解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性

解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性第一頁，共三十一頁，2022年，8月28日§3.3解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性

/Continuousanddifferentiabledependenceofthesolutions/

第二頁，共三十一頁，2022年，8月28日解對(duì)初值的連續(xù)性解對(duì)初值的可微性本節(jié)要求：

1了解解對(duì)初值及參數(shù)的連續(xù)依賴性定理；

2了解解對(duì)初值及參數(shù)的可微性定理。內(nèi)容提要§3.3Continuity&differentiability2023/3/313常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人第三頁，共三十一頁，2022年，8月28日3.3.1解對(duì)初值的對(duì)稱性定理設(shè)f(x,y)于域D內(nèi)連續(xù)且關(guān)于y滿足利普希茨條件，是初值問題的唯一解，則在此表達(dá)式中，與可以調(diào)換其相對(duì)位置，即在解的存在范圍內(nèi)成立著關(guān)系式§3.3Continuity&differentiability2023/3/314常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人第四頁，共三十一頁，2022年，8月28日解對(duì)初值的連續(xù)依賴性定理假設(shè)f(x,y)于域G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于y滿足局部利普希茨條件，是初值問題的解，它于區(qū)間有定義，那么，對(duì)任意給定的，必存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，方程滿足條件的解在區(qū)間也有定義，并且§3.3Continuity&differentiability2023/3/315常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人第五頁，共三十一頁，2022年，8月28日引理如果f(x,y)

在某域D

內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足利普希茲條件（利普希茲常數(shù)為L），則方程(3.1.1)任意兩個(gè)解在它們公共存在區(qū)間成立不等式其中為所考慮區(qū)間內(nèi)的某一值。證明設(shè)在區(qū)間均有定義，令不妨設(shè)因此，有§3.3Continuity&differentiability2023/3/316常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人第六頁，共三十一頁，2022年，8月28日則于是因此，在區(qū)間[a,b]上為減函數(shù)，有§3.3Continuity&differentiability2023/3/317常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人第七頁，共三十一頁，2022年，8月28日對(duì)于區(qū)間則并且已知它有解類似以上推導(dǎo)過程，令注意到因此兩邊取平方根，得§3.3Continuity&differentiability2023/3/318常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人第八頁，共三十一頁，2022年，8月28日解對(duì)初值的連續(xù)依賴性定理的證明（一）構(gòu)造滿足利普希茨條件的有界閉區(qū)域因?yàn)?，積分曲線段是xy平面上一個(gè)有界閉集，又按假定對(duì)S上每一點(diǎn)(x,y)必存在一個(gè)以它為中心的開圓使在其內(nèi)函數(shù)f(x,y)關(guān)于y

滿足利普希茨條件。根據(jù)有限覆蓋定理，可以找到有限個(gè)具有這種性質(zhì)的圓并且它們的全體覆蓋了整個(gè)積分曲線段S。設(shè)為圓的半徑，表示f(x,y)于內(nèi)的相應(yīng)的利普希茨常數(shù)。§3.3Continuity&differentiability2023/3/319常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人第九頁，共三十一頁，2022年，8月28日令則有且的邊界與S的距離。對(duì)預(yù)先給定的若取則以S上每一點(diǎn)為中心，以為半徑的圓的全體，連同它們的圓周一起構(gòu)成S的有界閉域，且f(x，y)在D上關(guān)于y滿足利普希茨條件，利普希茨常數(shù)為L?！?.3Continuity&differentiability2023/3/3110常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人第十頁，共三十一頁，2022年，8月28日（二）解對(duì)初值的連續(xù)依賴性斷言，必存在這樣的正數(shù)使得只要滿足不等式則解必然在區(qū)間也有定義。由于D是有界閉區(qū)域，且f(x，y)在其內(nèi)關(guān)于y滿足利普希茨條件，由延拓性定理知，解必能延拓到區(qū)域D的邊界上。設(shè)它在D的邊界上的點(diǎn)為這時(shí)必然有§3.3Continuity&differentiability2023/3/3111常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人第十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日因?yàn)榉駝t設(shè)則由引理由的連續(xù)性，對(duì)必存在使得當(dāng)時(shí)有取則當(dāng)§3.3Continuity&differentiability2023/3/3112常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人第十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日于是對(duì)一切成立，特別地有即點(diǎn)均落在D的內(nèi)部，而不可能位于D的邊界上。與假設(shè)矛盾，因此，解在區(qū)間[a,b]上有定義?！?.3Continuity&differentiability2023/3/3113常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人第十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日在不等式中，將區(qū)間[c，d]換為[a，b]，可知，當(dāng)時(shí)，有定理得證?！?.3Continuity&differentiability2023/3/3114常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人第十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日的解作為的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的。解對(duì)初值的連續(xù)性定理假設(shè)f(x,y)于域G

內(nèi)連續(xù)且關(guān)于y滿足局部利普希茨條件，則方程§3.3Continuity&differentiability2023/3/3115常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人第十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日1.

含參數(shù)的一階方程表示2.一致利普希茲條件設(shè)函數(shù)一致地關(guān)于y

滿足局部利普希茲(Lipschitz)條件，為中心的球，使得對(duì)任何其中L

是與無關(guān)的正數(shù)。在內(nèi)連續(xù)，且在內(nèi)即對(duì)內(nèi)的每一點(diǎn)都存在以成立不等式§3.3Continuity&differentiability2023/3/3116常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人第十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日由解的存在唯一性定理，對(duì)每一方程的解唯一確定。記為§3.3Continuity&differentiability2023/3/3117常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人第十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性定理假設(shè)

于域內(nèi)連續(xù)，且在內(nèi)關(guān)于y一致地滿足局部利普希茨條件，是方程通過點(diǎn)的解，在區(qū)間

那么，對(duì)任意給定的，必存在正數(shù)時(shí)，方程滿足條件的解在區(qū)間也有定義，并且有定義其中使得當(dāng)§3.3Continuity&differentiability2023/3/3118常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人第十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日的解作為的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的。解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)性定理假設(shè)

于域內(nèi)連續(xù)，且在內(nèi)關(guān)于y一致地滿足局部利普希茨條件，則方程§3.3Continuity&differentiability2023/3/3119常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人第十九頁，共三十一頁，2022年，8月28日解對(duì)初值的可微性定理的解作為的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)可微的。若函數(shù)f(x,y)以及都在區(qū)域G

內(nèi)連續(xù)，則方程§3.3Continuity&differentiability2023/3/3120常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人第二十頁，共三十一頁，2022年，8月28日§3.3Continuity&differentiability2023/3/3121常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人第二十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日證明由在區(qū)域G

內(nèi)連續(xù)，推知f(x,y)在G內(nèi)關(guān)于y滿足局部利普希茨條件。因此，解對(duì)初值的連續(xù)性定理成立，即下面進(jìn)一步證明對(duì)于函數(shù)的存在范圍內(nèi)任一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)在它的存在范圍內(nèi)關(guān)于是連續(xù)的。存在且連續(xù)?！?.3Continuity&differentiability2023/3/3122常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人第二十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日設(shè)由初值為足夠小的正數(shù)）所確定的方程的解分別為即于是其中先證存在且連續(xù)。§3.3Continuity&differentiability2023/3/3123常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人第二十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日注意到及的連續(xù)性，有其中具有性質(zhì)類似地其中與具有相同的性質(zhì)，因此對(duì)§3.3Continuity&differentiability2023/3/3124常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人第二十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日即是初值問題的解，在這里被視為參數(shù)。顯然，當(dāng)時(shí)上述初值問題仍然有解。§3.3Continuity&differentiability2023/3/3125常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人第二十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日根據(jù)解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)性定理，知是的連續(xù)函數(shù)。從而存在而是初值問題的解。且

，顯然的連續(xù)函數(shù)。它是§3.3Continuity&differentiability2023/3/3126常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人第二十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日再證存在且連續(xù)。為初值設(shè)所確定的方程的解。類似地可推證是初值問題的解。因而§3.3Continuity&differentiability2023/3/3127常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人第二十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日其中具有性質(zhì)故有至于的存在及連續(xù)性，只需注意到顯然它是的連續(xù)函數(shù)。是方程的解，因而由及的連續(xù)性即直接推的結(jié)論。證畢。§3.3Continuity&differentiability2023/3/3128常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人第二十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日課堂練習(xí)1設(shè)