗方法C蒸養(yǎng)時間10.4插搗320.45振搗4要考慮A、B、C和A×B、A×C、B×C對混凝土7天抗壓強度的影響，并選擇較優(yōu)的生產(chǎn)工藝。第39頁/共47頁ABA×BCA×CB×C指標1111111116921112222178312211222734122221127252121212146621221211697221122119482212112215K1892662756782826802804總和1616K2724954860834790814812R1682921045236128L8（27）試驗方案與極差計算結(jié)果影響因素的主次順序B>A>A×B>C>A×C>B×C第40頁/共47頁例3.4對例3.3進行方差分析解：按公式先算第1列的偏差平方和SA其它各列的計算方法同上各列自由度均為2－1＝1，方差分析結(jié)果見下表第41頁/共47頁方差分析表方差來源平方和自由度方差F值臨界值A(chǔ)SA＝35281352856.3F0.01(1，3)＝34.1BSB＝10658110658170.0F0.05(1，3)＝10.1A×BSA×B6F0.10(1，3)＝5.54CSC

＝33813385.4A×CSA×C＝1621B×CSB×C＝18162.7空列S空

＝81eSe

＝SA×C+

SB×C+S空＝1883第42頁/共47頁對因素進行F檢驗時，一般可考慮四種情況。

F>F0.01(f因，fe)，則因素對結(jié)果的影響高度顯著。

F0.01(f因，fe)>F>F0.05(f因，fe