計算機控制系統(tǒng)第四章

計算機控制系統(tǒng)第四章第一頁，共二十七頁，2022年，8月28日4.1計算機控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

線性離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件

s域到z域的映射

線性離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)

修正勞斯—胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)

二次項特征方程穩(wěn)定性的z域直接判別法

朱利穩(wěn)定性檢驗

修爾—科恩穩(wěn)定判據(jù)第二頁，共二十七頁，2022年，8月28日s域到z域的映射

我們將s平面映射到z平面，并找出離散系統(tǒng)穩(wěn)定時其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)零、極點在z平面的分布規(guī)律，從而獲得離散系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)。令于是，s域到z域的基本映射關系式為

則有第三頁，共二十七頁，2022年，8月28日s域到z域的映射圖4.1s域與z域映射關系圖s平面左半平面的垂直線對應z平面半徑小于1的圓s平面右半平面的垂直線對應z平面半徑大于1的圓s平面水平直線對應于z平面具有相應角度的直線s平面的等阻尼線對應z平面的螺旋線s平面的虛軸在z平面的映射為一單位圓第四頁，共二十七頁，2022年，8月28日s域到z域的映射圖4.2s平面與z平面的映射關系

由于左半平面的σ為負值，所以左半s平面對應于｜z｜=eTσ<1s平面的虛軸表示實部σ=0和虛部ω從-∞變到+∞，映射到z平面上，表示｜z｜=eTσ=e0=1，即單位圓上，和θ=Tω也從-∞變到+∞，即z在單位圓上逆時針旋轉(zhuǎn)無限多圈。簡單地說，就是s平面的虛軸在z平面的映射為一單位圓,如圖4.2所示。

第五頁，共二十七頁，2022年，8月28日線性離散控制系統(tǒng)

穩(wěn)定的充要條件

圖4.3所示線性離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)為:

圖4.3線性離散控制系統(tǒng)特征方程為:

第六頁，共二十七頁，2022年，8月28日

設閉環(huán)離散系統(tǒng)的特征方程式的根為z1,z2…,zn（即是閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點）。那么，線性離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：線性離散控制系統(tǒng)

穩(wěn)定的充要條件

閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根的模｜zi｜<1，即閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點均位于z平面的單位圓內(nèi)。第七頁，共二十七頁，2022年，8月28日修正勞斯—胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)

連續(xù)系統(tǒng)的勞斯—胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)，是通過系統(tǒng)特征方程的系數(shù)及其符號來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

雙線性變換Ⅰ

雙線性變換Ⅱ

勞斯—胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)這個方法實際上仍是判斷特征方程的根是否都在s平面的左半部。將z平面單位圓內(nèi)區(qū)域映射為另一平面上的左半部。就可以應用勞斯—胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)來判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為此，可采用雙線性變換方法進行判斷。第八頁，共二十七頁，2022年，8月28日雙線性變換Ⅰ雙線性變換Ⅰ：圖4.4z平面與w平面映射關系式中w是復變量，由上式解得第九頁，共二十七頁，2022年，8月28日雙線性變換Ⅱ雙線性變換Ⅱ：此時

或?qū)懗?/p>

第十頁，共二十七頁，2022年，8月28日雙線性變換Ⅱ當ωT較小時有即w平面的頻率近似于s平面的頻率。這是采用雙線性變換Ⅱ的優(yōu)點之一。通過z-w變換，就可以應用連續(xù)系統(tǒng)的勞斯—胡爾維茨判據(jù)分析線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日勞斯—胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)

勞斯判據(jù)的要點：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程anwn+an-1wn-1+…+a0=0，若系數(shù)a0,…,an的符號不相同，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。若系數(shù)符號相同，建立勞斯行列表例4.1例4.2

若勞斯行列表第一列各元素嚴格為正，則所有特征根均分布在左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。勞斯列表若勞斯行列表第一列出現(xiàn)負數(shù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。且第一列元素符號變化的次數(shù)，即右半平面上特征根個數(shù)。第十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日二次項特征方程穩(wěn)定性的

z域直接判別法

當離散系統(tǒng)的特征方程最高為二次項時，則不必進行w變換，也不必求其根。而是直接在z域判別其穩(wěn)定性。例4.3

|W(0)|=|a0|<1W(1)=1+a1+a0>0

W(-1)=1-a1+a0>0當滿足下列三個條件系統(tǒng)穩(wěn)定設系統(tǒng)的特征方程

W(z)=z2+a1z+a0=0式中，a1，a0均為實數(shù)。第十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日朱利穩(wěn)定性檢驗

朱利穩(wěn)定性檢驗是對給定的特征方程W(z)=0的系數(shù)建立一個表。設特征方程W(z)是z的下列多項式：第一行元素由W(z)按z的升冪排列的系數(shù)組成。第二行元素由W(z)按z的降冪排列的系數(shù)組成。第三行至第2n-3行元素，則按下列各式確定：第十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日朱利穩(wěn)定性檢驗

朱利檢驗的穩(wěn)定性判據(jù)為：如果滿足下列全部條件，則由特征方程W(z)=0表征的系統(tǒng)是穩(wěn)定的第十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日

4.2計算機控制系統(tǒng)的動態(tài)特性

線性離散系統(tǒng)的動態(tài)特性是指系統(tǒng)在單位階躍信號輸入下的過渡過程特性(或者說系統(tǒng)的動態(tài)響應特性)。原因是單位階躍輸入信號容易產(chǎn)生，并且能夠提供動態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應的有用信息。如果已知線性離散系統(tǒng)在階躍輸入下輸出的z變換Y(z)，那么，對Y(z)進行z反變換就可獲得動態(tài)響應y*(t)。將y*(t)連成光滑曲線，就可得到系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(即超調(diào)量σ%與過渡過程時間ts)。離散系統(tǒng)的單位階躍響應閉環(huán)極點對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響

例4.4第十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日4.3計算機控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

設單位反饋誤差采樣系統(tǒng)如圖4.12所示。系統(tǒng)誤差脈沖傳遞函數(shù)為圖4.12單位反饋離散系統(tǒng)若離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則可用z變換的終值定理求出采樣瞬時的終值誤差第十七頁，共二十七頁，2022年，8月28日計算機控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

在離散系統(tǒng)中，把開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)具有z=1的極點數(shù)v作為劃分離散系統(tǒng)型別的標準，與連續(xù)系統(tǒng)類似地把G(z)中v=0,1,2,…的系統(tǒng)，稱為0型，Ⅰ型和Ⅱ離散系統(tǒng)等。下面討論不同類別的離散系統(tǒng)在三種典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，并建立離散系統(tǒng)靜態(tài)誤差系數(shù)的概念。

第十八頁，共二十七頁，2022年，8月28日單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差對于單位階躍輸入r(t)=1(t)，其z變換函數(shù)為稱為靜態(tài)位置誤差系數(shù)。上式代表離散系統(tǒng)在采樣瞬時的終值位置誤差。式中得單位階躍輸入響應的穩(wěn)態(tài)誤差第十九頁，共二十七頁，2022年，8月28日單位速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差對于單位速度輸入r(t)=t，其z變換函數(shù)為稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù)。上式代表離散系統(tǒng)在采樣瞬時的終值速度誤差。式中得單位速度輸入響應的穩(wěn)態(tài)誤差第二十頁，共二十七頁，2022年，8月28日單位加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差對于單位加速度輸入r(t)=t2/2，其z變換函數(shù)為稱為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。上式代表離散系統(tǒng)在采樣瞬時的終值加速度誤差。式中得單位速度輸入響應的穩(wěn)態(tài)誤差第二十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日4.4離散系統(tǒng)根軌跡和頻率特性

離散系統(tǒng)根軌跡

離散系統(tǒng)頻率特性第二十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日1.離散系統(tǒng)根軌跡線性定常離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

該系統(tǒng)的特征方程為例4.5

圖4.13線性定常離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)根軌跡就是畫出閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在z平面上隨參數(shù)K變化的軌跡。由于離散根軌跡與連續(xù)根軌跡在形式上相同，所以其根軌跡的畫法與連續(xù)根軌跡類似。第二十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日繪制離散系統(tǒng)根軌跡的基本原則1.根軌跡起于開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)MG(z)的極點，終止于開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)MG(z)的零點

2.實軸上的某一區(qū)域，若其右側(cè)開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡

3.根軌跡對稱于實軸

4.漸近線的個數(shù)等于開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)MG(z)的極點np與零點nz之差，且漸近線與實軸的交角和交點分別為第二十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日繪制離散系統(tǒng)根軌跡的基本原則5.根軌跡的分離點由下式求解

繪制離散系統(tǒng)根軌跡第二十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日2.離散系統(tǒng)頻率特性

在連續(xù)系統(tǒng)中，頻域分析法是應用頻率特性研究線性系統(tǒng)的一種經(jīng)典方法。只要將傳遞函數(shù)中的s以jω置換，就可以得到相應的頻率特性。頻率特性有幅頻特性、相頻特性及幅相頻特性。在連續(xù)系統(tǒng)中，某一個環(huán)節(jié)的頻率特性為在離散系統(tǒng)中，某一環(huán)節(jié)的頻率特性（奈氏曲線）為

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