初三第23題代數(shù)綜合等4人

精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講學(xué)員編號 級 課時數(shù)學(xué)員 學(xué)科教師C（C（授課日1（順義）x的方程(k1)x22kxk30當(dāng)方程有兩個相等的實數(shù)根時，求關(guān)于yy2a4kya10的整數(shù)根（a為正整．（1）△=4k24k28k=8kk1 k1 8k12 即k

kk△=8k12=0k yy2a6ya10'(a6)24(a1)a212a364a4a216a(a8)232a為正整數(shù)，當(dāng)(a8)232是完全平方數(shù)時，方程才有可能有整數(shù)根．設(shè)(a8)232m2（m為整數(shù)32pq（pq均為整數(shù)，(a8)2m232．即(a8m)(a8m32a8maa8m不妨設(shè)

apq (a8m與(a8m∴32可分解為21648(2)16)(4)(8)pq18或12或18或12a17或14或1（不合題意，舍去）或2y11a17時，方程的兩根為a14

y82y4

y12y2y13y2a2

y13y22（y=（k+1）x2+(3k-1)x+2k-2x3，求k的值．（1）當(dāng)k1時，方程4x4=0為一元一次方程，此方程有一個實數(shù)根；k1時，方程(k1)x23k1)x2k2=0k為除-1外的任意實數(shù)時，此方程總有兩個實數(shù)根綜上，無論k取任意實數(shù)，方程總有實數(shù)根．

x13k(k2(k

，x1=-1，x2=k kk=1時，方程的兩根為-1，0；k=3時，方程的兩根為-1，-1．∴（3）∵y=（k+1）x2+(3k-1)x+2k-2與xx1x2=3x2x1x1x2=3k=-3x2x1=33（

(a1)x2(a1)x20（1）ax的方程(a1)x2a1)x20y1kx 答案（1）當(dāng)a10時，即a1時，原方程變?yōu)?x20. 當(dāng)a10時，原方程為一元二次方程(a1)x2(a1)x20..b24ac(a1)24(a1)2(a3)2.

x1；……1x(a1)(a

x1,x 22(a

，解得

a1

(a1)x2a1)x20的根都是整數(shù)2∴只需a1為整∴當(dāng)a11a=2a=0時，x=1或x=－2；a12時，即a=3a=－1時，x=1x=－1；∴a0，－1，1，2，3方程(a1)x2a1)x20的根都是整數(shù)…6（2）∵y=(a1)x2a1)x20

a.8y1kx把M點坐標(biāo)代入一次函

中，則k 7∴當(dāng)k4

y1kx3

4.（東城區(qū)）x的一元二次方程(m1)x2m2)x10（m為實數(shù)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取y(m1)x2m2)x1x若mx的一元二次方程(m1)x2m2)x10有兩個不相等的整數(shù)根時，y(m1)x2(m2)x13個單位長度，求平移后的解析式．（1）∴m0∵m10∴m的取值范圍是m0且m（2）y0(m1)x2m2)x10∴x

2(m

(m2)m(m2)(m2)m∴

m2m1，2(m

m2m2(m

mx軸的交點坐標(biāo)為（1,0

m

,0my(m1)x2m2)x1總過定點（10x1是整數(shù)

m

m是整數(shù)，且m0且m∴m2m2yx21y(x3)21x26x8y=x2kx1（ 在（2）的條件下，關(guān)于xx2＋2(a＋k)x＋2a－k2＋6k－4=00b2-4ack2-（1）

kxy=x2kx 的圖象與x軸的兩個交點在點（1，0）的兩側(cè)，x=11k ＜0，解得∴k≠02b24ac（2k24k24k2+12k94k212k9- - ＜k＜x1=-1，x2=-2a-1∴檢測題2（2013.東城23）已知關(guān)于x的一元二次方程求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根；解：(1)證明：Δ（m3)24(m1)=m26m94m=m22m=(m1)24∵(m1)2∴(m1)24x的一元二次m3m3 (m1)22要使原方程的根是整數(shù)，必須使得(m1)24是完全平方數(shù).設(shè)(m1)24a2，則(am1)(am14∵am1am1am1 am1可得am12.或am1 a a解得m1.或m1. m3 (m1)2m3 (m1)22x12x20m=-13（2013.（2）設(shè)m為整數(shù)，方程的兩個根都大于1且小于2（1）m2421m2

，當(dāng)方程的兩個根均為有理數(shù)時，求m∵m2∴m28所以無論m取任何實數(shù)，方程2x2mx1=0都有兩個不相等的實數(shù)(2)y2x2mx∵2x2mx10的兩根都在132x1y02m10x3y093m10 ∴23

m∵m①當(dāng)m22x22x10，4812②當(dāng)m0時，方程2x210x22③當(dāng)m1時，方程2x2x1

1

1m

1解題，如果不能因式分解，在用法求解。本題在中，2012232013中18（13、注意事項：（1）（2）二次函數(shù)---例1：（2012，東城一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(4m1)x 27myx24m

xA、ByCm取n個單位，使平移后得到的拋物線頂點落在△ABC的內(nèi)部（不包括△ABC的邊界n的取值范圍（直接寫出答案即可．答案：(1)證明：Δ=(4m1)2=4m24m=(2m∵(2m

m解關(guān)于x的一元二次方程x2(4m1)x 得x13m1x2m3m1

m 解得1 3

9 14例2、(2012豐臺一模)已知：關(guān)于x的一元二次方程：x22mx yx2

C1C2y=xb(b<0)與C2恰有兩個公共點時，寫出b（1） y軸是拋物線的對稱軸，2m0m0y（3）-3（2012石景山一模）x的方程x2m4x3m10有兩個不相等的實數(shù)根求m的取值范圍拋物線Cyx2m4x3m1xABm1lymx1A,求拋物線C2

ymx1A旋轉(zhuǎn)得到直線

ykxb，設(shè)直線l2yD，與拋物線C交于點M（MA重合MA3k （1）m∵方程x2m4x3m10有兩個不相等的實數(shù)∴∴m（2）yx2m4x3m1y0x2m4x3m10解得：x1 ，x21∴拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為 ∵直線

:y

A坐標(biāo)為m3

時m310，當(dāng)點A坐標(biāo)為1m,0 2解得m2mmm1∴拋物線Cyx25x6 （3）設(shè)Mx,x2 MAAMxM

xM ， xM

,MA的直線l2ykxb的解析式y(tǒng)kx2kM5,6k

5MA點重合時直線l2與拋物線C ykx解得yx2k5x

令k52462k0kMAAMOA M 2M ，

xM

,Mk2k12kMA3k 4（2012aa＝a1y＝ax2＋x＋2xM(m，0)y＝ax2＋x＋2xN(n，0).MNa1y的大小 321-4-3-2-1

，)，對稱軸為直線 .……29又因為函數(shù)的最大值為，∴y1

12

，

1∴x

12

，

1

，0 當(dāng)a＜0時，即經(jīng)過點My=a1x2+x+2x

,經(jīng)過點Ny=a2x2+x+2x

.M在點N的左邊，且拋物線經(jīng)過點x

x

1∴1

＜ 115xA(2,0B(4,0y軸交于C(0,4設(shè)直線CDxEBx軸的垂線，交直線CDF，將拋物線沿其對稱軸答案：ya(x2)(x∵C點坐標(biāo)為1∴a=2y1x2x42D坐標(biāo)為（192(2)CDb9

則kb

∴k

1CD2E（-

my1x2x4m(m2y1x2x4由y

21x2

y,

1x2

1xm0 2m0 1∴向下最多可平移個單位8my1x2x4m(m2x=-8時，y=-36+mx=4時，y=mEF有公共點，則-36+m≤0E（-8，0）m當(dāng)平移后的拋物線F4,6時m1綜上，要使拋物線與EF36個單位，向下最多可平移個單位。81（2013.求證：無論k為任何實數(shù)，該拋物線與x軸都有兩個交P（m，n，n<0，OP= ，且線段OP與x軸正半軸所夾銳角的正弦34為5將（2）中的拋物線x軸上方的部分沿x軸翻折，與原圖象的另一部分組成一個新的MyxbMby1（1）-11∵b24ack24(k2)(k2)24∵(k2)20∴(k2)240∴無論k為任何實數(shù)，該拋物線與x軸都有兩個交點（2）解：如圖PPA⊥x軸于A,則 OP

,sinPOA ∴AP83

OA2

-1∴P(2,

8)3∵P在拋物線上8∴ 42kk232∴k 3yx22x8 （3）y=0x22x80 ∴x2,x4 ∴拋物線與xB(20C43yxbC（-2，0）時，by

yxb

x

相切時，x

xb∴△

254(b

)0∴b

.∴ ＜b＜-2時，直線與圖形M有四個交點2:yx2a2)x2a（a為常數(shù)，且a0xAB（AB左側(cè)y軸的交點為CAC25x軸正方向平移t個單位（t>0，同時將直線ly3xy軸正方向平移t個單位.平移后的直線為lABAB.當(dāng)t為何值時，在直線l'P，使得△ABPAB為直角邊的等腰直角三角形?答案（1）y0,x2a2)x2a0.△=(a2)28a(a2)2∵a0,∴a20∴△0x2a2)x2a0有兩個不相等的實數(shù)根x軸有兩個交點（2）①y0,x2a2)x2a0x12x2a.∵AB左側(cè),且a0xA(a0B(20)y軸的交點為C∴C(0,2a)∴AOaCO2a.Rt△AOCAO2CO225)2a22a)220

a2

a0

a2yx24②依題意，可得直線ly3xtA'(t20B'(t20,ABAB4∵△ABPAB∴當(dāng)PAB90P的坐標(biāo)為(t24或(t24)∴3(t2)

4.

t 或t5 5當(dāng)PBA90P的坐標(biāo)為(t24或(t24) ∴3(t2)t4.解得t 或t 綜上所述，t 或t 3：xkx23k1)x30kykx23k1)x3xkk答案：k=0x+3=0x=-31

3k124k=9k26k1=9k26k

2（2）y0kx23k1)x3xx3，x

3 kxk 由（2）yx24xODy=12h，………522①當(dāng)拋物線經(jīng)過點C∵C（09）h21h=92 h=-11454-1-4∴當(dāng) ≤h＜-1-1-4

6y=（x－h(huán)）22

得x2＋（－2h＋2）x＋h212∴△=（－2h＋2）2－4（h2＋12（3，3綜上：平移后的拋物線與射線CD只有一個公共點時，頂點橫坐標(biāo)的值或取值范圍是-1-4-1-4-142a1（2012?y=mx2+（3m+1）x+3xm為正整數(shù)，試確定此拋若點P（x1，y1）與Q（x1+n，y2）在（2）中拋物線上（點P、Q不重合），且y1=y2，求 答案：解：（1）m=0x+3=0x=﹣3．m≠0時，原方程為一元二次方程．mmx2+（3m+1）x+3=0（2）∵令y=0，則mx2+（3m+1）x+3=0．解得x1=﹣3， y=mx2+（3m+1）x+3與xm∴拋物線的解析式為（3）∵點P（x1，y1）與Q（x1+n，y2）在拋 可 即P，Q =（n+4）2+6n（﹣n﹣42：x的一元二次方程2x2a4)xa0求證：無論a拋物線

y2x2a4)xaxa，其中a02C11個單位，得到拋物線C 線C2的解析點A(m,n)和B(n,m)都在(2)中拋物線C2上，且A、B2m32mn2n3（1）a4)242aa216而a20a2160，即0∴無論a（2）xay02∴2(a)2(a4)aa0 a23a0a(a30∵a0∴a3∴拋物線Cy2x2x32(x1)225 ∴拋物線C的頂點為(125 ∴拋物線C2的頂點為(032∴拋物線Cy2x232A（mn）B（nm）都在拋物線C2n2m23m2n2∴nm2(m2n2).∴nm2(mn)(mn)∴(mn)[2(mn)1]0∵A、B兩點不重合，即mn∴2(mn)10∴mn12∵2m2n3，2n2m3∴2m32mn2m2m2mn2n2(n3)m2mn(m3)3(m3 323（2011?答案：∵mx2﹣x﹣2=0∴原式=4：已知拋物線Cyx2m1x1的頂點在求mm0時，拋物線C向下平移nn0個單位后與拋物線C1yax2bxcy且C1過點n,3，求C1的函數(shù)關(guān)系式3m0時，拋物線C的頂點為MP1y0x

上是否存在一點QPM的周長最小，如果存在，求出點Q（1）m124解得m1m當(dāng)拋物線Cy

∴m綜上m1m-3（2）當(dāng)m0m拋物線Cyx22x向下平移nn0yx22x11yx22x1n與拋物線C：yax2bxcy1∴a1，b2，c1

∴拋物線C1

yx22x1C1過點

n22n1n3，即n2n2解得n11n22（由題意n0，舍去）∴n∴拋物線C1

yx22x當(dāng)3m0m拋物線Cyx2∴y011∴

M作點M0,1關(guān)于直線x1的對稱點MPMy1x ∴Q1,43 3 5（201323）y=﹣x2+bx+cA（﹣1，0），C（2，3）兩點，與yN．D．M（3，m）MN+MDm若拋物線的對稱軸與AC于點B，E直線AC任意一點，過點EEF∥BD交拋物線于點F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標(biāo)；若不答案：解：（1）y=﹣x2+bx+cA（﹣1，0）C（2，3），.y=﹣x2+2x+3y=kx+nA（﹣1，0）及C（2，3），.ACy=x+1DNy=﹣當(dāng)M（3，m）在直線DN′上時，MN+MD的值最小則m=﹣× EAC①當(dāng)點 段AC上時，點F在點E上方，則∵F②當(dāng)點E 段AC（或CA）延長線上時，點F在點E下方，則F（x，x﹣1）由F在拋物線上，∴x﹣1=﹣x2+2x+3解得 或

∴ ，

32

）或

）或 33， ，課后作1：x的一元二次方程(m1)x2m2)x10（m為實數(shù)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m在（1）的條件下，求證：無論my(m1)x2m2)x1x軸上的若mx的一元二次方程(m1)x2m2)x10y(m1)x2m2)x13個單位長度，求平移后的解析式．答案：（1）△=(m2)24(m1)m2∴m0∵m10∴m的取值范圍是m0且m1（2）y0(m1)x2m2)x