及2.2矩陣的概念和運算

1第二章矩陣2

矩陣的概念§2.13一、引例例求解下列線性方程組45把矩形數(shù)表用一括號括起來以表示它的整體性，這樣的矩形數(shù)表在眾多問題中經(jīng)常出現(xiàn)，為此我們抽象出矩陣的概念.

二、矩陣概念6

由個數(shù)排成的行列的數(shù)表稱為矩陣.記作定義2.17為了標明矩陣的行數(shù)m和列數(shù)n,可用Amn表示,一般情形下,用大寫黑體字母A,B,C等表示矩陣.或記作8例如是一個矩陣,是一個矩陣.是一個矩陣,是一個矩陣.9

如果矩陣A=(aij)的行數(shù)與列數(shù)都等于n,則稱A為n階矩陣(或稱n階方陣).主對角線對于n階方陣A,對應一個行列式,記作|A|或detA.注意矩陣與行列式有本質區(qū)別：行列式是一個算式,一個數(shù)字行列式表示一個數(shù)值,而矩陣是一個數(shù)表,它的行數(shù)和列數(shù)可以不同.

對于方陣A,雖有行列式|A|,但A和|A|是不同的概念,不能混為一談.10

同型矩陣與矩陣相等的概念1.兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時,稱為同型矩陣.例如為同型矩陣.2.兩個矩陣為同型矩陣,并且對應元素相等,即則稱矩陣相等,記作11例

設解12

元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作

或.注意：不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如零矩陣13對角矩陣即形如的方陣,稱為對角矩陣，可記14數(shù)量矩陣當對角矩陣的主對角線上的元素都相同時，即形如的方陣,稱為數(shù)量矩陣，15單位矩陣稱16三角形矩陣

即形如的方陣，稱為上三角形矩陣類似地，的方陣,稱為下三角形矩陣17§2.2矩陣的運算

一、矩陣的加法設有兩個矩陣，那么矩陣與的和記作，規(guī)定為18說明

只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算.例如19矩陣加法的運算規(guī)律：顯然有定義矩陣的減法：20說明

只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行減法運算.例如21二、數(shù)與矩陣的乘法22矩陣數(shù)乘的運算規(guī)律：矩陣的加法和數(shù)乘合稱為矩陣的線性運算.（設為矩陣，為數(shù)）23求2A-B.例1

已知解24例2

已知且A

+

2X

=

B,求X.解25并把此乘積記作設是一個矩陣，是一個矩陣，那么規(guī)定矩陣A與矩陣B的乘積是一個矩陣，其中三、矩陣的乘法2627例328例329例4例330例4例331例4例332例533例634注意

只有當左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘.例如，有意義，沒有意義.而35矩陣乘法的運算規(guī)律：(其中k為數(shù));注意：交換律不成立.首先，AB有意義，不見得BA就有意義；例如，36例如，37例如，結論：矩陣乘法交換律不成立，一般若稱A、B可交換，(前提是A、B為同階方陣).但仍不一定有38例7試求出所有與A可交換的矩陣.解則39從前例還可看出，矩陣乘法不滿足消去律：或或例如，左消去律同理沒有右消去律：40四、方陣的冪定義設A為n階方陣，則A的方冪定義為再規(guī)定

規(guī)律：其中k，l為任意非負整數(shù).注意

由于沒有交換律，一般因此，一般41例8設42A是一個n階方陣，定義矩陣多項式為是一個多項式，例如，43下面將線性方程組寫成矩陣形式記系數(shù)矩陣則上述方程組可寫為矩陣形式：44五、矩陣的轉置定義

把矩陣A的行列互換得到的新矩陣，叫做A的轉置矩陣，記作.例945轉置矩陣的運算性質：(4)可推廣到多個矩陣:證略.46對稱矩陣與反對稱矩陣定義

設A為n階方陣，如果滿足，即那么A稱為對稱矩陣.47定義設A為n階方陣，如果滿足，即那么A稱為反對稱矩陣.48性質1.兩個同階對稱矩陣的和、差仍為對稱矩陣；2.對稱矩陣的數(shù)乘仍為對稱矩陣；3.兩個同階反對稱矩陣的和、差仍為反對稱矩陣；4.反對稱矩陣的數(shù)乘仍為反對稱矩陣；注意：A、B為同階對稱陣，AB未必對稱；當且僅當A、B可交換，AB才對稱；A、B為同階反對稱陣，AB未必反對稱；當且僅當A、B可交換，AB是對稱的.49設解法1例1050解法2設例1151例12設矩陣記求解因為,而52(BTB)T同理,BBT是m階對稱矩陣.=BT(BT)T=BTB.例14設A是n階反對稱矩陣,B是n階對稱矩陣,則AB+BA是反對稱矩陣.(AB+BA)T=(AB)T+(BA)T=BTAT+ATBT=B(-A)+(-A)B=-(AB+BA).證例13設B是一個mn矩陣,則BTB和